2025年青岛版八年级数学下册 专项突破提升（二） 勾股定理的综合应用

专项突破提升（二）勾股定理的综合应用

建议用时：90分钟满分：154分

类型一利用勾股定理求线段长

1.（8分）如图,AB=3C=CD=DE=ER,ZCBA=ZDCA=ZEDA=ZFEA=90°,

以点A为圆心、AF长为半径作圆弧与数轴交于点P。若点A表示的数为0,点

3表示的数为1,求AP的长。

解：在RtZXABC中，由勾股定理，得AC=V12+12=鱼,

22

同理，AD=J(V2)+1=V3,

+12=2,AF=V22+l2=V5o

由题意，AP=AF=V5o

2.（10分）如图，在四边形A3CD中，AB=13,BC=5,CD=15,AD=9,对角

ACXBCo

⑴求AC的长；

⑵求四边形ABC。的面积。

AD

RC

解：(1)：A3=13,BC=5,AC±BC,

2222

：.AC=yjAB-BC=V13-5=12o

(2)VAC=12,CD=15,AD=9,

：.CD2=AC2+AD2,

...△ADC是直角三角形，ZCAD=90°,

四边形ABCD的面积为5c•AC+-AD•AC=-X5X12+ix9X12=84O

2222

类型二利用勾股定理的逆定理判断三角形形状

3.（4分）已知三角形的三边长分别为a,b,c,若（a—5）2+|〃一12|+A/C—13=0,

则△43。是（C）

A.以a为斜边的直角三角形

B.以人为斜边的直角三角形

C.以c为斜边的直角三角形

D.不是直角三角形

4.（10分）如图，已知正方形A3CD的边长为4,E为A3中点，R为AD上的一

点，5.AF=-AB,求证：ZFEC=90°o

4

证明：•.,正方形A3CD的边长为4,SLAF=-AB,

4

：.AF=1,FD=3,DC=BC=4O

,：E为A3的中点，：.AE=EB=2O

在RtZ\A"中，由勾股定理，得EF=7AF2+AE2=7r+22=遍,

在中，由勾股定理，得72+£）C2=A/32+42=5,

在RtAEBC中，由勾股定理，得EC=y/EB2+BC2=V22+42=2瓜

:.EC1+EF2=FC2,

:./XEFC是以EC,ER为直角边的直角三角形，

：.ZFEC=90°o

类型三利用勾股定理解决立体图形的展开问题

5.（4分）如图，一圆柱体的底面周长为24cm,高AB为5cm,3c是直径，一只

蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（C）

A.6cmB.12cm

C.13cmD.16cm

6.（10分）一只蚂蚁沿图1中正方体的表面从顶点A爬到顶点B,图2是图1正

方体的表面展开图，设正方体的棱长为1。

⑴在图2中标出点3的位置；

⑵求蚂蚁从点A到点B爬行的最短路径长。

图1图2

解：（1）如图，点3即为所求。

（2）如图,连接A及

•.•正方体的棱长为1,

：.AC=2,BC=1,

：.AB=yJI2+22=V5,

...蚂蚁从点A到点B爬行的最短路径长是V5o

7.（10分）如图，长方体的高为5cm,底面长为4cm,宽为1cm。

⑴点4与点C2之间的距离是多少？

⑵若一只蚂蚁从点上爬到点Q,则爬行的最短路程是多少？

彳2B?

解：（I）：长方体的高为5cm,底面长为4cm,宽为1cm,

...A2c2=V42+l2=旧(cm),

22

.,.AiC2=y/A1A^+A2C^=l5+(V17)=V42(cm),

.•.点4与点。2之间的距离是用emo

(2)如图1,A2G=，52+52=5所(cm)。

22

如图2,A2C1=V9+I=V82(cm)o

22

如图3,A2C1=V6+4=2V13(cm)o

V5V2<2V13<V82,I.一只蚂蚁从点A2爬到点。，爬行的最短路程是5声cm。

图1图2图3

类型四利用勾股定理解决平面图形的折叠问题

8.（4分）如图，在矩形A3CD中，AB=3cm,AD=9cm,将此矩形折叠，使点

3与点。重合，折痕为EE则△ABE的面积为（C）

A.3cm2

C.6cm2

9.（8分）如图，在矩形纸片A3CD中，已知AD=8,折叠纸片使边A3与对角线

AC重合，点3落在点R处，折痕为AE,且所=3,求A3的长。

解：•四边形A3CD是矩形，AD=8,

：.BC=8o

AAEF是由AAEB翻折而成,

：.BE=EF=3,AB=AF,是直角三角形,

CE=BC~BE=8-3=5o

在RtACEF中，CF=y/CE2-EF2=V52-32=4。

设A3=x。在RtZXABC中，AC1=AB2+BC~,

即(x+4)2=f+82。

解得x=6oAB=6o

类型五勾股定理及其逆定理的综合应用

10.(8分)一块试验田的形状如图，已知NADC=90。，AB=24m,3c=26m,

AD=6m,CD=8m,求这块试验田的面积。

解：如图，连接AC。

：ZADC=90°,

：.△ADC为直角三角形。

在RtAADC中,AD=6m,CD=8m,

根据勾股定理，得AC=AM£)2+DC2=[62+82=10(m)。

又,.,AB=24m,BC=26m,

.\102+242=262,

:.AB2+AC2=CB2,

...△ACB为直角三角形，ZCAB=90°,

：.SABCD=S^ABC+SMCD=~AB>AC+-AD•CD=iX24X10+iX6X8=

2222

144(m2)o

答：这块试验田的面积是144m2。

IL(10分)如图，等腰三角形ABC的底边3C=10cm,。是腰A3上一点，且

C£)=8cm,BD=6cmo

(1)求证：△BDC是直角三角形；

(2)求AC的长。

A

⑴证明：•••3£>2+。02=62+82=100,

3c2=102=100,

：.BD2+DC2=BC2,

...△BDC是直角三角形，ZBDC=90°o

(2)解：'：ZBDC=90°,

：.ZADC=90°o

在RtZXADC中，由勾股定理，得A£>2+CD2=A02。

VCD=8cm,BD=6cm,

：.AB=AC=AD+BD=(AD+6)cm,

即AD2+82=(AD+6)2,解得AD=1。

7”

.*.AC=AD+6=1+6=y(cm)o

12.(10分)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,

其中AB=AC。由于某种原因，由。到A的路现在已经不通，某村为方便村民取

水，决定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在一条直线上)，并新修一条路

CHo测得C3=3km,CH=2Akm,HB=1.8kmo

(1)问：CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明。

(2)求原来的路线AC的长。

解：（1）是。理由：在△CHB中，

"：CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9,

:.CH2+BH2=BC2,

是直角三角形，/CHB=90。,

CH±AB,

：.CH是从村庄C到河边的最近路。

（2）设AC=xkm,则AH=（xT.8）km。

在RtAACH中，

由勾股定理，得AC2=A42+CH2,

.".X2=（X—1.8）2+2.42,解得X=2.5。

答：原来的路线AC的长为2.5km。

类型六勾股定理在数轴或网格中的应用

13.（4分）如图，数轴上的点A表示的数是一2,点3表示的数是1,CBLAB于

点、B,且3c=2,以点A为圆心、AC长为半径画弧交数轴于点。，则点。表示

的数为（C）

-3-2-10

A.V13B.V134-2

C.V13-2D.2

14.（8分）如图，在4X4的正方形网格中的每个小正方形边长都是1,画出两个

边长为无理数的两个正方形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上，并求出

所画正方形的边长。

边长为

解：如图所示。（答案不唯一）

边长为鱼边长为武

15.（10分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC。

⑴写出△ABC各顶点的坐标；

(2)写出过网格交点且两端点分别在AB,AC上的线段DE,CR的长;

(3)求△ABC的面积。

解：(1)4(4,7),B(l,1),C(8,3)o

(2)由题中图形，可知DE=3,CF=6o

(3)SAABC=SACFB+5AACF=jX6X(2+4)=18。

类型七勾股定理中的分类讨论思想

16.(4分)若RtAABC的两边长为5和12,则第三边长为(D)

A.13B.26

C.VT19D.13或71再

17.(4分)在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则BC的长14或4。

类型八勾股定理的实际应用

18.(8分)某位数学家曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生

红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远;

能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题。

解：如图,

由题意，知AC=2尺，AD=0.5尺。

在RtZ\ACD中，由勾股定理，得C£>2=AC2—A£)2=22—0.52=3.75。

设湖水深BD为x尺,则BC为（x+0.5）尺。

在RtABCD中，由勾股定理，得BD2+CD2=BC2,

即炉+3.75=（》+0.5）2,

解得x=3.5o

答：湖水深3.5尺。

19.（8分）如图，秋千。4静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推

进两步（E3=10尺），此时踏板升高离地五尺（3。=5尺），求秋千绳索（。4或。3）

的长度。

解：设OAOB=x尺。

•：EC=BD=5尺