2025年九年级中考数学复习：利用垂径定理求值综合题典型题型

2025年九年级中考数学复习-利用垂径定理求值综合题典型题

型

学校:姓名：班级：考号：

一、解答题

1.已知CO,BE为。的直径，弦连接AC,BC,ZACD=30°.

图①图②

⑴如图①，求/BCD和的度数；

⑵如图②，过点。作O的切线，与CB的延长线交于点G,，。的半径为4,求线段3G的

长.

2.如图，A5是。的弦，点C为,。上一点，CO的延长线垂直A3,垂足为点。为

弧AC上一点，且NABZ)=NOCB,延长AD交OC的延长线于点E,连接AC、BD、BC、CD.

B

(1)求证：AC.LBD-,

⑵点尸为CE上一点，DF平分NCDE,且ND尸C=45。，求NDCE的度数.

3.如图，A3为圆。的直径，弦CDLAB,垂足为E点.点G为弧AC上的一点，连接DG

交A3于点E

⑴若/BCD=30。，求/DGC的度数;

4

(2)若点G为AC的中点，MtanZ£>GC=-,C£>=4,求AF的长度;

(3)若点G在线段。。的延长线上，连接AC与DG交于点X,连接AD,若

tanZBAD=x,^-=y,求y与尤之间的函数关系式.

DH

4.NABC内接于(，。，F为AB上一点，连接OF、CF,OF交弦AB于点D,若ZACF=ZBCF.

图3

(2)如图2,连接AO,若AB=AC,求证：AOLBC.

⑶在(2)的条件下，延长尸。交。于点E,过点尸作尸NLAC垂足为N,过点£作EMLAC

垂足为A/,若A/V=3cm,MN-20cm,求DP的长.

5.如图1,AB是，：O的直径，弦CDLAB于点E、/是AZ)上的一个动点，连接AC、ARCF.

图3

(2)如图2,若CF与A3的交点G为线段OE的中点,DG//CB,CD=4非,求线段AC的

试卷第2页，共6页

长.

(3)如图3,FD的延长线交A8的延长线于点求证：OB2=OGOH.

6.如图，是,：。的直径，弦CJD，AB于点E,过C。延长线上一点f作。的切线交48

的延长线于点G,切点为M,连接AAf交CD于点N.

⑴求证：FM=FN-

(2)若AC〃GP,FM=6,FD=4,求肱V的长.

7.如图，A3是。的直径，C。为。的弦，ABLCD于点E,连接应)并延长到点

连接AC,AM,ZAMB+ZACD=90°.

⑴求证：AM±AB；

(2)若AC=3—,ZG4S=3O°,求8。的长.

8.如图，，。是VABC的外接圆，AB=AC,连接CO并延长，交边AB于点、D,交A8于

WE,且E为弧A8的中点，BD=3.求：

⑴边2C的长;

(2)O的半径.

9.如图，在.ABC。中，AC，AB,AB=6,3C=10,点0］是边BC上的动点，以点。1为圆

心，。。为半径的圆交边AC于点E.设gC=r.

(1)当点E是边AC的中点时，求「的值;

⑵己知点。2是线段AE的中点(规定：当点E与点A重合时，点O?也与点A重合)，以点。2

为圆心、002为半径作。2

①当a与边AD有公共点时，求『的取值范围;

②如果经过边的中点，求此时2与：Q的公共弦长.

10.在。中，AB为O的弦，连接。4OB,/ABO=30。,

⑴如图1,若半径于点。，8=1,求弦A8的长；

(2)如图2,MN为，。的切线，点P为切点，且MN〃OB,过点尸作尸尸，AB于点尸，与

半径相交于点E.若(。的半径是3,求OE的长.

11.如图，C,。是以A3为直径的半圆上的两点，NCAB=NDBA.连接BC,CD.

⑴求证：CD//AB.

(2)若AB=4,ZACD=30°,求阴影部分的面积.

12.如图，在VABC中，AB=AC,以A8为直径的。与3C相交于点。，DE±AC,垂

足为E,所平分ZA3C.

试卷第4页，共6页

M

⑴求证：DE是:。的切线；

AG1

(2)若弦MN垂直于A8,垂足为G,-----=—,MN=^3,求：。的半径;

AB4

(3)当NBAC=36。时，证明：CBFs，CAB.

13.如图，已知48是：。的直径，弦CDLAB,垂足为E,连接8C,以8C,8为邻边作

BCDF,连接CP与A3交于点H,AE=4,CD=4娓.

⑴求证：班■是一。的切线；

(2)求。的半径；

(3)求CF的长.

14.如图，在矩形ABC。中，E是边C。上的点(不与C,。重合)，过A,D,E三点的圆

①求NEAF的度数；

②判断尸的形状，并说明理由.

Az?qPH

⑵如图2,若F==,延长转交直线3C于点H,连结EH.当H是边BC的中点时，求

AD2EH

的值.

（3）如图3,若空=k（左是常数），延长EF交边48于点/,当NBF7=NBAF时,求多的

ADG1

值（用含左的代数式表示）.

15.如图，。的直径A3平分非直径弦CO于点E,尸是圆上一点，。是8尸的中点，连接

CP交于点G,连接2C.

(1)求证：GC=BC；

(2)若AG=4,BG=6,求CP的长.

试卷第6页，共6页

《2025年九年级中考数学复习-利用垂径定理求值综合题典型题型》参考答案

1.(1)ZBCD=3O°,=30°

(2)逑

3

【分析】本题主要考查垂径定理，切线的性质，特殊角的三角函数值的计算，掌握以上知识，

数形结合分析是关键.

(1)在。中，CD为直径，AB1CD,则ZACD=3O。，ZOBC=ZOCB=30°,由三角形

外角的性质得到〃OD=NOCB+NO8C=60。，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；

1

(2)连接50,可得NG=60。，BD=—DC=4,在中，tanZG=——，由此即可

2BG

求解.

【详解】(1)解：在。中，为直径，ABLCD,

••AD=BD，

ZAC£>=30°,

,\ZACD=ZBCD=30°,

OB=OC,

.\ZOBC=ZOCB=30°f

ZBOD=ZOCB+ZOBC=60°,

ZABE=90-ZBOD=90°-60°=30°.

(2)解：如图②，连接即，

图②

由（1）得，ZBCD=30°,

DG为。的切线，

：.CD1DG,

.../G=60°,

CD为!。的直径,

答案第1页，共28页

:.ZDBG=ZDBC=9Q°

在Rtz^DBC中，CD=2OD=8,

:.BD=-DC=4

2f

在RtZ\Z)BG中，tanNG=----,

BG

4

tan60°=----,

BG

.R「_46

..LJKJ--------------

3

2.(1)证明见解析;

(2)/OC石=108。.

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内角和定理，三角形

的外角性质，垂直平分线的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.

(1)设人。与5。交于点〃，由垂径定理得AH=5"，NA"C=N3HC=90。，则有AC=5C,

ZHAC=ZHBC,然后通过三角形的内角和定理即可求证；

(2)由角平分定义可设NCDF=NEZ*=x,则NCDE=2x,通过圆内接四边形和平角定

义可得NABC=NCDE,则有/45。=/区4。=/8£=2%，ZACH=90°-2xf

ZACD=ZABD=90-ZBAC=90°-2xf最后由角度和差求出工的值即可.

【详解】(1)证明：设AC与交于点M,

•.*OC±AB,

:・AH=BH,ZAHC=ZBHC=90°,

：.AC=BC,

：.NHAC=NHBC,

：.ZOCB=ZOCA,

■:ZABD=ZOCBf

：.ZACO=ZABD,

ZBAC+ZOCA=90°9

答案第2页，共28页

：.ZABD+ZBAC=90°f

：.ZAMB=90°,

：.AC.LBD；

(2)解：•；DF平分NCDE,

：.ZCDF=ZEDF,

设/CDF=/EDF=x,贝！jNCD£=2x,

,/四边形ABC。是圆内接四边形，

ZABC^ZADC=1SO°,ACDE^AADC=180°,

:.ZABC=ZCDE,

：.ZABC=ZBAC=ZCDE=2x,

：.ZACH=9Q0-2x,ZACD=ZABD=90-ZBAC=90°-2xf

：.ZOCD=ZACH+ZACD=180°-4x,

,:ZOCD=ZCDF+/DFC,

・・・180。-4x=x+45。，解得x=27。，

・•・ZDCE=180°-x-45°=180°-27°-45°=108°.

3.(1)60°

⑵5-右

【分析】本题考查了垂径定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，同圆或等圆中同弧所对

的圆周角相等，等角对等边，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理、三角函数等,

熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)根据垂径定理得出8O=3C，再根据同弧所对的圆周角相等求解即可；

4

(2)连接O2OC,AD,AC,先求得tan4DOE="继而得出OE长，再由勾股定理得出

长度，进而证明=即可求解；

(3)先证明OE是中位线，再证明“CGH咨49”,设=则CG=2f,圆。的直径为

「，求得一L=y,、匕三=x,即可求解.

r+t\r+t

【详解】(1)解：：为圆。的直径，弦CD_LAB,

・♦BD=BC，

答案第3页，共28页

：.ZBCD=ZBDC=30°,

AZDBC=120°,

ZDGC=180°-ZDBC=60°；

(2)解：连接OD,OCAD,AC,

2

4

・.,tanNOGC=—,

3

4

tan/DOE=—,

3

-：CD=4,CD1AB,

：.DE=-CD=2,

2

/.OE=———=-,

tan/DOE2

・•・OD=OB=~,

2

：.BE=OB-OE=1,

在R3D£B中，BD=ylDE2+BE2=A/22+12=A/5，

・・•点G为AC的中点，

•*-AG=CG，

；・ZADG=/CDG,

•：/BAD=/BDC,

：.AADG+ABAD=ZCDG+ZBDC,即ZBFD=NBDF,

BF=BD=5

AF=AB-BF=5-y/5；

(3)解：・・,DG为圆。的直径，

・•・ZDCG=90°,

答案第4页，共28页

・・0、E分别是0Goe的中点，

•・0E〃CG,OE==CG,

2

・./DOE=NG,/DEO=NDCG,

•・CGHsAOH，

设OE=/,则CG=2/,圆。的直径为r,

.GHCG_2t

：.OH=—GH

2tf

：.DH=OD+OH=2OH+GH=\^+]^GH,

GH_GH_'_

DH]：+1卜〃r+t

.r_Gy)

y

AE=r+t,BE=r—t,

DE-=AEBE=r1-t1,

r)p

tanZBAD=—

AE

4.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)连接。4,OB,利用圆周角定理解答即可;

(2)连接OC,OB,利用全等三角形的判定与性质得到/C40=/朋O,再利用等腰三角

形的三线合一的性质解答即可;

(3)过点。作0"J_AC于利用垂径定理得到AH=C",利用平行线的判定定理和平

行线分线段成比例定理皿H=MV，禾I用等式的性质得到⑷V=CM=3cm；连接AE,BE,

02,过E作EG,3c于点G,利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质得到EG=EM,

连接EC,利用全等三角形的判定与性质求得AC=26cm,BC=BG—CG=20cm；延长AO

答案第5页，共28页

交3c于点尸，利用勾股定理求得"，设0吕=。4=人贝lJOP=24-r,利用勾股定理求得「

值，OD贝IJ。尸=。尸一00=g.

【详解】（1）证明：连接。4,OB,如图，

AF=AF

:.ZAOF=2ZACFf

BF=BF，

NBOF=2ZBCF,

ZACF=Z.BCF

:.ZAOF=ZBOF,

•*-AF=BF；

(2)证明：连接OC,OB,如图,

A

(/\D\F

在△AOC和VAOJB中，

AC=AB

<OA=OA,

OC=OB

AOC^.AOB(SSS),

.\ZCAO=ZBAO,

:.AO±BC；

(3)解：过点。作Q”,AC于H,如图,

答案第6页，共28页

:.AH=CH,

EMVAC,OH^AC,FNLAC,

:.EM〃OH〃FN,

.OEMH

一~OF~NH'

OE=OF,

:.MH=HN.

,\CH-MH=AH-NH,

即4V=CM=3cm.

连接AE,BE,OB,过石作于点G,

由(1)知：ZAOF=ZBOF,

OA=OBf

:.OD±AB,

EF是AB的垂直平分线.

/.AE=BE,

EC=EC，

:.ZEAC=ZEBC.

在△AEM和.BEG中，

ZEAC=ZEBC

<ZAME=ZBGE=90°,

AE=BE

一AEM刍BEG(AAS),

:.EG=EM,

连接召C,

在RtECG和Rt.ECM中,

答案第7页，共28页

EG=EM

EC=EC

RtECG^ECM(HL),

.\CG=CM=3cm.

MN=20cm,

BG=AM=23cm.

AC=26cm,BC=BG-CG=20cm,

延长AO交BC于点P,

由(2)知：AO±BC,

ZAPC=900,

：.CP=BP=-BC=10cm.

2

AP=VAC2-CP2=24(cm)，

^OB=OA=r,贝!JOP=24-r,

在RtZ\B尸O中，

OP2+BP2=OB',

(24-r)2+102=r2,

169

“五’

OB=^^-cm.

12

EF是48的垂直平分线，

AD=BD=—AB=—AC=13cm,

3

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，

全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分

线段成比例定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键.

5.(1)证明见解析；

答案第8页，共28页

⑵线段AC的长为2回；

⑶证明见解析.

【分析】（1）连接AD,根据圆周角定理可得N/M>C=/AFC,然后通过垂径定理推论可得

AC=AD，则ZACD=NADC,从而得证;

（2）先证明△BCESACAE,则乌=些，所以撞=隼，即AE3E=20,再证明

AECEAE2非

.GED^BEC(ASA),故有GE=_BE,则OG=GE=BE,从而可得AE=53E,由勾股定

理求出3E=2,最后通过勾股定理即可求解;

（3）连接P0,延长尸。交【。于点又四边形CDMW是圆内接四边形，则有

Z.CMF+ZCDF=180。，从而求得Z.CMF=ZEDH,再证明，OFG^OHF，则得出

OFOG—「「、一

——=——即nn可求证.

OHOF

【详解】（1）证明：如图，连接

ZADC=ZAFC,

,：CDLAB,A8是C。的直径,

・・AC=AD，

・•・ZACD=ZADCf

：.ZACD=ZAFC；

(2)解：A5是。的直径，

・•・NAC6=90。，

VCD1AB,

AZAEC=ZCEB=ZACB=9Q°CE=DE=-CD=2y/5

f2f

；・NBCE=/BAC,

：.Z\BCEs&CAE,

答案第9页，共28页

.CEBE

*AE-CE

.2百BE

即AEBE=20,

AE―2小

：DG//CB,

\/GDE=/BCE,

；/GED=/BEC,CE=DE,

\GED^BEC(ASA),

\GE=BE,

••点G为线段O£的中点，

\OG=GE,

•・OG=GE=BE,

\AE=5BE,

••耶E7BE=,

*.BE=2,

•・AE=10,

•・AC=ylAE2+CE2=J。2+(2南=2A/30;

(3)证明：如图，连接R9,延长R9交。于点M,

•「MF是。的直径,

ZMCF=90°f

：.NCMF+NCFM=90°,

•・•四边形CD尸”是圆内接四边形,

・•・ZCMF-hZCDF=180°f

,//石DH+NCD尸=180。，

答案第10页，共28页

:.ZCMF=ZEDH,

u：CDLAB,

，ZHED=90。,

・•・ZH+NEDH=900,

:・/H=/CFM,

•・・ZGOF=ZFOH,

：.OFG^OHF,

.OFOG

••=,

OHOF

OF2=OG-OH,

,/OF=OB,

,OB2=OG-OH.

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全

等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.

6.(1)见解析

(2)273

【分析】(1)连接利用圆的切线的性质定理，垂直的性质，同圆的半径相等，等腰三

角形的性质，对顶角线段，同角的余角相等的性质得到？AWF1FNM,再利用等腰三角

形的判定定理解答即可；

(2)连接MD,MC,利用相似三角形的判定与性质求得用，利用(1)的结论求得线段DN,

CD,利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质求得黑=工设AN=左，则MN=2Z,

利用相似三角形的判定与性质求得上值，则结论可求.

【详解】(1)证明：连接如图，

•・•EM为。。的切线,

：.OM.LFM,

：.NOMF=90。，

・・・AOMA+AAMF=90°,

VCD1AB,

・・・ZANE-^ZEAN=90°,

,：OA=OM,

答案第11页，共28页

：.1OAN1OMA,

：.ZAMF=ZANEf

,：?ANE2FNM,

：.?AMF2FNM,

：.FM=FN；

(2)解：连接MD,MC,如图,

AFMD^FCM,

.FM_FD

._6_=f

「FC~6"

：.FC=9,

：.CD=FC-FD=5,

由(1)知：FM=FN,

:.FN=6,

：.DN=FN-FD=2,

：.CN=CD-DN=3,

AC//GF,

:・一ACNs乙MFN,

.AN_CN_3_1

・・加一丽一%—5'

没AN=k,则MV=2左，

,：?ACN?DMA,?CNA?DNM,

・•・'ACNSRDMN,

,AN_CN

"ND~MN'

答案第12页，共28页

.k3

••———

22k

Vk>0,

MN-2k-2#).

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理,

相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线.

7.(1)见解析

(2)3

【分析】(1)根据圆周角定理，得ZAJ3ZACD,结合NWB+NACD=90°,可以证明

ZAMB+ZABD=90°,>ZBAM=180°-ZAMB-AABD=900即可得证AM_LAB；

(2)根据AB_LCD,AC=36，ZC4B=30°,^CE=ED=-AC,

22

FD

ZCDB=ZCAB=30°根据30=——,解答即可.

fcos30°

【详解】(1)证明：根据圆周角定理，得Z4BD=ZACD,

,/ZACD=90°,

：.ZAMB+ZABD=90°f

：.ZBAM=180°-ZAMB-ZABD=90°,

：.AM±AB.

(2)解：VAB1CD,AC=36NC4B=30。,

ACE=ED=-AC=—,ZCDB=ZCAB=30°,

22

:=舄,

3A/3

BD==3.

V

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，余弦函数的应用，熟练掌

握定理是解题的关键.

8.(1)6

(2)273

答案第13页，共28页

【分析】（1）根据垂径定理证明点C在48垂直平分线上，即可解题；

（2）连结02,先证明VABC是等边三角形，再结合已知可证/O%>=30。，继而根据直角

三角形的性质以及勾股定理解题.

【详解】（1）解：YE点为A8的中点，CE为直径，

CE1AB,

:.AD=BD=3,AB=6,即CD垂直平分A3,

CB^CA,

•/AB=AC,

：.CB=CA=AB=6；

（2）解:连接02,如图，

•/AB=BC=AC=6,

；.VABC为等边三角形，

ZA=60°,

：.ZBOC=2ZA=120°,

：.ZfiOD=60。，

在Rt30。中，BD=3,NOBD=30。，

OB=2OD,

22

由勾股定理得。8?=OD+BD,即（28）2=oe>2+32,

解得。。=若，

OB=2OD=273,

即。的半径为2VL

【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质以

及勾股定理等知识，掌握相关知识是解题关键.

答案第14页，共28页

5

9.(l)r=-

⑵①。＜"5；②5用

【分析】（1）过Oi作于点"由垂径定理可得C〃=EH=：AC=2,再利用三角

4

函数求解即可；

3

（2）①当点E与A重合时可知r=5,过。2作。2知，4。于点〃，求出QAf=《QA,可知

在点。1运动过程中，。2与边AD始终有公共点，进而即可得出厂的范围；

②利用QB=002建立方程求解，得到厂=5,即此时O?与A重合，进而即可得解.

【详解】（1）如图，过。］作。力，AC于点”，则EH=CH,

AC±AB,AB=6,BC=10,

：.AC=8,

为AC中点，

/.C£=-AC=4,

2

CH=-CE=2,

2

,iCHAC

=---即-

cosZ-ACB=-----1

0xCBC

解得r

2

(2)①当点E与点A重合时,

此时O?与A重合，CH=EH=gAC,

•：NOjCH=ZBCA,NCHO]=ZCAB=90°,

答案第15页，共28页

・・..Q]CHs,BCA,

.qc_CH_i

,*BC-AC-2?

O1C=5,即此时r=5,

过。2作于点”,

VsinZMAO2=sinZACB,

O.MAB3

-?

**02A-BC5

3

=—OA,

252?

在点01运动过程中，。2与边AD始终有公共点,

0<r<5；

②如图，记4。中点为R过尸作尸N,AC,过。1作Oi"，AC于点”,

•.・ZANF=ZACD=90°,ZNAF=ZCAD,

JNAFs’.CAD,

.FNAN_AF_1

*CD-AC-AD_2

FN=-CD=3AN=-AC=4,

2f2

CH

cosZACB=—

BCQC

.8CW

w--r

答案第16页，共28页

43

ACH=-r,0,H=-r,

515

i4

O2A=-(AC-CE)=4--X,

4

O2N=AN-O2A=4-K-^r\=^r,

5

2

2力

在RtQ尸N中，O2F=9+

•;sin/ACB=^="即也

O,cBC，\r10

3

解得。］“二M-；

C”=；AC=4,

3r2

.•.在RtAOQ之月中，Q.of=16+

••・9+g）=16+（|『），

解得r=5（负值舍去），

此时E和A重合，即。2与A重合，如图所示，尸。为公共弦,

=

002OXP=02P，

.•.△002尸是等边三角形，

・“迅

2

.-.PQ=543,即。2与C。的公共弦长为5括.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质、

等边三角形的判定与性质、圆的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键.

答案第17页，共28页

10.(1)273

⑵百

【分析】(1)根据垂径定理可得4?=2取＞,再根据直角三角形中30。所对的直角边是斜边

的一半可得OB=2OD,进而可列28=6©+1,解得0。=1,03=2,再根据勾股定理可

得弦的长.

(2)连接OP,由切线的性质，平行线的性质，可得NBOP=NBFE=90。,再由对顶角相

等可得NEPO=/ABO=30。，即可由直角三角形中30。所对的直角边是斜边的一半可得

PE=2OE,由勾股定理可得OE=g.

【详解】(1)解：OC_LAB,

:.AB=2BD.

ZABO=30°,

/.OB=2OD.

OB=OC,OC=OD+CD,CD=1,

2OD=OD+1.

:.OD=\,OB=2,

在Rt3OD中，由勾股定理得5。=1OB?-OD?7*=5

AB=2BD=2y/3.

(2)解：如图，连接OP.

.OP1MN,即NO/W=900.

MN//OB,

./BOP=NOPN=900.

PF±AB,

.ZBFE=9Q0,

,ZBOP=ZBFE=90°f

答案第18页，共28页

ZBEF=ZPEO,ZABO=30°,

:.NEPO=ZABO=30。,

:.PE=2OE.

在RtZkPEO中，由勾股定理得PEWPOZ+OE?,

即(2OE)2=32+OE2,

解得OE=g.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，平行线的性质，对顶角相等,

直角三角形中30。所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键.

11.(1)见解析

⑵手.逝

【分享】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理，圆周角

定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握定理以及公式是解题的关键.

(1)根据同弧所对的圆周角相等得到NACD=NDS4,根据=得到

ZCAB^ZACD,进而得到结论；

(2)连接OD,过点。作OELBD于E,先得到NACD=NABD=30。，由垂径定理得到

BD=2BE,求出0石=<02=1,则BE=J5短二谑'=若，进而得到=2BE=2退，再

求出NBOD=120°，最后根据S阴影=S扇形Ro。-S.OD计算求解即可.

【详解】⑴证明：・.・AZ)=A。，

JZACD=NDBA,

又ZCAB=ZDBAf

：.ZCAB=ZACDf

：.CD//AB；

(2)解：如图，连接OD,过点。作O石，于区

ZACD=30。，

・•・ZACD=ZABD=30°,

答案第19页，共28页

9OELBD,

：.BD=2BE,ZOEB=90°,

：.OE=-OB=-AB=1,

24

•*-BE=^OB2-OE2=y/3，

BD=2BE=2A/3,

ZAOD=2ZABD=60°,

・•・ZBOD=120°,

••S阴影二S扇形50。-S^BOD

=1WX22-1x273x1

3602

上收

3

12.(1)见解析;

(2)O的半径为1；

(3)见解析.

【分析】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的

判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

(1)连接00,先判断出/ODB=NACB,进而得出OD〃AC,DEAOD,即可得出结论；

(2)连接OM,先求出MG,在BMGO中，用勾股定理求解，即可得出结论；

(3)由NBAC=36。，AB=AC,计算出NC2B,证明NCBF=/BAC,即可证明.

•/OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

答案第20页，共28页

,:AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

：./ODB=ZACB,

：.OD//AC,

丁DE.LAC,

：.DEAOD,

・・・OD是。的半径,

；・DE是。的切线;

(2)解：连接加，

ZOGM=90°

〈AB是直径，MN=C，

MG=NG=—,

2

..AG_£

•一,

AB4

.AG1

••—―，

GB3

/.AG^OG=-OM,

2

在及MGO中,

OG2+MG2=OM2,

：.OM=\,

即。的半径为1；

答案第21页，共28页

(3)证明：如图:

VABAC=36°,AB=ACf

：.ZABC=ZACB=12°

•・・所平分/ABC,

ZABF=ZCBF=36°,

■:/CBF=/BAC,ZC=ZC,

:.NCBFsACAB.

13.(1)证明见解析

(2)5

(3)6A/7

【分析】(1)由平行四边形的性质得进而由。，48可得6/，45,即可求证；

(2)连接OC,设OC=Q4=x,贝=4,在RtATEO中利用勾股定理解答即可求

解；

(3)过点/作引0J_CD交C。的延长线于点证明咨BCE(AAS),可得

FM=BE=6,DM=CE=2巫,即得CM=CO+DM=6而，再根据勾股定理即可求解.

【详解】(1)证明：•••四边形3cop是平行四边形，

二BF//CD,

:CDLAB,

/.BFX.AB,

是)。的直径，

,即是。的切线；

(2)解：连接OC,设OC=Q4=x,则OE=x-4,

•；CDLAB,

答案第22页，共28页

：.CE=DE=-CD=2-j6,/CEO=90°,

2

CEr+OE-=OC2,

即（2新『+（尤一4）2=/,

解得：％=5,

・・・。的半径为5；

(3)解：过点尸作加，CD交8的延长线于点M,

VCD1AB,FM1CD,

：.ZM=ZBEC=9Q0,

・・・四边形BCD厂是平行四边形，

AFD=BC,FD//BC,

：.NFDM=/BCE,

：.FDM^BCE（AAS）,

AFM=BE,DM=CE=2A/6,

***CM=CD+DM=4^6+2-\/6=6^/6，

V。的半径为5,

AB=10,

BE=AB-AE=10-4=6f

：.FM=6,

答案第23页，共28页

:.CF=yJCM2+FM2=#㈣2+62=6币.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，切线的判定，垂径定理，全等三角

形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

14.(1)①45。；②是等腰直角三角形，理由见解析

【分析】(1)①先证出四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质可得NQM=45。，再根

据圆周角定理即可得；

②根据圆周角定理可得NA£F=ZADB=45。，ZEAF=ZCDB=45°,再根据等腰直角三角

形的判定即可得；

(2)连接AE,先根据圆周角定理可得/HFE=NAFE=90。，再证出.BDC,根据

相似三角形的性质可得空=g=j,证出BFHS&D/弘，根据相似三角形的性质可得

EFBC2

胃=翳=),然后设AF=6m(m>0),则EF=4m,FH=3m,利用勾股定理可得EH=5m,

由此即可得；

(3)连接DG,先根据圆周角定理可得DG是图中圆的直径，再证出DG〃77,根据垂径

定理可得AD=£>产，然后设DF=AD=a(a>0),则45=成，利用勾股定理可得8。的长,

从而可得3尸的长，最后根据平行线分线段成比例定理可得当="，由此即可得.

GIDF

【详解】(1)解：①:在矩形ABCD中，AB=AD,

，四边形ABCD是正方形，ZADC=90°,

ZADB=ZCDB=-ZAD