河南省周口市2024届高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省周口市2024届高三二模数学试题第I卷（选择题）一、选择题1.已知全集，集合A满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，，可得或则，，，，故B项正确，A,C,D项均是错误的.故选：B.2.数据的第百分位数为（）A.8.5 B.8.6 C.8.7 D.8.8【答案】D【解析】因为，所以这组数据的第百分位数为从小到大排列的第、两数的平均数，即为.故选：D3.已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18【答案】C【解析】数列为等比数列，设公比为q，且，，则，则，则，则，故选：C.4.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，（）为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（）A.2018 B.2020 C.2022 D.2024【答案】B【解析】因为，所以，所以，即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为.故选：B.5.声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数,但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（）A.的一个周期为 B.的最大值为C.的图象关于点对称 D.在区间上有2个零点【答案】D【解析】对于A,因为的周期为，的周期为，所以的周期为，故A错误；对于B,因为函数的最大值为1,的最大值为，故两个函数同时取最大值时，的最大值为，此时需满足且，不能同时成立，故最大值不能同时取到，故的最大值不为，则B错误；对于C，，则，故的图象不关于点对称，C错误；对于D,因为时，，又，所以或者；或者，此时，又，所以，综上可知，在区间上有2个零点，故D正确，故选：D.6.在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5，0.6和0.7，且三人的测试结果相互独立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件，记甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件，记乙达到优秀等级为事件.由题知，，所以，.所以.故选：C.7.在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，则，，则，即，化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，又，所以三点共线，显然当直线与此圆相切时，的值最大.又,则,则.故选：C.8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在双曲线上的点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，则，而，所以，所以点到的距离为，又，所以，解得，即，从而，又因为，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，双曲线C的渐近线方程为.故选：A.二、选择题9.在复平面内，复数对应的点为A，复数对应的点为，下列说法正确的是（）A. B.C.向量对应复数是1 D.【答案】AD【解析】因为，所以，所以，，A正确；，B错误；由上可得，对应复数为，C错误；，，D正确.故选：AD10.如图，在矩形中，，点与点分别是线段与的四等分点．若把矩形卷成以为母线的圆柱的侧面，使线段与重合，则以下说法正确的是（）A.直线与异面 B.平面C.直线与平面垂直 D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】A选项：由图可知，平面，是平面内不过D的直线，所以，直线与异面，A正确；B选项：由题知，是底面圆的直径，且，所以四边形为正方形，所以，又平面，平面，所以平面，B正确；C选项：由题知，劣弧的长为1，，所以，所以长方形的对角线不垂直，所以直线与平面不垂直，C错误；D选项：同上可得为正方向，所以，由圆柱性质可知，，又，平面，所以平面，所以即为点到平面的距离，记圆的半径为，则，得，所以，D正确.故选：ABD11.已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（）A. B.为偶函数C. D.【答案】ACD【解析】令，得，即，A正确；令，得，又，所以对任意恒成立，因为，所以不恒为0，所以，即，B错误；将的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象，因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，所以，又为奇函数，所以，所以，所以4为的周期.由可得，C正确；因为，，，所以，D正确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题12.抛物线的准线方程为，则实数a的值为______.【答案】【解析】依题可知，则，故答案为：.13.在中，的对边分别为，已知，，，则边______，点在线段上，且，则______．【答案】【解析】由余弦定理得：，即，，解得：（舍）或；在中，由余弦定理得：，，在中，由正弦定理得：.故答案为：；.14.已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为______.【答案】【解析】令，则，不等式可化为：对任意的实数x恒成立，即对任意的实数x恒成立.设，则，当时，，在R上单调递增，，不合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则当时，.因对任意的实数x恒成立，故恒成立，即，则.令，则当时，，单调递增，当时，，单调递减.故，即,故的最大值为.故答案为：.四、解答题15.荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.（1）求前3局比赛甲都取胜的概率；（2）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.解：（1）因各局比赛的结果相互独立，前3局比赛甲都获胜，则前3局甲都取胜的概率为.（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，则；所以X的分布列为X0123P故X的数学期望为.16.已知函数.（1）若是函数的极值点，求a的值；（2）求函数的单调区间.解：（1）函数定义域为，，因为是函数的极值点，所以，解得或，因为，所以.此时，令得，令得，∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.所以.（2）.因为，所以，令得；令得；∴所以时，函数的增区间为,时函数的单调减区间为，单调增区间为.17.如图，在多面体DABCE中，是等边三角形，，.（1）求证：；（2）若二面角为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值.（1）证明：取BC中点O，连接AO，EO.∵是等边三角形，O为BC中点，∴，又，∴，∵，平面,∴平面，又平面AEO，∴.（2）解：连接DO，则，由，得，，又，∴，∴，又，平面,∴平面.如图，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面ACD的法向量为，则即取，则.∵是二面角的平面角，∴，又，∴，，则，∴直线DE与平面ACD所成角正弦值为.18.已知椭圆E：过点，且焦距为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.①证明：直线MN必过定点；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.（1）解：依题意有，，解得，所以椭圆的方程为.（2）①证明：设：，，，则：，联立，故，，，故，由代替m，得，当，即时，：，过点.当，即时，，：，令，，直线MN恒过点.当，经验证直线MN过点.综上，直线MN恒过点.②解：，令，，∵在上单调递减，∴，当且仅当，时取等号.故面积的最大值为.19.已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.（1）写出所有4的1增数列；（2）当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；（3）若存在100的k增数列，求k的最大值.解：（1）由题意得，且对于，使得的正整数对有1个，由于或，故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3.（2）当时，存在m的6增数列，即，且对于，使得的正整数对有6个，所以数列的各项中必有不同的项，所以且.若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以.若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，此时数列为，满足要求的正整数对分别为，符合m的6增数列，所以当时，若存在m的6增数列，m的最小值为7.（3）若数列中的每一项都相等，则，若，所以数列中存在大于1的项，若首项，将拆分成个1后k变大，所以此时k不最大值，所以.当时，若，交换，的顺序后k变为，所以此时k不是最大值，