2025年江苏中考数学压轴题分项汇编：二次函数（相似三角形问题）原卷版+解析

压轴专题04二次函数(相似三角形问题)

背：技法全归纳

知识考点与解题策略

【解题思路】

相似三角形存在性问题解题的一般步骤：

i.找等角：寻找两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角或内错角(同位角)，或通过

互余(互补)进行转化等方法得到的等角.

2.求点坐标：(1)根据两组边成比例列关系式；

(2)根据另一组角相等求坐标.

1

典题固基础

例题1(24-25九年级上•江苏徐州•阶段练习)如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、E(3,0)两

(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积；

(3)AAOB与ADBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由.

例题2如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物

线丫=(x-h)2+k,所得抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,顶点为D.

D

(1)求h、k的值；

(2)判断AACD的形状，并说明理由；

(3)在线段AC上是否存在点M,使AAOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明

理由.

S新题型特3

1.(24-25九年级上•江苏镇江•阶段练习)如图，已知二次函数y=，-2依+3("0)的图象与x轴交于4、

8两点，交y轴于点c,S.OC=3OA.

⑴求该二次函数的表达式；

(2)点G是直线2C上方抛物线上的动点，连接3C、GC、GB,求G3c面积的最大值.

⑶将直线AC绕点C逆时针旋转90。，交抛物线于点。，求。点坐标.

2.(24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习)如图，抛物线,=-/+4尤+5与x轴交于A、B两点，且与V轴交

于点C,直线y=-x-l经过点A且与抛物线交于另一点。.

⑴填空：写出下列点的坐标A；B；C；

(2)设点P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接序、PD,求的面积的最大值；

(3)Q点在x轴上且位于点B的左侧，若以Q,B,C为顶点的三角形与相似，求点。的坐标.

3.(24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，直线，=丘+4与x轴交于点A(-4,0),

与y轴交于点C,抛物线＞经过A,C两点且与x轴的正半轴交于点B.

(2)如图1,若点D为直线AC上方抛物线上一动点，连接AD,当NC4D+N3CO=45。时，求。点的坐标；

(3)如图2,若尸是线段0A的上一个动点，过点尸作直线E尸垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、E,

连接CE.设点E的横坐标为机，是否存在以C,G,E为顶点的三角形与“AFG相似，若存在，直接写出加

的值；若不存在，请说明理由.

4.(24-25九年级上•江苏苏州•期末)直线丫=-3元+3与x轴交于点8,与y轴交于点C,抛物线+c

经过8,C两点，与x轴的另一交点为A,连接AC,点尸为AC上方的抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，连接3P,交线段AC于点。，若PD:B£>=5:16,求此时点尸的坐标；

(3)如图②，连接尸C.过点尸作PEy轴，交线段AC于点E,若APCE与VA8C相似，求出点尸的横坐标

及线段PE长.

5.(24-25九年级下•江苏•专题练习)如图，已知过坐标原点的抛物线经过A&,0),B5,3)两点，且,、

%是方程f+5尤+6=0两根(百>4)，抛物线顶点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点。在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、。、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求

点E的坐标；

(3)产是抛物线上的动点，过点尸作尸轴，垂足为是否存在点尸使得以点尸、。为顶点的三

角形与3OC相似？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

6.(24-25•江苏苏州•阶段练习)如图，抛物线y=尤+c与x轴的一个交点为A(-2,0),与y轴的交

点为3(0,4),对称轴与x轴交于点P.

备用图

（1）求抛物线的解析式；

⑵点M为y轴正半轴上的一个动点，连接40,过点M作A〃的垂线，与抛物线的对称轴交于点N,连

接4V.

①若4团V与VA08相似，求点M的坐标；

②若点”在y轴正半轴上运动到某一位置时，AAW有一边与线段AP相等，并且此时有一边与线段AP具

有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请直接写出“对称点”M的坐标.

7.（24-25九年级下•江苏无锡•阶段练习）如图，抛物线＞=?展/+云+。与X轴交于A、B两点、（点A在点3

左边），与y轴交于点C.直线y=1x-2经过8、C两点.

______________\、.

（1）求抛物线的解析式;

（2）点P是抛物线上的一动点，过点尸且垂直于x轴的直线与直线3c及x轴分别交于点。、M.PN±BC,

垂足为N.设M（祖，0）.当点P在直线3c下方的抛物线上运动时，是否存在一点尸，使APNC与AAOC

相似.若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

点8(4,0),点C(0,4).连接AC,BC.

⑴求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式;

（2）点。在x轴正半轴上，当以点。、0、C为顶点的三角形与△AOC相似时，求点。的坐标.

（3）在（1）的抛物线上找一点£,使得怛E-CE|的值最小并求点£的坐标.

9.已知在平面直角坐标系xQy中，抛物线,=加+法+《。片0）经过点A（-l,0）、3（3,0）、C（0,3）三点,

点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G.

备用图

⑴求该抛物线的解析式；

⑵连接CG、BG,求GCB的面积；

(3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M,平面内是否存在一点N,使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？

若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；

(4)连接AD、BD,将抛物线向下平移后，点。落在平面内一点E处，过2、E两点的直线与线段AD交于

点、F,当一BDF与一®相似时，直接写出平移后抛物线的解析式.

(2)如图1,作直线x=t(O<f<3),分别交x轴，线段BC,抛物线于£),E,F三点、,连接CP.若7BDE

与△CEF相似，求f的值;

(3)如图2,过BC的中点7/作动直线(异于直线BC)交抛物线于N两点，若直线MC与直线3N

交于点P.证明：点尸在一条定直线上运动.

11、(24-25九年级上•山东东营•阶段练习)如图，已知抛物线y=-F+法+c经过4(0,3)和《；-：)两点,

直线A5与％轴相交于点C,尸是直线AB上方的抛物线上的一个动点，P£>_L九轴交A5于点。.

⑴求该抛物线的表达式；

⑵若PE尤轴交AB于点E,求PD+PE的最大值；

(3)若以A,P,。为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P的坐标.

12.(2025九年级下•江苏•专题练习)如图，已知二次函数y=-f+bx+c的图象与x轴交于点4-4,0)和点

B,与y轴相交于点C(o,4).

备用图

(1)求该二次函数的解析式；

⑵点。在线段Q4上运动，过点。作x轴的垂线，与AC交于点Q,与抛物线交于点P.探究是否存在点P

使得以点P,C,。为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理由.

13.如图，已知抛物线、="2+法-3与x轴交于A、B两点，与了轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的

圆心M(l,⑺恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为石，设，"与y轴交于。，抛物线的顶点为E.

(1)求加的值及抛物线的解析式；

(2)若尸在抛物线第四象限上，求使四边形O3FC的面积最大时的点尸的坐标；

(3)探究坐标轴上是否存在点尸，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似？若存在，请指出点尸的位

置，并求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图，在矩形Q4BC中，49=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在Q4边

上的点E处.分别以OC,OA所在的直线为X轴，)轴建立平面直角坐标系，抛物线>=依2+法+。经过0,

D,C三点.

(1)求AD的长及抛物线的解析式；

(2)一动点尸从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点。从点C出发，沿CO以每

秒1个单位长的速度向点。运动，当点尸运动到点C时，两点同时停止运动.设运动时间为，秒，当，为何

值时，以尸、。、C为顶点的三角形与VAOE相似？

15.(24-25九年级上•江苏南京•期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：>=一/十区十。过点人。,2)、

点8(0,2),顶点为点C,抛物线M的对称轴交x轴于点D

)八

1-

---------1-----1-----1----->

O1x

⑴直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标；

⑵点尸在x轴上，当，AOP与ACD相似时，求点P坐标.

16.（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）如图，抛物线y=-d+3x+4与x轴交于A,B两点（点A位于

点3的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴/与x轴交于点M长为1的线段尸。（点尸位于点。的

上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动.

⑴直接写出A,B,C三点的坐标；

（2）求CP+PQ+少的最小值以及此时点P的坐标；

⑶过点尸作尸M，y轴于点M,当ACPM和AOBN相似时，求点Q的坐标.

17.（24-25九年级上•江苏泰州•阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线氏y=-/+6x+c经过

点A（-3,-l）,与y轴交于点3（0,2）.

（1）求抛物线的函数表达式;

（2）在直线上方抛物线上有一动点C,连接OC交AB于点。，求—的最大值及此时点C的坐标.

18.如图，抛物线y=-/+3x+4与x轴交于A,2两点（点A位于点8的左侧），与y轴交于C点，抛物

线的对称轴/与x轴交于点N,长为1的线段PQ（点P位于点。的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运

⑴直接写出A,B,C三点的坐标；

⑵过点尸作尸河，y轴于点M,当ACPM和—QBN相似时，求点。的坐标.

19.在平面直角坐标系中，二次函数>=/+笈+2的图像与无轴交于A(-3,0),3(1,0)两点，与y轴交于点

C.

⑴求a,。的值；

(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P,使△ACP的面积最大？若存在，求出点尸的坐

标；若不存在，说明理由；

(3)点。是直线AC上方抛物线上一动点，过点。作无轴于点£,是否存在点0.使以点2、Q、E为

顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出。点的坐标；若不存在，说明理由.

20.如图，已知二次函数〉=1(彳+2)(办+6)的图象过点4(-4,3),8(4,4).

48

(1)求二次函数的解析式；

(2)请你判断是什么三角形，并说明理由.

⑶若点尸在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作垂直x轴于点试探究是否存在以「、H、

。为顶点的三角形与VABC相似？若存在，求出尸点的坐标.若不存在，请说明理由.

21.如图，已知抛物线y=aN+bx+c(分0)经过A(-l,0),8(4,0),C(0,2)三点.

(1)求这条抛物线和直线BC的解析式；

(2)E为抛物线上一动点，是否存在点£,使以A、B、E为顶点的三角形与AC03相似？若存在，试求出

点E的坐标；若不存在，请说明理由

压轴专题04二次函数(相似三角形问题)

司技法全归纳

知识考点与解题策略

【解题思路】

相似三角形存在性问题解题的一般步骤：

i.找等角：寻找两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角或内错角(同位角)，或通过

互余(互补)进行转化等方法得到的等角.

2.求点坐标：(1)根据两组边成比例列关系式；

(2)根据另一组角相等求坐标.

学：典题固基础

例题1(24-25九年级上•江苏徐州•阶段练习)如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、E(3,0)两

(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积；

(3)△AOB与ADBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由.

【答案】(1)y=-M+2x+3；(2)9；(3)AAOBSADBE.理由见解析.

【分析】(1)易得c=3,故设抛物线解析式为y=ax2+bx+3,根据抛物线所过的三点的坐标，可得方程组,

解可得a、b的值，即可得解析式；

(2)易由顶点坐标公式得顶点坐标，根据图形间的关系可得四边形ABDE的面积=SABO+S梯形BOFD+SDFE

代入数值可得答案;

(3)根据题意，易得NAOB=NDBE=90。，K—=—=即可判断出两三角形相似.

BDBE2

【详解】解：(1);抛物线与y轴交于点(0,3),

，设抛物线解析式为y=ax?+bx+3(a#0)

a-b+3=0

根据题意，得

9a+3b+3

a=-1

解得

b=2

抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

(2)如图，设该抛物线对称轴是DF,连接DE、BD.过点B作BGLDF于点G.

由顶点坐标公式得顶点坐标为D(1,4)

设对称轴与x轴的交点为F

四边形ABDE的面积=SABO+S梯形BOFD+SDFE

=1AO«BO+1(BO+DF).OF+3EF,DF

=1xlx3+|x(3+4)Xl+gx2x4

=9；

(3)相似，如图,

BDXBG+DG2

•*-BE=SJBO2+OE2=3叵

DE=7DF2+EF~=2若

.".BD2+BE2=20,DE2=20

即：BD2+BE2=DE2,

所以ABDE是直角三角形

/.ZAOB=ZDBE=90°,5.—=—=^,

BDBE2

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式及

相似三角形的判定定理的应用.

例题2如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物

线y=(x-h)2+k,所得抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,顶点为D.

(1)求h、k的值；

(2)判断4ACD的形状，并说明理由;

(3)在线段AC上是否存在点M,使AAOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明

理由.

【答案】(1)h=-1,k=-4(2)△ACD是直角三角形；(3)见解析

【详解】试题分析：(1)根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到h、k的值；

(2)根据(1)题所得的抛物线的解析式，即可得到A、C、D的坐标，进而可求出AC、AD、CD的长，

然后再判断△ACD的形状；

(3)易求得B点的坐标，即可得到AB、AC、OA的长;△人0乂和4ABC中，已知的相等角是/OAM=NBAC,

若两三角形相似，可考虑两种情况：

@ZAOM=ZABC,此时OM〃BC,△AOM^AABC；®ZAOM=ZACB,此时△AOMs^ACB；

根据上述两种情况所得到的不同比例线段即可求出AM的长，进而可根据/BAC的度数求出M点的横、纵

坐标，即可得到M点的坐标.

解：(1),.,ynxz的顶点坐标为(0,0),

；.y=(x-h)2+k的顶点坐标D(T,-4),

.'.h=-1,k=-4(3分)

(2)由(1)得丫=(x+1)2-4

当y=0时，

(x+1)2-4=0

Xl=-3,X2=l

/.A(-3,0),B(1,0)(1分)

当x=0时，y=(x+1)2-4=(0+1)2-4=-3

；.C点坐标为(0,-3)

又：顶点坐标D(-1,-4)(1分)

作出抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E

作DFLy轴于点F

在RtAAED中，AD2=22+42=20

在RtAAOC中，ACM2+32=18

在RtACFD中，CD2=12+12=2

VAC2+CD2=AD2

.,.△ACD是直角三角形;

(3)存在.由(2)知，OA=3,OC=3,贝必AOC为等腰直角三角形，NBAC=45。；

连接OM,过M点作MGLAB于点G,

AC=

①若△AOMsAABC,则想

ABAC

3X3^蚯

日SnP3_AM

7W人乂=

44

VMGXAB

VM点在第三象限

AM()；

②若AAOMsaACB,则整端,

ACAD

3AM

即Bri砺F

OG=AO-AG=3-2=1

VM点在第三象限

AM(-1,-2).

综上①、②所述，存在点M使△AOM与△ABC相似，且这样的点有两个，其坐标分别为()，(-1,

2).

练新题型特训

1.(24-25九年级上•江苏镇江•阶段练习)如图，已知二次函数、=依2-2以+3(。*0)的图象与x轴交于A、

2两点，交了轴于点C,且OC=3O4.

⑴求该二次函数的表达式；

(2)点G是直线上方抛物线上的动点，连接3C、GC、GB,求G3C面积的最大值.

⑶将直线AC绕点C逆时针旋转90。，交抛物线于点Q,求。点坐标.

【答案】(l)y=-d+2x+3

【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的关系式，函数最值问题，旋转问题相似三角形的判定与性

质等知识.

(1)令兀=0,求出7=3,得点C(0,3),OC=3,由℃=3Q4得。4=1,A(—1,0),

把A(-l,0)代入y=ax2-2ax+3(aw0),求出〃=一1,故可求出y=-x2+2x+3；

(2)过点G作GEU轴于点E,求出3(3,0),设G(x,-V+2x+3),得OE=x,BE=3—x,GE=-x2+2x+3,

根据SBGC=S梯形COEG+SBGE-SB"得二次函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得结论；

(3)证明一AOCsCPO,求出。尸=9,得尸(9,0),运用待定系数法求出直线PC的解析式，联立方程组并

求解即可得出点G的坐标.

【详解】(1)解：对于y=依？-2(xv+3(a*0),当x=0时，y=3,

・・・C（0,3）,

・•・0C=3,

OC=3OA,

：.OA=1,

・・・A（-1,O）,

才巴A（-1,O）代入,=依2一2〃%+3（〃。0）,得：

a+2a+3=0,

解得，a=—l,

・••二次函数解析式为：k7+2%+3；

（2）解：对于y=「？+2%+3,令y=0,得一%2+2%+3=0,

解得，xl=-l,x2=3f

・・・5（3,0）,

・・・03=3,

过点G作GELx轴于点

rV

/OEB

设G（%,-%2+2%+3）,则。£=尤，BE=3—x,GE=—x2+2x+3,

又SBGC~S梯形COEG+SBGE—SBOC

：.SBGC=g（GE+OC）OE+gBEGE—goBOC

•**G5c面积有最大值，最大值为打；

O

(3)解：设02的延长线交X轴于点P,

根据题意得NACP=90。,

/.ZACO+ZPCO=90°,

又NQAC+ZACO=90。,

ZOAC=ZOCP,

又ZAOC=ZCOP=90°,

，ACOs_cPO,

.AOCO

••而一拓’

••§一”

.・・PO=9,

・・・P（9,0）,

设直线PC的解析式为y=kx+b,

把C（0,3）,尸（9,0）代入y=Ax+b,得:

色=3

19左+人=0'

b=3

解得，71，

13

・•・直线PC的解析式为J=-1x+3,

1。

y___尤+3

联立方程组得「一3,

y=-X2+2x+3

7

,/C（0,3）,

2.（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）如图，抛物线y=-Y+4x+5与x轴交于43两点，且与y轴交

于点C,直线y=-x-l经过点A且与抛物线交于另一点。.

（1）填空：写出下列点的坐标A；B；C

（2）设点P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接序、PD,求的面积的最大值;

⑶。点在x轴上且位于点B的左侧，若以Q,B,C为顶点的三角形与△ABD相似，求点。的坐标.

【答案】⑴（一1,0）,3（5,0）,（0.5）；

⑵最大值为3当43；

O

(3)。点坐标为［，"或［］，"•

【分析】(I)当y=o时，解出X的值，即可知道A3点坐标；当尤=。时，解出y的值，即可知道C点坐

标；

(2)过户点作*轴的垂线，与无轴交于G点，与4)交于尸点，过。点作工轴的平行线，与尸尸的延长线

交于“点，设P(珞-?9t+),求出尸尸长度，再转化△产相＞的面积，得到

SPAD=-x(-r+5r+6)x7=--p--Y+—,进而可求出面积最大值；

2212)8

(3)通过计算可得NABC=NR4T)=45。，进而可知只可能存在4。成5乙氏山和两种情

况，利用相似三角形性质进行分情况讨论即可；

本题考查了二次函数综合问题、面积最值问题以及相似三角形性质，能够正确做出辅助线是解题的关键.

【详解】(1);抛物线y=-尤?+4x+5与x轴交于43两点，且与，轴交于点C,

•••当》时，—X2+4x+5=0,解得玉=—1,%=5,

当x=0时，y=5,

AA(-l,0),3(5,0),C(0,5),

故答案为：(-1,0),(5,0),(0,5)；

(2)如图，过尸点作x轴的垂线，与x轴交于G点，与A。交于尸点，过。点作x轴的平行线，与P尸的延

解得

0(6,-7),

设尸。,孑+由+5),贝iJG(f,O),

•/P在直线AD上，

-1),

：.PF=-t2+4t+5-(-t-i)=-t2+5t+6,

•Q—V_i_Q

,•°PAD—0PAF丁0PFD

=-PFxAG+-PFxDE

22

=；PFx(AG+DE)

=^PFX(XD-XA),

•XD—=6-(-1)=7,

.。1/2u八r7/5、343

SM>AD=^X\~t+5r+6)x7=--t--+—

乙乙\乙Jo

・・・当，=15时，△94。的面积的达到最大值，最大值为3学43;

28

(3)如图，过。点作DELx轴，垂足为E点,

VA(-l,0),3(5,0),C(0,5),0(6,-7),

AE-DE—7,OB=OC=5,AB=6,DB=5^/2,

•*-AD=y/AE2+DE2=7A/2，ZBAD=45°,

又<OB=OC=5,

ZABC=45°,AB=6,BC=-JOB2+oc2=5y[2,

设Q(见0),则Q5=5一帆,

ZABC=ZBAD=45°f

只可能存在LQBCsABAD和AQBCs^DAB两种情况,

当,Q3cs时，

.QBBC5-m5「

••一，Bm|J=,

BADA67A/2

解得：机=，；

当/Q5Cs-£>A5时，

.QB_BC5-m5及

••一,Rm|J,

DAAB7近6

解得根=一2三0，

综上。点坐标为色，°)或［一日，°)

3.(24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，直线V=丘+4与x轴交于点A(-4,0),

与y轴交于点C,抛物线yn-Y+fot+c经过A,C两点且与x轴的正半轴交于点艮

⑵如图1,若点D为直线AC上方抛物线上一动点，连接AD,当NC4D+N3CO=45。时，求。点的坐标；

(3)如图2,若尸是线段Q4的上一个动点，过点尸作直线所垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、E,

连接CE.设点F的横坐标为机，是否存在以C,G,E为顶点的三角形与*AFG相似，若存在，直接写出机

的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴)=1,y=—/一3x+4

⑵以-3,4)

⑶存在，-2或-3

【分析】(1)将点A的坐标直接代入直线解析式可得出％的值；再求出点C的坐标，将A,C的坐标代入

抛物线解析式，即可得出结论;

(2)连接BC,AD,过点B作y轴的对称点E,角度推导得到4。CE,设直线CE表达式为：y=kx+b,

j-k+0=0(k=4

代入C,E得：7",解得：­,则鼬=砧=4,设直线AT＞表达式为：＞=©+〃，求得直线AD

=4[b=4

v=­—3%+4

,求解即可；

{y=4尤+16

(3)根据题意需要分两种情况，当ZECG=N4FG=9O。时，当NCEG=ZAFG=90。时，一种是发现CEAO,

另一种过点E作轴于点K,得到VEKC为等腰直角三角形，则EK=KC,建立方程，分别求出加的

值即可.

【详解】(1)解：直线＞=区+4与x轴交于点A(-4,0),

-4-k+4—0,

■■■直线AC的表达式为y=x+4；

当x=0时，y=4,

•・•点C的坐标为(0,4),

将A(-4,0),点C的坐标(0,4),代入y=-f+bx+c,

,「一16—46+c=0

2

二抛物线的解析式为y=-x-3x+4:

(2)解：连接8C,AD,过点8作〉轴的对称点E,

对于丁=-%2-3%+4,当y=。，贝1」-炉一3%+4=0,

解得：%=1或％=Y,

.*.5(1,0),

则E(-LO),

由对称得：ZBCO=ZECO,

当x=0,y=4,

AOC=4,而由4(—4,0)知OA=4,

：.OA=OC,

•・•^AOC=90°,

・•・ZACO=ZCAO=45°f

・•・ZACE+ZECO=45°9

,:NCW+N5co=45。，

・・・ZC4D+ZECO=45°

JZACE=ACAD,

：.ADCE,

[-k+b=Q

设直线C片表达式为：y=kx+b,代入C,E得:.

[b=4

伙=4

解得：7/

[b=4

卜人口=%=4,

设直线AD表达式为：y=4x+n9

代入A得：—16+〃=0,

解得：b=16,

・•・直线表达式为：y=4x+16f

Y——入2_3工4

联立直线4。表达式和抛物线表达式，得：＞一

y=4x+l6

fx=—3fx=—4

解得：,或c(舍)，

b=4[y=0

，0(-3,4)；

(3)解：存在，理由如下：

由图形可知ZCGE=ZAGF,

:•若,.CEG与AFG相似，则需要分两种情况，

当ZECG=Z4FG=90。时，过点E作EK_Ly轴于点K,

由上知NACO=45。,

ZECK=90°-ZACO=45°,

・•・VEKC为等腰直角三角形,

:.EK=KC,

则E^m,—m2—3m+4),

则KC=—m2—3m+4—4=—m2-3m,EK=—m,

—m2-3m=—m,

解得：m=—2或机=0；

当NCEG=NAFG=90。时，则CEAO

令y=-x2-3x+4=4,

解得：%=—3或％=o（舍）

即m=—39

综上，当加的值为-2或-3时，以C,G,E为顶点的三角形与二AFG相似.

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象

上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论.

4.（24-25九年级上•江苏苏州•期末）直线y=-3x+3与x轴交于点8与y轴交于点C,抛物线y=-Y+"+c

经过8,C两点，与x轴的另一交点为A,连接AC,点尸为AC上方的抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，连接交线段AC于点。，若PD:30=5:16,求此时点P的坐标；

(3)如图②，连接PC.过点P作PEy轴，交线段AC于点若APCE与VA3C相似，求出点尸的横坐标

及线段FE长.

【答案】⑴y=-x?-2x+3

⑵或K)

39520

(3)xP=-->PE=-^xP=--,PE=~

【分析】(1)先确定点3、C的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；

(2)先求直线AC和的解析式，再联立求出交点的横坐标，证明BDGsBPH,根据相似三角形对应

边成比例建立方程求解即可；

(3)分两种情况：ABCs,EPC或AABCs^ECP,根据对应边成比例建立方程求解即可.

【详解】(1)解：直线V=-3x+3与无轴交于点5,与丁轴交于点C,

令x=0,则y=3；令y=0,则x=l,

.•.8(1,0),C(0,3)

,抛物线>=-尤2+fcv+c经过B,C两点，

将3、C的坐标代入解析式可得

—l+b+c=0

c=3

二抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；

(2)解：令抛物线y=*_2.x+3=0,可得x=l或％=-3,

A(-3,0),

-C(0,3),

二设直线AC的解析式为：y=kx+bi,

将A(-3,0),C(0,3)代入直线y=kx+4,得

'3左+4=0

i仇=3,

k=l

解得:

4=3

，直线AC的解析式为：y=x+3,

设尸点坐标为（加，-机2-2加+3）,

设直线3尸的解析式为：＞=依+",

将3（1,0）,P（机，-机机+3））代入解析式＞中，得

a+n—0

am+n=-2m+3

a=-m-3

解得:

n=m+3

，直线BP的解析式为：y=-（m+3）x+m+3,

联立直线6P与直线AC

y=-(〃？+3)尤+机+3

y=x+3

vn

解得”大

如图过点尸作尸轴于点”，作OG,龙轴于点G

DG//PH

:"BDG=/BPH,ZBGD=ZBHP=90°

又・ZDBG=ZPBH

:.△BDGS^BPH

PD:BD=5A6

「•BG:BH=16:21

BG=x-x=1---------,BH=x-x=\-m

BDm+4Bp

Im

.加+4二16

1-m21

解得：01=-（或％=-2,

22

经检验，机=-；,m=-：都是方程的根，

...当机=一]时，2―2机+3=，；

57

当m=一,时，—m2—2m+—

故点尸的坐标为（-；，丁），（~~~;

2424

（3）解：设尸点坐标为（々,-。2-2〃+3）,

E（〃M+3）,

.・.依=一/_2〃+3-（。+3）=-/_3〃，AC=A/A02+0C2=A/32+32=3>/2，

EC=J（〃-0）2+（a+3-3>==—y[2a,

.FE〃y轴，

,\ZPEC=ZACO,

又・OA=OA=3,OC1OA,

.\ZCAB=ZACO=45°,

:"PEC=/CAB,

①当ABCs石pc时，

ACAB

~EC~~EP"

即翠=丁」——，

72a-a-2a+3-a-3

解得：a=-g或a=0,

经检验a=0不是方程的根，应舍去，

:.PE=~cr-3a=--

9

②当△ABCsAECP时，

ABAC

~EC~~EP"

即43应

-\p2^ct~-2a+3-a-3

3

解得：。=-万或。=0,

经检验a=0不是方程的根，应舍去，

,9

PE=-cr—3a=—.

4

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

5.(24-25九年级下•江苏•专题练习)如图，已知过坐标原点的抛物线经过A&,0),,3)两点，且均、

々是方程V+5x+6=0两根(%>9),抛物线顶点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点。在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、0、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求

点E的坐标；

(3)尸是抛物线上的动点，过点尸作轴，垂足为M,是否存在点尸使得以点尸、。为顶点的三

角形与1130c相似？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=Y+2x

(2)E(「13)或用一1,1)

,,,,5577

⑶存在尸点，P的坐标是(1,3),(-5,15),

【分析】(1)通过解方程d+5x+6=0求出占、尤2的值，就可以求出点A、2的坐标，再根据待定系数法

就可以求出抛物线的解析式.

(2)①当0A为边时，根据E在x=-l上，能求出。的横坐标，根据平行四边形性质求出。的坐标即可；

②。4为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出。和C重合，进一步求出E的坐标；

(3)设尸(〃z,/+2〃z),根据勾股定理的逆定理求出直角三角形3OC,根据相似三角形的性质，得出比例

式，代入求出即可.

【详解】(1)占、尤2是方程d+5x+6=0的两根(%＞马)，

解得原方程的两根分别是：玉=-2,%=-3,

」.A(-2,0),8(-3,3),

c=0

设抛物线的解析式为，y=a^+bx+c,则＜4a-26=0,

、9a-36=3

a=\

解得：〃=2,

。二0

抛物线的解析式是y=V+2x.

(2)Qy=j(：2+2x,

，对称轴为：x=-l,

①当。4为边时，

以A、。、D、E为顶点的四边形是平行四边形，

.'.DE//AO,DE=AO=2,

E在对称轴尸-1上，

.:£)的横坐标是1或-3,

.■D的坐标是(L3)或(-3,3),此时E的坐标是(-1,3)；

②当AO是对角线时，则OE和AO互相平分，有E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标是-1,

由对称性知，符号条件的点。只有一个，即是顶点C(T,-l),此时E(T,1),

综合上述，符合条件的点E共由两个，分别是E(-l,3)或E(T,1).

(3)假设存在，设尸O,那+2叫，

8(-3,3),C(-l-1),

:.OB2=18,CO?=2,BC2=20,

BO2+CO2=BC2,

是直角三角形，ZCOB=90°,等=3,

.以P、M,。为顶点的三角形和3co相似,

又NC0B=NPM0=90°,

PMOB〜.PMOC1

,OM~OC~'一OM~OB~3"

m2+2m八m2+2m1

二.-------=3,------------=-

mm3

57

解得：机=1或-5或一§或一§,

存在P点，P的坐标是(L3),(-5,15),(-|,-|),(-1,J).

【点睛】本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，

勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出

较高的要求.注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用.

6.(24-25•江苏苏州阶段练习)如图，抛物线>=-；尤2+法+。与天轴的一个交点为4(—2,0),与y轴的交

点为3(0,4),对称轴与x轴交于点。

备用图

(1)求抛物线的解析式；

⑵点M为y轴正半轴上的一个动点，连接AM,过点M作AM的垂线，与抛物线的对称轴交于点N,连

接AN.

①若4VW与VA08相似，求点M的坐标；

②若点M在>轴正半轴上运动到某一位置时，40V有一边与线段相相等，并且此时有一边与线段钎具

有对称性，我们把这样的点又称为“对称点”，请直接写出“对称点的坐标.

【答案】⑴》=-；/+。+4

（2）①M点的坐标为（0,6）或/，；②M点的坐标为（0，J可或（0，面）或（。，/

【分析】（1）利用待定系数法去求抛物线解析式；

（2）①先求出抛物线的对称轴为x=3,作MD_L直线x=3于点D,作AE_LMC＞于E,根据相似三角形的判

定和性质进行如下的分类讨论即可：（1）当今AM=筹MN时，（2）当A黑M=黑MN时进行求解即可；

OBOAOAOB

②先确定AP=5进行如下的分类讨论即可：（1）当A〃=AP=5时，（2）当AN=AP=5时，（3）当MN=5

时进行求解即可.

If_]_2b।.—0

【详解】⑴将点A（-2,0）,8（0,4）分别代入＞=-片2+法+。得一二=4一，

解得,2,

c=4

1Q

・・・抛物线的解析式为y=-4x2+3+4；

42

3

（2）①抛物线的对称轴为直线》=一一/不=3,

2xhJ

作MD_L直线x=3于点D作于E,

,?ZAMN=ZAOB,

.^AMMNAMOB4。

..当市二市’即m分厂由=5=2,

・・・AAMNSZ\5OA,如图1,

•.*ZEAM+AEMA=90°,/DMN+/EMA=9。。,

ZEAM=ZDMN,

'/ZAEM=ZMDN=90。,

・•・AAEMS^MDN,

.AEAM2

而A®=3,

AE=6,

此时M点的坐标为（。，6）,

,wAMMNAMOA21

••nn===

OAOBMNOB2

：.AMNsAOB,如图2,

同理可得AAEMs^MDN,

.AEAM_1

"MD~MN~2'

而MD=3,

AE=-,

2

此时M点的坐标为

综上所述，M点的坐标为（O,6）或［。弓

②：4-2,0）,尸（3,0）,

AP=5,

当AM=AP=5时，OM=V52-22=V21>此时点M的坐标为（。，e）;

当AN=A尸=5时，点N与点尸重合，则OM2=O4OP,

OM=^/2^3=76,此时M点的坐标为（0，"）；

当肱V=5时，在RtMND中,DN=｛守一寸=4,

,/AAEMS/\MDN,

,AEEMAE2

••=