2025年江苏中考数学压轴题分项汇编：二次函数（线段与周长问题）原卷版+解析

压轴专题01二次函数（线段周长面积问题）

背；

技法全归纳

考法一单线段最值

1.（1）设函数表达式上动点坐标：设动点的横坐标，代入函数表达式得到动点的纵坐标.

（2）表示竖直方向的线段长：结合函数图象，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标可得线

段长.

（3）表示水平方向的线段长：结合函数图象，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标可得线

段长.

（4）表示不与坐标轴平行的线段长（斜线段）：第一步：以所求线段长为一边构造直角三角

形；第二步：找与其相似的直角三角形（一般情况下，二次函数与坐标轴交点构成的直角三

角形与其相似）；第三步：利用三角函数或相似列等量关系求解.

考法二线段和（差）最值（将军饮马）

2.两定点+一动点（动点在直线上）

（1）两定点A,B位于直线1异侧：如图1,连接AB,与直线1的交点即为P,此时PA+PB

的最小值为AB的长；如图2,作点B关于直线1的对称点B，，作直线AB*与直线1的交点

即为P,此时IPA-PB|的最大值为线段AB，的长.

图1图2

（2）两定点A,B位于直线1同侧：如图3,作点B关于直线1的对称点B）连接AB，，与直

线1的交点即为P,此时PA+PB的最小值为AB，的长；如图4,连接AB并延长，与直线1

的交点即为P,此时IPA-PB|的最大值为线段AB的长.

图3图4

3.一定点+两动点（动点分别在两条直线上）

（1）如图L点P是定点，点A,B分别是直线乙，4上的动点，作点P关于直线4的对称点

P',作PB_L4于点B，交直线4于点A,此时PA+AB的最小值为线段PB的长.

（2）如图2,点P是定点，点A,B分别是直线j4上的动点，分别作点P关于两直线的对

称点P和P",连接PP〃，与两直线交点即为点A,B,此时4PAB周长的最小值为线段PP〃

的长.

图1

4.两定点+两动点（动点分别在两条直线上）

（1）如图1,点P,Q是定点，点M,N分别是直线乙，4上的动点，分别作点Q，P关于直

线乙，4的对称点Q，和P,连接QT，，与两直线交点即为点M,N,此时四边形PQMN周长

的最小值为线段QP+QP的长.

（2）如图2,点A,B分别是直线4，4上的定点，点M,N分别是直线4，4上的动点，作

点A关于直线乙的对称点A*作点B关于直线4的对称点B，，连接A，B，交直线4于点M,交

直线4于点N,此时AM+MN+NB的最小值为线段A，B，的长.

图1图2

考点三：二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：

1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下:

一般步骤为：①设出要求的点的坐标；

②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；

③列出关系式求解；

④检验是否每个坐标都符合题意.

2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.

A

x

3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示:

直线相〃直线〃

==

S/\ABCSAABDSAABE

一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等;

②通过已知点的坐标，求出直线解析式;

③求出题意中要求点的坐标；

④检验是否每个坐标都符合题意.

典题固基础

例题1.（24-25九年级•江苏连云港•模拟练习）如图，二次函数y=的图象经过点A（T,4）,与y轴

交于点3,C、。分别为x轴、直线尤=1上的动点，当四边形A3。的周长最小时，则点。的坐标

为.

i3

例题2如图，已知二次函数/=-5/+5犬+2图象与x轴交于A,C两点，与y轴交于点艮

(1)连结BC,求直线BC的解析式；

(2)点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当ABCP的面积最大时，求P点的坐标及ABCP面积的最大

值.

s新题型特3

1.(24-25九年级•江苏徐州)如图，二次函数y=-Y+3x+4的图象与X轴交于点A、B,与y轴交于点C.点

P是此函数图象上在第一象限内的一动点，过点尸作PELx轴于点E,交BC于点G,作尸PL3C于点H

(1)点B的坐标是，点C的坐标是

⑵当n哂=6时，求出点尸的坐标；

⑶当APFG的周长最大时，求点P的坐标.

2.(24-25九年级•江苏徐州)如图，抛物线y=--+6x+c与直线y=x+2相交于4(-2,0),8(3,祖)两点,

与x轴相交于另一点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是直线4B上方抛物线上的一个动点(不与A3重合)，过点P作直线尸轴于点。，交直线AB

于点E,当PE=2£D时，求P点坐标；

(3)当点尸运动到什么位置时，△上48的面积有最大值？

(4)抛物线上是否存在点Af使AABM的面积等于VABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若

不存在，请说明理由.

3.(24-25九年级•江苏苏州•阶段练习)如图，己知抛物线丁=52+法+。(。中0)的对称轴为直线为=-1,且

抛物线经过A(l,0),C(0,3)两点，与x轴交于点股

(1)若直线、="a+〃经过8,C两点，求直线8C和抛物线的解析式；

⑵在抛物线的对称轴x=-L上找一点M,使MA+MC的值最小，求点M的坐标；

(3)设P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使ABPC为直角三角形的点P的坐标.

4.如图，二次函数的图像与x轴交于4(-3,0)和3(1,0)两点，交y轴与点C(0,3),点C,。是二次函数图象

上的一对对称点，一次函数的图像过点8,D.

(1)求二次函数解析式；

(2)求出顶点坐标和点D的坐标；

⑶二次函数的对称轴上是否存在的一点M,使ABOW的周长最小？若存在，求出〃点坐标；若不存在，请

说明理由.

(4)若。是线段8。上任意一点，过点。作轴交抛物线于点P,则点尸坐标为多少时，尸。最长？

5.(2022•江苏镇江•中考真题)一次函数y=gx+l的图像与x轴交于点A,二次函数y=加+bx+c(ow0)的

图像经过点A、原点。和一次函数y=Jx+1图像上的点

图1图2

⑴求这个二次函数的表达式；

⑵如图1,一次函数y=入+"]"-2"1)与二次函数，=加+及+。("°)的图像交于点c(%，x)、

D(x2,y2)(x,<x2),过点C作直线轴于点E,过点。作直线4轴，过点8作8尸，4于点尸.

①%=,%=(分别用含〃的代数式表示)；

②证明：AE=BF；

(3)如图2,二次函数y=a(xTy+2的图像是由二次函数>=加+陵+。(。70)的图像平移后得到的，且与

一次函数y=；x+l的图像交于点尸、Q(点尸在点。的左侧)，过点尸作直线轴，过点。作直线"Lx

轴，设平移后点A、8的对应点分别为A、B',过点A作于点河，过点8'作B'N，。于点N.

①AM与3W相等吗？请说明你的理由；

②若AM+35'N=2,求/的值.

6.如图，抛物线>=办2+弧+3交x轴于4(3,0),3(-1,0)两点，交》轴于点C,动点P在抛物线的对称轴

上.

备用图

(1)抛物线的函数表达式为；

⑵当以P,B,C为顶点的三角形的周长最小时，求点尸的坐标及△PBC周长的最小值.

7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yn-M+Ax+c,图象经过44,0)、8(0,8)两点.

(1)求二次函数的解析式及它的对称轴；

⑵设点尸是抛物线上的一个动点，横坐标为机，

①当-2<〃/<3,则点p的纵坐标y的取值范围是；

②过点尸做PQ〃y轴，交直线于。，当线段PQ=5时，请求出优的值.

8.如图，已知抛物线y=-Y+〃武+3与x轴交于A、8两点，与丁轴交于点C,点5的坐标为(3,0).

(1)求机的值及抛物线的顶点坐标；

⑵点。在抛物线上且满足SAABLGSAABC，求。的坐标；

(3)点尸是抛物线对称轴/上的一个动点，当尸A+PC的值最小时，求点尸的坐标.

9.如图，二次函数y=g无2+桁+。的图象与x轴交于A、8两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(TO),

点C的坐标为(0,—3),连接BC.

(2)点尸是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作尸轴于点Q,交BC于点H,当的长度最大时，

求点P的坐标

10.如图，抛物线y=/—2x-3与x轴交于点A,B(点A在点8的左侧)，与V轴交于点C,P是抛物

线在第四象限上一个动点，设点尸的横坐标为优，过点尸作了轴的垂线，交x轴于点E,交BC于点、F.

（1）用含m的代数式表示线段PF的长度，并求出其最大值；

⑵若EF:FP=2:3,求点尸的坐标.

11.如图，二次函数>=办2+法+4的图象过点A（3,0）和与y轴交于点C.

⑴求该二次函数的解析式；

（2）若在该二次函数的对称轴上有一点使3M+C0的长度最短，求出M的坐标.

12.（2025九年级•江苏•专题练习）如图，已知抛物线y=/+6x+c经过4（-1,0）、3（3,0）两点.与y轴交于

点C.

（1）求抛物线的解析式；

⑵点P为抛物线上一点，若^=1。，求出此时点尸的坐标.

13.（24-25九年级•江苏泰州）如图，二次函数y=-/+bx+c与x轴交于点4T0）和8（5,0）,与>轴交于

点C.

图1图2

⑴求二次函数的表达式和直线BC的表达式；

⑵若点。为二次函数的顶点，连接由XCD,求的面积.

(3)将(1)中的二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，再将其图像绕坐标原点逆时针旋转90。得到

抛物线G,若抛物线G与直线交于M,N两点，点尸是抛物线G上位于直线左侧一个动点，连接

PM,PN,求APMN的面积最大值.

14.(24-25九年级•江苏南通)已知二次函数》=依2+法+。的图象与x轴交于A(-l,0),8(3,0)两点，与y

轴交于点C(0,-6).

(1)求二次函数的解析式；

⑵当-3<x<2时，求二次函数y的取值范围；

4

(3)若尸为二次函数图象上一点，且求P点的坐标.

15.(2024•江苏苏州•一模)如图，已知抛物线y=-Y+px+q的对称轴为x=-3,过其顶点M的一条直线

>=丘+6与该抛物线的另一个交点为要在坐标轴上找一点P,使得△尸的周长最小，则点尸的

A.(0,2)4°D.

16.(24-25九年级•江苏苏州•阶段练习)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(TO),S(2,0),与y轴

交于点C(0,4)，点尸是第一象限内抛物线上的一点.

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)当四边形C45P的面积最大时，求尸的坐标及最大面积.

17.在平面直角坐标系中，将二次函数丁=^2(。＞0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得

到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA=1,经过点A的一次函数y=

依+公上40)的图象与＞轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为。，的面积为5.

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，当"虑面积的最大值时，求出此时点E的坐标;

18.已知抛物线y二办？+fct+c(a＞0),顶点为(。，0).

(1)求6,c的值.

⑵若。=1时，如图1,尸为y轴右侧抛物线上一动点，过P作直线轴于点N,交直线/：y=gx+2于

M点、,设尸点的横坐标为机，当2PM=/W时，求机的值.

(3)若a=l时，如图2,直线y=浜+2与抛物线相交于A,B,当43=3四时，求。的面积.

19.如图，已知抛物线>=加+版+3与x轴交于4-1,0)、8(3,0)两点，与y轴交于点C,连接BC.

(1)求抛物线的解析式;

⑵若点尸为线段3c上的一动点(不与8、C重合)，PM//y轴，且交抛物线于点M,交x轴于点N,

当的面积最大时，求点尸的坐标.

20.已知：二次函数>=/+云+。的图象与x轴交于A,B两点，其中A点坐标为(-3,0),与〉轴交于点C,

点。(-2,-3)在抛物线上.

⑴求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出R4+PD的最小值；

(3)若抛物线上有一动点。，使三角形A8Q的面积为24,求。点坐标.

21.(24-25九年级•江苏盐城•阶段练习)如图，二次函数的图象与无轴交于4(-3,0)和3(1,0)两点，交y轴

于点C(0,3),连接AC.

(1)求二次函数解析式；

(2)如图，过点尸作y轴的平行线交AC于点。，求线段尸。的最大值.

压轴专题01二次函数（线段周长面积问题）

技法全归纳

考法一单线段最值

1.（1）设函数表达式上动点坐标：设动点的横坐标，代入函数表达式得到动点的纵坐标.

（2）表示竖直方向的线段长：结合函数图象，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标可得线段长.

（3）表示水平方向的线段长：结合函数图象，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标可得线段长.

（4）表示不与坐标轴平行的线段长（斜线段）：第一步：以所求线段长为一边构造直角三角形；

第二步：找与其相似的直角三角形（一般情况下，二次函数与坐标轴交点构成的直角三角形与其

相似）；第三步：利用三角函数或相似列等量关系求解.

考法二线段和（差）最值（将军饮马）

2.两定点+一动点（动点在直线上）

（1）两定点A,B位于直线1异侧：如图1,连接AB,与直线1的交点即为P,此时PA+PB的

最小值为AB的长；如图2,作点B关于直线1的对称点B',作直线AB',与直线1的交点即为P,

此时IPA-PB|的最大值为线段AB，的长.

（2）两定点A,B位于直线1同侧：如图3,作点B关于直线1的对称点B）连接AB）与直线

1的交点即为P,此时PA+PB的最小值为AB，的长；如图4,连接AB并延长，与直线1的交点

即为P,此时IPA-PB|的最大值为线段AB的长.

图3图4

3.一定点+两动点（动点分别在两条直线上）

（1）如图1,点P是定点，点A,B分别是直线4，右上的动点，作点P关于直线4的对称点P'，

作PB_L/2于点B,交直线4于点A,此时PA+AB的最小值为线段PB的长.

(2)如图2,点P是定点，点A,B分别是直线乙，上的动点，分别作点P关于两直线的对称

点P和P〃，连接PP〃，与两直线交点即为点A,B,此时4PAB周长的最小值为线段PP"的

长.

图1

4.两定点+两动点(动点分别在两条直线上)

(1)如图1,点P,Q是定点，点M,N分别是直线八4上的动点，分别作点Q，P关于直线4,

4的对称点Q'和P'，连接QTT与两直线交点即为点M,N,此时四边形PQMN周长的最小值

为线段Q'P+QP的长.

(2)如图2,点A,B分别是直线6，4上的定点，点M,N分别是直线上的动点，作点A

关于直线/2的对称点A)作点B关于直线乙的对称点B)连接A，B，交直线4于点M,交直线4于

点N,此时AM+MN+NB的最小值为线段A，B，的长.

考点三：二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：

1)当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下:

一般步骤为：①设出要求的点的坐标;

②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差;

③列出关系式求解；

④检验是否每个坐标都符合题意.

2)用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.

3)利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示:

直线力〃直线n

S/XABC=S/\ABD=SAABE

一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等;

②通过已知点的坐标，求出直线解析式；

③求出题意中要求点的坐标；

④检验是否每个坐标都符合题意.

等：典题固基础

例题1.(24-25九年级上•江苏连云港•模拟练习)如图，二次函数〉=。(％-1)2的图象经过点人(-1,4),与y

轴交于点8,C、。分别为无轴、直线无=1上的动点，当四边形ABCD的周长最小时，则点。的坐标

为.

【分析】本题考查了二次函数解析式的确定，对称点的确定与求解，三线段和最小问题，分别构造定点关

于X轴，对称轴的对称点是解题的关键.先把点A代入解析式，确定函数的表达式，根据A2的长是定值，

想使四边形ABC。的周长最小，只需CB+CD+D4的和最小，为此过点A作对称轴尤=1的对称点E,作点

8关于x轴的对称点色连接所，交无轴于点C,交对称轴于点八，此时四边形A58的周长取得最小值，

据此求解即可.

【详解】解：作点A关于对称轴x=l的对称点E,则E（3,4）,作点8关于x轴的对称点尸,

连接跖交x轴于点C,交对称轴于点。，此时四边形ABC。的周长取得最小值,

将点A（T4）代入y=-丁得4a=4,

解得：a=l,

•••抛物线解析式为y=（x-l『=f-2x+l,

二点8坐标为（0,1）,

则点*0,-1）,

设CD所在直线解析式为y=mx+n,

/、/、[3m+n=4

将E（3,4）,尸（0,-1）代入得〃=,

一5

一"m=—

解得，3,

〃=-1

所以CO所在直线解析式为y=

2

当％=1时，y=-,

故答案为:3

13

例题2如图，已知二次函数了=-5好+：》+2图象与x轴交于A,c两点，与y轴交于点艮

(1)连结2(7,求直线BC的解析式；

(2)点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当ABCP的面积最大时，求P点的坐标及ABCP面积的最大

值.

【答案】(l)y=+2

(2)A3CP面积的最大值为2,此时尸(1,3)

【分析】(1)求出5,C两点坐标，利用待定系数法求解；

131

(2)过尸点作PQ〃，轴交BC于点Q,设尸亿-万产+了+2),则-z+2),然后构建二次函数，利用

二次函数的性质求解.

13

【详解】(1)解：・.・对于y=-5》2+：尤+2,

令龙=0,可得y=2,

.••5(0,2),

13

令y=0,可得/+—尤+2=0,

22

解得x=-l或4,

.•.A(-l,0),C(4,0),

设直线BC的解析式为y=kx+2,

4k+2=0,

解得左=I.

，直线BC的解析式为y=+2；

（2）解：过P点作尸。〃y轴交BC于点

131

P(t,——t2+—/+2),则Q。,--t+2),

1°311

...PQ=——t2+-t+2+-t-2=——t92+2t,

2222

.-.S=1x4x(-r+2力=-It2+4f=-2(r-I)2+2,

当f=l时，ABCP的面积最大，面积的最大值为2,此时尸(1,3).

S新题型特3

1.（24-25九年级上•江苏徐州•期中）如图，二次函数y=-/+3x+4的图象与x轴交于点A、B,与y轴

交于点C.点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，过点尸作PELx轴于点E,交BC于点、G,作PF1BC

，点C的坐标是,

（2）当S“PCB=6时，求出点尸的坐标;

⑶当APFG的周长最大时，求点P的坐标.

【答案】（1）（4,。），（0,4）

（2）。,6）或（3,4）

⑶（2,6）

【分析】本题主要考查考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法

求一次函数解析式等知识.

（1）分别令＞=0,x=0,即可求解;

（2）利用待定系数法可得直线的解析式为y=-x+4,设点尸的坐标为（机，-苏+3机+4）,则点G的坐

标为（私-机+4）,可得PG=-痉+4加，再根据Lcs=6,建立方程求解即可;

（3）先证得△PfG是等腰直角三角形，可得PF=FG=*PG,设点尸的坐标为（",-/+3〃+4）,则点G

的坐标为（〃厂"+4）,可得PG=-〃2+4〃，进而可得△PPG的周长，运用二次函数的性质即可求得答案.

【详解】（1）解：当y=。时，f；2+3x+4=0,

解得：士=4,%=-1,

3(4,0),4(-1,0),

当x=0时，y=4,

.•.点。（0,4）；

故答案为：（4,0）；（0,4）:

（2）解：设直线BC的解析式为，=履+6,

把点（4,0）,（0,4）代入得:

4k+b=0k=-l

b=4,解得:

b=4

/.直线BC的解析式为y=-x+4,

设点尸的坐标为。f2+3加+4）,则点G的坐标为（机-机+4）,

PG=(-府+3m+4)-(—m+4)=—m2+4m,

S/CB-6,

：.-PGxOB=6,

2

即:(-m2+4m)x4=6

解得：机=1或3,

・••点P的坐标为（1,6）或（3,4）；

(3)解：•・,点3(4,0)，点。(0,4),

OB=OC=4,

：.ZOBC=ZOCBf

丁ZBOC=90。,

・•・ZOBC=Z.OCB=45°,

・・・?石，％轴，PF1BC,

/BEG=NPFG=90。,

：.ZPGF=ZBGE=45°,

・•・△瓦G是等腰直角三角形，

PF=FG=—PG,

2

设点尸的坐标为(〃-〃2+3〃+4),则点G的坐标为+4),

PG=(-n2+3〃+4)-(-〃+4)=-+4〃,

・・・的周长=PG+PF+FG

・・・当〃=2时，△尸尸G的周长最大，最大值为4亚+4,此时点尸的坐标为（2,6）.

2.（24-25九年级上•江苏徐州•期中）如图，抛物线y=-%2+"+c与直线＞二犬+2相交于A（-2,0）,B（3,m）

两点，与天轴相交于另一点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与43重合)，过点尸作直线尸轴于点£),交直线

于点E,当PE=2£D时，求尸点坐标；

(3)当点P运动到什么位置时，APAB的面积有最大值？

(4)抛物线上是否存在点M使的面积等于VA3C面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若

不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=—Y+2x+8

⑵尸。，9)

【分析】(1)把3(3,m)代入y=x+2求出8(3,5),再用待定系数法可得抛物线的解析式为y=+2尤+8；

(2)设尸),-9+2/+8),则即J+2),£>(f,0),由PE=2DE,可得一及+2r+8-。+2)=2。+2),解出f的值可

得户的坐标为(1,9)；

(3)根据5必扉=：2£4。+；尸£/7列出二次函数解析式求解即可；

(4)过M作院〃〉轴交直线于K,求出C(4,0),知AC=6,可求出/谢=15,设“(机，-机'+2机+8),

则K(»v〃+2),可得及长=卜汴+m+&,s=||-m2+/77+6|,根据AABM的面积等于ABC面积的一半，

有+/"+6|=5xl5,可得—毋+刃+6=3或—+〃?+6=—3,解出加的值可得答案.

【详解】(1)解：把8(3,加)代入y=.x+2得：加=3+2=5,

・•・8(3,5),

把A(—2,0),3(3,5)代入y=——+—+。得：

J-4—2Z?+c=0

[-9+3b+c=5'

\b=2

解得。,

[c=8

抛物线的解析式为y=-/+2x+8；

(2)解:设尸产+2f+8),则EQJ+2),D(f,0),

•;PE=2DE,

.,.-r2+2r+8-(r+2)=2(r+2),

解得t=l或r=-2(此时P不在直线A3上方，舍去)；

二.尸的坐标为(L9)；

⑶解：S^^PE-AD+^PE-h

^^PE\AD+h)

=-PEx5

2

.,•当机=：时，等，

，O

此时尸

(4)解：抛物线上存在点M,使△河1的面积等于VABC面积的一半，理由如下:

过M作研〃y轴交直线AS于K,过点2作3E_LMK,延长A/K交无轴于点尸，如图:

解得％=-2或%=4,

.•.4—2,0),C(4,0),

.-.AC=6,

・・・3(3,5),

•*-SvABC=-X6X5=15,

设+2m+8),则K(m,m+2),

/.MK=|—m2+2m+8—(m+2)|=|—m2+m+6|

：

•S^M=^MK-BE+^MK-AF=^MK(BE+AF)=^MK-\XB-XA\

*,*S/BM=4一根2+加+6,5=总—加2+加+6卜

QVABM的面积等于VABC面积的一半,

/.—I—m2+m+6|=—xl5,

21I2

/.|—m2+m+6|=3,

-m2+机+6=3或-m2+m+6=-3,

解得m=1±恒或机=1±厉，

22

一的坐标为（子,匕为或占空，叮当或上产，百亘）或占产

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解

一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度.

3.(24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习)如图，已知抛物线,=依2+云+c(awO)的对称轴为直线x=-l,

且抛物线经过A(1,O),C(O,3)两点，与x轴交于点8.

⑴若直线＞=〃a+〃经过8,C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=-l上找一点使舷4+MC的值最小，求点〃的坐标；

⑶设P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使ABPC为直角三角形的点P的坐标.

2

【答案】⑴y=x+3,y=-x-2x+3

⑵(T2)

⑶点P的坐标为(--2)或(-1,4)或卜，三步1或一1，上产］

【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等;

(1)用待定系数法即可求解；

(2)设直线BC与对称轴x=-l的交点为跖则此时MA+MC的值最小，进而求解；

(3)分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可.

【详解】(1)抛物线的对称轴为直线x=-l,且抛物线经过A。，。)，

/.8(-3,0),

设抛物线的表达式为y=a(x-D(x+3),

将C(0,3)代入上式得：3=a(O-l)(O+3),解得。=—1,

，抛物线的解析式为：丁=-(%-1)(%+3)=-炉一2彳+3；

3=〃

把8(-3,0),。(0,3)代入'=〃箕+〃得：

0=—3m+n

n=3

，解得

m=l'

，直线的解析式为y=x+3；

(2)设直线BC与对称轴x=-l的交点为则此时MA+MC的值最小,

把x=T代入直线尸*+3得y=2,故M(T,2),

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2)；

(3)设P(T。，

•.•3(-3,0),C(0,3),

ABC2=18,PB2=(-1+3)2+/12=4+?2,PC2=(r-3)2+l,

若点B为直角顶点时，贝I]BO?+pg=pc?,

即18+4+产=«-3)2+l,

解得t=-2；

若点C为直角顶点时，贝！JBP+PC?=P*,

BP18+(z-3)2+l=4+r

解得f=4,

若P为直角顶点时，则依2+尸。2=3。2,

4+产+(-3)2+1=18,

解得U延应，

2

综上，点P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或-1,药翌或卜1,

4.如图，二次函数的图像与无轴交于4(-3,0)和3(1,0)两点，交y轴与点C(0,3),点C,。是二次函数图象

上的一对对称点，一次函数的图像过点B,D.

yyy

(i)求二次函数解析式；

(2)求出顶点坐标和点D的坐标；

(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点使ABOW的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请

说明理由.

(4)若。是线段上任意一点，过点。作轴交抛物线于点P,则点尸坐标为多少时，尸。最长？

【答案】(1)y=-犬-2尤+3

⑵顶点坐标为(T4)；点C(0,3)关于对称轴的对称点D的坐标为(-2,3)；

⑶存在，Af(-1,2)

⑷点P坐标为时，尸。最长.

【分析】(1)由抛物线与无轴的交点坐标人(-3,0)和3(1,0),设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),将点

C(0,3)代入求得。的值，即可得到答案；

(2)由y=—(x+3)(尤一1)=一/-2尤+3=-"+1)2+4,得到顶点坐标，由抛物线的对称轴为直线％=-1,得

到点D的坐标；

(3)要使ABCM的周长最小，只需MB+MC最小即可，点A和3关于直线x=-l对称，连接AC交直线x=-l

于点求出直线AC的解析式，求得交点M的坐标即可；

(4)先求直线8D的解析式y=-x+l,设点尸的坐标是«,-/-2/+3),则点。的坐标是Q&f+l),表示

出尸。的长度，根据二次函数的性质求得最大值即可.

【详解】(1)解：由抛物线与x轴的交点坐标A(-3,0)和3(1,0),设抛物线的解析式为广。(彳+3乂彳-1),

将点C(0,3)代入，得：-3a=3,

解得：a=-l,

贝U抛物线的解析式为y=-(x+3)(x—l)=—f-2x+3.

(2)y=—(x+3)(尤一1)=—尤2—2尤+3=—(x+l)~+4,

，顶点坐标为(T,4),抛物线的对称轴为直线x=-1,

点C(0,3)关于对称轴的对称点D的坐标为(-2,3)；

(3)存在，要使ABCM的周长最小，只需MB+MC最小即可，

:点4和B关于直线尤=-1对称，连接AC交直线x=-1于点

，MB=MA,

则MB+MC=AM+MC2AC,

.•.点M满足题意，

设直线AC的解析式为尸丘+旭,把点A(TO)和C(0,3)代入得,

]一3左+m=0

则3，

|m=3

[k=\

解得2，

[m=3

，直线AC的解析式为y=x+3,

设点M的坐标是“(T,〃)，

贝|]〃=-1+3=2,

即点M(-1,2)为所求.

(4)如图,

设直线8£>的解析式为y=PX+q,把点3(1,0)和点。(-2,3)代入得，

[0+4=0

[-2p+q=3'

解得尸；，

Iq=i

二直线8。的解析式为>=-尤+1,

设点尸的坐标是—2,+3),则点Q的坐标是Q&T+1),

则尸°=一/一2.+3—(—/+1)=——一/+2=—上+g[+',

a=-l<0,

19

.•.当/=一(时，PQ有最大值为

24

-2-+3=，

此时_/_2r+3=_]_g)X(1}T

即点尸坐标为,；，皆时，PQ最长.

【点睛】此题主要考查了二次函数几何综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

5.(2022.江苏镇江.中考真题)一次函数y=；x+l的图像与X轴交于点A,二次函数y=加+法+。(。H0)的

图像经过点A、原点。和一次函数y=gx+l图像上的点-

图1图2

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)如图1,一次函数丁=3+九｝>-2九W1)与二次函数丫=依2+乐+C("0)的图像交于点0(西,%)、

7

D(x2,y2)(王<龙2)，过点C作直线/Jx轴于点E,过点O作直线轴，过点5作①，4于点尸.

①再=,x2=(分别用含〃的代数式表示)；

②证明：AE=BF；

(3汝口图2,二次函数y=a(xT)2+2的图像是由二次函数y=G2+bx+c(aH0)的图像平移后得到的，且与

一次函数y=gx+l的图像交于点p、Q(点P在点。的左侧)，过点P作直线轴，过点。作直线

轴，设平移后点A、2的对应点分别为A、B',过点A作于点M，过点3'作B'N，。于点N.

①AM与3W相等吗？请说明你的理由；

②若AM+33'N=2,求♦的值.

【答案】(l)y=f+2x

(2)①-3-'9+也-3+J9+16”；②见解析

44

⑶①A'M=3'N,理由见解析；②3

【分析】(1)通过一次函数表达式可以求出A、2两点坐标，将A、2、C三点坐标代入二次函数表达式即

可求解；

(2)①通过联立关系式可得：^x+n=x2+2x,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到占,当

的值；

②通过A(-2,0),6(-3-J9+1包二0)即可求出A2的长度;

通过呜》即可求出政的长度;

（3）①通过二次函数平移前后的表达式可以确定新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移«+1）

个单位，向上平移3个单位得到的，从而可以得到：4。-1,3）,8,+看?）.通过联立关系式可得：

1

（x-r）92+2=1x+l,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到点八点。的横坐标，通过坐标

即可表示出AM、B'N的长度.

②由①可得5-'8-15=’,求解即可.

42

【详解】（1）令y=。，则1+1=0,解得槌=一2,

2

AA（-2,0）,

将点B1肛代入y=gx+l中，解得加=g,

・••点B的坐标为（《,?）.

24

将A（-2,0）,,。（0,0）代入丁=依2+法+。（。H0）可得：

4〃一2b+<?—0c1

{^-a+^-b+c=^-,解得：<6=2,

424八

八c=0

c=0i

•••二次函数的表达式为y=d+2x.

（2）①：一次函数y=；x+〃1与二次函数y=ox2+6x+c（aW0）的图像交于点C（X［，x）、

。3％）（王<々），

，联立关系式得：—x+n=x~+lx,

整理得：x1+-x-n=G,

2

9

得

解4--3-j9+16z?,_+匕+4〃_-3+J9+16”，

24

—3—19+16〃—3+《9+16”

故答案为:,X->—

424

②当〃>1时，CO位于A5的上方，・.・4（一2,0）、Bl

3一3+）+而二+J+4”-»+J+4〃

BF——2V4------12丫4

AE=-2-22

22222

JAE=BF,

9

当一时，C。位于45的下方，同理可证.

16

故可得：AE=BF；

（3）方法一：

①・・•二次函数y=f+2兄图像的顶点为,

二次函数y=（x-y+2的图像的顶点为亿2）,

•••新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移«+1）个单位，向上平移3个单位得到的.

4（-2,0）的对应点为A（I,3）,叫部勺对应点为

91

联立关系式可得：（％-。+2=]%+1,

整理得：-（2/+万）冗+，+1=。，

815

△=-----,

4

当/＞与时，解得：8=竺士巫三亘，*+1+反走,

8p464

,34f+l+V8r-155-V8/-154f+l—j8I5z,、5-y/8t-15

24444

AM=B'N.

②AM+3B'N=2,AM=B'N.

：.A'M=B'N=~,

2

.5—18t-151

••---------——,

42

解得f=3.

方法二：

①设P、Q平移前的对应点分别为P、Q',则P'Q'〃尸Q.

则尸'。'〃48,

B'平移前的对应点分别为A、B,

由（2）②及平移的性质可知，AM=B'N.

②；直M+3B'N=2,

：.A'M=B'N=~,

2

到y轴的距离为3，点。是y轴与二次函数y=Y+2x的图像的交点，

平移后点0的对应点即为点Q.

•••二次函数y=W+2尤图像的顶点为（-1,-1）,

二次函数y=（x—）2+2的图像的顶点为亿2）,

...新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移。+1）个单位，向上平移3个单位得到的.

.\Q（t+l,3）,将点Q的坐标代入y=*+l中,解得f=3.

另解：

AM+3B'N=2,

：.A'M=B'N=-,

2

叫,的对应点为8"+|,野

,/B'N=-,

2

•••点。的横坐标为r+1,代入产;x+i,得y=

++将点。的坐标代入y=（x-y+2中，解得f=3.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长

度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是

解决本题的关键.

6.如图，抛物线y=o?+6x+3交x轴于A（3,0）,3（-1,0）两点，交V轴于点C,动点尸在抛物线的对称轴

上.

备用图

(1)抛物线的函数表达式为;

⑵当以P,B,C为顶点的三角形的周长最小时，求点尸的坐标及△PBC周长的最小值.

【答案】(1)>=--+2x+3；

⑵点P的坐标为(1,2),△P3C周长的最小值是3忘+W.

【分析】(1)将4(3,0),8(-1析)两点代入即可求解;

(2)连接8尸、CP、AP,由二次函数对称性可知，BP=AP,得至IjBP+CPnAP+CP,当C、P、A三点

共线时，△P3C的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解；

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题，熟练掌握二次函数的性质是

解题的关键.

【详解】(1)解：：抛物线y=i+6x+3交x轴于