2025年九年级数学下册二次函数专项训练100题（含答案）

二次函数函数专题训练100题

阅卷人

一'单选题

得分

1.如图，正方形OCAB的顶点A、C分别在y轴、x轴上，正方形的边长为4,抛物线y=a/+

法+。的图象经过人、B两点.下列说法中正确的个数有（）个.

①abc>0；②4a+b=0；③a>—④方程a/+。=4的解为5=0,x2=4；

⑤（4a+2b）—（am2+bm）<0（m丰2）

C.4个D.5个

2.已知抛物线y=/+血％的对称轴为直线为=2,则关于％的方程/+nu:=5的根是（）

A.0,4B.1,5C.1,—5D.-1,5

3.如图，二次函数y=a/+bx+c（aH0）的图象与x轴负半轴交于点A,对称轴为直线％1,下

列结论：①abc<0,（2）2a+b>0,③3a+c<0,④方程a/+法+c=0（aH0）有一个根大

C.3个D.4个

4.抛物线y=3/经过平移得到抛物线y=3（%+1）2-2,平移的方法是（）

A.向左平移1个，再向下平移2个单位

B.向右平移1个，再向下平移2个单位

C.向左平移1个，再向上平移2个单位

D.向右平移1个，再向上平移2个单位

5.用长100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不可能是（）

A.325cm2B.500cm2C.625cm2D.800cm2

6.某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在

中间再建一道墙隔开，并在两处各留1加宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为22nl（不包括

门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（）

门

I门

A.52m2B.48m2C.45m2D.41m2

7.如图，△ABC中，AB=AC,点P为△ABC内一点，AAPB=135°,Z.BAC=90°.若ZP+BP=

6,且AP的长度不小于4,贝长度的最小值为（）

A.6B.2遥C.4V2D.3V3

8.已知函数yi=mx2+n,y2=nx+m（mn/））,则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）

9.已知二次函数y=(%—2)(%—2—Hi),当0<%<租时，贝!J()

7

A.若6>4时，函数y有最小值一竽B.若TH>4时，函数y有最小值与

4

77

C.若m<4时，函数y有最小值—1D.若血<4时，函数y有最小值苧

10.如图，抛物线y=x2+bx+c（b,c为常数）经过点A（1,0）,点B（0,3）,点P在该抛物线上，其

横坐标为m,若该抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2-m.则m的值为（）

A.m=3B.m=3一底.

2

C.m=3上二D.m=3或m=3］西

2

阅卷人

二'填空题

得分

11.如图所示，有四张不透明的卡片，除正面的函数表达式外其他均相同.将它们背面朝上洗匀后,

从中随机抽取一张卡片，则抽到函数的图象不经过第四象限的卡片的概率为.

12.抛物线y=a/+人工+c（a,b,c是常数）与y轴的正半轴相交，其顶点坐标为（一1,k）（k<

0）.下列四个结论：@abc>0；@<2—2h+4c<0；③a>c；④点/（一小一2,m）在抛物线上，

则62c.其中正确结论是（填写序号）.

13.抛物线y=a久2-2a无一3与x轴交于两点，分别是（%口0）,（x2,0）,则久i+%2=.

14.写出一个函数值有最大值，且最大值是2的二次函数解析式.

15.小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点。、E在边BC上，顶点

F,G分别在边AC、AB1.,已知tanB=2,BC=10,SAABC=40,则当矩形DEFG的面积最大时，

GD

DE=

A

16.如图，若被击打的小球飞行高度八（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为八=

20t-5t2,则小球从飞出到落地所用的时间为s.

17.如图，已知二次函数y=a/+板+c（a、b、c为常数，且aH0）的图像顶点为经过点

4（2,1）；有以下结论：®a<0；@abc>0；（3）4a+2b+c<1；④久>1时，y随％的增大而减

小；⑤对于任意实数3总有at?+从<a+b,其中正确的是

m=_________

19.抛物线y=a（x-1产+3向右平移1个单位，向上平移2个单位后经过点（1,7）,则a的值

是.

20.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式a/+人工+c<0

的解集是.

21.已知二次函数y=mx2—2mx+3其中mH0.

(1)若二次函数经过(一1,6),求二次函数解析式.

(2)若该抛物线开口向上，当-l〈x<2时，抛物线的最高点为M,最低点为N,点M的纵坐标

为6,求点M和点N的坐标.

(3)在二次函数图象上任取两点(x2,y2),当a«/M£2<a+2时，总有力>当，求

a的取值范围.

22.图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》

记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”.

在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡。力的底部点。处，石块从投石机竖直方向

上的点C处被投出，在斜坡上的点Z处建有垂直于水平面的城墙4B.已知，石块运动轨迹所在抛物线

的顶点坐标是(50,25),0c=5,。。=75,AD=12,AB=9.

图1图②

(1)求抛物线的解析式；

(2)通过计算说明石块能否飞越城墙4B；

(3)求出石块与斜坡。4在竖直方向上的最大距离.

23.某景区有两个景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：

方式1：只购买景点A,30元/人；

方式2：只购买景点B,50元/人；

方式3：景点A和B联票，70元/人.

预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万.为增加收入，对门票价格进

行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买

A门票的400人和原计划只购买B门票的600人改为购买联票.

(1)若联票价格下降5元，则购买方式1门票的人数有万人，购买方式2门票的人数

有万人，购买方式3门票的人数有万人；并计算门票总收入有多少万元？

(2)当联票价格下降x(元)时，请求出四月份的门票总收入w(万元)与x(元)之间的函数

关系式，并求出联票价格为多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元?

24.解关于X的不等式：x2-kx-2k2<0.

25.某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10,

0),已知抛物线的函数解析式为y右/+海

（1）求c的值;

（2）计算铅球距离地面的最大高度.

26.已知：关于x的二次函数y=/+2久+2k—4的图象与x轴有交点.求k的取值范围.

27.如图1,公园的一组同步喷泉由间隔2米的6个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地

面且高为1m的喷嘴中向同一侧喷出，其最高点随时间匀速变化，发现由最高变为最低用时5s,然

后从最低变为最高，又用时5s,重复循环.建立如图2所示的平面直角坐标系，变化的抛物线的对

水流在地面的落点距喷嘴最远水平距离为3m.

图1图2

（1）求水流最高时所对应的抛物线解析式;

（2）水流最低时，对应抛物线的顶点坐标为,在喷泉水流高低变化过程中，水流始终

经过对称轴右侧一点，该点的坐标为

（3）当水流最高时，淇淇以2m/s的速度从喷泉最高处的正下方跑过，若淇淇的身高为1.6m,请

通过计算说明，他是否会被淋湿?

28.“快乐游玩、安全游玩”是各景区游玩的工作宗旨.某景区上午8:00时开门迎接游客进入，下午

5:00禁止游客进入.据工作人员统计，上午9:00时该景区已累计进入游客950人，从此时开始陆续

有游玩结束的游客离开.累计进入景区游客人数y（单位：人）与累计离开景区游客人数z（单位：人）随

统计时间久（单位：h）变化的数据如下表所示:

统计时间x/h1234

累计进入景区游客人数y/人950180025503200

累计离开景区游客人数Z/人0200400600

探究发现，y与x,z与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.

（1）直接写出y关于久的函数解析式和z关于久的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）预计几点钟时，景区内游客人数最多？

（3）当景区内游客人数达到2600人时，将触发人流高峰黄色预警，问什么时间将触发人流高峰

黄色预警？直接写出答案.

29.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=K2+法+（：的图象与*轴交于点4（一1,0）,B（3,0）,

与y轴交于点C.

（2）若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE||y轴交BC于点E,过点D作

DF1BC于点F,过点F作FG1y轴于点G,求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标.

30.2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心

点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线J向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最

4

（1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式；

（2）梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？

（3）守门员乙站在距离球门27n处，他跳起时手的最大摸高为2.52m,他能阻止球员甲的此次射

门吗？

阅卷人

得分

31.滨滨和妮妮是2025年亚洲冬季运动的吉祥物，寓意“哈尔滨欢迎您”.某商店以每件35元的价

格购进吉祥物滨滨，以每件50元的价格出售，经统计，2025年1月份的销售量为200件.从2月份

起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会

增加20件，设降价为x元，请完成下列问题：

（1）降价x元后的月销售量为件；（用含x的式子表示）

（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？

32.在探究二次函数y-ax2+bx+c（a0）的图象与性质的过程中，久与y的几组对应值列表

如下：

01234

X

30-103

y

观察表格中的数据，请回答以下问题：

（1）发现：该二次函数图象与x轴的交点坐标为,与y轴的交点坐标为—

（2）该二次函数图象的对称轴为直线,顶点坐标为,函数有最

（填“大"或‘小"）值，为

（3）在对称轴左侧的点，随着%值的增加，对应的y值________（填“增大”或“减小”）；

在对称轴右侧的点，随着x值的增加，对应的y值_________（填“增大”或“减小”）；

（4）请猜想：①函数图象开口向（填“上”或"下”）；

②函数的增减性：点4（—4,%）,B（—2,y2）是该二次函数图象上的两点，则

为；点式6,为），。（8,y4）是该二次函数图象上的两点，贝1J73_________丫/（填或"="）

（5）推理与验证：请求出该二次函数的解析式以及二次函数图象与坐标轴的交点坐标;

（6）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并判断该二次函数的增减性.

33,直线y=ax+b（aH0）称作抛物线y=ax2+bx（aH0）的关联直线.根据定义回答以下问题:

（1）求证：抛物线y=ax2+bx与其关联直线一定有公共点；

（2）当a=l时，求抛物线丫=a/+bx与其关联直线一定都经过的点的坐标（用字母b表示）.

34.已知二次函数y=x2—（m+l）x+2m+3.

（1）当加=1时，二次函数的图象与y轴交点坐标为,对称轴为；

（2）当该二次函数图象的对称轴为久=2时，求m的值和抛物线的顶点坐标；

（3）当加取不同的值时，抛物线y=/一（m+1）%+2巾+3的顶点也发生变化，当求抛物线的

顶点达到最高点时，求此时血的值和该抛物线的顶点坐标.

35.小星利用一次函数和二次函数的知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示.当输入

久的值为-2时，输出y的值为1；输入久的值为2时，输出y的值为3；输入久的值为3时，输出y的值

为6.

图①图2

（1）写出k的值是.

（2）如图②，小星在平面直角坐标系中画出了y关于％的函数图象.

①当y随久的增大而增大时，求为的取值范围；

②若关于x的方程a/+匕％+3-t=0（t为实数）在0<x<4时无解，直接写出t的取值范围.

36.已知关于x的二次函数y=/—2tx+2.

（1）求该抛物线的对称轴（用含f的式子表示）；

⑵若点—m）,N（t+5,九）在抛物线上，则加（填“>”，或"="）

（3）P（X1,yi）,Q（X2,丫2）是抛物线上的任意两个点，若对于一1W/<3且和=3,都有为W

y2>求才的取值范围.

37.已知抛物线经过点（0,3）,且顶点坐标为（1,-4）,求抛物线的解析式.

38.已知函数y—(m—l)x2+4久+2,

（1）当m取何值时抛物线开口向上？

（2）当m为何值时函数图象与x轴有两个交点？

（3）当m为何值时函数图象与x轴只有一个交点？

39.已知抛物线y=-x2+bx+c交％轴于4（一1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于点C.

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）已知P为抛物线y=-%2+bx+c上一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点P’恰好在

直线BC上，求点PP，的长.

40.如图，一次函数了=。久+6的图象与反比例函数y=5的图象相交于力B（2,—3）两点，与

y轴交于点C.

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出不等式5+b>K的解集.

X

（3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A,C两点），过点D作DE||y轴交反比例函数图象

于点E,当ACDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值.

阅卷人

------------------五、阅读理解

得分

41.阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若P（尤1，y。，

Q（%2,丫2）是平面直角坐标系内两点，RQo,％）是PQ的中点，则有结论制=4岁，兀="2这

其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题.

已知：二次函数y=/的函数图象上分别有A,B两点，其中3（2,4）,A,B分别在对称轴的异

侧，C是48中点，D是中点.利用阅读材料解决如下问题:

(1)概念理解：

如图1,若4(—1,1),求出C,D的坐标.

(2)解决问题：

如图2,点A是B关于y轴的对称点，作DE||y轴交抛物线于点E.延长DE至F,使得DE=3EF.

试判断F是否在x轴上，并说明理由.

(3)拓展探究：

如图3,A(m,n)是一个动点，作DE||y轴交抛物线于点E.延长DE至F,使得DE=3EF.

①令F(a,b),试探究b-4a值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

②在①条件下，y轴上一点G(0,2),抛物线上任意一点H,连接GH,HF,直接写出GH+HF

的最小值.

42.在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其

性质进行应用的过程.小丽同学学习二次函数后，对函数y=xJ2|x|(自变量x可以是任意实数)图象与

性质进行了探究.请同学们阅读探究过程并解答：

(1)作图探究：

①下表是y与x的几组对应值：

X..........-4-3-2-101234..........

y..........830m0-10n8..........

m=A,n=A

②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的

图象:

(2)深入思考：

根据所作图象，回答下列问题：

①方程x2-2|x|=0的解是；

②如果y=x2-2|x|的图象与直线y=k有4个交点，则k的取值范围是；

(3)延伸思考：

将函数y=x2-2|x|的图象经过怎样的平移可得到yi=(x+l)2-2|x+l卜2的图象？请写出平移过程.

43.阅读下列材料，回答问题：

当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着字母的取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变

化.

例如：已知抛物线y=x2-2mx+m2+2m-1,①

由①可得丫=(x-m)2+2m-1,②

所以抛物线y=x2-2mx+m2+2mT的顶点坐标为(m,2m-1),即［%-m®

(y=2m—1(4；

当m的值变化时，x,y的值也随之变化.将③代入④，得y=2x-l.⑤

可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x满足y=2x-1.

⑴在上述过程中，由①得到②所用的数学方法是(填“A”或"B”)，由③④到⑤

所用的数学方法是(填“A”或"B”).

A.消元法

B.配方法

(2)根据以上材料提供的方法，确定抛物线y=x2-2mx+2m2-3m+l顶点的纵坐标y和横坐标x

之间的函数关系式.

解：y=x2-2mx+2m2-3m+l=(x-)2+m2-3m+l,

此抛物线的顶点坐标为(m,)，即广一〉X.

-------------------ly=()②

当m的值变化时，x,y的值也随之变化.将①代入②，得y=x2-3x+L

可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x满足.

44.综合与应用

为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动.跳绳时，绳甩

到最高处时的形状是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐

标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为白米；已知小丽身高1.575米，在距

离摇绳者A的水平距离1.5米处，绳子刚好经过她的头顶.

>,

A

(1)【阅读理解】

求图中抛物线的解析式；(不需要求自变量取值范围)

(2)【问题解决】

体育龙老师身高1.82米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；

(3)若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试

计算最多可供几人齐跳.

45.湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种

植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外.下面是一家果农所遇到的问题，请你

阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题.

信息及素材

素在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使

材产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022

年达到了72千克，每年的增长率是相同的.

素

材一般采用的是长方体包装盒.

(1)任务1:求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率;

(2)任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为80cm的正方形纸板，将四角各裁掉

一个正方形，折成无盖长方体纸盒.折成的长方体盒子侧面积(四个侧面的面积之和)有没有最大

值？如果没有，说明理由；如果有,求出此时剪掉的正方形边长.

上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x,关于x的不等式/-2尤-1-a〉0恒成立，求

a的取值范围.

小捷的思路是：原不等式等价于/-2久设函数为=/-2久-1,y2=a,画出两个函数

的图象的示意图，于是原问题转化为函数的图象在的图象上方时的取值范围.

yiy2a

对于任意实数x,关于x的不等式/-2久-1-a>0恒成立，则a的取值范围是.

(2)参考小捷思考问题的方法，解决问题：

关于x的方程x-4=竺且在0<a<4范围内有两个解，求a的取值范围.

X

47.阅读材料

某校的围墙上端由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成.如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏

的立柱和横杆由相同的钢筋切割而成，学校设计用5根立柱将横杆AB六等分加固，相邻两根立柱间

距我，0C的长为|米.

C

A/B

问题解决

（1）建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式.

（2）现为了安全考虑，更改原先的设计方案，将立柱数量增加到7根（将横杆八等分），并保持

立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长度.

48.阅读以下材料:

定义：对于三个数a、b、c,用max｛a,b,c｝表示这三个数中的最大数.

a(a>2)

例如：(T)max{—1,2,3)=3；(2)max{—l,2,a)—

2(a<2)

根据以上材料，解决下列问题:

(1)如果?nar{2,2久+2,4—2久}=2%+2,求x的取值范围;

（2）在同一平面直角坐标系中分别作函数y=x+1,y=（久—1）2,y=2-x的图像（不需列

表），通过观察图像，填空：ma久｛x+1,-1尸,2-％｝的最小值为

%

>

Vx

49.阅读下列材料:

我们把多项式屏+2仍+。2及岸-2ab+b2叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我

们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的

值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值

或最小值.

例如：求代数式x2+2x-3的最小值.

解：x2+2x-3=x2+2x+12-12-3=(x2+2x+l2)-4=(x+1)2-4.

(x+1)2>0,(x+1)2-4>-4,

.,.当尤=-1时，x2+2x-3的最小值为-4.

再例如：求代数式-N+4/1的最大值.

解：-x2+4x-l=-(x2-4x+l)=-(x2-4x+22-22+l)

=-[(x2-4x+22)-3]=-(x-2)2+3

(x-2)2>0,：.-(x-2)2<0,A-(x-2)2+3<3.

当尤=2时，-N+4X-1的最大值为3.

(1)【直接应用】代数式/+4x+3的最小值为；

(2)【类比应用】M=a2+b2-2a+4b+2023,试求M的最小值；

(3)【知识迁移】如图，学校打算用长20根的篱笆围一个长方形菜地，菜地的一面靠墙(墙足够

长)，求围成的菜地的最大面积.

〃/〃/1//////〃/〃〃〃/〃/《〃〃

菜地

50.阅读下列材料，回答问题：

当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着字母的取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变

化.

例如：已知抛物线y=x2-2mx+m2+2m-1,①

由①可得y=(x-m)2+2m-l,②

X—YTL(3)

所以抛物线y=x2-2mx+m2+2m-l的顶点坐标为(m,2m-1),即，'

y=2m—1.④

当m的值变化时，x,y的值也随之变化。将③代入④，得y=2x-l.(5)

可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x满足y=2x-l.

(1)在上述过程中，由①得到②所用的数学方法是_人(填"A"或"B”)，由③④到⑤所用

的数学方法是▲(填"A"或"B").

A.消元法

B.配方法

(2)根据以上材料提供的方法，确定抛物线y=x2-2mx+2m2-3m+l顶点的纵坐标，和横坐标x之

间的函数关系式.

解：y=x2-2mx+2m2-3m+l=(x-▲)2+m2-3m+l,

此抛物线的顶点坐标为(m,_人)，即『=回母

ly=0②

当m的值变化时，X,y的值也随之变化.将①代入②，得y=xW-3x+L

可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x满足

51.阅读与思考

请阅读下列材料，并完成下列任务.

问题背景：

数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之JR，发现由于(a—b)220,故(^+庐？

2ab,于是他们对两个正数之和与这两个正数之声A的关系展开了探究.

探索发现：

2+8>2X\/2X8=8

111111

3+12>2XJ3X12=3

1g=2

2+2>2x

3+3=2X、/3X3=6

11112

—X—=—

5+5=2XJ555

发现结论：如果a>0,b>0,那么a+(当且仅当a=b时等号成立)

解释证明：

当aHb时，

(Va-Vb)2>0

•••a—24ab+b>0

a+b>2y[ab

当a=b时，

v(Va-Vb)2=0

・•・a—24ab+b>0

・•・a+b=2y[ab

・,・如果a>0,b>0,那么a+b22VSF(当且仅2ia=b时等号成立)

(2)对于函数y=—言—久(久＞一1),当久等于时，函数y有最__________值，这

个最值是；

(3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所

示，总共用了100米的木栏，当AB长为多少时，矩形花圃力BCD的面积最大?最大面积是多少?请你

利用材料中的结论或所学知识求解该问题.

BC

52.阅读下列材料，回答问题：

当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着字母的取值不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化.

例如：已知抛物线y=——2巾%++27n—1,①

由①可得y=(%—m)2+2m—1,②

所以抛物线y=x2-2mx+m2+2m-1的顶点坐标为(m,2m-1)即•［久—m®

ty=2m-1(4)

当小的值变化时，x、y的值也随之变化.将③代入④，得y=2久—1.⑤

可见，不论加取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x满足y=2%-l.

(1)在上述过程中，由①得到②所用的数学方法是(填Z"或“B”)；由③④得到⑤

所用的数学方法是(填“A”或"B”).

A.消元法；B.配方法；

(2)根据以上材料提供的方法，确定抛物线y=x2-2mx+2m2-3m+1顶点的纵坐标y和横

坐标》之间的函数关系式.

53.【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化

为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意

义来解决一些问题.

我们定义：一个整数能表示成a?+/Q,6是整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是

“完美数”.理由：因为5=22+俨，所以5是院美数”.

(1)【解决问题】

数53“完美数”(填“是”或“不是”)；

(2)【探究问题】

已知%2+y2—4x+2y+5=0,则％+y=；

（3）已知S=2/+y2+2盯+I2x+k（x,y是整数，上是常数），要使S为“完美数,'，试求出

符合条件的左值，并说明理由；

（4）【拓展结论】

已知实数x、y满足一久2+：%+丫一3=0,求％-2y的最大值.

54.阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（X+加）2+〃的形式，然后由

（尤+,〃）2>0就可求出多项式N+6X+C的最小值.

例题：求多项式X2-4尤+5的最小值.

解：N-4X+5=N-4X+4+1=（X-2）2+1,

因为（x-2）2>0,所以（龙-2）2+l>l.

当x=2时，（x-2）2+1=1.因此（x-2）2+1有最小值，最小值为1,即尤2-4元+5的最小值为

已知代数式A=N+10X+20,则A的最小值为；

（2）【类比应用】

张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜

地的两边长分别是5a米、（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由；

（3）【拓展升华】

如图，AABC中，NC=90。，AC=5cm,BC=10cm,点M、N分别是线段AC和BC上的动点，

点”从A点出发以low/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2a〃/s的速度向3点运动，当

其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为7,则当f的值为多少时，AMCN的面积

最大，最大值为多少？

55.在书本阅读材料中提到利用几何画板可以探索函数丫=。/+法+。的系数eb,C与图像的关

系.如图1,在几何画板软件中绘制一个二次函数的图象的具体步骤如下：

步骤一：在直角坐标系内的％轴上取任意三个点4（4不在原点），B,C,度量三个点的横坐标,

分别记为a,b,c；

步骤二：绘制函数y=a/+/）%+c；

步骤三：任意移动4B,C三点的位置，发现抛物线的开口方向、大小、位置会发生变化.

问题：如图2,将点Z移动到点（-1,0）的位置.

图1图2

（1）若点B移动到点（-4,0）,请求出此时抛物线的对称轴；

（2）在点C移动的过程中，且满足AB=4C,是否存在某一位置使得抛物线与x轴只有一个交

点，若存在，请求出此时点B的坐标，若不存在，请说明理由.

56.自主学习，请阅读下列解题过程.

解一元二次不等式：%2-5x>0.

解：设/-5尤=0,解得：Ki=0,X2-5,则抛物线y=/一5久与x轴的交点坐标为（0,0）和（5,

0）.画出二次函数y=/-5%的大致图象（如图所示），由图象可知：当x<0,或x>5时函数图象位

于x轴上方，此时y>0,即/一5%>0,所以，一元二次不等式%2一5%>0的解集为：*<0或*>

5.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和.（只填序号）

①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想

(2)一元二次不等式久2—5%<0的解集为.

(3)用类似的方法解一元二次不等式：%2-2%-3>0.

57.阅读思考，并解答下列问题：

在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s(单位:

m)与滑行时间t(单位：s)之间的关系式，测得一组数据(如下表).

滑行时间t/s01234

滑行距离s/m04.51428.548

(1)为观察5与r之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，S为纵坐标.如图，请描出表中数

据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；

s/mA

50--r-p-T-i

40——!—]

和一tyty

20——++T

1-0-4-^—：—^

(2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你推测滑行距离

与滑行时间的关系，并用该函数模型来近似地表示s与r之间的关系；

(3)如果该滑雪者滑行了270m,请你用(2)中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒？(参

考数据：1042=10816)

58.阅读材料：当平行光线照射到抛物线形状的反射镜面上时，经过反射后能够聚集成一点，即焦

点.这种特性使得抛物面反射镜在许多应用中发挥重要作用，例如射电望远镜，雷达天线，远光灯

和投影仪等.

如图1,某射电望远镜的天线采用了抛物面的设计，当天线竖直对准天顶时，其主视图可以抽象

为图2,天线截面为抛物线的一段，天线中心O为抛物线顶点，天线边缘A,B为抛物线的两

端.测得A,B距地面高度为5.35米，天线中心O距地面高度为4米，A,B距离为6米.

(1)如图2,以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标

系.求天线截面的抛物线表达式；

(2)距离地面高度4.6米的D,E两个位置安装有支架DF和EF,可恰好将天线接收器固定在抛

物面的焦点F处，试求D,E两点之间的水平距离.

59.阅读下列材料，解决问题：

配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基

础上得出了一元二次方程的求根公式.其实配方法还有很多重要的应用.例如我们可以用配方法求代

数式的最值及取得最值的条件，如下面的例子：

例：求多项式2/一8久+1的最小值

解：2久2—8x+1=2(%2—4%)+1

=2(%2—4%+4—4)+1

=2(%-2>-7

•••(%-2)2>0，

2(%-2)2-7>-7

•••多项式的最小值为-7,此时，x=2.

仿照上面的方法，解决下面的问题：

(1)当％=时，多项式一/—4%+3有最______值是；

(2)若代数式M=2久2—3y2—%—1,N=——3必+久—4,试比较M与N的大小关系；

(3)如图，在△ABC中，BC=a,高AD=b,矩形EFGH的四个顶点分别在三角形的三边上，设

HE=x,矩形EFGH的面积为S.用含有％,a,b的代数式表示S,并求出当久的值为多少时，S的值最

大？并判断此时S与AABC面积的关系.

A

60.课本中有一个例题：

图1中窗户边框的上部分是4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形.如果制作一个窗户边框的

材料的总长度为6m,那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到0.01m)?

这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m,窗框矩形部分的另一边长约为1.23m时，窗

户的透光面积最大，最大值约为1.05m2.

我们如果改变这个窗户边框的形状，上部分改为由两个正方形组成的矩形，如图2,材料的总长

图1图2图3

(1)若AB为1m,求此时窗户的透光面积.

(2)与课本中的例题比较，改变窗户边框的形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过

计算说明.

61.【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点4(久,丫)是函数图象上任意一点，纵

坐标y与横坐标x的差“y-久”称为点A的“纵横值”.函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为

函数的“最优纵横值”.

【举例】已知点4(1,3)在函数y=2%+1图象上.点4(1,3)的“纵横值”为y—久=3—1=2；函数

y=2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y-x=2久+1-x=久+1,当3M6时，%+1

的最大值为6+1=7,所以函数y=2久+l(3WxW6)的“最优纵横值”为7.

【问题】根据定义，解答下列问题：

⑴①点8(-6,2)的“纵横值”为；

②求出函数y=9+久(2WKW4)的“最优纵横值”；

(2)若二次函数y=-/+^久+c的顶点在直线％=9上，且最优纵横值为5,求c的值；

(3)若二次函数y=-%2+(2b+1)%一接+3,当—1<%<4时，二次函数的最优纵横值为2,

直接写出b的值.

62.利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题.观察下列式子:

①/+4比+2=(%2+4%+4)—2=(%+2)2—2,

V(x+2)2>0,/.%2+4%+2=(%+2)2-2>-2.因此代数式/+4%+2有最小值一2；

%2+2%+3=—(%2—2%+1)+4=—(%—I)2+4.

V-(x-l)2<0,/.-X2+2x+3=-(x-I)2+4<4.因此，代数式—久2+2久+3有最大值

阅读上述材料并完成下列问题：

(1)代数式—a?一6a+4的最大值为；

(2)求代数式a?+b2+4b-8a+11的最小值；

(3)如图，在四边形4BC0中，对角线ZC、相交于点。，且4C1B0,若2C+BO=12,求

四边形ABCD面积的最大值.

63.阅读以下材料，完成课题研究任务：

【研究课题】设计公园喷水池

【素材1】某公园计划修建一个如图1所示的喷水池，其示意图如图2,水池中心。处立着个实心

石柱。4水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶

点A处汇合，且在过04的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状更漂亮，要求水流在距离

石柱0.5加处能达到最大高度，且离池面的高度为2.25m.

【素材2】距离池面1.25血的位置，围绕石柱还修了一个半径为1.5m的圆形小水池，此时小水池

恰好不影响水流.

【任务解决】

图1

(1)请结合题意写出下列点的坐标：B、C

(2)求实心石柱。4的高度.

(3)为了节约水资源，水流在喷水池中循环使用，喷水池的半径至少为多少米?

64.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题:

例题：求代数式V+6y+10的最小值.

解：y2+6y+10=/+6y+9+1=(y+3)2+1

(y+3)2>0

(y+3)2+1>1

.•./+6)/+10的最小值是1.

(1)求代数式TH?+血+3的最小值；

(2)为构建“五育并举”教育体系，某学校综合实践课程要在一块靠墙(墙长30加)的空地上建一

个长方形的劳动田园4BCD,田园一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成.如图，设AB=

支(6)，请问：当x取何值时，田园的面积最大？最大面积是多少？

〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/

AD

BC

65.阅读材料：如图，函数y=2久2+2y一1的图像是一条抛物线，当％=0