（期末复习讲义）常考知识点典例精讲（九大专题24类典型例题）-2024-2025学年四年级下册数学期末备考总复习（教师版）（人教版）

第第页2024-2025学年四年级下册数学期末备考总复习常考知识点典例精讲（九大专题24类典型题）目录TOC\o"1-3"\h\u专题一四则运算 3【考点一】加减法的意义和各部分间的关系 3【考点二】乘除法的意义和各部分间的关系 4【考点三】括号及最佳方案 6专题二观察物体（二） 8【考点一】观察物体 8专题三运算律 11【考点一】加法运算定律 11【考点二】乘法运算定律 12专题四小数的意义和性质 14【考点一】小数的意义 14【考点二】小数的读法和写法 15【考点三】小数的性质和比较大小 16【考点四】小数点移动的规律 17【考点五】小数与单位换算 18【考点六】小数的近似数 20专题五三角形 21【考点一】三角形的特性 21【考点二】三角形的分类 23【考点三】三角形的内角和 24专题六小数的加法和减法 25【考点一】小数加、减法 25【考点二】小数加减混合运算 26【考点三】加法运算律推广到小数 27专题七图形的运动（二） 28【考点一】轴对称 28【考点二】平移 31专题八平均数与条形统计图 34【考点一】平均数 34【考点二】条形统计图 35专题九数学广角—鸡兔同笼 39【考点一】列表法解决鸡兔同笼问题 39【考点二】假设法解决鸡兔同笼问题 42专题一四则运算【考点一】加减法的意义和各部分间的关系【典例一】淘气比笑笑高8cm，下列等量关系式中错误的是（

）。A．淘气身高＋8cm＝笑笑身高 B．淘气身高－笑笑身高＝8cmC．淘气身高－8cm＝笑笑身高 D．笑笑身高＋8cm＝淘气身高【分析】根据“淘气比笑笑高8cm”可知，笑笑身高＋8cm＝淘气身高；据此解题即可。【解答】A．淘气身高＋8cm＝笑笑身高，不符合题意；B．淘气身高－笑笑身高＝8cm，符合题意；C．淘气身高－8cm＝笑笑身高，符合题意；D．笑笑身高＋8cm＝淘气身高，符合题意。故答案为：A【点评】熟练掌握加减法各部分之间的关系，是解答自己的关键。【典例二】某博物馆一天的客容量是1900人，每位参观者需要先进行网上预约，下面是三个平台的预约情况。还剩()个预约名额。平台微信支付宝官方APP预约人数（人）637789363【分析】剩下的人数等于总人数减去已经预约的人数，用1900－637－789－363即为所求。【解答】1900－637－789－363＝1263－789－363＝474－363＝111（人）某博物馆一天的客容量是1900人，每位参观者需要先进行网上预约，下面是三个平台的预约情况。还剩111个预约名额。【典例三】某商场举办迎“五一”活动，所有冰箱每台优惠680元，单价满4000元再减320元。李阿姨买这款冰箱只需付多少元？【分析】先用5599减680，求出优惠后的价钱；再用优惠后的价钱和4000元比较，如果小于4000元优惠后的价钱就是买这款冰箱需付的钱数；如果大于4000元就再减320元，即可得到买这款冰箱需付的钱数。【解答】5599－680＝4919（元）4919＞40004919－320＝4599（元）答：李阿姨买这款冰箱只需付4599元。【点评】本题考查了简单的经济问题。【考点二】乘除法的意义和各部分间的关系【典例一】小明在计算一道有余数的除法时，某数除以25的商是10，被除数最大是（

）。A．259 B．274 C．260【分析】在有余数的除法中，余数始终比除数小且被除数＝商×除数＋余数。由题意得，某数除以25的商是10，除数是25，那么余数最大是24。然后根据被除数＝商×除数＋余数求解出结果即可。【解答】25－1＝2410×25＋24＝250＋24＝274，即被除数最大是274。故答案为：B【典例二】星期天李叔叔一行人沿郑开大道骑行，他们一共骑行了多少千米？①第一段骑行32千米②第二段骑行22千米③他们骑行的平均速度为18千米/小时④他们一共骑行3小时(1)要解决“他们一共骑行了多少千米？”这个问题，我选择的信息是()和()（填序号），列式计算为()。(2)请根据你列出的算式各部分间的关系写出另外两个算式分别是()和()。【分析】（1）要求“他们一共骑行了多少千米？”，要知道他们一共骑行的总时间以及他们的骑行速度，也就是选③和④，再根据速度×时间＝路程，列出算式即可。（2）根据速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，列出另外两个算式即可。【解答】（1）由分析可知，要解决“他们一共骑行了多少千米？”这个问题，我选择的信息是③和④，列式计算为3×18＝54（千米）。（答案不唯一）（2）由分析可知，请根据（1）列出的算式各部分间的关系写出另外两个算式分别是54÷3＝18（千米/小时）和54÷18＝3（小时）。（答案不唯一）【典例三】妈妈想将手机相册的照片整理成册。淘宝商家说每本相册有32页，每页可以放4张照片。妈妈有600张照片，5本这样的相册够吗？（1）妈妈是这样想的：32×4×5＝640（张），640＞600答：够了其中32×4表示先求（

）。（2）你还有其他方法吗？请试着写一写。【分析】（1）32×4中32表示每本相册的页数，4表示每页可以放照片的张数，两个量的积是指一本相册能放相片的张数；（2）先用妈妈有的照片数除以5，求出每本相册平均放几张照片，用淘宝商家说的相册页数乘每页可以放照片的数量，即可求出淘宝上购买相册每本可以放相片的张数，再比较即可。【解答】（1）妈妈是这样想的：32×4×5＝640（张），640＞600答：够了其中32×4表示先求一本相册可以放几张照片。（2）600÷5＝120（张）32×4＝128（张）128＞120答：5本这样的相册够。（方法不唯一）【考点三】括号及最佳方案【典例一】下面的算式，去掉“[

]”后，不影响计算结果的是（

）。A．300÷[（60－45）＋5] B．300÷[30－（63－58）]C．76×[（231－176）÷5] D．45×[32＋（92－75）]【分析】分别计算去掉“[

]”后和“[

]”前算式的得数是否相等，找出得数相等一项即可。【解答】A．，计算结果不同，所以去掉“[

]”后，影响计算结果。B．，计算结果不同，所以去掉“[

]”后，影响计算结果。C．，计算结果相同，所以去掉“[

]”后，不影响计算结果。D．，计算结果不同，所以去掉“[

]”后，影响计算结果。故答案为：C【典例二】一位司机从2004年7月至今，总共违反交通规则110次，累计罚款8750元。你能根据这些情况填出括号里的数吗？不遵守交通信号85次每次罚款100元违反禁停规定25次每次罚款()元【分析】根据题意，不遵守交通信号，一次罚款100元，一共有85次不遵守交通信号，即先算出不遵守交通信号总共罚款的钱。再用8750减去不遵守交通信号的罚款数，就是违反禁停规定的罚款。已知违反禁停规定有25次，即用算出来的违反禁停规定的罚款除以25次，即可算出每次违反禁停规定要罚款多少钱。【解答】（8750－100×85）÷25＝（8750－8500）÷25＝250÷25＝10（元）因此，每违反禁停规定一次，就罚款10元。【典例三】动物园推出的门票购买方式有如下两种：单独购票：成人每人40元，儿童每人20元：团体购票：10人以上（包括10人），每人30元。星期天，3位老师带着7位二年级小学生去动物园玩，用哪种方式购票合算？要用多少钱？【分析】根据已知数据，分别用乘法和加法求出师生单独购票所需要的费用，列式为：40×3＋7×20；师生用团体购票需要的费用，列式为：（3＋7）×30；再比较一下哪种费用低，哪种方式购买门票更合算。列式计算即可。【解答】根据分析计算如下：40×3＋7×20＝120＋140＝260（元）（3＋7）×30＝10×30＝300（元）260＜300答：师生单独购票方式购票合算，要用260元。专题二观察物体（二）【考点一】观察物体【典例一】用6个小正方体搭成的物体，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，这物体可能是（

）。A． B． C．【分析】根据对三视图的认识，分别分析出每个选项中的物体从前面、左面看到的图形，然后再进行选择即可。这个物体从前面看到的图形是2层，第1层为3个小正方形，第2层为1个小正方形，左对齐。从左面看到的图形是2层，第1层为2个小正方形，第2层为1个小正方形，右对齐。【解答】A．该物体从前面看是，从左边看是，所以不符合题目所说的物体。B．该物体从前面看是，从左边看是，符合题目所说的物体。C．该物体从前面看是，从左边看是，所以不符合题目所说的物体。故答案为：B【典例二】下图中，从上面看到的是()。从右面看到的形状相同的有()。从前面看到的形状相同的有()。【分析】此题考查三视图：①从上面可以看到一层3个小正方形，从右面可以看到两层每层各1个小正方形对齐，从前面可以看到两层共4个小正方形，第一层3个，第二层1个与第一层中间的小正方形对齐；②从上面可以看到两层共4个小正方形，每层2个，第二层的右侧小正方形与第一层左侧小正方形对齐，从右面可以看到一层2个小正方形，从前面可以看到一层3个小正方形；③从上面可以看到两层共4个小正方形，第一层3个，第二层1个与第一层左侧的小正方形对齐，从右面可以看到一层2个小正方形，从前面可以看到一层3个小正方形；④从上面可以看到两层共4个小正方形，第二层3个，第一层1个与第二层中间对齐，从右面可以看到一层2个小正方形，从前面可以看到一层3个小正方形；⑤从上面可以看到三层共4个小正方形，第一层和第三层各1个，第二层2个，三层小正方形右侧对齐，从右面可以看到一层3个小正方形，从前面可以看到一层2个小正方形；⑥从上面可以看到一层2个小正方形，从右面可以看到两层每层各1个小正方形对齐，从前面可以看到两层共3个小正方形，第一层2个，第二层1个与第一层左侧的小正方形对齐；据此画出三视图然后解答此题。【解答】①从上面看：从右面看：从前面看：；②从上面看：从右面看：从前面看：；③从上面看：从右面看：从前面看：；④从上面看：从右面看：从前面看：；⑤从上面看：从右面看：从前面看：；⑥从上面看：从右面看：从前面看：。由此可知，从上面看到的是②。从右面看到的形状相同的有①⑥或者②③④；从前面看到的形状相同的有②③④。【典例三】下面的物体分别从前面、上面、左面看到的形状是什么？请你在方格纸上画出来。【分析】观察图形可知，从前面看到两行，下面一行是3个正方形，上面一行是2个正方形，靠左对齐；从左面看到两行，下面一行是2个正方形，上面一行是1个正方形，靠左对齐；从上面看到两行，上面一行3个正方形，下面一行2个正方形，靠左对齐，据此画图即可。【解答】根据分析画图如下：【典例四】看一看，写一写，画一画。（1）观察如图的几何体，从前面和左面看到的图形（

）。（填“相同”或“不相同”）（2）如果从这个几何体中拿掉一个，从上面看到的图形会是什么样子？圈出去掉的，并把从上面看到的图形画在方格纸中。【分析】（1）观察如图的几何体，从前面看到的图形为，从左面看到的图形为；（2）如果从这个几何体中拿掉一个，可以拿掉左边第一列最上面的小正方体，然后从上面看到的图形是分两层，上层3个正方形，下层1个正方形，右齐；本题答案不唯一。【解答】（1）观察如图的几何体，从前面和左面看到的图形不相同。（2）如果从这个几何体中拿掉一个，从上面看到的图形是。如图：（答案不唯一）专题三运算律【考点一】加法运算定律【典例一】864-197的简便算法是（）．A．864-（200+3） B．864-200-3 C．864-200+3【分析】可用凑整法，先把197看成200，这样就多减了3，再从算式的后面加上3，也可用去括号的方法去想，即a-(b-c)=a-b-c【解答】864-197=864-(200-3)=864-200+3故答案为：C【点评】本题考察了整数的简便计算，合理的拆数和凑数会让计算变简单。【典例二】摘苹果。①x＋y＝y＋x②c＋d＝d＋c③a＋b＋c＝a＋（b＋c）④64＋7＝7＋64⑤27＋44＋56＝27＋（44＋56）⑥28＋13＝13＋28应用加法交换律：（）应用加法结合律：（）【答案】①②④⑥③⑤【典例三】有一群正在迁徙的白天鹅，它们上午飞行了203km，下午飞行了186km。这群白天鹅一天一共飞行了多少千米？【分析】要求白天鹅一天一共飞行了多少千米，就是求上午和下午一共飞行的路程，用加法计算。【解答】203+186＝389（km）或186+203＝389（km）。所以这群白天鹅一天一共飞行了389千米。由以上可得：两个数相加，交换加数的位置，和不变。这叫做加法交换律。【考点二】乘法运算定律【典例一】李叔叔要买18台微波炉作为公司奖品，一共需要多少钱？红红列的算式是：305×18，她想用乘法分配律计算，下列算法中正确的是（）。￥305.00元/台A．300×10＋5×8 B．305×10＋8 C．305×9＋305×2 D．300×18＋5×18【分析】乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，据此即可解答。【解答】305×18＝（300＋5）×18＝300×18＋5×18305×18＝305×（9＋9）＝305×9＋305×9305×18＝305×（10＋8）＝305×10＋305×8故答案为：D。【点评】熟练掌握整数乘法分配律计算方法是解答本题的关键。【典例二】计算下列各题。【分析】此题先算减法，再算乘法；此题先算加法，再算除法，最后算乘法；此题可运用乘法分配律的特点进行简便计算。【解答】＝665×10＝6650＝256×［70÷5］＝256×14＝3584＝79×（28＋72）＝79×100＝7900【典例三】为了解决灾区人民的生活质量，市里决定往灾区运送15000袋大米，这些大米需要25辆同样的卡车分4次才能全部运完。一辆卡车一次可以运送多少袋大米？【分析】用15000÷4，先得出25辆卡车一次运多少袋大米，再除以25就是一辆卡车一次运多少袋大米。【解答】15000÷4÷25＝15000÷（4×25）＝15000÷100＝150（袋）答：一辆卡车一次可以运送150袋大米。【点评】也可用15000÷25，得出一辆卡车4次运多少袋大米，再除以4就是一辆卡车一次运几袋大米。专题四小数的意义和性质【考点一】小数的意义【典例一】关于0.45的组成，下面的说法错误的是（

）。A．0.45是由0.4和0.05组成的B．0.45是由45个十分之一组成的C．0.45是由45个百分之一组成的D．0.45是由4个0.1和5个0.01组成的【分析】数字在什么数位上和这个数位的计数单位是什么，它就表示有几个这样的计数单位。据此选择。【解答】A．0.45是由0.4和0.05组成的，说法正确；B．0.45是由45个百分之一组成的，说法错误；C．0.45是由45个百分之一组成的，说法正确；C．0.45是由4个0.1和5个0.01组成的，说法正确。故答案为：B【点评】本题主要考查小数的认识，解答本题关键是明确每个数位上的数字表示的意义。【典例二】用8、5、0和小数点组成一个两位小数，使这个小数的个位上的数字比百分位上的大。这个小数可能是多少？（每个数字只使用一次）【答案】可能是5.80、8.05或8.50因为数字不重复使用，所以用8、5、0和小数点组成的两位小数有0.58、0.85、5.80、5.08、8.05、8.50，其中满足个位上的数字比百分位上的大的有5.80、8.05、8.50，所以这个小数可能是5.80、8.05或8.50。【典例三】8.23是由()个一，()个十分之一和()个百分之一组成的。【分析】根据小数的数位分析可知，小数8.23，8在个位，表示8个一；2在十分位，表示2个十分之一；3在百分位，表示3个百分之一，据此解决。【解答】8.23是由8个一，2个十分之一和3个百分之一组成的。【点评】本题考查小数的意义，关键要注意看清小数的数位和这个数位的计数单位。【考点二】小数的读法和写法【典例一】马小虎在读一个小数时，把小数点漏掉了，读成了三十四万零五。原来的小数要读两个零，原来的小数是（

）。A．340.005 B．3400.05 C．34.005 D．340005【分析】先把读错的数写出来，再根据题目要求看小数的小数点应该在什么位置时读两个零，即可解决。【解答】根据整数的写法，三十四万零五写作：340005；由小数读法可知，小数点后依次读出每个数字，所以原来的小数要读两个“零”是340.005。选项A符合题意。故答案为：A【点评】本题考查学生对小数读法的掌握。解决本题的关键是先写出读错的数字，再根据小数读法确定小数点的位置。【典例二】用3、0、8、5这几个数字和小数点“.”写出下面各数，每个数字都要用上并且只能用一次：（1）小于1且小数部分是三位的小数；（2）大于8且小数部分是三位的小数（3）0不读出来且小数部分是两位的小数。【分析】（1）小于1且小数部分是三位的小数，只要0放在个位，其它三位数放在小数的十分位，百分位，千分位即可；（2）大于8且小数部分是三位的小数，个位上放8，把3、0、5放在小数位排列即可；（3）0不读出来且小数部分是两位的小数，只要把0放在个位上，8、3、5放在十位和小数的十分位和百分位排列即可。【解答】（1）小于1且小数部分是三位的小数：0.385，0.358，0.853，0.835，0.538，0.583；（2）大于8且小数部分是三位的小数：8.053，8.035，8.350，8.305，8.530，8.503；（3）0不读出来且小数部分是两位的小数：30.85，30.58，50.83，50.38，80.53，80.35【点评】本题考查小数的读写法，特别是0的读法。【典例三】连一连。（把相同的数用线连起来）二十点零二

零点二零八

60.5

6.05六十点五

0.208

六点零五

20.02【分析】读小数时先读整数部分，按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每个数字，有几个0就要读几个零。写小数时，按从左往右的顺序写，小数的整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位的右下角，用实心小圆点表示，小数部分按照读法顺序依次写出每个数位上的数字，不能遗漏。【解答】【点评】本题考查小数的读法和写法，注意“0”的读法。【考点三】小数的性质和比较大小【典例一】下面各小数中，去掉所有的“0”而大小不变的是（

）。A．0.5800 B．17.300 C．100.00【分析】根据小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”小数的大小不变，逐项分析解答。【解答】A．去掉所有的“0”为58，大小发生变化；B．去掉所有的“0”为17.3，大小不变；C．去掉所有的“0”为1，大小发生变化。上面各小数中，去掉所有的“0”而大小不变的是17.300。故答案为：B【点评】此题考查了小数的性质，应注意基础知识的理解。【典例二】（1）添上两个小数点，使下面的三个数相等。

4320＝432＝43200（2）添上三个小数点，使下面的三个数相等。

4320＝432＝43200【分析】小数的性质是指在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变；据此解答即可。【解答】（1）添上两个小数点，使下面的三个数相等。

432.0＝432＝432.00（2）添上三个小数点，使下面的三个数相等。

43.20＝43.2＝43.200或4.320＝4.32＝4.3200故答案为：（1）432.0＝432＝432.00（2）43.20＝43.2＝43.200或4.320＝4.32＝4.3200【点评】熟练掌握小数的性质，灵活运用性质解决问题。【典例三】一个数由两个8、三个0和小数点组成，而且去掉两个0后小数的大小不变。请你写出符合条件的所有小数。【分析】根据小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”小数的大小不变；据此解答。【解答】可以去掉两个0且不改变大小的小数，只要把2个0写在这个小数的末尾：880.00，808.00，8.0800，80.800，8.8000，0.8800，88.000。【点评】明确：只有在小数的末尾添上“0”或去掉“0”小数的大小才不变。【考点四】小数点移动的规律【典例一】把一个小数的小数点先向右移动三位，再向左移动两位，这个小数（

）。A．大小不变 B．扩大10倍 C．缩小到原数的【分析】小数点位置移动：一个数的小数点向右移动一位、两位、三位、……，相当于把原数乘10、100、1000、……，这个数就扩大到原数的10倍、100倍、1000倍；一个数的小数点向左移动一位、两位、三位、……，相当于把原数除以10、100、1000、……，这个数就缩小到原数的、、、……；依此选择。【解答】把一个小数的小数点先向右移动三位，再向左移动两位，相当于把这个小数的小数点向右移动了一位，因此这个小数扩大到原数的10倍。故答案为：B【点评】熟练掌握小数点位置的移动方法是解答此题的关键。【典例二】100张相同的纸摞起来厚9.2厘米，某小学有1000人，如果每人节约1张纸，那么节约的纸摞起来厚多少厘米？【分析】100张纸摞起来厚9.2厘米，用9.2÷100，可以求出每张纸的厚度；每人节约1张纸，那么一共节约了1000张纸，用每张纸的厚度乘纸的张数，即可算出节约的纸摞起来厚多少厘米。据此解答。【解答】9.2÷100×1000＝0.092×1000＝92（厘米）答：节约的纸摞起来厚92厘米。【点评】本题考查学生对小数点移动引起小数大小变化规律的实际运用。牢记小数点移动引起小数大小变化规律是解决此题的关键。【典例三】黄豆的营养价值很高，1克黄豆含0.35克蛋白质，0.155克膳食纤维，0.16克脂肪，0.342克碳水化合物，另含有许多微量元素。照这样计算，1000克黄豆含有多少克膳食纤维？【分析】1克黄豆含膳食纤维的重量×黄豆的总重量＝这些黄豆含膳食纤维的重量，依此计算并解答即可。【解答】0.155×1000＝155（克）答：1000克黄豆含有155克膳食纤维。【点评】熟练掌握小数点位置的移动方法是解答此题的关键。【考点五】小数与单位换算【典例一】与6.06千米不相等的是（

）。A．6千米6米 B．比7千米少940米C．6060米 D．6千米60米【分析】1千米＝1000米，依此分别将每个选项中的长度化成千米即可选择。【解答】A．6千米6米＝6.006千米，6.006千米＜6.06千米；B．940米＝0.94千米，7千米－0.94千米＝6.06千米，6.06千米＝6.06千米；C．6060÷1000＝6.06，即6060米＝6.06千米；D．60米＝0.6千米，即6千米60米＝6.06千米。故答案为：A【点评】此题考查的是千米和米之间的换算与比较，以及小数的大小比较，应熟记千米和米之间的进率。【典例二】“猎豹”摄像机是中央电视总台花了5年时间自主研发的一套特种摄像系统。北京2022年冬奥会上，它首次亮相在国家速滑馆“冰丝带”的速度滑冰比赛现场。“猎豹”摄像机每秒最快跑25米，照这样的速度，它1小时能跑多少千米？【分析】1小时＝60分钟，根据速度×时间＝路程，用摄像机每秒最快速度，乘60分钟，即可算出它1小时能跑多少米，再进行单位换算即可。据此解答。【解答】1小时＝60分钟25×60＝1500（米）1千米＝1000米1500÷1000＝1.5（千米）答：它1小时能跑1.5千米。【点评】本题考查普通行程问题和运用小数点移动规律进行单位换算，牢记单位间的进率和小数点移动规律是解决此题的关键。【典例三】如下图，刘叔叔利用一面墙和篱笆围成一个长方形花坛。（1）花坛的面积是多少平方米？（2）如果每米篱笆需要10元，围成这个花坛，买篱笆至少需要多少元？【分析】（1）根据长方形的面积＝长×宽，求出花坛的面积。平方米和平方分米之间的进率是100，据此将花坛的面积换算成平方米。（2）花坛的长边靠墙，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可知篱笆长度＝长＋2×宽，据此求出篱笆长度，再乘每米篱笆需要钱数，求出买篱笆需要的总钱数。【解答】（1）48×16＝768（平方分米）768平方分米＝7.68平方米答：花坛的面积是7.68平方米。

（2）48＋2×16＝48＋32＝80（分米）80分米＝8米8×10＝80（元）答：买篱笆至少需要80元。【点评】本题考查长方形面积和周长公式的实际应用，关键是熟记公式。解题时注意进行长度和面积单位的换算。【考点六】小数的近似数【典例一】12月底，吾悦广场开业了，每天都会吸引上万人，人流量最多时约为12.04万人，约“12.04”万人这个数据的范围不可能在（）之间。A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【典例二】已知北京的面积是16410000000平方米，按照要求写出下列各数。（1）北京的面积合多少平方千米？（2）北京的面积省略亿位后面的尾数约为多少亿平方米？北京的面积改写成以“万”作单位的数是多少万平方米？【分析】（1）低级单位平方米化高级单位平方千米，除以进率1000000；（2）省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字；改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字。【解答】（1）16410000000÷1000000＝16410即：16410000000平方米＝16410平方千米答：北京的面积合16410平方千米。（2）16410000000平方米≈164亿平方米16410000000平方米＝1641000万平方米答：北京的面积省略亿位后面的尾数约为164.1亿平方米；北京的面积改写成以“万”作单位的数是1641000万平方米。【点评】本题主要考查单位间的换算以及整数的改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位。【典例三】已知北京的面积是16410000000平方米，按照要求写出下列各数。（1）北京的面积合多少平方千米？（2）北京的面积省略亿位后面的尾数约为多少亿平方米？北京的面积改写成以“万”作单位的数是多少万平方米？【分析】（1）低级单位平方米化高级单位平方千米，除以进率1000000；（2）省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字；改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字。【解答】（1）16410000000÷1000000＝16410即：16410000000平方米＝16410平方千米答：北京的面积合16410平方千米。（2）16410000000平方米≈164亿平方米16410000000平方米＝1641000万平方米答：北京的面积省略亿位后面的尾数约为164.1亿平方米；北京的面积改写成以“万”作单位的数是1641000万平方米。【点评】本题主要考查单位间的换算以及整数的改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位。专题五三角形【考点一】三角形的特性【典例一】有4根小棒，分别长、、、，用其中长为（）的小棒可围成一个三角形。A．、、 B．、、C．、、 D．、、【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，将各选项最短两个小棒长度加起来与最长的小棒长度比较即可。【解答】A．1＋2＜4，不可以；B．1＋2＜5，不可以；C．1＋4＝5，不可以；D．2＋4＞5，可以。故答案为：D【点评】关键是掌握三角形三边之间的关系。【典例二】将一根20厘米的细铁丝，剪成3段，拼成一个三角形，以下哪些剪法是可以的。（）A．8厘米、7厘米、5厘米 B．13厘米、6厘米、1厘米C．2厘米、11厘米、7厘米 D．10厘米、3厘米、7厘米【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可。【解答】A．7＋5＞8，能围成三角形；B．6＋1＜13，不能围成三角形；C．2＋7＜11，不能围成三角形；D．3＋7＝10，不能围成三角形。故答案为：A【点评】此题是考查三角形的特性，应灵活掌握和运用。【典例三】从学校到少年宫有三条路可以走（图中①、②、③分别代表三条路），哪一条路最近？为什么？【分析】从学校到少年宫有三条路可以走，只有中间的路线②最近，因为“两点间所有连线中线段最短”，据此解答即可。【解答】从学校到少年宫，选择中间的那条路最近，也就是路②，因为两点间所有连线中线段最短。【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点是：两点之间线段最短。【考点二】三角形的分类【典例一】一个等腰三角形，一条边长8cm,另一条边长4cm,那么这个等腰三角形的周长是（）cmA．16cm B．20cm C．16cm或20cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为8cm和4cm，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】当这个三角形的底边是8cm时，三角形的三边分别是8cm、4cm、4cm，4+4=8，不能够组成三角形,；当这个三角形的底边是4cm时，三角形的三边分别是8m、8cm、4cm，能够组成三角形，则三角形的周长是8+8+4=20cm．故答案选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．【典例二】用一根长45cm的铁丝围成一个等边三角形，这个等边三角形的边长是（）cm。【答案】15【典例三】彩霞小区准备在花园（如图）上面架设一条从A地到B地的本栈道，花园是由3个大小不同的等边三角形组成的，如果你是设计师，从节约成本的角度，你会选择①、②、③号线路的哪一条，说说你的理由。【分析】分别将三条线路的长度算出来，选择最短的一条即可，注意等边三角形三边相等。【解答】①：（20＋40）×2＝60×2＝120（米）②：20＋40＝60（米）③：20×2＋40×2＝40＋80＝120（米）选择路线②最短。【点评】本题也可以直接用两点之间线段最短来解答。【考点三】三角形的内角和【典例一】在三角形三个内角中，∠A＝∠B＋∠C，那么这个三角形一定是（）三角形。A．钝角 B．直角 C．钝角【分析】根据三角形的内角和为180°结合已知，可求∠A＝90°，即可判断三角形的形状。【解答】解：因为∠A＝∠B＋∠C，所以∠A＝180°÷2＝90°，所以这个三角形是直角三角形。【点评】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。【典例二】下图是一个等腰三角形，一个底角是35°，顶角是()°，沿虚线剪去三角形中的一个40°角，剩下图形的内角和是()°。【分析】本题主要考查等腰三角形的特点核三角形的内角和，要学会知识的灵活应用。因为等腰三角形的底角相等，再据三角形的内角和是180度，从而可以求出顶角的度数，沿虚线剪去三角形中40°的角后，剩下图形的仍是一个三角形，其内角和仍是180°，由此求解。【解答】180°－35°×2＝180°－70°＝110°所以一个等腰三角形，一个底角是35°，顶角是100°，沿虚线剪去三角形中的一个35°角，剩下图形的内角和是180°。【典例三】已知三角形的内角和是180°。求四边形ABCD的内角和多少度？思考过程：连接AD，AD将四边形ABCD分成两个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。已知一个三角形的内角和是180°。求：五边形的内角和是多少度？（请仿照方法，画图并将你的思考过程写下来。）思考过程：【分析】根据求四边形内角的度数，关键是从一个顶点出发将四边形分成多个三角形，三角形的内角和是180°，有几个三角形就有几个180°。【解答】思考过程：连接AC，AD，将五边形分成三个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和是180°×3＝540°。答：五边形的内角和是540度。【点评】本题考查的是多边形内角和的探究，关键是将多边形转化为三角形来进行计算。专题六小数的加法和减法【考点一】小数加、减法【典例一】一根绳子长10米，第一次用去3.2米，第二次用去2.35米，这根绳子和原来相比，短了（

）米。A．4.45 B．6.8 C．5.55【解题思路】第一次用去的长度＋第二次用去的长度＝比原来短的长度，据此解答。【详细解答】3.2＋2.35＝5.55（米）这根绳子和原来相比，短了5.55米。故答案为：C【考点点评】关键是理解数量关系，掌握小数加减法的计算方法。【典例二】小糊涂在计算5.32加一个一位小数时，误把两个加数的末位对齐了，结果得7.05，正确的得数应该是()。【答案】22.62【典例三】根据山西省煤炭增产保供和产能新增工作方案，在安全生产的基础上，2022年我省煤炭产量将比2021年增加1.07亿吨，达到13亿吨。力争2023年比2022年再增产5000万吨，2021年我省煤炭产量多少亿吨？2023年将达到多少亿吨？【解题思路】利用2022年的煤炭产量减去增加的1.07即可求出2021年的产量；利用2022年的煤炭产量加上5000万即可求出2023年产量，据此解答。【详细解答】13－1.07＝11.93（亿吨）5000万＝0.5亿13＋0.5＝13.5（亿吨）答：2021年我省煤炭产量11.93亿吨，2023年将达到13.5亿吨。【考点点评】本题考查了小数加减法的应用，解题关键是有一定计算能力。【考点二】小数加减混合运算【典例一】一根绳子长28.82米，剪下18.9米，剩下的比剪下的少（）米。A．9.92 B．9.87 C．8.98 D．19.92【答案】C【典例二】3月22日是“世界水日”，阳光小学积极开展节水活动周。四年级同学一周共节约用水7.1吨，比三年级一周多节约用水2.15吨。阳光小学三、四年级一周共节约用水()吨。【解题思路】依据减法的意义，用四年级同学一周共节约用水的吨数减去2.15吨，就是三年级同学一周共节约用水的吨数，再根据加法的意义，加四年级同学一周共节约用水的吨数，解答即可。【详细解答】7.1－2.15＋7.1＝4.95＋7.1＝12.05（吨）【考点点评】此题主要依据加减法的意义解决实际问题，关键是先求出三年级同学一周节约用水多少吨。【典例三】做好垃圾分类，推动绿色发展。为了更好地提高居民垃圾分类的意识，物管处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱。一个垃圾箱85.2元，比一个提示牌贵40.4元，若购买1个提示牌和1个垃圾箱一共需要多少元？【解题思路】由题意可知，一个垃圾箱85.2元，比一个提示牌贵40.4元，则一个提示牌是（85.2－40.4）元，再用一个垃圾箱的钱数加上一个提示牌的钱数即可。【详细解答】85.2－40.4＋85.2＝44.8＋85.2＝130（元）答：若购买1个提示牌和1个垃圾箱一共需要130元。【考点点评】本题考查小数加减法，明确小数加减法的计算方法是解题的关键。【考点三】加法运算律推广到小数【典例一】计算（2.75＋14.5）＋2.5＝2.75＋（14.5＋2.5）时应用了（

）。A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律【解题思路】加法结合律，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变叫做加法结合律；据此解题即可。【详细解答】（2.75＋14.5）＋2.5＝2.75＋14.5＋2.5＝2.75＋（14.5＋2.5）＝2.75＋17＝19.75所以，计算（2.75＋14.5）＋2.5＝2.75＋（14.5＋2.5）时应用了加法结合律。故答案为：B【考点点评】本题考查小数的运算律和简便运算，一般小数中是观察小数部分是否能通过运算律凑成整数的从而简化运算。【典例二】李老师的手机存储总容量为128GB，目前微信已使用15.37GB，腾讯QQ以及其他APP已使用54.63GB。李老师的手机剩余的可用空间是()GB。【解题思路】用128减去15.37加54.63的和，即等于手机剩余的可用空间。【详细解答】128－（15.37＋54.63）＝128－70＝58（GB）【考点点评】本题主要考查小数加法运算律的掌握和灵活运用。【典例三】兴华小学向灾区人民共捐款895.5元，其中高年级捐款281.5元，中年级捐款318.5元，低年级捐款多少元？（用两种方法解答）【解题思路】方法一：用总共的捐款金额减中、高年级捐款金额的和即可解答；方法二：用总共的捐款金额连续减去中、高年级的捐款金额即可解答。【详细解答】方法一：895.5－（281.5＋318.5）＝895.5－600＝295.5（元）答：低年级捐款295.5元。方法二：895.5－281.5－318.5＝614－318.5＝295.5（元）答：低年级捐款295.5元。专题七图形的运动（二）【考点一】轴对称【典例一】新能源汽车能节约燃油能源、减少废气排放，有保护环境的作用。下面四个品牌的新能源汽车标志中，对称轴最多的是（

）。A． B． C．D．【答案】C【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。【解答】A．有1条对称轴。B．不是轴对称图形，没有对称轴。C．有2条对称轴。D．不是轴对称图形，没有对称轴。新能源汽车能节约燃油能源、减少废气排放，有保护环境的作用。下面四个品牌的新能源汽车标志中，对称轴最多的是。故答案为：C【典例二】要使下图中的阴影部分成为一个轴对称图形，需要涂阴影的小正方形序号是()号或()号。【答案】③⑤【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴。要使下图中的阴影部分成为一个轴对称图形，只需找出这个图形的对称轴，即可解答。【解答】当对称轴在下图位置时，对称轴两边的阴影小正方形可以完全重合，此时需要涂阴影的小正方形序号是③。当对称轴在下图位置时，对称轴两边的阴影小正方形可以完全重合，此时需要涂阴影的小正方形序号是⑤。所以要使题干图中的阴影部分成为一个轴对称图形，需要涂阴影的小正方形序号是③号或⑤号。【典例三】画出下面轴对称图形的另一半。【答案】见详解【分析】补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。【解答】【典例四】操作。（1）以线段AB为直角三角形ABC的一条边，请画出这个三角形。（2）画出直角三角形ABC的轴对称图形。（虚线为对称轴。）【答案】见详解【分析】（1）以线段AB为直角三角形的一条边，再过这条线段的A端点作这条线段的等长垂线段，连接线段和垂线段的另一个端点，所形成的图形就是直角三角形。（2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出关键对称点，依次连接即可。【解答】【考点二】平移【典例一】数一数，房子向()平移了()格。【答案】右6【分析】找出构成图形的关键点，过关键点沿平移方向（箭头指向右）数出到关键点平移后的对应点的位置是几格。【解答】可以找房子顶上的最高点数一数，房子向右平移了6格。【典例二】下边图形的面积是()。（每个小正方形边长是2cm。）【答案】24【分析】每个小正方形的边长是2cm，每个小正方形的面积是4cm2，因此数清图形中有几个小正方形，即可计算出这个图形的面积。【解答】该图形由4个完整的小正方形和4个一半的小正方形组成，4个一半的小正方形通过平移可以组成2个完整的小正方形，共有6个小正方形，如下图：每个小正方形的面积是2×2＝4cm2，这个图形的面积是6×4＝24cm2。【点评】熟练掌握对面积的认识是解答此题的关键。【典例三】（1）画出小树先向上平移5格，再向右平移7格后的图形。（2）小鱼是先向右平移了5格，又向下平移了6格的图形，请你画出小鱼原来的位置。【答案】（1）（2）见详解【分析】（1）根据平移的特征，把小树的各顶点分别先向上平移5格，再向右平移7格，依次连接即可得到平移后的图形。（2）根据题意，先把小鱼向上平移6格，再向左平移5格，就可以得到小鱼原来的位置。【解答】（1）（2）如图：【典例四】在下图画出相应的图形。（1）制作春联的红纸是长方形的形状，请画出这个长方形春联A关于直线L的轴对称图形B。（2）将这个春联A向左平移3格，再向下平移2格得到C，会在哪里？请你画出来。【答案】（1）（2）见详解【分析】（1）画轴对称图形的方法：找出图A的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形B。（2）平移图形的作图方法：找出构成图形A的关键点；确定平移方向（向左）和平移距离（3格）；再确定平移方向（向下）和平移距离（2格），最后确定关键点平移后的对应点的位置；依次连接各对应点即可得到C。【解答】（1）（2）据分析作图如下：专题八平均数与条形统计图【考点一】平均数【典例一】三（1）班同学分成三个小组进行投篮比赛，第一组投中25个，第二组投中23个，第三组投中27个，平均每个小组投中（

）个。A．28 B．25 C．26【分析】根据平均数＝总数÷份数，份数是小组的数量，即3个小组；总数是三个小组投中的总个数，据此列式计算。【解答】（25＋23＋27）÷3＝（48＋27）÷3＝75÷3＝25（个）所以平均每个小组投中25个。故答案为：B【典例二】小玲练习跳绳，已经跳了5次，平均每次跳56个，她准备再跳一次，使平均每次跳的个数为60个。小玲最后一次要跳多少个？【分析】根据平均数×份数＝总数，先用小玲前5次跳的平均数56个乘5得到前5次的总个数；再跳一次就跳了6次，用6次的平均数60个乘6得到6次的总个数；最后用6次的总个数减前5次的总个数，即得到最后一次跳的个数。据此解答。【解答】60×6－56×5＝360－280＝80（个）答：小玲最后一次要跳80个。【典例三】以下是甲乙两个同学6次的一分钟跳绳成绩（单位：个）。甲同学1008672957081乙同学899086927788（1）甲、乙两同学中，谁的平均成绩高？（2）如果从甲乙两人中选一个作为班级代表参加比赛，你会选谁？为什么？【分析】（1）根据题意可知，首先要求出甲和乙的平均成绩，然后进行比较大小。可以根据总数量÷次数＝平均数量求出平均成绩。（2）作为班级代表参加比赛，一般会选择平均成绩高的同学。【解答】（1）（100＋86＋72＋95＋70＋81）÷6＝504÷6＝84（个）（89＋90＋86＋92＋77＋88）÷6＝522÷6＝87（个）84＜87答：乙的平均成绩高。（2）答：我会选乙班级代表参加比赛，因为他的平均成绩高。（答案不唯一）【考点二】条形统计图【典例一】甲、乙两修路队修路情况如下图所示，下面说法正确的是（

）。A．甲、乙两修路队每天修路的长度都在增加 B．甲队每天修的都比乙队多C．乙队一共比甲队少修了3米 D．甲队平均每天修51米【答案】A【分析】A．通过观察统计图可知，通过比较数据，可知甲、乙两修路队每天修路的长度都在增加。B．通过观察统计图可知，第一天甲队比乙队修的少，第四天甲队比乙队修的少。C．根据加法的意义，用加法分别求出甲队、乙队四天各修多少米，然后用减法求出乙队一共比甲队少修了多少米，再与3米进行比较。D．用甲队四天一共修的米数除以四天即甲队平均每天修的米数，再与51进行比较即可。【解答】A．甲队：40＜50＜54＜56；乙队：45＜48＜50＜60；因此，甲、乙两修路队每天修路的长度都在增加。此说法正确。B．40＜45；56＜60；第一天甲队比乙队修的少，第四天甲队比乙队修的少。因此，甲队每天修的都比乙队多。这种说法是错误的。C．甲队一共修的米数：40＋50＋54＋56＝90＋54＋56＝144＋56＝200（米）乙队一共修的米数：45＋48＋50＋60＝93＋50＋60＝143＋60＝203（米）203－200＝3（米）因此，甲队一共比乙队多修3米。这种说法是错误的。D．（40＋50＋54＋56）÷4＝（90＋54＋56）÷4＝（144＋56）÷4＝200÷4＝50（米）50≠51甲队平均每天修51米的说法是错误的。故答案为：A【点评】此题考查的目的是理解掌握条形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。【典例二】根据统计图填空。（1）通过观察，你认为空白直条表示（），阴影直条表示（）。（填“电冰箱”或“取暖器”）（2）11月销售取暖器（）台，（）月销售电冰箱最少。（3）这个季度平均每月销售取暖器（）台。【分析】（1）第四季度是10月、11月、12月这三个月，天气越来越冷，所以这个季度电冰箱的销售量少，取暖器的销售量多；观察统计图，空白直条较短，阴影直条较长，所以空白直条表示电冰箱的销售量，阴影直条表示取暖器的销售量。（2）从复式条形统计图中得出11月销售取暖器的台数，比较电冰箱这个季度每个月的销售量，即可得出哪个月销售电冰箱最少。（3）先用加法求出这个季度销售取暖器的总数，再除以3，即是这个季度平均每月销售取暖器的台数。【解答】（1）通过观察，我认为空白直条表示电冰箱，阴影直条表示取暖器。（2）电冰箱：18＜27＜3511月销售取暖器76台，11月销售电冰箱最少。（3）（90＋76＋50）÷3＝216÷3＝72（台）这个季度平均每月销售取暖器72台。【点评】理解掌握复式条形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。【典例三】下面是阳光小学五年级1班学生的体育成绩达标人数统计图。（1）“50米跑步”达标的女生有24人，请将条形统计图补充完整。（2）这个班级至少有（

）人。（3）“50米跑步”和“仰卧起坐”都达标的学生最多有（

）人。【分析】该图为复式条形统计图，横轴代表体育项目，纵轴代表达标人数（一格表示1人），用直条的长度表示人数的多少，据此可知各个项目女生、男生达标的人数，据此解答各小题。（1）直条的高度为24个格；（2）单项中女生最多24人，男生最多23，其他项目这些人参加，所以总人数至少：（24＋23）人。（3）50米跑步”男生达标17人，女生达标24人；“仰卧起坐”男生达标19人，女生达标20人；所以，两项都达标的男生最多17人，女生20人，达标总人数最多：（17＋20）人。【解答】（1）“50米跑步”达标的女生有24人，用斜线条形图表示。（1）（2）女生至少有24人，男生至少有23人。23＋24＝47（人）这个班级至少有47人。（3）17＋20＝37（人）“50米跑步”和“仰卧起坐”都达标的学生最多有37人。专题九数学广角—鸡兔同笼【考点一】列表法解决鸡兔同笼问题【典例一】某小学优秀学生干部参加“暑期夏令营”活动，共入住11间“四人房”和“八人房”，且都住满。王明用列表法尝试求解，那么四人房有()间，八人房有()间。【答案】6