河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺数学试题（二）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺数学试题（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，，则（）A. B.8 C. D.4【答案】A【解析】由向量，，得，而，所以.故选：A2.已知，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，故，其虚部为．故选：C．3.已知集合，，若，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，又，，所以，解得.故选：B.4.已知点在椭圆上，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将点的坐标代入椭圆方程，得:，因为，所以，所以椭圆方程，其中，故离心率.故选：C.5.已知，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，由知，，，所以，当且仅当，即时等号成立，则的最大值为.故选：B．6.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】构建函数，则，令，得；令，得；可知在上单调递减，在上单调递增，则，可得，当且仅当时取等号，则，由正弦函数的有界性可知，则，又因为，则，所以．故选：C．7.鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球．若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每层雕孔依次增加d个（d为常数）．现制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔，三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，则（）A.2 B.5 C.7 D.8【答案】A【解析】记从内向外第n层鬼工球上的雕孔数量为，由题意知，，故对于一个n层的鬼工球，其雕孔数为，所以3层和6层的鬼工球的雕孔数分别为，，差值，解得，故，由于三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，若m在3，6之间，则相差最多者即层数为3，6的鬼工球，不符合题意；若m大于6，则相差最多者即层数为3，m的鬼工球，而即使m取最小值7，其雕孔数为56，而，不符合题意；若m小于3，则相差最多者即层数为m，6的鬼工球，由层数为6的鬼工球雕孔数为42知，层数为m的鬼工球雕孔数为6，故，解得（负值舍去）.故选：A．8.二项式定理与组合数联系十分紧密，我们可以借助二项式来研究组合数中的某些性质，进而得到一些结论，例如，对于n次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，令，得，令，得，两式做差，可得，因此，.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（）A. B.C. D.，【答案】AC【解析】由正态分布的对称性得，而，故A正确，B错误；由Y的正态密度曲线的峰值高于X，峰值越高对应方差越小，即，故，故C正确；如图，由于Y的方差更小，所以其正态密度曲线递减速度更快，当n取较大的正数时，故D错误，故选：AC10.如图，在五面体ABCDE中，是边长为4的等边三角形，四边形BCDE是等腰梯形，，则（）A.平面ABCB.平面ABEC.存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面BCDD.存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面ACD【答案】ACD【解析】由题设，平面沿翻转与平面形成一定夹角构成五面体ABCDE，由题意，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，A正确；延长CD，BE交于点F，若平面ABE，平面ABE，则，由平面几何知识易知，故CD不垂直于平面ABE，B错误；取DE的中点G，BC的中点H，连接AG、GH、AH，则为平面ADE与平面BCD所成角的平面角，由题意，点G可看作在平面AGH内以H为圆心，GH为半径的圆上的一点，由于，必存在直线AG与该圆相切，存在，显然为等腰三角形，则，都在平面内，所以平面，平面，则平面平面BCD，故存在这样五面体ABCDE，C正确；取AF的中点I，连接BI、CI，则为平面ABE与平面ACD所成角的平面角，当，即时，，即，又，都在平面内，则平面，平面，所以平面平面ACD，此时，故存在这样的五面体ABCDE，D正确．故选：ACD11.已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足当时，，当时，，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，若，不妨令，则，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则，，则，不满足，故A错误，对于B，由，，，由归纳可得，，故B正确；对于C，由已知得，，故，则，故C正确；对于D，当时，若，则，设，则，故，故，即，当时，，当时，，故满足时，，此时，不满足，故D错误．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.抛物线C：的焦点F到直线的距离为______．【答案】【解析】易得抛物线的焦点F的坐标为，故点F到直线的距离.故答案为：.13.已知在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足，，且，则______．【答案】【解析】因为，所以由正弦定理可得，且，故，，，所以由余弦定理可得．故答案为：.14.已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为______，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为______．【答案】①.②.0【解析】因为有三个零点，且，所以有两个不相等的实数根，所以，解得，故a的取值范围为．由题得，所以，同理，，故．故答案为：，0．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．15.已知数列满足，且是以为公比的等比数列．（1）求数列中的最值；（2）求数列的前项和．解：（1）因为，，所以数列是以为首项、为公比的等比数列．故，即，易得数列单调递减，故数列有最大值，无最小值．（2）易得，，则，两式相减得，则．16.如图，在四棱锥中，平面平面PAD，底面ABCD与侧面PAD均为边长为2的正多边形，点E是线段PA的中点．（1）求三棱锥的体积；（2）求直线PA与平面BCE所成角的正弦值．解：（1）因为侧面PAD为正三角形，取AD的中点F，连接PF，则，因为平面平面PAD，平面平面，平面PAD，故平面ABCD，由于E是线段PA的中点，故．（2）以F为坐标原点，，，的正方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，，设平面BCE的法向量为，则，令，则，，故平面BCE的一个法向量为，设直线PA与平面BCE所成的角为，则，故直线PA与平面BCE所成角正弦值为．17.已知曲线，，点是上一点．（1）证明：点到直线的距离与之比是定值，并求出该定值；（2）过点作直线与C交于另一点，若直线与的斜率之和为0，求的值．（1）证明：如图，设点，点到直线的距离为，则，则点A到直线的距离与的比值，为定值．（2）解：由斜率公式得的斜率为，的斜率为，而是C上一点，则，得到，因为直线与的斜率之和为0，所以，则，同时平方得，得到，即，而在上，则，即，同时平方得，代入得，由已知可得，解得，而在上，则，解得，又在上，则，而，解得（正值舍去）．18.已知一款游戏以抽奖形式获得某种奖品，每次抽奖分为中奖和不中奖两种结果，现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖，设是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第n次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖，设从第一次抽奖开始，第一次中奖时抽奖的次数为X．（1）当时，求X的分布列和期望；（2）当X的期望为2时，证明：．（1）解：由题意可得，，，，故分布列为X1234P．（2）证明：①当时，；②当时，，因此；③当时，，设，则，故时，随p增大而减小，而，故存在，使得；④当时，，由于，，故，因此，故．综上，．19.已知一个非空数集A，对，且，记B为A去掉x，y后的集合，若有或，则称A是一个好集合．对于一个非空数集P，对，且，记Q为P去掉x，y后的集合，若有或或，则称P是一个坏集合．（1）证明：集合不是好集合；（2）若A是好集合，证明：存在一个与A中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合P；（3）证明：不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数．证明：（1）取，，记，则，，故A不是好集合．（2）记集合，则P中元素均为正数，且与集合A中元素个数相同，下证P为坏集合，因为A为好集合，所以，且，都有或（其中B为A去掉a，b后的集合），设Q为P去掉，后的集合，此时，，，若，则；若，则与必然有一个属于Q，故P为坏集合，命题得证．（3）假设存在这样的有限集A，使得A中的元素均为正实数，元