2025年九年级数学中考二轮复习：与旋转相关的几何动态问题探究（解答题）含答案

2025年春九年级数学中考二轮复习《与旋转相关的几何动态问题探究》

解答题专题训练(附答案)

1.如图1,△力BC与AEB。均为等边三角形，将AEBD绕点8逆时针旋转，旋转角为a(其

中0。＜戊＜180。)，连接力E,CD,M是4E的中点，BC="BD.

(1)求证：AE—CD；

(2)如图2,连接DM,当ED的延长线经过点C时，请判断四边形MEBD的形状，并说明理曲

⑶如图3,连接CM,若BD=2,在绕点B旋转的过程中，求CM的最大值.

2.如图1,点。是正方形4BCD两对角线的交点，分别延长OD到点G,OC到点E,使

OG=2OD,OE=2OC,然后以。G、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.

图1图2

(1)求证：DE14G；

(2)如图2,正方形A8CD固定，将正方形。EFG绕点。逆时针旋转a角(0。＜a＜360。)，得到

正方形。EEC；

①在旋转过程中，当N04G，是直角时，求a的度数；

②若正方形48C。的边长为2,在旋转过程中，力F'长的最大值为.

3.如图1,在△力8c中，^ACB=90°,BC^AC,点。在力B上，OE14B交8C于点E,F

是2E中点.

⑴线段尸。与线段FC的数量关系是尸。FC,位置关系是FDFC；

(2)如图2,将ABDE绕点2逆时针旋转a((T<a<90。)，其他条件不变，线段FD与线段FC

的关系是否发生变化？写出你的结论并证明；

⑶将ABDE绕点8逆时针旋转一周，如果8。=2隹，BE=2,直接写出线段B厂长的取值范

围_______

4.如图，四边形4BCD和EFGB均为正方形，将EFGB绕点B旋转;

E

图①

⑴如图①，连接CE、AG,判断直线4G、CE的位置关系并说明理由;

(2汝口图②，连接BD、BF,若ADFC=135。，探索并证明线段8艮CF、。产的数量关系;

⑶如图③，若正方形力BCD、EFGB边长分别为4、2,EFGB绕点B旋转一周，直线4G与CE

相交于点H,直接写线段的最小值及点H运动轨迹的长度.

5.已知正方形4BCD,一等腰直角三角板的一个锐角顶点与2重合，将此三角板绕4点旋转

时，两边分别交直线BC、CD于M、N.

(1)当M、N分别在边BC、CD上时(如图1),将AADN绕4点顺时针旋转90。至△ABE,求诬

BM+DN=MN；

(2)当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时(如图2),线段BM、DN、MN之间又有怎样的

数量关系，并证明你的结论：

⑶在图3中，作直线BD交直线4M、4N于P、Q两点，在(2)的条件下，若MN=10,

CM=8,求力P的长.

6.已知正方形4BCD边长为1,对角线力C,BD相交于点。，过点。作射线。E,OF,分别

交AD,48于点E,

图1图3

(1)如图1,当。E14D时，求证：四边形2E0F是正方形;

(2)如图2,将射线0E,。尸绕着点。进行旋转.

①在旋转过程中，判断线段0E与。尸的数量关系，并给出证明;

②四边形。应4尸的面积为_；

⑶如图3,在四边形PQMN中，PQ=PN,AQPN=AQMN=90°,连接PM.若PM=9,请

直接写出四边形PQMN的面积.

7.如图，AaBC中，ABAC=90°,4B=AC,为点D在射线G4上，点F在射线B4上，CD=BF,

将线段CD绕点。逆时针旋转90。，点C落在点E处，连接EF.

(1)求证四边形BDEF是平行四边形；

(2)设BF=x,四边形BDEF的面积是y,y关于x的函数图像如图2所示，点M(l,3)是函数图

像上一点

①力B=_；

②过点F在EF上方作线段FG,使得FG1FE,且FG=EF(尺规作图)；

③连接4G,说明点G是定点；

④点PG,yj在点K左侧的函数图像上，点QG+3,乃)在点K右侧的函数图像上，且直线PQ

与x轴构成的锐角的正切值是:，求x的值.

8.综合与实践

将正方形2BCD的边4B绕点4逆时针旋转至ZB，，记旋转角为a.连接B*,过点D作DE垂直

于直线BB',垂足为点E,连接DB',CE,

(1)如图1,当a=60。时，ADEB，的形状为.,连接BD,可求出器的值为

CE

(2)当0°<a<360°且a丰90°时.

①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,

请说明理由;

②当以点方，E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，求二BF的值，若AB=2I—^,请直接

DC

写出此时点E到CD的距离.

9.［问题情境］如图1,E为正方形4BCD内一点，AE=5,BE=12,乙4EB=90。，将Rt

△ABE绕点4按逆时针方向旋转a度(0WaW180。)，点B,E的对应点分别为点用，E,.

［问题解决］

D

E'

图1图2

⑴如图2,在旋转的过程中，当点所落在力C上时，求此时CB，的长;

(2)若a=90。，如图3,得到AAD尻(此时夕与。重合)，延长BE交DE'于点F,试判断四边形

4EFE，的形状，并说明理由;

⑶在RtAABE绕点4逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段。£长度的最大值.

10.问题情境:

"综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图①中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全

等的三角形纸片，表示为△48C和△£>£尸，其中N4CB=NDEF=90O,N4=ND,将△2BC

和ADEF按图②所示方式摆放，其中点2与点尸重合(标记为点3).当=U时，延

CBCB

图3图4

深入探究:

老师将图②中的ADBE绕点8逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出

新的问题.

(1)“巧思小组”提出问题：如图③，当=时，过点/作4M1BE交BE的延长

线于点M,BM与4C交于点N.试猜想线段力M和BE的数量关系，并加以证明.

(2)"聪慧小组"提出问题：如图④，当“BE=NBAC时，过点N作4/IDE于点凡若

BC=6,AC=8,贝!W=

11.(1)观察猜想如图1,已知C,D,G三点在一条直线上(CD>DG),正方形4BCD和正方

形DEFG在线段CG同侧，//是CG中点，线段D”与力E的数量关系是,位置关系是

(2)猜想证明：在(1)的基础上，将正方形DEFG绕点。旋转a度(0。<a<360。)，试判

断(1)中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由.

ZODE

(3)拓展延伸：如图3,矩形力BCD和矩形DEFG中，—=—DE=3,将矩形DEFG绕点D

CDUu

3

旋转任意角度，连接力E,CG,H是CG中点，若求点”运动的路径长.

12.问题情境：

如图1,在矩形2BCD中，715=10,BC=8,E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使

点C落在4B边的点J处.

图3

猜想验证:

(1)填空：AC1的长为.

(2)如图2,将△■DJE沿线段4B向右平移，使点J与点2重合，得到ADiBEi，%%与BC

交于点F,与DE交于点G.

①连接GF,EE1,图中除矩形4BCD外，还有几个平行四边形？请一一列举出来.

②求EF的长.

拓展研究：

(3)如图3,将△DiBEi沿点B按逆时针方向旋转一定角度a(0。<a<90°),2后2分别交DE

和8c于点M和点N.当IIDE时，分别求出tana的值和线段MN的长.

13.在。4BCD中，NZBC=45。，连接2C,已知4B=4C=M，点£在线段4C上，将线段DE

绕点。顺时针旋转90°为线段DF.

⑴如图1,线段"与线段的交点和点£重合，连接EF,求线段E尸的长度；

(2)如图2,点G为OC延长线上一点，使得GC=EC,连接FG交AD于点X,求证：隹

AH=CD；

(3)如图3,在(2)的条件下，平面内一点尸，当HP+CP+隹BP最小时，求AZ/PB的面

积.

14.旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实

际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究△力BC和ADEF

均为等腰直角三角形，AB4C=NEDF=90。，点。为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接

AE,CF.

观察猜想：（1）如图L在ADEF旋转过程中，4E与CF的位置关系为；

探究发现：（2）如图2,当点E、尸在△ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、AE

与DE之间的数量关系，并说明理由.

解决问题：（3）若AABC中，AB=B在△DEF旋转过程中，当AE=隹且C、E、F三点

共线时，直接写出DE的长.

备用图

15.在A/IBC中，8。14;于点。，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP,将线段

P力绕点P顺时针方向旋转a,a=AABC,得到PE,连接CE.

（1）【观察发现】如图1，当B4=BC,且〃BC=60。时，BP与CE的数量关系是BC与CE

的位置关系是

（2）【猜想证明】如图2,当B4=BC,且乙4BC=90。时，（1）中的结论是否成立？若成立,

请予以证明；若不成立，请说明理由.（请选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理）

⑶【拓展探究】在（2）的条件下，若力B=4业，4P=5,请直接写出CE的长.

16.小红在学习了三角形的相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，如图，$ERt△ABC

（1）问题解决：如图1，当点。，£分别与点2,C重合时，将线段DE绕点E顺时针旋转90。,

得到线段尸£,连接4F，4尸与BC的位置关系是,数量关系是.

（2）问题探究：如图2,当点。，£不与点2,C重合时，将线段OE绕点E顺时针旋转90。，

得到线段FE,连接4F/F与BC的位置关系是怎样的？请说明理由.

⑶拓展延伸：如图3,当点E不与点C重合，且。为4B的中点时，将线段DE绕点E顺时

针旋转90。，得到线段FE,点G是点。关于直线AB的对称点，若点G,D,尸在一条直线上，

求亍的值.

EC

17.综合与实践

问题情境如图1，在矩形力BCD中，AB=5,AD=10.将矩形力BCD绕边力D的中点£逆时

针旋转角度以0。＜。＜90。）得到矩形4BCDY点B,C,。的对应点分别是点4,B1,

C,£＞'）.

操作发现：

（1）连接44',AD',DD',A'D,则四边形44'。。'的形状是；

问题探究：

（2）如图2,连接A4,CC,试判断力4与的数量关系，并说明理由；

拓展延伸：

（3）如图3,AE与BC交于点F,连接2D,当点4落在线段2。上时.

①求4B的长度；

②直接写出4尸的长度.

D'

D'D'

18.如图,操作:把正方形CGEF的对角线CE放在正方形48CD的边BC的延长线上

（CG>BC）,取线段AE的中点M.

探究：线段M。、MF的关系，并加以证明.

⑴说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路

写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，

完成你的证明.

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分.

①DM的延长线交CE于点N,且4D=NE；②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45。（如图）,

其他条件不变；③在②的条件下，且CF=24D.

附加题将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变.探究线段MD、MF

的关系，并加以证明.

初步尝试:

（1）如图LMN与AC的数量关系是—，MN与AC的位置关系是.

特例研讨：

（2）如图2,若NB2C=90。，BC=472,先将△BMN绕点8顺时针旋转a（a为锐角）,

得至IUBEF,当点N,E,尸在同一直线上时，2E与BC相交于点。，连接CF.

①求NBFC的度数；

②求CF的长.

深入探究：

（3）若ABAC<90。，将A8MN绕点8顺时针旋转a,得至U△BEF,连接4E,CF.当旋转

角a满足0。<a<360°,点C,E,尸在同一直线上时，利用所提供的备用图探究AB4E与N4BF

的数量关系，并说明理由.

20.某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1,

在四边形力BCD中，48=40/8+乙。=180。，我们把这种四边形称为"等补四边形如何

求”等补四边形"的面积呢？

探究一：

⑴如图2,已知“等补四边形"4BCD,若乙4=90。，将"等补四边形"力BCD绕点/顺时针旋转

90。,可以形成一个直角梯形（如图3）.若BC=4cm,CD=2cm,则等补四边彩，的面积为.cm?

探究二：

（2）如图4,己知"等补四边形"4BCD,若“=120。，将"等补四边形"绕点/顺时针旋转

120°,再将得到的四边形按上述方式旋转120。,可以形成一个等边三角形（如图5）.若BC=6

cm,CD=4cm，则“等补四边形”4BCD的面积为_cm2.

由以上探究可知，对一些特殊的"等补四边形"，只需要知道BC,CD的长度，就可以求它的

面积.那么，如何求一般的"等补四边形”的面积呢？

探究三：

⑶如图6,已知"等补四边形"ABCD,连接4C,将△AC。以点4为旋转中心顺时针旋转一定

角度，使力。与4B重合，得至点C的对应点为点

①由旋转得：乙D=4_,因为NHBC+N。=180。，所以乙48。+乙48。=180。，即点C',

B,c在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即△aca.

②如图7,在△2CC'中，作AH1BC于点，，若CH=n,试求出等补四边形"4BCD

的面积（用含加，〃的代数式表示），并说明理由.

参考答案

L(1)解：•・・AABC与AEBD为等边三角形,

・•.AB=BC,BE=BD,

•・•△EBO绕点B逆时针旋转a,

Z.ABE=Z.CBD,

在△ABE和△48。中

AB=BC

/.ABE=乙CBD

,BE=BD

・•.AABE三AABD,

・•.AE=CD；

(2)四边形MEB。为菱形，理由如下：

过点8作BNIDE,垂足为N,

・•・AEBO为等边三角形，

匕BED=60。,BD=BE=ED,

BNIDE,

1A/3

・•・EN=-BE,BN=「BE,

22

•••ED的延长线经过点C,BC=^7BD,

由勾股定理得，NC=^BE,

15

・•.EC=EN+NC=-BE+-BE=3BE,

22

；.DC=EC-ED=2BE,

由(1)得，AE=CD=2BE,

・•,M是AE的中点，

i

・•・EM=-AE=BE,

•・•Z.EDB=60°,

・•.ABDC=120°f

^BEA=^BDC=120°f

•••乙BEA+乙EBD=120°+60°=180°,

・•・EM||BD,

BE=BD=EM,

四边形MEB。为菱形;

（3）取4B中点F,连接FM,FC,

•・•△48C为等边三角形，F为48中点,

；.FC=@BC,

2

•；BC="BD,BD=2,

FC=

•••M为4E中点，F为力B中点，

•••MF为AABE的中位线，

11

MF=-BE=-BD=1,

22

在△MFC中，MC<FM+FC

••.“c最大为g+i.

2.解：（1）如图，延长ED交AG于H,

E•••点。是正方形4BCD两对角线的交点,

OA=OD,OA10D,

•••四边形OEFG是正方形

OG=OE

在△aOG和△DOE中,

OA=OD

Z.AOG=Z-DOE,

.OG=OE

••.△ZOG"DOE(SAS),

.，.Z-AGO=乙DEO,

•••乙AGO+2LGA0=90°,

/.Z.GAO+乙DEO=90°,

••・4HE=1800-(NGZ。+乙DEO)=180°-90°=90°,

即。ElAG；

(2)①在旋转过程中，N04G，成为直角有两种情况：

如图2,a由0。增大至()90。过程中，

当NO4G，=90。时，

11

OA=OD=-OG=-OG',

22

一,OA1

在Rt△04G，中,="

・••乙AGO=30°,

vOALOD,OA1AG',

・•.OD||AG',

・・・4DOG'=NAG'O=30。，即a=30。；

a由90。增大到180。过程中，当乙。46，=90。时，如图

Gf炉——

同理可求/BOG'=30。，

a=乙DOG'=180°-^BOG,=180°-30°=150°,

综上所述，当NOAG'=90。时,a=30。或150。；

②如图，连接。F,

G

•・・四边形OEFG是正方形,

ZFOE=45°,OG=GF,AOGF=90°

・・•正方形ZBCD的边长为2,

OA——=^\JAB2+BC2-^22+22=也，

OG=2OD=20A=2X隹=2但，

22

则OF=yJOG+GF=J(2值＞+(2回2=4,

・•・当a=360°-ZFOE=360°-45°=315。时，

/、0、F'在一条直线上，此时AF的长最大，

最大值为“。+。尸=4+业，

故答案为：4+也.

3.解：(1)'：^ADE=^ACE=90°fAF=FE,

：.DF=AF=EF=CF,

・••乙FAD=4FDA,/.FAC=Z.FCA,

.ZDFE=Z.FDA+Z.FAD=2/-FAD,乙EFC=A.FAC+Z.FCA=2/.FAC,

-CA=CB,^ACB=90°,

."AC=45。，

"DFC=乙EFD+乙EFC=2(^FAD+=90°,

：.DF=FC,DF1FC,

故答案为：—,1:

（2）线段FD与线段FC的关系不发生变化.理由如下：

如图，延长力C到〃使得CM=C4延长ED至iJN,使得DN=DE,连接BN、BM、EM、AN,

延长ME交⑷V于，，交48于O,

-Z-ACB=90°,BC=AC,

・44。=乙48。=45。，

-BCLAM,AC=CM9

.-.BA=BM,

.・ZABC=/MBC=45。，

.・ZABM=9O。，

同理可证BE=BN,乙EBN=9。。

-2LABM=(EBN=90°,

・•/NBA=乙EBM,

••.△ABN三△MBE(SAS),

.・.AN=EM,乙BAN=^BME,

-AF=FE,AC=CM,

i

：,CF=-EMfFC||EM,

同理可证FD||AN,

：.FD=FC,

•・・/8ME+/BOM=90。,2BOM=£AOH,

."AN+ZG4O”=90。，

"AHO=90°,

.-.AN1MH,FD1FC；

(3)如图2,连接BE

A

-\BE-BF\<BF<BE+BF,

・•・如图3时取得最大值时，点E落在48上时,

-AC=BC=272,乙4cB=90。，

：.AB-[AC2+BC2=4,

-BE=2,

-，-AE=4—2=2,

,・,点尸是AE的中点，

：.AF=EF=1,

・•・BF的最大值=AB—AF=4-1=3；

如图4中，当点E落在48的延长线上时，8尸的值最小,

：.AE=AB+BE=6,

・・•点/是4E的中点,

.-.AF=EF=3,

••.B尸的最小值=AB-AF=4-3=1,

综上所述，1WBFW3.

4.(1)解：AGLCE,理由如下，延长力B交CE的延长线于点M,延长4G交CE于点N,

•.ZBC=NGBE=90°,

Z-ABG+Z.GBC=Z.CBE+2GBC,

Z.ABG=乙CBE,

•••AB=BC,BG=BE,

三△CBE(SAS),

•••Z-BAG=乙BCE,

•••乙CBM=90。,

・•.ZBCE+ZBMC=9O°,

/.ABAG+乙AMN=90°,

••・乙ANM=90°,

(2)解：BF2=2CF2+DF2,理由如下，

四边形ABC。是正方形，

.・.AB=BC=CD=AD,4BAD=乙ABC=乙BCD=^ADC=90°,

如图，将。尸绕点。顺时针旋转90。至D%,连接/%产％,

图⑨DF=DF1,

••・zl+/.ADF=Z.ADF+Z3=90°,

•••zl=z3,

.-.△CDF=A^DF^SAS),

■.CF=AF1,FFj=2。产，N4=Z.5,/叫2=ND"=135。,

如图，将BF绕点B逆时针旋转90。至NF?，连接人尸2尸尸2，

同理可证△CBF=A^BF2(SAS),

2

CF=AF2,Z6=Z7,BF=BF2,FFl=2BF,

•••45+N6=90°,

Z4+Z7+/.BAD=180°,

.­.三点共线，

：.F1F2=2CF,

■.■DF=DF1,/.FDFr=90°,

•••ZDF1F=45°,

•••ZF2F1F=90°,

在RtAFFiFz中，PPi^FiF2+fFr

即2B产=(2CF)2+2DF2,

•••BF2=2CF2+DF2；

(3)解：••・正方形EFGB绕点B旋转一周，BG=BE,

.•・B、E在以8为圆心，2为半径圆上，如图所示：

在正方形EFGB绕点B旋转过程中，BG>BL,

当BG=84时，BL最大,

此时42最大，sinz2=1,

••・42=30°,

AG=^42-22=2内，

由（1）可知，AH1CE,

・•.Z.AHC=90°,

连接AC,取AC中点M,连接M”，

・・.”在以4C为直径的。M上，

1

vABAC=/BAD=45°,z8=45°-30°=15°,

•・•AM=MH,

.・.z8=z9=15°,

・•.Z10=Z8+Z9=30°,

此时F、”重合，DH最小,如图所示：

作“NIC。，交。C的延长线于N,

Z.N=90°,NH||BC,

/.Z.CHN=乙BCE,

由（1）知，LABG=△CBE,

・・・/BCE=42=30。，CE=AG=2^3,

・•・乙CHN=30。,CH=CE-EH=273-2,

・•・CN=-CH=乒1,HN='CN-=pCN=3一业

2V'tanzCHNvv

DF=^DN2+HN2=J（4+73-l）2+（3-V3）2=2后,

当点G在4B左侧时，如图所示：

图③

同理可得42=30。，Z1O=3O°,

点G从4B左侧运动到右侧，点H在。M上转过的角度为180。-30。-30°=120°,

点G从48右侧运动到左侧，点H在。M上转过的角度为180。-30。-30°=120°,

正方形4BC0的边长为4,

FM=CM=2隹，

；•点”的运动轨迹为12-*2穆x2=电包.

1803

5.(1)证明：•・,四边形4BCD是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,乙ABC=乙BCD=A.ADC=乙BAD=90°,

根据直角三角板的性质可得，NM4V=45。，

・・z£MN+/RAM=45。，

・・•将△ADN绕/点顺时针旋转90。至△ABE,

.'.2LDAN=^BAE,AN=AEfDN=BE,^BAE+/-BAM=45°=/-MAN,

在△EAM,△NAM中，

AF=AN

^LEAM=NM4M,

AM=AM

△EAMw△NZM（SAS）,

：.ME=MN,

,；BE+BM=ME,

：.BM+DN=MN；

(2)解：BM+MN=DN或DN+MN=BM,理由如下，

第一种情况，当点M在点B左边，点N在点C下方，如图所示,

•.•四边形ABCD是正方形，

"BAD=90°,

.•.将AABM绕点力逆时针旋转90。得AADG,连接MG,AN,MG交于点H,

△ABM=△A.DGf

；.BM=DG,AM=AG,£.MAB=^GAD,NM4G=90。，

根据等腰直角三角板可得，乙MAN=45°=^MAB+乙BAN,

"BAN+Z.GAD=45°,

"GAN=45°=乙MAN,

・・・/N平分ZM4G,且AM=AG,

：.AHIMG,且平分MG,即4NUM=4NHG=90。，MH=GH,

在AMHN,△G”N中，

MH=GH

乙MHN=乙GHN,

,HN=HN

••.△M”NwZkG”N(SAS),

；.MN=NG,

•;DG+NG=DN,

・・.BM+MN=DN；

第二种情况，当点M在点C右边，点N在点D上方，如图所示,

同理，AADN=AABGf

"DAN=/.BAG,

根据等腰直角三角版可得，匕MAN=CDAN+^DAM=45°,

・44G+/DAM=45。，

.'.Z.GAM=45°=4NAM,

在△AGM,△%可”中，

AG=AN

2GAM=匕NAM,

AM=AM

••.△AGM三△ANM(SAS),

・・.MG=MN,

•・・BG+MG=BM,

；.DN+MN=BM；

,・,四边形ABC。是正方形，

.-.ZBCD=90°,贝此BCN=90。，

在Rt^CMN中，MN=10,CM=8,

:£N=yjMN2-CM2=7102-82=6,

由(2)中可得，BM+MN=DN,且CM=BM+8C,BC=CD,

.'.CM-BC+MN=BC+CN,即8—BC+10=BC+6,

解得，BC=6,

・••在中，AC=BD=672,且NBAC="CB=45。，

在RtZk/DN中，AD=BC=6,DN=CD+CN=12,

.'.AN—{AD?+DN2=^62+122=6^5,

-ABAP+^BAN=45°,ABAN+^CAN=45°,

：./-BAP=乙CAN,

•.2MBP=乙CBD=45°,

：./-ABP=Z-ABM+乙MBP=90°+45°=135°,乙ACN=4ACB+乙BCN=45°+90°=135°

则=

AABP~〉ACN,

ABAP

••,

ACAN

6.(1)证明：•・•四边形/BCD是正方形,

：.Z.DAB=90°,4£MC=45。，

-OE1OF,OELAD,

.'.^DAB=Z.OEA=乙EOF=90°,

・•・四边形ZE。尸是矩形，

vZ.DAC=45°f

：.OE=AE,

.•・四边形AE。尸是正方形；

(2)解：@OE=OF,

证明：•••四边形ABC。是正方形，

：.OA=OB/EAO=AFBO=45°,

­■-z£0F=zX0B=90o,

：.Z-EOA=乙FOB,

△AEO=△BFO(ASA),

：.OE=OF-

②•・•四边形/BCD是正方形，

11

：.AC=BD,AC1BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,

，，22

:.0A=0B=0Cf乙4。8=48。。=90。，

：.^OBE=AOAE=45°,4OCF=4OBF=45。,

：.Z-OBE=Z-OCF,

•：0E1OF,

.・ZEOF=90。，

"BOE=ACOF=90。一乙BOF,

・•.△BOE=△COF(ASA),

△BOE的面积=△C。/7的面积，

1ii

・•・四边形。瓦4尸的面积=△的面积正方形/BCD的面积=-x1=-；

(3)解：如图，延长MQ至点G,使GQ=MN,连接尸G,

。0M

・.2QPN=/QMN=90。，

.・zPQM+zJV=180。，

•••△PQM+NPQG=180。,

"PQG=(N,

•・・PQ=PN,

△PGQ=△PMN(SAS)，

・・.PG=PM,乙GPQ=^MPN,

.•/GPM=乙GPQ+Z.QPM=乙MPN+Z.QPM=90°,

・•.△PGM为等腰直角三角形，

♦；PM=9,

181

四边形PQMN的面积=等腰直角三角形PGM的面积5X92=》.

7.(1)解：•.2B4C=90°,AB=AC,

.­,ZXBC=ZXCB=45°,

•・•将线段CD绕点。逆时针旋转90。,

・・.“DE=90。，CD=DE,

-CD=BF,

：.DE=BF,

'.^BAC=90°,ZfDE=90°,

；.DE||BF,

・•・四边形BDEF是平行四边形；

(2)解：由(1)可知四边形是平行四边形，过点E作于点”,

•••S平行四边形BDEF=B/7X£7/，Z.AHE=90°,

-ABAC=90°fZ^DE=90°,

・•・四边形ZDE”是矩形，

；,EH=AD,AH=DE,

■:BF—x,

：.BF=DE=CD=x,

-Z.BAC=90°,AB=AC,

・•.△ABC是等腰直角三角形，

：.EH=AD=AC-BF=AC—x=AB—x,

•・•四边形8DEF的面积是y,

.,.y=x(XB—%),

•・•点M(l,3)是函函数图象上一点，

.-.1x(XB-1)=3,

=4,

故答案为4；

②如图所示，线段FG即为所求，

・・•四边形BDEF是平行四边形，

.'.EF||BD,BF=DE,EF=BD

...41=^ABD,BF=DE=CD,

・"FG=9O0+N1,

MBDC=+4ABD=90°+z.1

：.Z-BFG=Z-BDC,

又・・・GF=EF=BD

△BFG=△COB(SAS)

：.BG=BC,^FBG=^C=^ABC=4S°,

・・.“BG=90。，

;.BG可以看作BC绕点B逆时针旋转90。得到的，

二点G是定点；

④过点P作无轴的垂线PS,过点Q作QLIPS于点3

.・ZPLQ=90。，

・•.△PLQ是直角三角形，QL||NSf

;.£PNS=LPQL,

;・sin乙PNS=sinZ.PQL,

•・•点P(x,%)在点K左侧的函数图像上，点Q(x+3，V2)在点K右侧的函数图像上，

：.PL=y1-y2fQL=3,

.PLyi-y

.-.sinzPQL=—=2,

i

•••直线PQ与x轴构成的锐角的正切值是3,

丫1一丫21

,3二2f

由①可知ZB=4,

.,.y=x(4—%)=4x—x2,

,22

..y1=4x—%,y2=—X—2X+3,

(4x—%2)—(—%2—2%+3)1

••—―，

32

3

解得：x=-

8.(1)解：如图，

•.•四边形48CD是正方形，

."DC=45。，ABCD=ABAD=90°,AB=AD,

CD/2

—=cos乙BDC=cos45°=A—,

BD2

•MB绕点力逆时针旋转至ZB，,旋转角为a=60。，

.-.AB=AB',NB4B'=60°,

.-.AB=AD=AB',为等边三角形，^B'AD=ABAD-/LBAB'=90°-60°=30°,

i,、i

；ZAB'B=60°,乙AB'D=-x(180°-NB'AD)=-X(180°-30°)=75°,

"DB'E=180。一44夕5一44"。=180°-60°-75°=45°,

-DELBB\

:.£.DEB'=90°,

"B'DE=90°-^DBrE=90°-45°=45°=乙DB'E,

・・.DE=B'E,

・•.△DE9为等腰直角三角形，

DE/2

"BDC=乙B'DE=45°,—=3s乙B'DE=cos45°=A'

DB'2

工乙BDC-乙B'DC=乙B'DE—乙B'DC,即NBDB'=乙CDE,

CD_yl2_DE

'BD~^Z~DB，'

/.△B'DBEDC,

BB'BD上A

•,宣=而=*="，

故答案为：等腰直角三角形；隹；

（2）①两个结论仍然成立,

证明：如图，连接BD,

•.•四边形4BCD是正方形，

:.Z.BDC=45°,Z.BCD=^BAD=90°,AB=ADBC=CD,

CD/2

——=cosZ-BDC=cos45°=A—,

BD2

BD亚=旦

「CD-

••・AB绕点/逆时针旋转至Z9，旋转角为a,

.\AB=AB',乙BAB'=a,

1/、1a

=-x(180°-z5?lF,)=-x(180°-a)=90°--,AD=AB',4B'AD=4BAB'

—Z-BAD=a—90°,

"AB'D=|x（180。-"4"）=|x（180。一仇+90°）=135°-1,

:/EB，D=（AB'D一（AB'B=135°-|-（90°-|）=45°,

•••DEIBB',

"EDB'=90°-^EB/D=90°-45°=45°=乙EB'D,

：.EB'=ED,

・•.△DEB是等腰直角三角形,

DE/2

XBDC=KB'DE=45%-=COSZB-DE=cos45°=A%

：/BDC+乙EDC=4B'DE+乙EDC,即NB'DB=乙EDC,

MM

△B'DBEDC,

BB'

CE

（1）中的两个结论不变，依然成立;

B'

②若以点夕，E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论:

第一种：以。）为边时，贝UCDIIB'E,

此时点夕在线段B4的延长线上，如图所示，

此时点E与点a重合,

.-.BE=CD=B'E,ED1CD,

BE

---=1,

B'E

'：AB=2点,

■■.ED——AB=2而，

此时点E到CD的距离为2强

第二种：当以CD为对角线时，如图所示，

•••四边形CB7JE是平行四边形，

1

,,

：.BF=EF=-BEfDE=BC,点F为CD中点，DE||B'C,

・・.BC=CD=2CF,

-DELB

：.^DEB'=90°,

工乙CB'E=LDEB'=9U。，

.•ZBB'C=180o-Z.CB/E=90°,

,.zBCF=90。,

乙BCF=^CB'F=幺BB'C,

•.•乙CBF=^B'BC,乙BFC=^CFB',

MBCF八CB'F八BBC

BCCB'BB'.

CF—B'F—CB'—2,

：.BB'=2CB'=4B'F,

••.BE=BB'+B'E=4B'F+2B'F=6B'F,B'E=2B'F,

BE6B'Fc

——3,

B'E2B'F

过点E作EG1CD于点G,

'：AB=275,

：.CF=-AB=-x26=4,

■■-BF=^BC2+CF2=42狗2+（也2=5,

,鲁=siWBB，=*g,

..6=觐：=£X2m=2,

:,DE=B'C=2,

-DE||B'C,

・••乙B'CF=（EDF,

・"BB'+乙BCB'=90°=（B'CF+乙BCB',

・•・乙CBB'=幺B'CF=LEDF,

EGJ5

・・・一=sinzEDF=sin乙CBB'=L,

DE5

.-.EG=*DE=延，

55

综上所述，U的值为1或3,此时点E到CD的距离为2而或等.

9.（1）解：（1）•.•4E=5,BE=12,zXEB=90°,

AB=yjAE2+BE2—13,

•••四边形ABCD是正方形，

BC=AB=13,乙48c=90°,

AC=MAB=13位,

由旋转的性质得：AB'=AB=13,

•••CB'=4C—4B'=13隹—13；

（2）解：四边形AEFE，是正方形，理由如下：

由旋转的性质得:AE'=AE,NR4?=a=90。，

V/LAE'D=乙AEB=90°,Z.AEF=180°-90°=90°,

••・四边形ZEFE'是矩形，

又AE'=AE,

矩形/EFE是正方形；

(3)解：・.・/E'=5是固定值，点/是定点，点E，是动点,

.•・点汇的轨迹为以人为圆心，5为半径的圆，如图：

当点C、4、£依次共线时，CE'最大，

rr

此时，CE=AC+AE=13^2+5f

即CE，长度的最大值为13M+5.

10.解：问题情境：结论：四边形BCGE为正方形.理由如下:

•••乙BED=90°,

ABEG=180°-zBED=90°,

•••乙ABE=乙4,

・•・AC||BE,

••・(CGE=^BED=9U。，

vZC=9O°,

・•・四边形BCGE为矩形.

△ACB=△DEB,

BC=BE,

矩形BCGE为正方形.

故答案为：正方形：

深入探究：(1)结论：AM=BE.

理由：-：/.ABE=Z.BAC,

；.AN=BN,

••・zC=90°,

'.BCIAN,

vAM1BE,即AMIBN,

i1

S“BN=5，AN,BC=—,BN,AM,

•・•AN=BN,

/.BC=AM,由(1)得BE=BC,

・•.AM=BE；

(2)解：如图：设的交点为M,过M作MG18。于G,

D

•••△ACB=△DEB,

BE=BC=6,DE—AC=8,Z.A=乙D,乙ABC=Z-DBE,

Z.CBE=Z.DBM,

Z.CBE=Z-BAC,

；.zJ)=Z-BAC,

・•.MD=MB,

•・•MG1BD,

・••点G是BD的中点，

由勾股定理得4B=^AC2+BC2=^62+82=10,

1

DG=~BD=5,

DGDE

cosD=—=——,

DMDB

DG-BD5x1025325

ADM=-----=-----=—,即3M=0M=—,

DE844

2515

AM=AB-BM=10一一=—,

44

•••AH1DE,BE1DE/AMH=乙BME,

AMHBME,

AHAM3

•・BE~BM~5’

3318

AH=-BE=-x6=—.

555

11.解：(l)AElDH,且。//=/瓦理由如下：

•.•正方形48CD和正方形DEFG,

.-.^ADC=90°

:.AE1DH；

设正方形2BCD的边长为0,正方形DEFG的边长为6,

根据题意，得ZE=AD-DE-a-b；

•・•》是CG中点,

CD+DGa+b

1・CH=------------=---------,

22

a+ba—b1

1.DH=CD—CH=a----==-AE.

222

1

故答案为：DH=-AEfAE1DH.

1

(2)结论。”二丁1瓦/月1。”仍然成立.理由如下，

延长CD到点P,使得CD=DP,连接GP,延长“2/E二线交于点。，

•・・〃是CG中点，

.-.GP||DH,DH=^GP,

.•ZQDP=乙DPG,

・・•正方形ABC。和正方形DEFG,

.'.^ADP=^EDG=90°f^QDP+^ADQ=90°,AD=DC=PD,ED=GD,

=90。一乙EDP=Z.PDG,

AD=PD

vZ-ADE=Z-PDG

.ED=GD

.•.△4DEwZkP0G(SAS),

;.PG=AE,^DAE=LDPG,

:.DH=/.DAE+4ADQ=90°,

:.DH=^AE,/.AQD=90°,

,,1

故DH=WAE,AE1DH.

（3）如图，延长co到点。，使得CD=DQ,连接GQ,

根据三角形中位线定理，得到D”||GQ,D"=；GQ,

•・•矩形ABCD和矩形DEFG,

：.^ADQ=乙EDG=90°,

・••乙4DE=90°-^EDQ=Z.QDG,

ADDE

•CD-DG'

ADDE

''DQ-DG"

ADDQ

''DE-DGf

/.△ADEQDG,

ADDEAEAE

•,QD~DG~QG_2DH9

3

-DE=3,DH=-AEf

DE121

•••_----X/___«

DG233

...DG=3DE=9,

取CD的中点O,

连接0”，

•••H是CG中点，

19

.-.0H=-DG=-,

根据圆的定义，判定点8在以点。为圆心，以。口为半径的圆上,

.•.其周长为2万。//=9兀.

BA

HX\x

G

12.解：(1)・・•四边形/BCD为矩形，48=10,BC=8,

DC=AB=10fAD=BC=8,乙4=90。，

由折叠的性质可知：DCr=DC=10,

22

•••AC1=^DC^—AD=6,

故答案为：6.

(2)①由