2025年九年级数学中考二轮复习：全等三角形解答题 提升训练

2025年九年级数学中考二轮复习

全等三角形解答题专题提升训练

1.如图，在VABC中，。是边BC上的点，DEIAC^^E,。尸_1钻于点F，且DE=DF,CE=BF.求证：AB=AC.

2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.

(1)判断AB"的形状，并说明理由：

(2)写出图中还有哪些三角形与小OC全等(不要求说理).

3.在正方形AB。中，正方形的边长为。，点。为对角线AC的中点，点E在直线AC上，连接£8,过点E作EF_LBE

交直线AD于点F.

(1)如图1,当点E在线段A。上(不与端点重合)时，求证：？AFETABE-

⑵如图2,当点E在线段AC上(不与端点及点。重合)时，请补全图形，探究线段4B,AE,"的数量关系并

证明；

(3)若点P在射线6上且PC=4岛，点E从点P运动到点C的过程中，点F随之运动，求点尸的运动路径长.(用

含有。的代数式表示)

4.如图，正方形ABCQ中，点E是BC边上-•点，点尸是8延长线上一点，且BE=DF,连接AE,AF.

(2)连接EF,取EF中点G,连接4G、CG、DG.

①依题意补全图形，并求NCDG的度数；

②若DG=4iDF,用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明.

5.如图，在VMC的边BC上取一点。，以。为圆心，0c为半径画0。，。。与边AE相切于点。，AC=AD.

(1)求证：AC是＜3。的切线；

(2)若tanNCAO=；,求tanZB.

6.如图，点E,C,D,A在同一条直线上，AB//DF,AB=DE,ZB=ZE.

⑴求证：△ABCiSADEF

(2)若AB=8,CD=2,求EC的长度.

7.如图，在VABC中，点D、E分别为BC、4B上一点，连接AD、CE交于点F,若NACE=NBCE=NB,且AD_LCE.

A

⑴当AB=2时，求CF的长；

Q)当EF=3x,CF=8x时，求器的值.

8.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这

个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知纸片VABC和VADE中，AB=AD=上,ZABC=ZADE=90°,ZBAC=ZDAE=60°.

【初步感知】

(1)如图1,在纸片YWE绕点A旋转过程中，当ATI恰好平分—B4C时，ED与AC相交于点贝|/加=.

【深入探究】

(2)如图2,在纸片V4)E绕点A旋转过程中，当点。恰好落在VABC的角平分线aw的延长线上时，延长EO交

AC于点F,求的长.

【拓展延伸】

(3)在纸片VADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成以ED为直角边的直角三角形.若能，直

接写出所有满足条件的RSCDE的面积；若不能，请说明理由.

试卷第2页，共4页

9.如图，在阳AABC中，ZC=90°,OE垂直平分AB于点E,交BC于点£>,并且。C=DE.

(1)求4的度数；

(2)若QB=12,求BC的长.

10.如图，在VABC中，AB=AC,。是BC的中点，EF垂直平分AC,交AC于点E,交AB于点F,/是直线EF上

的动点.

①若ME=1,则点/到AB的距离为

②若NCMD=30。，CD=3,求ABCM的周长；

⑵若BC=8,且VABC的面积为40,贝!!VCDM的周长的最小值.

11.如图，在VMC中，AB=AC,D、A、E三点在直线/上，Z1=Z2=Z3,求证：DE=BD+CE.

DAE1

证明：•••Za4E=Zl+Z

即Z2+Z=Z1+Z

z=z

(请继续完成证明过程)

12.【阅读理解】定义：在同一平面内，点A,3分别在射线PN上，过点A垂直的直线与过点8垂直

PN的直线交于点Q,则我们把/A。称为L的“边垂角”.

(1)如图1,CD,BE分别是VABC的两条高,两条高交于点尸，根据定义，我们知道NDBE是/DCE的“边垂角”或“DCE

是NDBE的“边垂角”，皿IE的“边垂角”是;

⑵若NAQB是NAPB的“边垂角”，则与NAPB的数量关系是;

(3)若ZACD是-ABD的“边垂角”，且钻=AC.如图2,BD交AC于点E,延长。至尸，使DF=CD,连接EF,

且/C4F=45。，写出BE、CF、CE的数量关系并证明.

13.如图1,在VMC中，AB=AC=5,BC=6,动点户从点C出发，按C—A—B—C的路径运动(回到C点停止),

且速度为每秒2个单位，设运动时间为『秒.

(1)在VABC中BC边上的高长为;AC边上的高长为；

⑵当CP_L>iB时，求，的值；

(3)如图2,若是等腰三角形，直接写出所有满足条件的「的值.

14.定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.

(1)如图1,已知四边形钻8是筝形，则其对角线AC与她满足的关系是;

(2)如图2,RtZVlBC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,P为线段BC上一点，将ARIB沿AB向外翻折得AZMB,将“AC

沿AC向右翻折得AE4C,连接DP,若APLDE,判断四边形ADPE是否为筝形，请说明理由，并求出PC的长；

(3)如图3,四边形ABCD中，AB=4后，BC=6,8=2百，点E在BC上，ZAED=120°,当BE=4时，请直接写出AD的

最大值.

15.如图，在VABC中，D为BC边上一点，BD=AC,连接DA并延长至点E,连接BE,CE,且___.求证：.

(1)给出下列信息：①②AB=CE；③皮>=8.请从中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，分别

填入横线上，使之构成真命题，并加以证明；

⑵在(1)的条件下，若AD=4,AC=6,求tanZAEC.

试卷第4页，共4页

《2025年九年级数学中考二轮复习全等三角形解答题专题提升训练》参考答案

1.详见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据垂直定义可得NCED=NMD=90。，然后利用SAS证明

ABDFMACDE,即可解答.

【详解】证明：■：DEYAC,DFVAB,

：.ZCED=ZBFD=90°.

在iCDE和7BDF中，

DE=DF,

■NCED=NBFD,

CE=BF,

：.&CDE沿瓯F,

ZC=ZB,

二AB=AC

2.(1)ABOC是等腰直角三角形，见解析

(2)VAOB和△COD和△DOA都与ABOC全等.

【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定.

(1)先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得〃。8=3=48=48=对，OC=OB,再

根据等腰三角形的定义即可求解.

(2)先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得々。8=々叱="。。=々8=90。，

AO=OD=OC=OB,再根据等腰三角形的定义结合全等三角形的判定即可求解.

【详解】(1)解：印"是等腰直角三角形，理由如下，

:正方形ABCD,

/.ZAOB=ZBOC=Z.COD=ZAOD=9QP,OC=OB,

ABOC是等腰直角三角形；

(2)解：：正方形AB8,

ZAOB=ZBOC=Z.COD=ZAOD=^r,AO=OD=OC=OBf

；・NAOB和/\COD和△ZXM者B与^BOC全等.

3.⑴见解析

(2)AB=Vl4£+AF或=.证明见解析

(3)点F的运动路径长为

【分析】(1)根据正方形的性质及互余的关系即可证明结论；

(2)过E作P2〃AE,交AD于P,交BC于。，分两种情况：①当当E在AO上，②当E在。C上，利用正方形的性

质，证明AFPEMAEQ3(AAS),由线段的和差关系可求解；

答案第1页，共21页

（3）连接BP,作BP_LP2,交AD于。，当点E在点P时，点尸与点。重合，

过点£作到1,EN分别垂直AB,AD,交于点M,点N,过点E作EG_LEC,交CB的延长线于G,连接FG,由正

方形的性质可得AB=BC=a,NS4C=ZACB=45。="AM=ZR4。，则VABC,AAEM,AAEN,VEGC为等腰直角三角形，

证明AB£M%FEN（ASA）,AFEG、BEC（SAS）,得四边形FGCD是矩形，贝ljED=CG=V^EC,可知当点E从点P运动到

点C时，点尸从点Q运动到点D,当点E在点P时，EC=PC=4&,,此时点尸与点Q重合，FD=QD=WX=4&a.

【详解】（1）证明：：EF_LBE,

ZF£B=90°,

又；四边形的8是正方形，

440=90。，

/.ZFAB=90°

又丁ZAGF=ZEGBf

/.ZAFE=^-ZAGF,

ZABE=900-ZEGBf

・・?AFE1ABE•

（2）解：钻=加4£+4户或钻=0的-跖.理由如下：

过E作PQ〃AB,交AD于尸，交5c于Q,如图1、图2,

①当E在A0上，如图1,

：・ZABE=NBEQ,由(1)得ZF=ZABE,

ZF=ZBEQf

又・・•矩形ABQP,

BQ=PA=PE,

二.JPE二△EQB(AA^),

：.EQ=PF,

又NEPF=NEQ8=90。,ZDAC=45°,

APAE=APEA=45°,PA=PE,AP2+PE2=AE2,贝!]AP=PE=苧AE,

AB=PE+EQ=PE+PF=PE+AP+AFf

AB^y[2AE+AF;

答案第2页，共21页

②当E在。C上，如图2,

*.*NEPF=ZEQB=90°,ZDAC=ZACB=45°,

则君0=C0,PQ=BC,

：.PE=BQ,

/.ZFEP+ZBEQ=90°,ZEBQ+ZBEQ=90°,

/.ZFEP=ZEBQ,

/.△FPE%EQ3（AAS）,

EQ=PF,

同理：AP+PE=y/2AEf

I.AB=PE+EQ=PE+AP-AF,

AB=y/2AE-AF;

综上所述：AB=y/2AE+AFAB=y/2AE-AF;

（3）解：连接第，作熊_LP0,交AD于Q,当点E在点尸时，点方与点Q重合,

过点E作硒分别垂直A3,AD,交于点“，点N,过点E作石G_L石C,交CB的延长线于G,连接对，如图

3,

图3

由正方形的性质可得钻=BC=a,ZBAC=ZACB=45°=ZPAM=ZPAQ,贝iJVABC,,△/㈤V,VEGC为等腰直角三

角形,

EM=EN,ZMEN=9伊=/EMB=/ENF,

*.*BE±EFfH*/BEM+ZNEB=ZNEB+/FEN,

NBEM=NFEN,

：.△BEM^AF£^（ASA）,

EF=EB,

又・・・VEGC为等腰直角三角形,

：.ZECG=ZEGC=45°fEG=EC,NGEC=90。,

贝（jZFEG+ZGEB=ZGEB+ZBEC,CG=屈EC,

ZFEG=ZBEC,

答案第3页，共21页

AFEGMABEC(SAS),

ZFGE=ZECG=45°,FG=BC=CD,

ZFGC=90°,

四边形FGCD是矩形,则FD=CG=-J2EC,

，当点E从点P运动到点C时，点F从点。运动到点。，

当点E在点/时，EC=PC=40a,

此时点F与点。重合，FD=QD=^EC=4Ra,

故点F的运动路径长为4#a.

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质

等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的

关键.

4.(1)见解析

⑵①45。，图见解析；②BC=3BE,证明见解析

【分析】(1)先利用正方形的性质，证明=ZB=ZADC=ZDAB=90°,再利用ASA证明尸，然后根

据全等三角形的性质得出血£=卬F，两边加上可得结论成立；

(2)①先利用正方形的性质，证明">=CD=BC,ZECF=90%再利用SSS证明AADGMACDG,然后根据全等三角

形的性质得出NCDG=ZA£>G,再求得NCDG的度数；

②先写出结论，再证明.先证明=再设DF=ZW=a,然后用“分别表示出CH,CD,从而可得出结论成

立.

【详解】(1)证明：•.,正方形AB8,

:.AB=AD,ZB=ZADC=ZDAB=90a.

:.ZB=ZADF=90P.

:BE=DF,

.^ABE=：£^ADF,

:.ZBAE=ZDAF.

:.ZBAE+ZDAE=ZDAF+ZDAE.

即AFAE=ZDAB=9Q°.

(2)①补全图形如图：

FDC

如图，连接AG,CG.

答案第4页，共21页

DHC

口正方形ABCD,

AB

:.AD=CD=BC,ZECF=90。.

•・,点G是匹中点,

:.CG=-EF=FG.

2

•.•NB1E=9O。，点G是竹中点，

/.AG=-EF.

2

:.AG=CG,

\AD=CDfDG=DG,

:.^ADG^CDG.

:.ZCDG=ZADG.

ZCDG=-ZADC=45°

2

②结论：BC=3BE.

证明：过点G作G"_LCZ）于点H,

ZCDG=45°,

DG=42DH.

DG=42DFf

:.DF=DH.

设DF=DH=a.

VCG=FGfGH±CF,

CH=FH=2a.

：.AG=CG.

：.CD=3a.

BC=CD=3a,BE=DF=a,

BC=3BE.

【点睛】本题考查了正方形的性质，ASA,SSS,全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，掌握上

述知识并能熟练运用是解题关键.

5.（1）证明见解析；

（2）|.

【分析】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角

形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键.

（1）连接。。，证明&4。（7021。£）,得至l]NOG4=NOZM=90。，即可得出结论；

答案第5页，共21页

（2）设。。与BC的另一交点为F,连接CD交A。于点E,连接DF,证明AAECMAAED,得到NAEC=ZAED=90。，进

一步得到“CE=NCA。，设OC=OD=1,贝!!AD=AC=3,根据勾股定理得到40=厢，设OE=x,则CE=3x,根据勾

股定理得到y+（3疗=f,解得OE=坐，再求出奸=芈，证明ABDFSABAO,得到照=黑，设助=>,则

105DAAO

回

BA=BD+AD=y+3f则上=口2，求得瓦），即可求解.

y+3一疯

【详解】（1）证明：连接“，如图：

OD.LAB,§PZOm=90°,

在加。。和△AOD中，

AC=AD

"OC=ODf

AO=AO

△AOC/AAOD（SSS）,

，ZOCA=ZODA=90°f

OC±ACf

*e•AC是O。的切线；

（2）解：设。。与BC的另一交点为广，连接CD交A0于点E,连接DF,如图:

△AOC*AAOD,

...ZOAC=ZOAD,

在△AEC和AAED,

AC=AD

-ZOAC=ZOAD,

AE=AE

：.△AEC^AAED(SAS),

ZAEC=ZAED=90°,

ZOEC=90P,

ZAOC+ZCAO=90°,ZAOC+ZOCE=90°,

ZOCE=ZCAOf

ori

在RUACO中,tanZC4O=—=-,

设OC=O£>=1,贝！］AD=AC=3,

答案第6页，共21页

AO=>JAC2+OC2=V32+I2=Vib，

,/NOC£=NC4O,

OF1

tanZ.OCE=----=tanZ.CAO=—,

CE3

设O£=%,贝（jC£=3%,

在RtAOEC中，OE2+CE2=OC2,即％?+⑶7=I2,

解得：户噜（负值已舍去），

：.OE=叵,

10

,.,C/是。。的直径，

...NCD尸=90。，

ZCDF=ZOECf

OE//DF,

OC=OFf

・M

•・DF—2OE=2x-----=,

105

VOE//DF,SPDF//OA,

△BDFs^AO,

,BD_DF

**~BA~~AO'

设3£>=y,贝|JBA=BD+AD^y+3f

Vw

I.y_工,

y+3一至

解得：y],

3

・・・％，

/n814

在RCOOB中，tan=BD=J=3.

4

6.（1）见详解

（2）6

【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明

△ABCgADE尸是解题的关键.

（1）由至〃£>尸，得ZA=4D石，^ZB=ZE,AB=DEf即可根据"ASA”证明△ABC当ZkOfF；

（2）由全等三角形的性质得麴=庞=8,再根据线段的和差求解即可.

【详解】（1）证明：*：AB//DF,

:.ZA=AFDE,

在VABC和ADEF中

ZA=NFDE

AB=DE

NB=NE

答案第7页，共21页

.".△ABC^A£>EF(AS4)；

(2)M：由(1)知△ABCgZXO石尸，

.-.AB=DE=8f

■CD=2,

:.CE=DE-CD=S-2=6.

7.（1）CF=1

⑵A

v7CD5

【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判

定与性质，正确做出辅助线是解答本题的关键.

（1）由ZBCE=ZB得BE=CE,如图，作加/〃BC交CE的延长线于点H,证明NACE=NBCE==NH=ZE4H得

AH=AC.AE=HE,求出CH=AB=2,然后利用三线合一即可求解；

4EJAI?S

（2）证明AWADC*ASA）得AH=DC,求出AE=HE=5x,BE=CE=llx.证明闻必仁比£得=；=$=1，进而可

£>CBE11

求中些_色

本出8一5.

【详解】（1）解：・・・ZBCE=ZB,

BE=CE.

如图，作AH/"。交C£的延长线于点H,

贝(J/H=ZBCE,ZEAH=ZB,

NACE=ZBCE=NB,

NACE=NBCE=NB=ZH=NEAH,

/.AH=AC,AE=HEf

*；CH=CE+HE,AB=BE+AE,

：.CH=AB=2.

AD±CEf

/.CF2cH=1.

(2)在AAHF和△DCb中，

ZH=ZDCF

HF=CF,

ZAFH=ZDFC

：.△AHF'DCF(ASA),

AH=DC,

'：EF=3x,CF=Sx

AE=HE=HF-EF=8x-3x=5x,BE=CE=3x+8x=1lx.

答案第8页，共21页

VAH//BC,

小AHEs小BCE

.AH_AE_5x_5

**~BC~^E~nx~Uf

・CD_5

**BC-TT,

.BD_6

**CD-5*

8.(1)1；(2)-1+5(3)竽或竽或30

【分析】(1)根据题意得出NDAM=g/BAC=30。，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解.

(2)过点〃作时V_LEF于点N,根据题意证明A&WD是等腰直角三角形，设MF=2x,则NF=x,勾股定理求得

AD=3x+,得出x=/,即可求解；

(3)证明AABC%ADE(AAS),分两种情况讨论，①当NCDE=9O。，②ZDEC=9O。，分别画出图形，根据勾股定理，

以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解.

【详解】解：(1)VZBAC=ZDAE=m=,AZ)恰好平分NBAC,

ADAM=；NBAC=30°,

,/ZABC=ZADE=90°,

..AM=2DM,

AD=^AM2-DM2=y[3DM，

又,**AD=G,

y/3DM=y/3,

DM=\-

故答案为：1.

(2)解：如图所示，过点M作相v_L£F于点N,

・・・是-ABC的角平分线,

ZABD=-ZABC=45°,

2

AB=AD,

ZADB=ZABD=45°,

答案第9页，共21页

442)=90。,

又丁ZADE=90°,

ZADE=ZBAD,

/.AB//EF,

：.ZAFD=ZBAC=60°f

...ZNMF=900-ZAFD=30°,

，MF=2FN,

设MF=2x,贝|JNF=x,

MN=岳,

•.・ZNDM=ZABD=45°f

・•・△MND是等腰直角三角形，

DN=MN=y/3x,

/.DF=FN+DN=x+y/3x,

•・•在中，ZAFD=60°f

ZFAD=30°,

AF=2DF,

22

**.AD=\lAF-DF=yl3DF=y/3f

DF=1,

/.X+y/3x=1,

解得：”三",

・・MF——14"\/3;

(3)VAB=AD=y/3fZABC+ZADE=90°fABAC=ZDAE=&)0,

/.AABC^AADE(ASA),

AC=AE=2AB=2百,DE=BC=6AB=3,

①当NCD£=90。时，

ZADE=ZCDE=90°f

：.A,D、C共线，

当。在AC上时，DC=AC-AD=2《S&如图，

Rt^CD石的面积为:CDQE=；&X3=¥；

如图所示，当。在C4的延长线上，DC=AC+AD=2&6=36,

答案第10页，共21页

D

A

EBL

/.R3CQE的面积为gcD.D£=；x3x3/=券；

②如图所示，当“£C=90。，

ZAED=90°-ZZM£=30°,

ZA£C=60°,

*.*AC=AEf

AAEC是等边二角形,

・・EC=AE=AC=2>/3,

R3CDE的面积为goEC右=gx3x26=3g.

综上所述,所有满足条件的R%CDE的面积为竽或竽或36.

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性

质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质.熟练掌握以上知识是解题的关键.

9.(1)30°

⑵18

【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，比较

简单.

(1)连接AD,根据。石垂直平分AB得出NC=Z/®=90。，AD=BD,根据8=0石，得出AD是的角平分线，

即可得NC4D=miB=ZB,根据4=90。和三角形内角和定理得出ZB=NGW=〃4B=30。；

(2)根据D石4=30。，得出。£=6,根据角平分线定理得出DC=Q石=6,即可得5。=8+3。=18.

【详解】(1)解：连接AD,

C

AEB

*.*OE垂直平分AB于点E,

/.ZC=ZAED=90°,AD=BD,

ZDAB=ZB,

又,:CD=DE,

・・・AD是-CAB的角平分线,

答案第11页，共21页

ZCAD=ZDAB,

/.NCAD=ZDAB=/B,

\*ZC=90°,

ZJB=^CAD=ZDAB=30°•

(2)解：VDEJ.AB,4=30。，

BD=2DE=12f

DE=6,

AD平分/CAB,ZC=90°,DELAB,

DC=DE=6,

BC=CD+fiD=18.

10.(1)①1;②18；

(2)VCDM的周长最小值为14.

【分析】本题考查了轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的

性质，掌握知识点的应用是解题的关键.

(1)①由MDUC,。是的中点，则“。垂直平分5C,连接出，又AB=AC,则A,M,。三点共线，由角平

分线性质即可求解；

②由题意可知=MD平分N3MC,可判断/CM是等边三角形，再求解即可；

(2)连接AZ),AM,由E尸垂直平分AC,贝！=又AB=AC,。是5c的中点，所以W3C,由AM+MA4),

则A,M,。三点共线，此时△CMD的周长的值最小，此时△CMD的周长值最小，最小值为AD+CD.

【详解】(1)解：①。是的中点，

・•・”£)垂直平分5C,

连接AM,

*.*AB=ACf

・・・点A在线段叱的垂直平分线上,

:.A,M,。三点共线，

3平分/HAC,

VMEVAC,ME=\f

・••点〃到AB的距离为1,

答案第12页，共21页

故答案为：1;

②・・•。是8C的中点，MD1BC,

垂直平分8C,

/.MB=MC,

・，・MD平分N3MC,

，ZBMC=2NCMD=60°,

ABCM是等边三角形，

BC=BM=MC,

•・•。是的中点，

BC=2CD=6,

BM=MC=BC=6f

：.出⑦/的周长为3C+5M+MC=18；

(2)解：连接AD,AM,

;石尸垂直平分AC,

AM=CM,

•：AB=ACf。是5C的中点，

ADLBC,

*.*AM+MD>ADf

・••当A,M,。三点共线时，此时△CM。的周长的值最小，最小值为仞+8的长，

VBC=S,VABC的面积为40,

AD=10f

是5C的中点,

CD=4,

AD+CD=14f

△CM。的周长最小值为14.

H.见解析

【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等

答案第13页，共21页

的判定方法.根据三角形外角的性质得出加。=NC4£,证明AABDMAC4E(AAS),得出4?=BD,AD=CE,然后证

明结果即可.

【详解】证明：•••NBAE=N1+NAB£>,

即Z2+ZC4E=Z1+ZABD,

又•.­=△,

:.ZABD=Z.CAE,

VZ1=Z3,AB=AC,

/.Z\ABD^AC4E(AAS),

AE=BD,AD=CEf

DE=AD+AE=BD+CE.

12.(l)ZDFE

(2)ZAQB=ZAPB或ZAQB+ZAPB=180°

G)BE=CF+CE,证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理：

(1)根据“边垂角”的定义即可得到答案；

(2)分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；

(3)延长"AC。交于点G,先证明AABE&ACG(ASA),再证明AAGF%A£F(SAS),依据题意得出GF=EC,再证明

AEDF%EDC(SAS),则EF=EC,最后由线段和差结合等量代换即可得到结论.

【详解】(1)解:根据“边垂角”的定义，NZME的“边垂角”是ZDFE;

(2)解：若4。是上4PB的“边垂角”，分两种情况

①如图,■■■^AQB是ZAPB的“边垂角”，

AQ±PA,BQLPBf

/.ZAQB+Z1=90°,ZAPS+Z2=90°,

•/Z1=Z2,

ZAQB=ZAPBf

②如图,

•;NAQB是1"8的“边垂角”,

:.AQ±PA,BQ±PBf

ZPAQ=90°,ZPBQ=90°,

ZPAQ+ZAQB+ZAPB+ZPBQ=360°,

答案第14页，共21页

ZAQB+ZAPS=180°,

综上所述，/AQB与NAPB的数量关系是^AQB=ZAPB或ZAQB+ZAPB=180°；

(3)解：BE=CF+CE,

证明：延长"AC。交于点G,

CG±BD,BG±AC,

.•.ZABE+ZAEB=90°,ZAC£)+Z£)EC=90o,

♦;ZAEB=NDEC,

:.ZABE=ZACFf

BGLAC

:.ZBAE=ZCAG=90°,

AB=ACf

△ABE%ACG(ASA),

/.AG=AE,BE=CG,

•.•NE4c=45。，

ZGAF=90°-ZFAC=45°,

：AF=AF,

AAGF^AAEF(SAS),

:.GF=EF,

CGLBD,

ZEDF=ZEDC=90°f

VDC=DFfED=ED,

：.△EDF^A£DC(SAS)

:.EF=ECf

:.BE=CG=CF+FG=CF+EF=CF+CE,

:.BE=CF+CE.

24

13.(1)4,y;

答案第15页，共21页

⑵果

(3)为■秒或5秒或5秒或1秒.

【分析】⑴根据等腰三角形的三线合一定理可知BE=CE=3,ZAEB=ZAEC=90°,利用勾股定理可求A£=4,再利

用三角形的面积公式可得:X6X4=?5XBD,从而可求BD的长；

⑵过点C作CP_LAB,根据等腰三角形的性质可知EQ=PC=。利用勾股定理定理求出AP4可得：04+"=/,

再根据点户运动的速度求出运动的时间，；

⑶当AACP是等腰三角形时分：当AC=PC=5时、当AP=AC=5时、当AP=PC时，共四个满足条件的点，根据情况

求解.

【详解】（1）解：：,在VABC中，AB=AC=5,BC=6,AE±BC,

.-.BE=CE=-BC=3,ZAEB=ZAEC=90°,

2

:.AE=y]AC2-EC2=>/52-32=4,

S=-BCAE=-ACBD,

“ABCC22

—x6x4=—x5xBD.

22

24

:.BD=—,

5，

故答案为：4,y;

（2）解：如下图所示，过点。作CPLAB,

•••S4ABe=1ACBD=|ABPC,

24

:.BD=PC=—.

5

在狡中，AP=43—0产=/一（引=1,

732

/.CA+AP=5+-=—,

55

32c16

/./=—+2=---

55'

(3)解：如下图所示,

当AC=PC=5时，是等腰三角形,

过点。作CF_LAB,

__7

由⑵可知F『，

7

..FP=AF=-,

5'

14

AP=2AF=—,

5，

AC+AP=5+—=—

55

竺+2=羽秒;

510/

答案第16页，共21页

A

BEC

当点尸运动到点B时，AP=AC=5f

:.AC+AP=10f

.」=10+2=5秒；

如下图所示，当AC=PC=5时，

•；BC=6,

:.BP=BC-PC=6-5=lf

:.AC+AB+PB=5+5+l=ll,

，r=li+2=：秒；

如下图所示，当⑷3=PC时，

过点尸作尸尸UC,贝l|AF=CF=；4c=]

由⑴可知BE=CE=3,A£=4,

设尸£=%,贝！］PC=3+%,

在RGAPE中，AP=y/pE2+AE2="+/=&+16，

.'.-\A?+16=x+3f

解得：％=（；

6

:.BP=BE-PE=3一一7=—11,

66

:.AC+AB+PB=5+5+—11=—71,

66

综上所述，若△AC?是等腰三角形，，的值为卷秒或5秒或2秒或弓秒.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，是三角形综合题，解决本题

的关键是运用分类讨论的思想，分情况解答.

14.(1)AC垂直平分B3

⑵*3

(3)873

答案第17页，共21页

【分析】(1)由筝形可得=BC=CD,即AC垂直平分ED；

(2)由折叠的性质可得A£>=AP=AE,PH=DH,PC=CE,ABLDP,AC±PE,由等腰三角形的性质可得AP垂直

平分DE,即£>P=PE,可证四边形ADPE是筝形，由面积法可求PC的长；

(3)由折叠的性质可得AB=AG=4C,BE=GE=4,CE=EH=2,CD=DH=2币,NBEA=NGEA,NCED=NHED,可证

NGHE=90。,由勾股定理可求GH的长，即可求解.

【详解】(1)解：；四边形钻8是筝形，

AB=AD,BC=CD,

AC垂直平分BD;

故答案为：AC垂直平分BD;

(2)解：四边形ADPE是筝形，理由如下：

如图2,设AB与。户交于点H,

图2

由折叠的性质得4>=”=钻，AB垂直平分DP,AC垂直平分PE,

:・PH=DH,PC=CE,ABLDP,AC±PEf

AP工DE,

•I布垂直平分。石，

DP=PE,

・••四边形•配是筝形，

VDP=PE,PH=DHfPC=CE,

：.PH=PC,

VZACB=90°fAC=3,BC=4f

AB=y]AC2+BC2=5

XX

sARP=2-AC2BP=-ABPH

/.3(4-CP)=5CP,

3

・・・c尸=]；

(3)解：如图