辽宁省大连市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

辽宁省大连市2023−2024学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．集合，集合，则（

）A．B． C． D．2．命题“”的否定为（

）A． B．C． D．3．已知随机变量，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．94．记为等比数列的前项和，若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．85．已知函数，且，则（

）A．4 B．5 C．4 D．36．设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（

）A． B．C． D．不能确定7．小明每天从骑自行车、坐公交车两种方式中选择一种去上学.已知他选择骑自行车的概率为0.6，在他骑自行车的条件下，7:20之前到达学校的概率为0.95.若小明7:20之前到达学校的概率为0.93，则在他坐公交车的条件下，7:20之前到达学校的概率为（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.68．已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．在下列函数中，最小值是2的是（

）A． B．C． D．10．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（

）A． B．C．当时， D．当时，11．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若为奇函数，且，则下列说法中一定正确的是（

）A．4是的一个周期B．函数的图象关于对称C．D．三、填空题（本大题共3小题）12．若函数，则.13．已知随机变量服从正态分布，若，则.14．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．设函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求的值：(2)求函数的极值.16．盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球.(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)记取出的3个小球上的最大数字为，求的分布列及数学期望.17．已知正项数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若的前项和为，求.18．现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.(1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；(2)有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如下：1234523294574423经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程，并顶测第7轮成功的人数（精确到1）；(3)证明：（其中且）.附：回归方程系数：；参考数据：设，.19．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”.如数列1，2第1次“差扩充”后得到数列1，1，2，第2次“差扩充”后得到的数列.设数列经过第次“差扩充"后所得数列的项数为，所有项的和为.(1)若，求；(2)设满足的的最小值为，求出的值并求出关于的表达式（其中x是指不超过的最大整数，如）；(3)若，设，在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】D【分析】利用交集的定义即可求解.【详解】因为，，所以.故选D.2．【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题.【详解】命题“”为全称命题，其否定为：.故选A.3．【答案】D【分析】直接由二项分布的方差公式以及方差的性质即可求解.【详解】因为随机变量，且，则.故选D.4．【答案】C【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，由，即，解得，所以. 故选C.5．【答案】B【分析】令，则，即可判断为奇函数，根据奇偶性计算可得.【详解】因为，令定义域为，且，所以为奇函数，又因为，，所以，则，所以.故选B.6．【答案】B【分析】根据题意可得，利用作差法比较大小.【详解】由题意可知：，则，因为，则，可得，即.故选B.7．【答案】A【分析】根据已知条件及全概率公式即可求解.【详解】设“小明骑自行车去上学”为事件,“小明坐公交车去上学”为事件,“小明7:20之前到达学校”为事件，则,由全概率公式可得,即，解得，所以在他坐公交车的条件下，7:20之前到达学校的概率为.故选A.8．【答案】B【分析】依题意，恒成立，参变分离可得，恒成立，结合函数的单调性求出的最大值，即可得解.【详解】依题意，恒成立，即，恒成立，所以，恒成立，又在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，所以当时，所以，即的取值范围是.故选B.【思路导引】本题关键是根据数列的单调性得到，恒成立，再参变分离得到，恒成立.9．【答案】BCD【分析】利用基本不等式、单调性和二次函数的性质即可求解.【详解】对于选项A，的定义域为，当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时的最小值为，但当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为，故A错误；对于选项B，的定义域为，由，得，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故B正确；对于选项C，由在上单调递增，得在上单调递减，当时，取得最小值为，故C正确；对于选项D，，由二次函数的性质知的对称轴为，开口向上，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值为，故D正确.故选BCD.10．【答案】BC【分析】对于A项，由等差数列求和公式结合已知即可验算；对于B项，由等差数列求和公式结合即可验算；对于C、D项，由等差数列性质即可验算.【详解】对于A项，因为，所以，故A错误；对于B项，，故B正确；对于C项，当时，，故C正确；对于D项，当时，，即，故D错误.故选BC.11．【答案】ACD【分析】利用抽象函数及导数的运算判断函数的图象关于点2,0对称，所以B错误；的图象关于对称，所以是周期函数，4是一个周期，判断A正确；因为，所以，判断C正确；因为，所以分类讨论为奇数时，，为偶数时，即可求出，判断D正确；【详解】因为为奇函数，所以，所以的图象关于中心对称，两边求导得：，所以的图象关于对称，因为，所以；所以，又，所以，所以函数的图象关于点2,0对称，所以B错误；的图象关于对称，所以，即，又，所以，即，所以，所以是周期函数，且4是一个周期，又因为，所以是周期函数，且4是一个周期，所以A正确；为奇函数，所以过，所以，令代入，可得，所以，所以C正确；因为，所以为奇数时，，为偶数时，，所以，所以D正确；故选ACD.【思路导引】1.若，则关于对称，两边同时求导得：，则f'x关于中心对称；2.若，则关于中心对称，两边同时求导得：，则f'x关于对称；3.若，则为周期函数且周期为.12．【答案】.【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的加法法则即可求解.【详解】因为，所以.故答案为：.13．【答案】.【分析】利用正态曲线的特点即可求解.【详解】由题意可知，正态曲线关于直线对称，又因为，所以，解得.故答案为：.14．【答案】.【分析】首先求得，，而原不等式等价于，可以利用不等式放缩即可求解.【详解】，因为图象的对称中心点为，所以，所以，由，所以，原不等式为，因为x∈1,+∞，所以设，则，当时，，当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，所以其最小值为，所以.故答案为：.【思路导引】关键是得到恒成立，结合切线放缩不等式即可顺利得解.15．【答案】(1)；(2)极大值为，极小值为.【分析】（1）利用切点既在曲线上又在切线上及导数的几何意义即可求解；（2）根据（1）的结论，求出函数，利用导数法求函数的极值的步骤即可求解.【详解】（1）因为，所以，，因为切线过点，所以,由导数的几何意义可知，斜率,所以.（2）由（1）知，，可得，所以，令，则，解得或，当或时，f'x>0当时，f'x所以在和上单调递增，在−2,3上单调递减，从而可知是函数的极大值点，极大值为，是函数的极小值点，极小值为.所以函数的极大值为，极小值为.16．【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【分析】（1）利用组合数及古典概型的概率计算公式即可求解；（2）根据已知条件，求出随机变量的可能取值，然后利用组合数及古典概型的概率计算公式求出不同取值的概率，进而得出分布列，再利用随机变量的期望公式即可求解.【详解】（1）记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件，所以.（2）由题意可知，的可取值为,所以，，，所以的分布列为：123所以.17．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据求出和的关系，据此即可求解；（2）设bn的前项中奇数项的和为，偶数项的和为，求出和即可求解.【详解】（1）因为①，时，②，①-②整理得，因为数列an是正项数列，所以，当时，因为，所以，所以数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，所以；（2）由题意知，设bn的前项中奇数项的和为，偶数项的和为，则，，所以.18．【答案】(1)分布列见解析，；(2)，8；(3)证明见解析.【分析】（1）写出的可能取值，求出各取值的概率，写出分布列即可求出数学期望；（2）令，则，根据线性回归方程公式求出方程即可顶测第7轮成功的人数；（3）求出在前轮内（包括第轮）成功的概率，求出前轮内（包括第轮）均没有成功的概率，据此即可求解.【详解】（1）由题知，的取值可能为，所以，，，所以的分布列为：123所以数学期望为；（2）令，则，由题知：，所以，所以，所以所求的回归方程为：，所以估计时，；（3）由题知，当且时，在前轮内（包括第轮）成功的概率为，在前轮内（包括第轮）均没有成功的概率为，所以.19．【答案】(1)9，19；(2)，；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）根据“差扩充”的定义可写出数列两次扩充后的结果，即得答案.（2）根据数列扩充后增加的项数可推出，构造等比数列求出，由即可求出的值，可得，方法一，可写出三次扩充的结果求得答案；方法二，根据扩充规律可得到是以为首项，为公差的等差数列，求出的表达式，可得答案；（3）结合（2）可得，从而推出，假设在数列中存在不同的三项成等比数列，利用等比数列性质推出矛盾，即可得结论.【详解】（1）数列，经第1次“差扩充”后得到数列为，数列6，5，4，经第2次“差扩充”后得到数列为，所以，；（2）数列经每1次“差扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第次“差扩充”后的项数为，则经第次“差扩充”后增加的项数为，所以，所以，由（1）得是首项为4，公比为2的等比数列，所以，所以，由，即，解得，即，所以，求法一：数列经过第1次“差扩充”后得到数列，经过第2次“差扩充”后得到数列，经过第3次“差扩充”后得到数列，，即；求法二：数