黑龙江省齐齐哈尔市联谊校2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

黑龙江省齐齐哈尔市联谊校2024−2025学年高二下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．某同学从2个田径项目和4个球类项目中各选1个项目参加，则不同的选择方案共有（

）A．6种 B．8种 C．12种 D．16种2．一质点做直线运动，其运动的位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则时的瞬时速度为（

）A． B． C． D．3．若的展开式中二项式系数和为128，则（

）A．4 B．5 C．6 D．74．已知函数，则（

）A． B．1 C． D．25．某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记为其中有奖的瓶数，则（

）A． B． C． D．16．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（

）A． B．C． D．7．安排甲、乙、丙、丁4位老师到三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲不去学校、乙不去学校工作的分配方案数为（

）A．12 B．17 C．18 D．208．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．关于的展开式，下列说法正确的是（

）A．展开式共6项 B．各项系数之和为1C．不含常数项 D．系数最大项是10．设离散型随机变量的分布列为：012340.40.10.20.2若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（

）A． B．C． D．11．设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，且在的左、右附近，异号，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（

）A．B．的极小值为C．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为D．若过点可以作三条直线与的图象相切，则的取值范围为三、填空题12．已知随机变量服从两点分布，且，则.13．的展开式中的常数项为.（请用数字作答）14．已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为.四、解答题15．已知函数是的导函数.（1）求的值；（2）若的最小值为，求的值.16．已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，．（1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；（2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？17．已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品．（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？（2）若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？18．2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表）（2）结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）；（3）用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则.19．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）求证：.

参考答案1．【答案】B【详解】不同的选择方案共有种.故选B2．【答案】B【详解】因为，则，所以当时，.故选B.3．【答案】D【详解】根据题意，，所以.故选D.4．【答案】A【详解】求导得;，令，得，解得.故选A.5．【答案】C【详解】依题意，X的可能值为，则，因此.故选C6．【答案】A【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D；当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0，再小于0，最后大于0，排除B.故选:A.7．【答案】B【详解】第一类：甲、乙分在一组就只能去学校，则分配方案有：；第二类：甲、乙没分在一组，则有种分组方法，有甲的那组去学校，此时根据分组分配方案有：种；有甲的那组去学校，则有乙的那组只能去学校，此时根据分组分配方案只有：种；综上可得：根据分类加法原理总的分配方案共有种，故选B.8．【答案】A【分析】运用条件概率公式，结合列举法求解即可.【详解】不超过32的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11个，孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和29，29和31，共5种情况，所以，，所以．故选A.9．【答案】BCD【详解】对于A项，因为，所以展开式共7项，故A项错误；对于B项，令，得各项系数之和为，故B项正确；对于C项，展开式的通项公式为，，令，得显然取不到，则不含常数项，故C项正确；对于D项，设第项的系数最大，则，解得，则，得系数最大项为：，故D项正确，故选BCD10．【答案】AB【详解】由，解得.1，故A正确；，，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选AB.11．【答案】BCD【详解】由，得，则，因为是对称中心，结合题设中心“拐点”的定义可知，且，解得，A错误；，则，令，得；令，得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值为，B正确；令，解得或3，函数在区间上存在最小值，由图1可知，的取值范围为正确；设切点为，由，得切线的斜率为，所以切线方程为，即.因为切线经过点，所以，整理得.由题意可知关于的方程有3个不等的根，令，则.令，得；令，得或，所以在和上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，极大值为，所以的大致图象如图2所示，由图象可知当时，直线与的图象有3个交点，即当时，过可以作三条直线与图象相切，D正确.故选BCD.12．【答案】【详解】易知，解之得或（舍去）.13．【答案】10【详解】展开式的通项，为了得到常数项，与相乘的项需满足，即，与1相乘的项需满足，即，因此常数项为.14．【答案】【详解】令，因为，所以，即在上单调递增，又，所以，因此不等式等价于，所以，解得，即不等式的解集为.15．【答案】（1）（2）【详解】（1）由可得.所以.（2）法一：求导得，令，则，所以单调递增，且，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处取极小值，也是最小值，即，解得.法二：因为，且定义域为，所以是偶函数，当时，，令，则，所以在单调递增，所以，所以所以在单调递增，根据是偶函数，所以在单调递减，所以在处取最小值，故，解得.16．【答案】（1）（2）【详解】（1）记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，则．故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是．（2）记事件B为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，，，，，，，，．故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为．17．【答案】（1）720（2）26【详解】（1）第1次测试的是正品，从件正品中选件，有种选择.第2次测试找到第一件次品，因为有件次品，所以第2次测试的次品有种选择.第3次到第5次测试的是正品，从剩下的件正品中选件进行排列，有种选择.第6次测试找到第二件次品，此时只剩下件次品，所以只有种选择.根据排列组合的乘法原理，总的测试情况数为种.（2）测试次就找到所有次品的情况:第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到另一件次品，有种选择，所以这种情况共有种测试情况.

测试次找到所有次品的情况:第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况.第1次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第2次测试找到一件次品，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况.

根据加法原理，至多测试次就能找到所有次品的测试情况数为种.18．【答案】（1）（2）18人（3）分布列见解析，1【详解】（1）由题意得；（2）由（1）得，则，所以，故估计得分超过95.8分的居民约有18人.（3）用频率估计概率，从该小区任选1名居民，该居民得分超过80分的概率为.所以该小区任选2名居民互不影响，该问题可看作二项分布.故得分超过80分的居民人数可能的取值为，且，所以，所以，所以的分布列为012.19．【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【详解】（1）当时，，，