2025年江苏中考数学压轴题分项汇编：定角定高模型（原卷版+解析）

压轴专题09定角定高模型

技法全归纳

知识考点与解题策略

定角定高模型（探照灯模型）

模型解读

定角定高模型：如图，直线外一点4,A到直线距离为定值（定高4。），NB4C为定角，则

有最小值，即AA5C的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。

条件：在AA5C中，ZBAC=a（定角），40是5c边上的高，且（定高）。

结论：当AABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；AABC的面积最小；AA8C的周长最小。

证明：如图，作AABC的外接圆eO,连接04,OB,OC,

过点。作OHLBC于点E,设eO的半径为r,贝!jNB0H=NR4C=a；

BC=2BH=2OB•sina=2r•sina,OH=OB-cosa=r-cosa。

'：OA+OH>AD（当且仅当点A,O,H三点共线时，等号成立）,

.\r+rcosa>h,即r>-------,当取等号时r有最小值；

:.BC=2r-sina>2h'Sma,当取等号时3c有最小值；

1+COS6T

hSing

二SARr^-BCAD^hr-sma>当取等号时AA8C有最小值；

4021+cosa'

二QMC=BC+AB+AC>2rsina+2M+（rsinfz1,当取等号时AABC有最小值。

典题固基础

例题1（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）已知：如图，点0是直线1外一点，点0到直线1的距离是

3

4,点A、点B是直线1上的两个动点，且cos/AOB=g,则线段AB的长的最小值为（）

例题2如图，在VABC中，ZBAC=60°,于点O,且AD=4,则VABC面积的最小值为

s新题型特3

1、如图，在VA3C中，za4c=60。，BC边上的高AD为4,则VA3C周长的最小值为

2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4,AD//BC,NB=60°,点E、F分别为边BC、CD上的

两个动点，且/EAF=60°,则4AEF的面积的最小值是

3、问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD=6,连接AD,则

△ACD的面积为；

问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且/EAF

=45°.若EF=5,求AAEF的面积;

问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB=4米，AD=6米的矩形ABCD

区域内开挖一个4AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且/EAF=45。，

为了减少对该路段的拥堵影响，要求AAEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF?若存在，请

求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由.

图①图②图③

4.（2024九年级上•江苏・专题练习）如图，在VABC中，N54c=90。，BC边上的高AD=6,则VA3C周

长的最小值为.

5.（1）如图1,在VABC中，ABAC=GO,AD为BC边上的高，若"）=9,求VABC面积的最小值；（2）

某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分

来培育新品种郁金香.如图2,VA3C是这片鲜花培育基地的平面示意图，NABC=90。，点。是AC边上

一点，连接BO,ZABD=NCBD,且BD=80应m,点尸为BC上一点，ZCDP=45°,为了更有效的利用

这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基

地ABPD面积的最小值.

图1

6.(2023•江苏淮安•二模)某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1,点A是一只探照灯，距离地面

高度AB=〃z,照射角度=在地平线/上的照射范围是线段MN,此灯的光照区域AAMN的面积

最小值是多少？

图1图2图3

(1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空:如图2,设0=90。，租=4,构造AAMN的外接圆。。,

可得。42AB,即Q4的最小值为4,又MN=2OA,故得MN的最小值为,通过计算可得AAW

的面积最小值为

(2)当&=45。，相=4时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续

写完整：解：作AAAW的外接圆。。，作如J_掰V于H,设MN=2x

(3)请你写出原题中的结论：光照区域AAAW的面积最小值是.(用含血。的

式子表示)

⑷如图3,探照灯A到地平线1距离AB=4米，到垂直于地面的墙壁n的距离4D=6米，探照灯的照射角

度NMAN,且/M4N=45。，光照区域为四边形AMCN,点M、N分别在射线CD、CB上，设△AQW的

面积为y，AACW的面积为Sz，求4工+9星的最大值.

7.（2020春•和平区期中）如图，四边形ABCD中，ZBAD=135°,ZB=60°,ZD=120°,AD=5,

AB=6,E、F分别为边BC及射线CD上的动点，/EAF=45°,4AEF面积的最小值

D

8、(2024九年级上.江苏•专题练习)辅助圆之定角定高求解探究

图①

图②图③

(1)如图①，已知线段A8,以为斜边，在图中画出一个直角三角形；

⑵如图②，在VABC中，ZACB=60°,CO为AB边上的高，若CD=4,试判断是否存在最小值，若存

在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；

(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，4=45。，

ZB=ZD=90°,CB=CD=6^2,点、E、尸分别为AB、AD上的点，若保持CE_LCF,那么四边形AECF的

面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由.

9、已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4,点A、B是直线上的动点，且NAOB=30。。则△ABO

的面积最小值为.

10.在直角VA3C中，ZABC^90°,NACB=60。，点D是VA3C外一点，连接AO,以AO为边作等边△ADP.

BFC

NC

(1)如图1,当点F在线段上，交AC于点M,且AF平分/BAC,若AF=&也,求△ADM的面

积;

(2汝口图2,连接FB并延长至点E,使得FB=BE,连接CE、DE、CD,证明：DE=^3CD；

(3)如图3,旋转△ADP使得。F落在—A3C的角平分线上，M、N分别是射线54、BC上的动点，且始终

满足/MDN=60。，连接MN,若BC坨,请直接写出△MDN的面积最小值.

11.【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为

了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图①所示，

【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为90。，若将摄像头安装在墙的E处，

F,G是摄像头与墙壁的交点，如图②图③所示，阴影部分为摄像头的盲区.

⑴假设探照灯的有效照射角度为60。，河宽8米，BC=米的时候照射的面积NABC最小，最小值为；

⑵若AB=20米，AD=10米，在线段A3是否存在点E,当摄像头在E点转动时，摄像头的盲区不变，若

存在，AE等于多少，摄像头的盲区面积为多少？

(3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为90。的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面

的中点为为原点建立如图所示的坐标系，AB=16,马路距离墙面的最小距离为5,请写出符合条件的摄像

头的坐标.

压轴专题09定角定高模型

9技法全归纳

知识考点与解题策略

定角定高模型（探照灯模型）

模型解读

定角定高模型：如图，直线外一点A,A到直线8c距离为定值（定高4。），NR4c为定角，则3C

有最小值，即AABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。

条件：在A4BC中，ZBAC=a（定角），40是边上的高，且（定高）。

结论：当AABC是等腰三角形（A5=AC）时，BC的长最小；AABC的面积最小；AABC的周长最小。

证明：如图，作AABC的外接圆eO,连接04,OB,OC,

过点。作OH,3c于点E,设eO的半径为r,贝！|N30H=NR4C=a；

:.BC-2BH=2OB•sina-2r-sina,OH=OB-cosa=r•cosa。

-：OA+OH>AD（当且仅当点A,O,H三点共线时，等号成立）,

/.r+rcosa>h9即厂之-------，当取等号时r有最小值；

：.BC=2r-sma>2h'Sina,当取等号时5c有最小值；

1+COSCT

hSm<Z

ASARC^-BCAD^hr-sina>'当取等号时小45。有最小值；

"02l+costz'

:.QMC=BC+AB+AC>2rsina+2业+(rsina『,当取等号时AABC有最小值。

典题固基础

例题1（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）已知：如图，点0是直线1外一点，点0到直线1的距离是

3

4,点A、点B是直线1上的两个动点，且cos/AOB=],则线段AB的长的最小值为（）

【答案】D

【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。

法2：如图，过点O作直线/‘〃直线1,则直线1与直线/’之间的距离为4,作点B关于直线，的对称点笈，

连接OB',AB',A®交直线/'于点T,连接BT,过点A作AHLBT于H,过点T作TWJ_AB于W.首先

证明当A,0,8'共线时，AB'的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论.

【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当AOAB是等腰三角形（OA=OB）时，AB的长最小；

设三角形△0AB的高为h,其外接圆半径为r,根据定角定高（探照灯）模型易得：r+rcosZAOB>h,

当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2「sin/A0B；

354

：0到直线1的距曷是4,且cos/AOB=I，/.r>-,sinZA0B=y,.-.BC>4O

例题2如图，在VABC中，44c=60。，于点。，且AD=4,则VABC面积的最小值为

A

BC

D

【答案"

【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作VABC的外接圆。。，连接。4,

OB,OC,过点。作OE_L3c于点E,根据圆周角定理可得/BOC=120。，则/O3C=NOCB=30。，设。O

的半径为「，则O£1==o5=工r，BE=—OB=—rf根据OA+OENAP得出厂+%?4,求得半径的范

22222

围，进而根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】作VABC的外接圆。。，连接。4,OB,OC,过点。作OEJ_3C于点E,

A

•••ZBAC=60°,JZBOC=120°,VOB=OC,•tZOBC=ZOCB=30°,

设O。的半径为「，则。£1=5。3=5厂，BE=OB=r,BC-A/3F»

2222

-：OA+OE>AD,Ar+-r?4,解得：r>~,：.BC>—,

233

・•・542^=工8。4。2工*述、4=叵8,，丫48(7的面积的最小值为电祖,故答案为：蛆叵.

“Be223333

练新题型特训

1、如图，在VA3C中，Zfi4C=60°,BC边上的高AD为4,则VABC周长的最小值为

【答案】8囱

【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。法2：作8C的垂直平分线，交AB于点N,交BC于点

M,连接CN,则VABC周长=AN+CN+AC+BC,当点D与点M重合时，VABC周长22AC+BC,AVABC

为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解.

【详解】法1：设三角形八ABC的高为AD=h=4,其外接圆半径为r,

根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos«>h,BPr>-^—，

l+cos«

当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：g,BC的最小值为：庄,

33

此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：3x^=8^.

3

法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N,交BC于点M,连接CN,

AA{N}

垂直平分BC,ABN=CN,

：.VABC^^z^AB+AC+BC=AN+BN+AC+BC=AN+CN+AC+BC

•.•在Aiav中，AN+BN>AC,：.AN+BN>AC,当点D与点M重合时，AN+BN=AB=AC,

：.NABCJ^^:=AN+CN+AC+BC>2AC+BC,：.NABC周长的最小值=2AC+BC,

•：ZBAC=60°,AB=ACVABC为等边三角形，：为BC边上的高，AD=4,

...48=，"=^^=述，；.%45。周长的最小值=3义还=8百，故答案为：8出.

sinZBsin60033

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，确定

当VABC周长最小时的情况.

2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4,AD//BC,NB=60°,点E、F分别为边BC、CD上的

两个动点，且/EAF=60°,则4AEF的面积的最小值是

【答案】473

【解答】解：将4ADF绕点A顺时针旋转120。至QABM,

由旋转得：BM=DF,AM=AF,ZABM=ZD=120°,NMAB=NFAD,

VZABC=60°,

.•.ZABM+ZABC=180°,

・・・M、B、E共线，

NMAE=NMAB+NBAE=NFAD+NBAE=60°,

NEAF=60°,AE=AE,

AFAE^AMAE(SAS),

・•・ZMEA=ZFEA,

过A作AH_LBC于H,作AKJ_EF于K,

AH=AK=AB•sin60°=2^/3,

作AAEF的外接圆。O,连接OA、OE、OF,

过O作ON_LEF于N,

・.,NEAF=60°,

.,.ZEOF=120°,

・・・NNOF=60°,

设EF=2x,贝ljNF=x,

RtZXONF中，ON=®x,OF=2^X,

33

ON+OA=OF+ON=«x,

VOA+ON^AK,

・・,

・・・x22,

.1.SAAEF=|EF-AK=-i-.2x*2^3=273x^473，

...△AEF面积的最小值是4如.

3、问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD=6,连接AD,则

AACD的面积为；

问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且/EAF

=45。.若EF=5,求AAEF的面积；

问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB=4米，AD=6米的矩形ABCD

区域内开挖一个小AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且/EAF=45。，

为了减少对该路段的拥堵影响，要求AAEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF?若存在，请

求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由.

图①图②图③

【答案】（1）10月；（2）15；（3）存在，2472-24.

【分析】（1）过点A作AHLBC,根据等边三角形的性质、正弦的定义求出AH,根据三角形的面积公式

计算，得到答案；（2）将八ADF绕点A顺时针旋转90。得到△ABH,证明△AEF之△AEH,根据三角形的

面积公式计算即可；（3）把4ADF绕点A顺时针旋转90。并缩小为;,得到△ABG,根据角平分线的性质、

三角形的面积公式得到沁设AAGE的外接圆圆心为O,连接OA、OG、OE,过得O作OHLGE

\AEF3

于H,则/GOE=2/EAG=90。，设△AGE的外接圆的半径为R,则GE=0R,OH=^R,由题意得，

OA+OH>AB,即R+乎R%,解得R的范围，故△AGE的面积x&x（8-472）x4=16及-16,得

△AGE的面积的最小值为160-16,进而可得八AEF的面积的最小值为240-24.

【详解】（1）如图①，过点A作AHLBC于H,•.•△人：6（：为等边三角形，；./：6=60。，

图①图②图③

...△ACD的面积=gxCDxAH=Tx4xl0・sin60o=106，故答案为：106；

(2)如图②，将4ADF绕点A顺时针旋转90。得到△ABH,由旋转的性质得，AH=AF,ZBAH=ZDAF,

：NEAF=45。，NBAD=90。，；./EAH=/EAF=45。，在△AEF和AAEH中，AF=AH,ZEAH=ZEAF,

AE=AE,

.".△AEF^AAEH(SAS),；.EH=EF=5,ASAAEF=SAAEH=1x5x6=15；

(3)把小ADF绕点A顺时针旋转90。并缩小为］,得到△ABG,

2

则AG=§AF,ZEAG=ZEAF=45°,过点E作EM_LAG于M,EN_LAF于N,

ZEAG=ZEAF,EM±AG,EN±AF,，EM=EN,/.,

\AEF3

设△AGE的外接圆圆心为O,连接OA、OG、OE,过得O作OHLGE于H,

则NGOE=2/EAG=90。，设△AGE的外接圆的半径为R,贝!|GE=&R,OH=1R,

由题意得，OA+OHNAB,即R+X±RN4,解得，R>8-472,

2

.二△AGE的面积(8-472)x4=16&-16,

.1.△AGE的面积的最小值为160-16,AAAEF的面积的最小值为240-24.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，圆周角定理，图形的旋转等，较为综合，

根据图形作出合适的辅助线是解题的关键.

4.(2024九年级上•江苏•专题练习)如图，在VABC中，N54c=90。，8C边上的高AZ)=6,则VA3C周

长的最小值为___________________

【答案】12vl+12

【分析】法1：根据定角定高(探照灯)模型求解。

法2：延长CB到E,使得班=胡，延长BC到F,使得C「=C4,连接AE,A尸，作下的外接圆

过点O作QJLEF于点J,交。。于点T.求出EF的最小值，可得结论.

【详解】法1:根据定角定高（探照灯）模型知道:

当八ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC有最小值。

再结合N54C=90。，3C边上的高AZ）=6,/.BC=12,AB=AC=6万。

.二△ABC的周长的最小值为120+12，故答案为：12夜+12.

法2：如图，延长CB到E,使得BE=BA,延长BC到F,使得CF=C4,连接AE,A产，作AAE产的外接

圆。。，连接。后,。歹，过点。作OJLEF于点J,交。。于点T.

•/BA=BE,CA=CF,：.NBAE=NBEA/CAF=ZCFA,

ZABC=ZBAE+ZBEA,ZACB=ZCAF+ZCFA,：.ZA£F+NAFE=；（ZABC+ZACB）=45。,

：.ZEAF=135°,：.ZEOF=9Q°,VOJLEF,:.EJ=JF,：.OJ=-EF,

2

设OE=OF=r,则EF=扬，OJ=^r,'：AB+BC+AC=EB+BC+CF=EF,

，EP最小时，VABC的周长最小，AD±BC,：.AD+OJ<OT,：.6+—r<r,

2

Ar>12+672-：•EF2126+12,AB+BC+AC>nj2+l2,

AABC的周长的最小值为12立+12，故答案为：120+12.

【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

5.（1）如图1,在VABC中，Nfi4c=60,为BC边上的高，若AD=9,求VABC面积的最小值；（2）

某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分

来培育新品种郁金香.如图2,VABC是这片鲜花培育基地的平面示意图，NABC=90。，点。是AC边上

一点，连接BO,ZABD=NCBD,且BD=80应m,点尸为BC上一点，ZCDP=45°,为了更有效的利用

这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地A5P。的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基

地ABPD面积的最小值.

A

【答案】（1）27代；（2）6400后平方米

【分析】（1）作VABC的外接圆。。，连接Q4、OB、OC,过点。作OEL5c于点E,根据等腰三角形

的性质得出NO3C=NOCB=30。，设tM=O3=OC=r,则OE=』r,8c=2BE=6厂，根据AD,

2

得r+求出r26,BC=2BE=V3r>6^,然后求出结果即可；

（2）过点。作DE1AB于点E,。尸_L3C于点F，根据角平分线的性质得出DE=D户，证明

RtABDE^RtABDF（HL）,得出80=80后m,ZDBE=|ZABC=45°,NBED=90。,求出

S.BDE=1­£»£=3200（m2）,在8尸上截取BG=AE,连接£>G,证明G四△DE4（SAS）,得出

ZADE=ZGDF,根据S四边形wo=S四边物如尸++%切=6400+S^DPC,得出要使四边形ABPD的面积最

小，只需ADPG的面积最小,求出NPDG=45°,ADGP的外接圆圆心为。，连接，OG,OP,作OH1GP

于点H,根据OG+^OGNSO,得出。3280（2-0），求出PG=2G8=0OG21600—160，得出

2

S-p0G=|PGDF>|X（1600-160）x80=（6400立一6400）m,最后求出结果即可.

【详解】解：（1）如图，作VABC的外接圆。。，连接。4、OB、OC,过点。作OEL5C于点E，

设CM=O3=OC=r,则OE=；r,:.BE=3

,?OELBC,：.BC=2BE=V3r,由OA+OENAD,得r+；rN9,BPr>6,

BC=2BE=y[3r>6也,「.SAABC=1-BCAD>1x673x9=2773,:.AABC面积的最小值为27道；

（2）如图，过点。作于点E,止_13。于点尸，

♦;ZABD=NCBD,：.BD平分NABC,：.DE=DF,又•；BD=BD,,RtABDE式RQBDF（BL）,

BD=80A/2m,ZDB£=-ZABC=45°,/BED=90°,

2

:.ABDE,VBD尸均为等腰直角三角形，且DE=DF=BE=BF=80m,

•••S.BDE=^BEDE=3200（m2）,如图，在所上截取=连接DG，

•：FG=AE,NDFG=NDEA=90。,DF=DE,:.ADFG当ADEA（SAS）,

ZADE=Z.GDF,'''S四边形ABPD=S四边形BEDF++^ADEA=6400+SADPG,

•••要使四边形ABPD的面积最小，只需八DPG的面积最小，

ZCDP=45°,ZADP=180°-45°=135°,ZADE+ZPDF=45°,

•1-ZGDF+ZPDF=ZPDG,:.ZPDG=45°.

如图，ADGP的外接圆圆心为0,连接OD,OG,0尸，作。"LG尸于点”，

-,-^GDP=45°,/GOP=90。，；./OGP=/OPG=45。，:.OH=GH=^OG,

2

由题意得8+a/ND尸，即。G+,OGN80,.,.OGN8O（2—0）,

2

PG=2GH=V2OG>160A/2-160，S^PDG=^PG-DF>^X（1600-160）x80=（640072-6400）m,

S四边形的加>6400+6400夜-6400=6400底（nr）,

，新品种郁金香培育基地ABPD面积的最小值为6400收平方米.

【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，等

腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

6.（2023•江苏淮安•二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1,点A是一只探照灯，距离地面

高度AB=m,照射角度/M4N=a,在地平线/上的照射范围是线段及W,此灯的光照区域AAMN的面积

最小值是多少？

n

图1图2图3

(1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空:如图2,设e=90。，%=4,构造&AMN的外接圆QO,

可得。42AB,即Q4的最小值为4,又MN=2OA,故得MN的最小值为,通过计算可得AAMV

的面积最小值为.

(2)当a=45。，m=4时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续

写完整：解：作AAMN的外接圆0。，作阳_!掰V于H,没MN=2x

(3)请你写出原题中的结论：光照区域AAW的面积最小值是.(用含〃，，。的

式子表示)

(4汝口图3,探照灯A到地平线1距离=4米，到垂直于地面的墙壁n的距离6米，探照灯的照射角

度/MAN,且NMAN=45。，光照区域为四边形AMCN,点M、N分别在射线CD、CB上，设△AQW的

面积为岳，AAOV的面积为$2,求4工+9星的最大值.

【答案】(1)8,16(2)〃AAW最小=1672-16(3)“Lsma«)300-14472

1+cosa

【分析】(1)当B和点。重合时，OA=AB=4,此时Q4最小为4,从而得出最小=20A=8；

(2)作AAMN的外接圆0。，作加,就于设MN=2x,依次表示出MH,NH,OA,OH,根据

Q4+OH2AB列出+从而得出x的最小值，进一步得出结果；

(3)同(2)步骤相同：作AAMN的外接圆。。，作织±于H,设圆的半径为「，依次表示出M",NH,

根据。4+WNAB列出方程，从而得出厂的最小值，进一步得出结果；

(4)作NBAQ=ND4",AQ交/于Q,可证得△如人拈钿。，从而得出黑皿=(四］=2,可证得

S皿UBJ4

9

ZNAQ=45°,从而得出由(3)结论知：△⑷V。的最小值，进而变形得出：S“BN+S»DM的最小值，可得出

4H+9S2=156-45ADM-9S^,进一步得出结果.

【详解】(1)解：•.•ZAB(9=90o,:.OA>AB,当8和点。重合时，。4=帅=4,此时。4最小为4,

最小=2OA=8,最小=gx8x4=16,故答案为：8,16；

(2)解：如图1,作AAAW的外接圆。。，作OH，MN千H,设MN=2x,:.MH=NH=x,

图1图2图3

■.■ZMON=2ZMAN=9Q°,OA=OM=—MN=-J2x,OH^-MN=x,

22

-.-OA+OH>AB,y/2x+x>4,:.x>4y/2-4,

当点。在43上时，x最小=4及-4,此时MN最小，最小=；x4x（8近一8）=16应-16；

（3）解：如图2,作△⑷VW的外接圆。。，作0H工MN千H,设Q4=0M=r,:.MN=2MH,

•：ZMON=2ZMAN=2<z,OM—ON—r,'''Z.MOH=—ZMON=a,:.OH=r-cosa,MH=r-sina,

2

YYl

*：OA+OH>AB,..r+rcoscr>m,/.r>----------,

1+cosa

当点。在AB上时，重小=1^，此时一MN最小，：鼠小、=「加。,故答案为：管吧；

1+cosa1+cosa1+cosa

（4）解：如图3,作NBAQ=NDAM,AQ交/于。，

ZADM=ZABQ=90°,:.^ADM^/\ABQ

.q

°AABQ

-.­ZDAB=90°,ZM47V=45。，:.ZDAM+ZBAN=45°,ZBAQ+ZBAN=45°f

ZNAQ=45°,由（2）知：冬小最小=16后-16,，⑸的+SAABQ）最小=160-16,

**,=1672-16,GI7SA.N+s叩）=160-16,[~7$&ABN+s.〕=36&-36,

V/，最小\4/最小V4/最小

•・W=工皿-氏=12-"皿，；.埼=48-45ADM,

同理9s2=108-叫的，+9邑=156-4as,-95/=156-小,9+%丽],

（4耳+9s2）最大=156-4x（360-36）=300-14472.

【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等有关知识，解决问题的关键

是作辅助线，构造相似三角形.

7.（2020春•和平区期中）如图，四边形ABCD中，ZBAD=135°,ZB=60°,ND=120°,AD=5,

AB=6,E、F分别为边BC及射线CD上的动点，ZEAF=45°,AAEF面积的最小值

【答案］韭叵

4

【解答】解：如图，过点A作AMLBC于M,过点E作EHLAF于H,ANXCD,交CD的延长线于N,

.\ZBAM=30°,

・・・BM=3,AM=3«,

VZADC=120°,

.,.ZADN=60°,

.\ZNAD=30°,

/.DN=—AD=—,AN=^^,

222

VZBAD=135°,NEAF=45°,NBAM=30°,

.•.ZMAE+ZDAF=60°,

又・・・NADN=NDAF+NDFA=60°,

・・・NMAE=NAFD,

又,.・NAME=NN=90°,

AAAFN^AEAM,

.AEME

"AF

设ME=x,则人£=a2+随2=扬+*2,

2胆侬=,

ME

VZEAF=45°,HE±AF,

,HE*AE呼义而

.•.△AEF面积=』XAFXHE=^^X()(—+x),

288x

•.•当a,b为正数时，(a-b)220,

a2+b222ab,

.,.△AEF面积=(—+x)当殳区X2X

8x8

/.AAEF面积的最小值为45"2,

4

故答案为义返.

4

8、（2024九年级上•江苏•专题练习）辅助圆之定角定高求解探究

图②图③

⑴如图①，已知线段A8,以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形;

（2）如图②，在VABC中，ZACB=60°,C£＞为A8边上的高，若CD=4,试判断A8是否存在最小值，若存

在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由;

⑶如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCZ）中，ZA=45°,

ZB=ZD=90。，CB=CD=642,点、E、/分别为AB、上的点，若保持CE_LCF,那么四边形AECP的

面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析

⑵存在，半

⑶存在，144

【分析】(1)构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可.

(2)如图2中，作VABC的外接圆。0,连接(M,OB,OC,作于E.设。4=OC=2x.求出

x的最小值即可解决问题.

(3)如图③中，连接AC,延长交AD的延长线于G,将ACDF顺时针旋转得到ACB”，作△(7硝的

外接圆。。.由(2)可知，当△CE"的外接圆的圆心0在线段上时，AECH的面积最小，此时四边形AFCE

的面积最大.

【详解】(1)解：如图①中，VABC即为所求.

(2)存在，理由如下,

如图②中，作VABC的外接圆QO,连接。4,OB,OC,作OELAB于E.设。4=OC=2x.

ZAOB=2ZACB=120°OA=OB,OELAB,

图②

:.AE=EB，ZAOE=ZBOE=(O°,

OE=—OA=x,

2

：OC+OE>CD,

/.3x>4,

、4

/.x—,

3

4

•••%的最小值为］，

,/AB=2A,

AB的最小值为更.

3

(3)存在，理由如下,

如图③中，连接AC,延长8C交AO的延长线于G,将VCD歹顺时针旋转得到ACB”，作的外接圆

00.

-.­ZADC=ZABC=90°,AC=AC,CD=CB,

图③

RtAACD^RtAACB(HL),

一SAACD=S/VICB，

Q?DAB45?,

ZDCB=135°f

:.ZDCG=45°,

・・・ZCDG=90°,

；.CD=DG=6旧

:.CG=42CD=n,

A3=G3=12+6五，

由（2）可知，当△（?&/的外接圆的圆心。在线段BC上时，△£C〃的面积最小，此时四边形AFCE的面积

最大，

设OC—OE-r,贝UOB=EB=r,

2

/.r+^-r=6>f2f

2

.」=6亚2-扬，

...石r=12（2—忘）,

，四边形AFCE的面积的最大值=2x；x（12+6应）x60_gx]2（2_a）x6五=144.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键

是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.

9、已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4,点A、B是直线上的动点，且NAOB=30。。则△ABO

的面积最小值为.

【详解】法1：设三角形△ABO的高为h=4,其外接圆半径为r,/AOB=a=30。

根据定角定高（探照灯）模型知道：当AABO是等腰三角形（AO=BO）时。

.\r+rcos^>h,即厂之-------，当取等号时r有最小值；

1+coscr

AB=2r-sin«>2h-sma,当取等号时EF有最小值；

1+COS6Z

Sma

：.SAB0=-AB-h=h-r-sma>'=64-16出，当取等号时△ABC有最小值；

法2：如图，过点0作直线r〃直线1,则直线1与直线Y之间的距离为4,作点B关于直线r的对称点B，,

连接OB',AB\AB，交直线1，于点T,连接BT,过点A作AHLBT于H,过点丁作丁\¥上人：8于W.

在RtAABB，中，AB=^B'A^-B'B2=VB'A2-64，AB，的值最小时，AB的值最小，

•?OA+OB=OA+OB>ABf.•.当A,O,B，共线时，AB，的值最小，此时AB的值最小，

:直线1垂直平分线段BB\.-.TB=TB',Z.ZTBB^ZTB-B,

•.•/TBA+NTBB'=90°,ZTAB+ZTB,B=90°,AZTAB=ZTBA,.,.TA=TB,

cosZAOB=cosZATB=,：.里=旦...可以假设TH=/k,AT=TB=2k,

2TA2

.\BH=TB-TH=(2-73)k,；.AH=k,：.\B=y/AH2+BH2=^2+[(2-V3)Z;]2=274-73k,

VSATAB=1«AB«TW=1"TB«AH,；x2“_君kx4=gx2kxk,解得k=4“_6,

...△ABO的面积最小