2025年九年级数学中考复习 切线的判定与性质综合解答题 考前冲刺训练

2025年春九年级数学中考复习《切线的判定与性质综合解答题》考前冲刺训练(附答案)

1.如图，△48。内接于。。，2B是。。的直径，过点。作交O。于点。，垂足为

M.连接CD、AD,AD与BC交于点、E,在OD的延长线上取一点N,使4ONB=4ADC.

⑴求证：BN是。。的切线；

⑵若。。的直径为5,sin^BAD=求ED的长.

2.如图，在△ABC中，AB=AC,。是BC的中点，。。与力B相切于点D,与BC交于点、E,F,DG

是。。的直径，弦GF的延长线交4c于点口，且GH14C.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若DE=2,求HF的长.

3.如图，以AABC的边4B为直径作。。分别交AC,BC于点、D,E,过点E作EF14C,垂

足为凡EF与2B的延长线交于点G.

(1)以下条件：

①K是劣弧8。的中点：

@CF=DF；

(3)AD=DF.

请从中选择一个能证明EF是O。的切线的条件，并写出证明过程:

⑵若EF是是。。的切线，且4F=4,AB=6,求BG的长.

(2)如图2,。8为O。的直径，过点C作O。的切线与DB的延长线交于点E,若CE||AB,CD=6,

求阴影部分的面积.

5.如图，已知D是。。上一点，4B是直径，NB4D的平分线交。。于点E,。。的切线BC交

(1)求证：CD为。。的切线.

(2)若=2,

①若4EIICD,贝！JBC=.

②作AAE。关于直线。E对称的AFE。，连接BF,BE,当四边形BEOF是菱形时，求CE的长.

6.如图，48是。。的直径，。,0在。。上，且8C=C0,过点。作CEL40,交4。的延长

线于点E,交的延长线于点足

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若=6,AE=4.8,求CF的长;

(3)若AB=4ED,求cosN力BC的值.

7.我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角"曾是数

学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易

操作工具一一三分角器，图1是它的示意图，其中4B与半圆。的直径BC在同一直线上,

且4B的长度与半圆的半径相等；DB与4C垂直于点B,DB够长.使用方法如图2所示,

若要把AMEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过NMEN的顶点E,点、4在边EM

上，半圆。与另一边EN恰好相切，切点为F,贝帕8,E。就把乙MEN三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.请你根据已知和求证，写出证明过程.

已知：如图2,点4,B,0,C在同一直线上，EB1AC,垂足为点B,AB=BO,EN与半

圆。相切于点F.

求证：zl=z2=z3.

8.如图，在RtAABC中，Z4CB=90°,AB=5cm,AC=4cm,动点E从点4出发，沿AC方

向匀速运动，速度为2cm/s,以AE为直径作。0,与4B交于点D,连接DE.设运动时间为

t(s)(0<t<2),解答下列问题：

(l)t取何值时，BE平分N2BC；

(2)设ADCE的面积为y,求y与t的函数关系式；

⑶是否存在某一时刻t，使CD与。。相切？若存在，求出t的值；若不存在说明理由.

9.如图，已知△ABC中，4B=BC,点。是BC边上一点，连接2D,以AD为直径画。。,

与边交于点E,与4C边交于点尸，EF=AF,连接。£

⑴求证：BC是。。的切线；

(2)若BC=10,COSNAFE=|,求4C的长.

10.如图，4B是。。的直径，C、。在。。上，且点A是CD的中点，连接CD交力B于

点E,延长BD和C4相交于点P,过点A作4G||CD交BP于点G.

⑴求证：直线G4是。。的切线；

(2)若PG-PB=36,求力P的值；

⑶过点P作。。的切线，切点为Q,若PD=mPG,PQ=nAP,求m与n之间的关系.

11.如图，是。。的直径，C,。在。。上两点，连结4D,CD.

(1)如图1,点P是力C延长线上一点，N4PB=N4DC,求证：BP与。。相切；

⑵如图2,点G在CD上，OF14C于点F,连接力G并延长交。。于点H,若CD为。。的直径,

乙CGB=乙HGB,BG=2OF=6,

①求证：AO=4G；

②求。。半径的长.

12.如图，PA为。。的切线，N为切点，过点/作。P的垂线4B,垂足为C,交0。于点8,

延长B。与。。交于点。，连接PD交42于点E.

⑴求证：PB为。。的切线;

(2)求证：PB2=PCP0；

⑶若NBPD=3N2PD,求空的值.

PE

13.已知，如图，AABC中，AB=AC=5,BC=6,点。在边BC上，。。是AABC的外接圆,

AE||BC,AE=BD.

(2)如图1,连接。。，若CE=2小,求0。长度；

(3)如图2,作2FIICE,与BC交于点G,与O。交于点F,若ND4F=求4尸长度.

14.如图，2B是O。的直径，AB=6,P是O。上异于点力,8的一动点，连接24,PB,

过点/作射线.4C1P4c为射线力C上一点，连接PC.

(1)若PB=4,求PA的长；

【深入探究】若在点P的运动过程中，始终有tanNPS=W.

(2)如图1,若2C=g,求证：直线PC与。。相切；

(3)如图2,连接。C,设。。=小，求加的取值范围.

15.已知2B是。。的直径，4c是弦，NB4C的角平分线交。。于点。，。石1"于反

图1图2

(1)如图1,求证：DE是。。的切线；

(2)如图1,若力B=13,AC=5,求ED的长;

(3)如图2,过点8作。。的切线，交2。的延长线于尸，若ED=DF=x,AD=y,求(的值.

16.如图，已知RtAABC中，^ACB=90°,4。平分N82C,交BC于点。，以48上某一点。为

圆心作。。使O。经过点4和点D,交AB于点E,连接ED并延长交AC的延长线于点尸.

(1)判断直线与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若AE=12,CF=3,求BE的长；

⑶在(2)的条件下，求阴影区域的面积.

17.如图，点。是△4BC的边BC上一点，以CD为直径的。。切于点E,BF140交力。延

长线于点尸，且NFBC=Z_C4F.

⑴求证：AC是。。的切线;

(2)若4C=6,BC=8.

①求。。的半径；

②连接CF,求BF的长.

18.如图，4B为。。的直径，C为。。上一点，D为雇的中点，连接CD交力B于点E,连接4C,

BC,BD,点F在射线力B上，5.FE=FC,tanzBCF=|.

(1)求证：FC为。。的切线；

(2)若BC+AC的值为6VL求线段CD的长；

⑶设A/IBC的面积为S,猜想空券的值是否为定值？若为定值，请求出该定值，若不为定值，

请说明理由.

19.知：如图1,4B是O。的弦，点C是。。的半径。B的延长线上一点，将AA8C翻折得到

△ABC',交半径OB于点。.

⑴求证:BC||0A.

(2)若"与。。相切.①如图2,点。落在。。上，求sinC的值.

②如图3,若。4=10,AB=12,求ABDC'的面积.

20.已知△ABC,点。在BC的延长线上，CD=4,以CD为边，在△ABC的同侧作正方形CDEF,

经过£、厂两点作。。且与CD边相切于点G,连接4。，点尸是4。边的中点，

BCGDBCGD

图1图2

⑴求。。的半径；

(2)如图1,当点P在。。上，连接CP,若CP=CG,求证：CP是。。的切线;

⑶如图2,若4B=BC=m,且NB=60。，连接0G交4。于点H,设£=y,

DH

①求y与"2的函数关系式；

②当点P在O。上时，求y的值.

参考答案

1.（1）证明：Ta=CD-

•••Z.ADC=Z.ABC

•・•乙ONB=/.ADC,

・•・Z.ABC=乙ONB

•・•0M1BC,

・•・乙BMN=90°

・••乙ONB+Z.NBM=90°,

・•・/.ABC+乙NBM=90°,即4ZBN=90°

・•・OB1BN,

•••。8是。。的半径，

••.BN是。。的切线

（2）•••4B是。。的直径，

乙ADB=90°

在RtAADB中，AADB=90°,AB=5,sin/BAD=|

*'•1sin,Zri_BA_r\/4DB=D—口,口3即一B=D—,

AB55

・・・BD=3

由勾股定理得=AD2+BD2

：.AD=y/AB2-BD2=J52-32=4

OMLBC,。。为O。的半径，

：•BD=CD

・•・4BAD=心CAD,

z~\

•••CD=CD，

Z.CAD=乙CBD,

•••乙BAD=Z.CBD,

•・•^.ADB=乙BDE=90°,

・•.△ADBBDE,

BDAD34

———,即Rn—=一,

EDBDED3

9

・•.ED=

4

2.(1)证明：连接A。，过。作。MlAC于点M

・♦.4。平分NBAC

•••O。与ZB相切于点。

•••OD1AB

•・•OM1AC

・..OM=OD=v

・•.AC是。。的切线；

(2)解：过点。作ONIG”，垂足为N.

A

得四边形。M”N为矩形，且FN=：GF

OM=NH

•••ODLABfGHLAC

・•.Z.GOF=乙DOB=90°一乙B

Z.GFO=4CFH=90°-zC

vAB=AC

•••Z-B—Z-C

Z.GOF=Z.GFO

・•.GO=GF

又・・•OF=OG

・•.△OGF为等边三角形

・•・乙GOF=(DOE=60°

OD=OE

・•.△ODE为等边三角形

OD=DE=r=2

Ii

・•・FN=-GF=-DE=1,NH=OM=r=2

22

・•.FH=NH—FN=1.

3.解：（1）我选择的条件是第①个；

证明：连接。D,OE,

vBE=DE，

•••z.1=z2,

OA—OD,

•・•z.1+z2=z.i4+z3,

•••z.1=z2=Z-A=z3,

・••OE||AC,

•・•EFLAC,

•••EF1OE,

・•.EF是。。的切线.

或。）我选择的条件是第②个；

方法1：证明：连接3D,OE,

・•・2B是直径，

4ADB=90°

•••EF1AC,即NFDB=/LAFE=90°,

BD||EF,

■■CF=DF,

^\CE=BE,

又OA=OB,

OE是△ABC的中位线,

•••OE||AC,

•••乙OEG=AAFE=90°,

・•.EF是。。的切线.

CF=DF,EFLAC,

EF垂直平分线段CD,

CE=DE,

•••四边形力DEB为圆内接四边形,

・•.Z.CDE=z.1,

OB=OE,

•••zl=z2,

•••乙C=z2,

・•.OE||AC,

・•・乙OEG=^AFE=90°,

・•.EF是。。的切线.

（2）由（1）可知OE||AC,

・•.Z.OEG=^AFE=90。，NGOE=Z.GAFf

GOE〜\GAF,

AB=6,

OA=OB=OE=3,

OEOGni-|33+BG

AF~AGf4_6+BG'

解得：BG=6.

4.解：（1）端=&,理由如下:

团4。=BC,

^AD=BC-

r-\r-\

团AB=CD-

（2）如图所示，连接。C.

比4。=BC,

^ABD=Z.CDB.

0CE||AB,

^CED=乙ABD.

回。。=OC,

^CDB=ZDCO.

团CE为。。的切线，

回。C1CE.

^OCE=90°.

^Z.OCB+2BCE=90°.

团DB为。。的直径，

团乙OCB=乙DCO+Z.OCB=90°.

回4OC。=/-BCE.

0Z.CED=乙ABD=Z-CDB=乙DCO=Z-BCE.

团BC=BE,CD=CE=6.

在^ODC和△BCE中

NDCO=乙BCE

CD=CE

/CDB=Z-CED

0AODC=△BCE.

汕C=BE=OD=OC.

回。8=OC=BC.

^COB=60°.

设BC=BE=OD=OC=OB=r,

团。E=OB+BE—2r.

^OE2=OC2+CE2,

团4r2=72+36

团r=2V3.

回s阴影=SAOCE—s扇形OCB=[X2百x6—攀=一2小

5.(1)证明：IBBC是。。的切线，

SBC1OB,

回NOBC=90°,

ME是NB4D的平分线，

团N£ME=乙BAE,

又回乙。。£=2乙DAE,乙BOE=2乙BAE,

团乙。OE=乙BOE,

又由OD=OB,OC=OC,

[?]△ODC08c(SAS),

^ODC=Z.OBC=90°,

又SD是。。上一点，

回CD为O。的切线；

(2)解：①OCDIIAE,001CO,

回。。1AE,

0AD=DE>

^/-AOD=乙DOE=4BOE,

又El乙4。0+乙DOE+/.BOE=180°,

0ZXOD=乙DOE=乙BOE=60°,

回NBC。=30°,

SBC=«OB=--AB=V3,

故答案为：V3；

②如图所示:

回四边形BEOF是菱形，

团BE=OE=1,Z.EOB=LEBO,

国4EOB+乙BCE=90°,(EBO+乙CBE=90°,

^Z-BCE=乙CBE,

团CE=BE=1.

6.(1)证明：如图，连接。C,4C,

团BC=CD,

0BC=CD-

^Z-OAC=Z-EAC.

团。C=。4

・•.Z.OCA=Z-OAC,

团/。。/=Z.EAC,

回。C||AE,

团CELAD,

0CE10C,

又0C是半径，

・•.EF是。。的切线；

(2)团。C||AE,

0AFCOFEA

OCOF3OF

・••一=——,nn即——=--，

AEAF4.80F+3

解得。F=5.

在Rt△OCF中，CF=yJOF2-OC2=V52-32=4；

(3)TEF是。。的切线,

•••乙OCF=90°,

CE是直径，

•••乙E=/-ACB=90°,

•••Z.EDC+^ADC=180°,^ABC+^ADC=180°,

•••乙EDC=Z-ABC,

CDE〜匕ABC

.CD_AB

,,DE-BC，

•••AB=4ED,CD=BC,

.BC_AB

•*,,

^ABBC

4

I

・•・BC=-AB

2f

4“BC1

•••cosZ-ABC=—=

AB2

7.解：vEB1AC,

•••Z-EBA=Z.EBO,

XvAB=BO,

/.△EAB三△EOC(SAS),

•••zl=z2,

・・•EN与半圆。相切于点F,

・•・OFLEN,

BO—FO,

・••Rt△EBO=RtAEFO(HL),

••・z2=z3,

zl=z2=z3.

8.(1)解：由题意得：乙4cB=90°,AB=5cm,AC=4cm,AE=2tcm,CE=(4—2t)cm,

・•・4E是O。的直径，

•••Z.ADE=90°,

在RtAABC中，BC=7AB2-AC2=V52-42=3(cm),

•••乙ADE=AACB=90°,AEAD=^BAC,

•••AAEDS^ABC,

DEBCanDE3

•••—=——,即一=

AEAB2t5

DE=11cm,

•••乙BDE=乙BCE=90°,

・••当DE=CE时，BE平分/ABC,

*'•—t=4—23

解得」=1

4

.•.当t=9时，BE平分“BC；

4

(2)解：如图，过点。作DG1/C于点G,

g

・••AD=-tcm,

•・•DG1AE,AD1DE,

AE-DG=AD-DE,即2t

24

•••DG=—tcm,

25

2

y=S^DCE=lcE-DG=-=-^t+^t-,

(3)解：存在某一时刻t,使CD与。。相切.理由如下：

如图，过点。作DG1AC于点G,

由(1)(2)知：AE—2tcm,OA—OD=tcm,OC=(4—t)cm,AD=|tcm,AG=||t

24

cm,DG=—tcm,

25

327

OG=AG-OA=—t-t=—t,

2525

32

・•.CG=OC-AG=4-—t,

25

DG1AC,

・•・CO与。。相切，

・•・乙CDO=90°,

・••Z-DGO=(CDO,

乙DOG=Z-COD,

ODGs、OCD,

7,

,OG_oo_t

••—,冈J—,

ODOCt4-t

解得：t=g

o

.,.当t=J时，CD与O。相切.

o

9.(1)证明：财。为O。的直径,

^AED=90°

国BA=BC

^BAC=乙BCA

0FF=AF

回乙BAC=/LFEA

回43cA=Z.FEA

国乙DEF=Z.DAC

^DAC+4BCA=^DEA+^AEF=90°

固4。1BC

回BC为。0的切线

（2）MC为。。的切线

^ADE+乙BDE=90°

国乙B+（BDE=90°

回ZJ5=乙ADE

Q

BcosZ-AFE=-

5

3

国cos乙B=-

国BD=6

由勾股定理得，AD=8

MC=10

^DC=10-6=4

由勾股定理得，AC=4^5

10.(1)证明：囿43是团。的直径,

团乙4cB=90°,

^BCD+4DCA=90°,

团点4是金的中点，

^ACD=44DC,

团4G||CD,

^DAG=Z.ADC=4ACD,

^BAD=乙BCD,

^BAD+ADAG=90°,^/LBAG=90°,

团直线GZ是团。的切线；

(2)^AG||CD,

团/PAG=Z.ACD,

团/PAG=乙ABP,

团IP=乙P,

0AAPGfBPA,

APPG

回--=--,

BPPA

回PG•PB=AP2=36,

团4尸=6(负值舍去)；

(3)过点P作国O的切线PQ,连接AQ,CQ,OQ,过点。作。F1/Q,交AQ于点F,交CQ于

点H,如图所示：

^CQF+^QHF=90°,^CQF+^AQP=90°,

团=/-AQP,

回。F1ZQ,

团/QOF=(ACQ,

团4ACQ=乙AQP,

团乙尸=乙P,

[?]△APQfQPC,

型=丝，

PCQP

胤4尸•PC=QP2,

回AG||CD,PD=mPG,

团PC=mPA,

团PQ=nAP,

团代入ZP•PC=QP2得：AP-mPA=

0m=n2.

11.(1)解：如图1,连接BC,

团4B是。。的直径，

^\z.ACB=90°,

^ABC+/-BAC=90°,

回448c=4。，AAPB=/.ADC,

^ABC=乙APB,

0ZP+/.PAB=90°,

^ABP=90°,

团OB是。。的半径，

团BP与。。相切；

(2)①如图2,连接BC,BH,作BM1CD于M,AN1CD于N.

图2

回。尸_LZC于点产，

[?L4F=CF=-AC

2

团CD,AB是直径，

回。/=0D=0C=OB,

^BC=20F=6,BC||OF,

团44。。=乙BOC,

团△Z。。三△BOC(SAS),

回/。=BC=2OF=6,

团。4=OB,乙AON=乙BOM,乙ANO=乙BMO=90°,

^AON三△BOM(AAS),

团。M=ON,AN=BM,

^\Z-CGB=Z.HGBf

国乙OGH=2乙CGB,

团BC=BG=6,

^\Z-GCB=Z-BGCf

团/BOG=Z.OCB+乙OBC=2/LGCB,,

团/BOG=乙OGH,

团乙4OG=乙4G。，

比4。=AG；

②设。M=ON=a,

团4N1OG,AO=AG,

团ON=NG=a,

团BG=AD,BM=AN,乙AND=乙BMG=90°,

回Rt△BMG=RtAZND(HL),

团MG=DN=3a,OD=OA=OB=OC=4a,

团BM=yJOB2-OM2=V15a,

在中，WC2=BM2+CM2,

036=15a2+9a2,

团a>0,

0a=—,

2

HMG=CM=3a=迪，

2

团OG=2a=V6,

0C£>=2X+V6=4V6,

0O。半径的长为2&.

12.(1)证明：如图，连接。4

"•••P4为。。的切线,

•••0A1AP,

•••"4。=90°,

•••OP1AB,

BC=AC,

・•・。尸是48的垂直平分线,

・•.PB=PA,

0A=OB,OP=0P,

.*.△POB三△POA(SSS),

・•・乙PBO=2LPAO=90°,

・•・OB1PB,

・•.28是。0的切线；

(2)证明：由(1)得，

乙PBO=90°,OPLAB,

•••乙PCB=(PBO=90°,

Z-BPC=Z.OPB,

PBC〜匕POB,

.PB_PC

,•=,

POPB

•••PB2=PC•PO；

(3)解：如图，连接力D,

BA

D

由(1)知：LPOB=LPOA,

•••乙BPO=Z-APO,

(BPD=3Z.APD,

・•.ABPC+/-CPE=3匕APD,

・•.AAPC+^APC-Z.APD}=34APD,

・•.AAPC=2乙APD,

・•・Z-DPO=Z-APD,

v80是。。的直径，

・••乙BAD=90°,

・••AD1AB,

由(2)知：OPlABf

・••AD\\0Pf

DfQD

.'ZDP°=LADE,WCEFDAE,-=-=1，

•・•Z-DPO=4DPA,

・•・Z-ADE=/,DPA,

・•.AD=AP=PB,

设。C=a,贝!JPB=AD—2a,PC=x,

由(2)得：PB2=PC,0P,

•••(2a)2=x(x+a),

V17-1-V17-1

X]--CL,%2=---------a（舍去）,

2

“Vi7-i

•••PC=-------a,

2

DE_AD_2a_V17+1

••PE~PC~后一%-4.

2

13.(1)证明：作直径与BC交于点〃,

图1

0XB=AC,

r-\r-x

回AB=AC>

回BM=CM，

^BAH=/.CAH,

SAH1BC,BH=CH,

SAE||BC,

固4M1AE,

而AM是直径，

回AE与。。相切；

(2)解：连接。B,

图1

设。。半径为丁，

团=6,BH=CH,

团BH=3,

团在中，AB=5,

团由勾股定理得：AH=4,

团。”=4-r,

团在Rt△OHB中，由勾股定理得：BH2+OH2=BO2

032+(4—r)2=r2,

解得：r=总

o

257

团。”=4一处=」

88

团4E1AM,

^MAC+Z.CAE=90°,

^Z-BAM=/.CAM,

^BAM+Z.CAE=90°,

而NR4M+乙ABD=90°,

团乙48。=Z.CAE,

又朋E=BDfAB=AC,

回△48。=△G4E(SAS),

^\AD—CE—2A/5,

团在RtAADH中，DH=y/AD2-AH2=J(2A/5)2-42=2,

在RtAODH中，则DH2,OH=AH-AO=4：

88

回。。=yJOH2+DH2=J(02+22=等；

(3)解：连接MC,MF,CF,OF,OB,CO,OF与MC交于点K

图2

0XF||CE,AE||BC,

回四边形4ECG是平行四边形,

0CG=AE=BD,AGCE=AD,

=CH,

WH=GH,

团/H平分皿1G,

即々DAG=24AH,

又乙DAF=2Z-BAD,

^Z-BAD=Z-DAH,

而在平行四边形AECG中，/-CAG=^LACE,

而NBA。=乙/CE,

^CAG=乙BAD=Z.DAH=Z.FAHf

回MF=CF,

团/MOF=LCOF,

团。C=OM,

团4K1MC,

回ZM是直径，

^ACM=90°,

回。K||AC,

又点。为AM中点，点K为MC中点，

15

WK=-AC=-,

22

在Rt^OKM中，OM=r=至，

8

ISMK=70M2-0K2=J管了一（§2=多

在RtAMKF中，KF=OF-OK

828

0MF2=MK2+KF2=借了+02=答，

在RtAAMF中，AM=2OM=2x—=—,

88

MF=7AM2_加=伯2一吧=也便.

\V87648

14.解：（1）•••AB是。。的直径，P是O0上异于点4B的一动点，

•••4APB=90°,

在RtAP4B中，由勾股定理，得PH=VAB2-PB2=V62-42=2有;

(2)证明：如图1,连接。尸,

AC1PA,tanZ-PCA=y/3,AC=V3,

・•.Z.PCA=60。,PA=AC•tan60°=3,

・•.Z.APC=30°,

・•・AB是。。的直径，AB=6,

OA=OP=3,

.・.OA=OP=PA=3,

.•.△aop是等边三角形，

•••/.APO=60°,

•••^.APO+4Ape=60°+30°=90°,即NCP。=90°,

OP1PC,又。P是。。的半径，

••.PC是。。的切线，即直线PC与。。相切；

（3）如图2,过点/作射线4。1AB,作射线OD使得N40D=60°,射线2D与。D交于点

连接。P,DP,则在RtAA。。中，

AD=OA-tanZ/lOD=OA-tan60°=V3OX,

tan/.PCA=y]3,AC1PA,

：.PA=43AC,

PAADB

—=v3,

ACOA

•・•乙PAC=/-DAO=90°,

•••/.PAC+乙PAO=乙DAO+APAO,即NCA。=/.PAD,

CAOPAD,

把="=百，

COAO

PD=V30C,

AB—6,

OA-3,

22

在Rt△AOD中，AD=V304=3百,OD=VOX+AD=J3?+(3回2=6)

在APOD中，根据三角形的三边关系，得|OD-OP|WPDWOD+OP,

|6-3|<V3OC<6+3,即3WV3m<9,

V3<m<3A/3；

15.(1)证明：如图所示，连接。。，

团。A=OD,

团乙。4。=Z.ODA,

团O/平分

^Z-EAD=Z-BAD,

回乙4。。=Z.EAD,

回。。||AE,

0ZE+乙ODE=180°,

团OE1AC,

回4E=90°,

团4。DE=90°,

又回。。是。。的半径，

团。E是。。的切线；

图1

（2）解：如图所示，连接OD,BC交于F,

回4B是直径，

回乙4cB=/.BCE=90°,

SBC=7AB2-AC?=12,

又回NE=乙FDE=90°,

回四边形ECFD是矩形，

ODE=CF,MFD=90°,

0CF=BF=-BC=6,

2

团OE=CF=6；

(3)解：如图所示，连接BD,

团48是直径，

^BDA=乙BDF=90°,

0ZF+Z.FBD=90°,

阪4平分NBAC,

^Z-EAD=Z-BAD,

团BF是。。的切线，

^ABF=90°,

0ZF+/.FAB=90°,

^\Z-EAD-Z-BAD=乙FBD,

团Z_E=Z-BDF=90°,ED=FD,

[?]△AED=△BOF(AAS),

比4。=BF,

团BO?=AB2-AD2=BF2-DF2,AB2=AF2-BF2,

^\AF2-BF2-AD2=BF2-DF2,

E（XD+DF）2-AD2-AD2=AD2-DF2,

0DF2+AD-DF-AD2=0,即DE?+AD-DE-AD2=Q

畸）Y-1=。，

设X

况2+[-1=0,

解得t=^或"-萼（舍去）,

胫=匹匚，

AD2

团ED=DF=x,AD=y,

求=也=3=西

xDEV5-12•

16.(1)证明：直线BC与。。相切，理由如下:

•・•4。平分MAC,

Z.BAD=Z.CAD,

OA=OD,

••・乙BAD=4ODA,

Z.ODA=Z.CAD,

・•.OD||AC,

•・•^ACB=90°,

•••Z.ODB=AACB=90°,

・•・OD1BC,

・•.BC是。。的切线；

(2)・.,ZE是。。直径，

・•・/.ADE=90°,

•••AD1EF,

•••AO平分NBZC,AE=12,

/.AE=AF=12,

•・•CF=3,

.'.AC=9,

在RtZkADF中，AACD=90°,

•••Z-FDC+乙ADC=Z-CAD+(ADC,

•••Z.FDC=Z-CAD,

•••乙DCF="CD=90°,

・•.△DCF~XACD,

.CD_CF

••AC~CD9

・•.CD2=AC-CF,

CD=3A/3,

+z/-/inCD36V3

tanzCXZ)=—=——=——，

AC93

・•.Z.CAD=30°,

•••乙BAD=30°,

・••乙B=90°-LBAC=30°,

在&△ABC中，AC=9,

AB=18,

・•・BE=18-12=6；

(3)vODIBC,ZB=30°,OD=-AE=6,

2

BD=6A/3,

•••S^BOD=Ix6x6A/3=18V3,

•・•乙BAD=30°,

•••(BOD=60°,

c607TX62,

"S扇形EOD=360=6兀，

S阴影=18V3—67r.

17.(1)证明：0BF120,

0ZBFO=90°,

回NFBC=NC4F,乙COA=4FOB,

SAACO=乙BFO=90°,

回。C1AC,

回4c是。。的切线；

(2)解：①回AC=6,BC=8,^LACB=90°,

EL4B=<AC2+BC2=10,

连接OE,如图所示：

回47与4E都为。。的切线,

团4c=AE=6,

团BE=AB-AE=4,

在RtZkBOE中，设。。=。£*=7，则有。8=8—7，由勾股定理得（8—丁下=产+42,解得

r=3,即圆的半径为3；

②延长/C、8/相交于点G,如图所示:

.*AFLBG,

・•.Z.AFG=^AFB=90°,

・・・AC与AE都为。。的切线，

•••OC1AC,OE1AE,OC=OE,

Z.CAO=Z-EAO,

在△/■口△”好,

A.CAO=AEAO

AF=AF,

^AFG=乙AFB=90°

••.△AFGwZkAFB(ASA),

团4G=AB=10,BF=GF,

团CG=BE=4,

在RtABCG中，4BCG=90°,贝|BG=VBC2+CG2=V82+42=4西,

0BF=|BG=2V5.

18.解:(1)如图，连接。C,

•••AD=BD，

•••Z-ACD=乙BCD,

・・,ZB为。。的直径，

・•・乙ACB=90°,

・•・"CD+乙BCD=90°,

又•・•^ACD=乙BCD,

AACD=乙BCD=45°,

•・•FE=FC,

•••Z-FCE=Z.FEC,

又•：乙FCE=2BCF+乙BCD,Z.FEC=^0AC+Z.ACD,(ACD=^BCD,

・•.Z_BCF=Z-OAC,

•・・OA=OC,

・，・Z-OCA=Z.OAC,

又•・•(BCF=Z.OAC,

•••乙BCF=Z.OCA,

又•・•Z.OCA+Z.BCO=乙ACB=90°,

・•・乙BCF+乙BCO=90°,

・•.M)CF=90°,

・•・OC1FC,

・・・FC为。。的切线；

(2)过点。作。Giac于点G,连接a。,

由(1)得N04C=乙BCF,

tanzBCF=

2

AtanAOAC-

2

•・•乙ACB=90°,

・•・tanZ-OAC

AC2

设BC=m,AC=2m(m>0)

AB=y/BC2+AC2=yjm21+(2m)2=V5m,

r~\o

vAD=BD，

・•・AD=BD,

・•・AB为O。的直径，

•­•4ADB=90°,

・•.AD=BD*=^=—m,

V2V22

•・•BGlACf/LACD=45°,

・•.Z.CDG=乙ACD=45°,

•••CG=DG,

设CG=DG=x,则AG=AC-CG=2m-x,

DG1AC,

・•.DG2+AG2=AD2,

・••x2+(2m—%)2=(手机)，

•••x2+x2—4mx+4m2=-mz,

2

(2%—m)(2x—3m)=0,

m_p.3

••・X=-^-m,

•・•4DAG>Z-ADG,

DG>AGf

**.CG>AG9

・•・x>2m—x,

x>m,

3

・•・x=-m,

2

3

•••CG=DG=-m

31

AG=2m--m=-m

22

•••OG1AC,

CD=y/CG2+DG2=J(|m)2+(|m)2=乎加

•••BC+AC=6A/2,

・•・m+2m=6V2,

•••m=2V2,

CD=^x2V2=6；

(3)是定值，理由如下：

过C作C”14B于点H,连接。D,

D

由(2)得BC=m,AC=2m,AB=V5m,CD=>0),

Z.ACB=90°,CHLAB,

■■S^ABC=IAC-BC=IAB-CH,

ACBC2m-m2遥

•••CH=---------=—p—=——m,

ABV5m5

•・•AD=BDfOA=OB=1AB,

・•・ODLAB.

在△DE。和中,

乙DOE=乙CHE=90°,Z.DEO=MEH,

乙DOE=(CHE=90%Z.DEO=MEH

DEOCEH,

1y/5

DE_OD_2AABn_