湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试卷（含解析）

湖北省武汉市重点中学5G联合体2024−2025学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知某质点位移与时间满足函数，则质点在时的瞬时速度为（

）A．2 B．2.5 C．4 D．4.52．数列满足（），且，，则（

）A． B．9 C． D．73．参加实践活动的2名教师和A，B，C，D，4名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端且不相邻，且A、B相邻的方法有（

）种A．20 B．12 C．36 D．244．已知，则（

）A． B．C． D．5．已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为，出现B性状的概率为，A、B两种遗传性状都不出现的概率为.则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为（

）A． B． C． D．6．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（

）A．8 B．10 C．9 D．67．在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为（

）A．36 B．72 C．144 D．1088．已知是函数的导函数，且对任意实数x都有，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．10．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（

）A． B．C． D．三、单选题11．对于，，…，的全部排列，定义Euler数（其中，，1，…，n）表示其中恰有次升高的排列的个数（注：次升高是指在排列中有k处，，…，）.例如：1，2，3的排列共有：123，132，213，231，312，321六个，恰有1处升高的排列有如下四个：132，213，231，312，因此：.则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．四、填空题12．的展开式中含项的系数为.13．某学校有A，B两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6.则张同学第二天去B餐厅用餐的概率为.14．对任意，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是.五、解答题15．已知函数，其中.（1）若在点处的切线与直线垂直，求a的值；（2）当时，求函数在区间上的最值.16．已知，且.（1）求的值；（2）若时，求被4整除的余数.17．已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前n项和.18．已知函数，，是自然对数的底数.（1）当时，求函数的极值；（2）若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围；（3）当时，若，（其中）满足，求证：.19．已知函数.（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若不等式对任意都成立（其中是自然对数的底数），求实数a的取值范围.

参考答案1．【答案】C【详解】函数，求导得，所以质点在时的瞬时速度为.故选C2．【答案】B【详解】因为，所以等差数列，设公差为，所以，即得，所以，所以，则.故选B.3．【答案】D【详解】首先将、捆绑作为一组，与、排列，则有种排法，再将名教师插入中间的个空中，则有种排法，综上可得一共有种排法.故选D4．【答案】A【详解】由有，所以，所以，故选A.5．【答案】D【详解】设该家族某位成员出现A性状为事件，出现B性状为事件，则有，所以，又,所以，所以，故选D.6．【答案】A【详解】由可知等比数列的公比不为1，故，，又，所以，故，则，故选A7．【答案】C【详解】对于甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，有两种情况：第一种：甲、乙、丙三名老师所选的学校都不相同，剩下两位老师安排在3所学校中的2所，有种方法；第二种：甲、乙、丙三名老师有两位老师在同一个学校，先选两位老师捆绑一起与第三位老师在三所学校中选两所有种，再将剩下的两位老师选一位去还没有安排的学校，最后一位老师在3所学校任选有种，由分步乘法计数原理，共有种方法，综上共有：种方法.故选C.8．【答案】B【详解】因为，所以，即，所以可设，即，又，所以，故，所以不等式可化为，故，所以，所以不等式的解集为.故选B.9．【答案】BCD【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选BCD.10．【答案】BCD【详解】对于A：操作一次后甲袋中有1个红球，则有两种情况，第一种相互交换了1个红球，第二种情况都只是交换了1个白球，所以，故A错误；对于B：操作两次后甲袋中有0个红球，则第一种情况：第一次操作甲袋中1个红球换乙袋中的1个白球，第二次操作甲袋的一个白球换乙袋中的1个白球，第二种情况，第一次操作甲袋中1个红球换乙袋中的1个红球，第二次操作甲袋的红球换乙袋中的1个白球，第三种情况：第一次操作甲袋中1个白球换乙袋中的一个白球，第二次操作甲袋中的红球换乙袋中一个白球，所以，故B正确；对于C：表示第一次操作甲袋中有0个红球，则，表示操作3次后甲袋有两个红球，所以后面两次操作乙袋中的红球要交换到甲袋，则，故C正确；对于D：，表示第一次甲袋1个红球交换乙袋中的1个白球，第二次甲袋中1个白球交换乙袋中1个红球，则，所以，故D正确，故选BCD.11．【答案】AC【详解】选项A，将、、、全部排列，恰有1次升高的排列为，1排首位时，共有1432，共1个排列符合恰有1次升高；2排首位时，共有2431，2143，共2个排列符合恰有1次升高；3排首位时，共有3142，3214，3241，3421共4个排列符合恰有1次升高；4排首位时，共有4132，4213，4231，4312共4个排列符合恰有1次升高；故，故正确；选项，将、、、全部排列，恰有2次升高，排列个数可以如下考虑：1排首位时，共有1324，1423，1342，1243共4个排列符合恰有2次升高；2排首位时，共有2134，2341，2314，2413共4个排列符合恰有2次升高；3排首位时，共有3124，3412共2个排列符合恰有2次升高；4排首位时，共有4123共1个排列符合恰有2次升高；故，故B错误；选项C，举例当，，，当由选项、知，，该对称性普遍成立，故.故C正确；选项D，不妨取，则，而，，则，即，故，故D错误；故选.12．【答案】【详解】的展开式的通项为，由得，则含的项为，系数为13．【答案】【详解】令事件表示第天去餐厅，事件表示第天去餐厅，，则，，由全概率公式有，所以.14．【答案】【详解】由不等式，可得，即，令，则，其中又由恒成立，则在单调递增，所以，即，即，所以，令，可得，所以在为单调递增函数，所以，即，所以，又因为，所以，所以实数的取值范围是.15．【答案】（1）（2），【详解】（1）的定义域为，，∴，由题意知，∴.（2）当时，∴，又，当时，，当时，，∴在单调递减，在单调递增，∴，又，，∴，∴，∴.16．【答案】（1）（2）3【详解】（1）∵，∴，∴又∵，∴，∴.两边同时求导数∴，令，∴.（2）时，，∴被4整除的余数为3.17．【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）∵，∴，∴，∴，又，∴，∴是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，则，，∴，∴，∴.18．【答案】（1）极大值，无极小值（2）（3）证明见解析【详解】（1）时，的定义域为，，在单调递增，在单调递减，极大值，无极小值.（2）有两个不等实根，∴有两个不等实根，即（），设，∴，在单调递增，单调递减，，当时，，，∴.（3）当时，，在单调递增，在单调递减，又且，∴要证，即证，即证，即证，设（），，∴在单调递增