2025年人教版八年级（下）期中数学试卷（一）（考查范围：第16~18章）

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷

【人教版】

考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16~18章

姓名：班级：考号：

考卷信息：

本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖

面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（24-25八年级•广东深圳,期中）下列计算中，正确的是（）

A.V2+V3=V5B.3A/2—V2=3

C.V12+V3=4D.V12XV3=6

2.（3分）（24-25八年级•江苏扬州•期中）如图，长方形中，AB=3,AD=1,AB在数轴上，若以点4为

圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为（）

D

-1012

A.V10B.V10-1C.V5D.Vs-1

3.（3分）（24-25八年级•吉林长春•期中）如图，在AABC中，乙4=38。,AB=4C,点。在AC边上，以CB、CD

为边作团BCDE,贝叱E的度数为（）

A.71°B.61°C.51°D.41°

4.（3分）（24-25八年级•山东济宁•阶段练习）要把（2-乃层中根号外的因式移入根号内，下面式子正

确的是（）

A.yjx—2B.V2—xC.-V2—xD.-yjx—2

5.（3分）（24-25八年级•河南开封•期中）如图，在四边形ABC。中，=3,BC=y[2,CD=1,AD=V12,

^BCD=90°,则四边形ABCO的面积为（）

1

D

C.2+2VnD.3+V21

6.（3分）（24-25八年级・湖北十堰•期中）如图，矩形4BCD中，A8=6,点E是力。上一点，且。E=2,

CE的垂直平分线交C8的延长线于点凡交CD于点、H,连接EF交42于点G.若G是4B的中点，则8c的长

是（）

AED

FB

7.（3分）（24-25八年级•山东东营•期中）己知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积问题，中外数

学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=Jp（p-a）（p-6）（p-c）,其

中「=亨，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公

式S="a2b2_（空于上）2.若一个三角形的三边长分别为2,3,%则其面积是（）

8.（3分）（24-25八年级•江苏南通・期中）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边

形A8CD,对角线"=8,BD=6,过点。作。H148于点H,则DH的长是（）

A.2.4B.4.8D.9.6

9.（3分）（24-25八年级•四川眉山・期中）如图，在中，ZC=90°,AC=3,AB=5.如果。、

2

E分别为BC、AB上的动点，那么4。+DE的最小值是（）

10.（3分）（24-25八年级•浙江金华•期中）图1是一幅“青朱出入图"，运用"割补术”，通过三个正方形之

间的面积转化证明勾股定理（口2+。2=02）,如图2,连结HK,GK,HG,记四边形。HKG与正方形。H/E的

面积分别为S「S2.若HD=HG,则§的值为（）

青6微）

填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（24-25八年级•黑龙江绥化•期中）已知a+b=—8,ab=1,则的值为.

12.（3分）（24-25八年级•辽宁沈阳•期中）如图，点。为数轴的原点，点4和B分别对应的实数是1和2.过

点4作射线2D1OA,以点。为圆心，OB长为半径画弧，交AD于点C；以点4为圆心，AC长为半径画弧，交

数轴的正半轴于点E,则点E对应的实数是.

/ah\B3

O1~2~~f-

13.（3分）（24-25八年级・湖北荆州•期中）如图，平行四边形4BCD中，E,P是对角线力C上的两点，有

如下四个条件：®DE=BF-,（2）AE=FC；③=N2；®AF=EC,如果从中选择一个作为添加条件,

使四边形BED尸是平行四边形，那么这个添加的条件可以是（填写序号）.

3

B

14.（3分）（24-25八年级•四川成都・期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为L点A,

B,C,D,尸都在格点上，连接AP,CP,CD,贝崛出2—回尸8=

15.（3分）（24-25八年级•浙江丽水・期中）如图，在四边形ABCD中，对角线4C1B。，尸为CD上一点,

连接4F交BD于点E,AF1AB,已知/BAG=^ABC=45°,且BC+AG=10V2.

（1）贝MB的长是；

（2）若2E=2EF,且N4GD+乙BCD=180°,则4F=.

16.（3分）（24-25八年级•浙江金华•期中）如图，在长方形4BCD中，4B=10,4D=12,点E为边力。上

的一个动点，把AdBE沿BE折叠，若点A的对应点4刚好落在边4D的垂直平分线MN上，贝的长为—.

第n卷

三.解答题（共9小题，满分72分）

17.（6分）（24-25八年级•山东青岛•期中）计算：

2

（1）（373-1）（373+1）-（2V3-1）

4

（2）峰-卧忌*

18.（6分）（24-25八年级•重庆沙坪坝•期中）如图，小区A与公路/的距离2C=200米，小区B与公路/

的距离8D=400米，已知CD=800米.

B

A

J

—C--------------------------------Da—I1

⑴政府准备在公路边建造一座公交站台。，使。到A、2两小区的路程相等，求CQ的长；

（2）现要在公路旁建造一利民超市P,使P到A、8两小区的路程之和最短，求P4+PB的最小值，求出此最

小值.

19.（6分）（24-25八年级•陕西渭南•期中）如图，点E是团力BCD对角线力C上的点（不与A,C重合），

连接8E,过点E作1BE交CD于点八连接8尸交2C于点G,BE=AD,Z.FEC=Z.FCE.

⑴求证：团4BCD是矩形；

（2）若点E为4C的中点，求NA8E的度数.

20.（8分）（24-25八年级•江苏淮安・期中）像，4-2百,J围-代，这样的根式叫做复合二次根式.有

一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：

如：V4-2V3=73-2V3+1=J（V3）2-2xV3xl+l2=J（V3-l）2=V3-1,

再如：V5+2V6=73+2V6T1=J（百I+2A/3XV2+（V2）2=J（V3+=遮+/,

请用上述方法探索并解决下列问题：

(1)化简：79+2V14=

⑵化简：A/B—4V3=

2

⑶若（鱼血―n）=k—6V2,且忆,772,71为正整数，求女的值.

21.（8分）（24-25八年级•陕西西安・期中）如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊

5

臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径.在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工

人师傅了解到如下信息：如图2,起重臂AB=1.3m,点B到地面CD的距离BC=DE=2m,点B到4D的距

离BE=1.2m,BE14D于E,BC1CD,AD1CD,求点A地面CD的距离AD的长为多少米？

22.（10分）（24-25八年级•上海浦东新•期中）已知：如图A4BC是直角三角形，^ACB=90°,点E、F分

（1）证明：线段EF,AF,BE能组成直角三角形；

（2）当D是边力B上的中点时，判断：DF、DE的位置关系.

23.（10分）（24-25八年级•河北沧州,期中）嘉琪根据学习"数与式”的经验，想通过"由特殊到一般"的方

法探究下面二次根式的运算规律.下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：

⑴具体运算，发现规律：

特例4：（填写一个符合上述运算特征的式子）.

（2）观察、归纳，得出猜想：

如果“为正整数，用含"的式子表示上述的运算规律为：

⑶证明你的猜想；

6

⑷应用运算规律：

①化简：［2023+蠢XV4050=；

②若J^+I=9Jb均为正整数），贝必+6的值为.

24.（12分）（24-25八年级•河北石家庄•期中）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，四边形04BC为

矩形，4（0,5）,C（26,0）.点E是。C的中点，动点M在线段4B上以每秒2个单位长度的速度由点A向点8

运动（到点8时停止）.设动点M的运动时间为/秒.

（备用图）

⑴当f为何值时，四边形MOEB是平行四边形?

（2）若四边形MOEB是平行四边形，请判断四边形MAOE的形状，并说明理由;

⑶在线段4B上是否存在一点N,使得以。E,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出「的值；若不

存在，请说明理由.

25.（12分）（24-25八年级•广东广州•期中）在四边形4BCD中，对角线北、BD相交于点。在线段力。上

任取一点尸（端点除外）,连接P。、PB.点。在8月的延长线上且PQ=PD.

（D如图1,若四边形4BCD是正方形.

①求NDPQ的度数；

②探究4Q与。P的数量关系并说明理由.

（2）如图2,若四边形4BCD是菱形且乙48c=60°.探究4Q与CP的数量关系并说明理由.

7

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷

【人教版】

参考答案与试题解析

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（24-25八年级・广东深圳•期中）下列计算中，正确的是（）

A.V2+V3—V5B.3A/2—A/2=3

C.V12+V3=4D.V12XV3=6

【答案】D

【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的

计算法则是解答本题的关键.

根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可.

【详解】解：A.&和8不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误,不符合题意;

B.3V2-V2=2V2,故选项B错误，不符合题意；

C.V12-rV3=V4=2,故选项C错误，不符合题意；

D.V12XV3=V36=6,故选项D正确，符合题意.

故选：D.

2.（3分）（24-25八年级•江苏扬州•期中）如图，长方形中，48=3,AD=1,AB在数轴上，若以点4为

圆心，2C的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为（）

D___________C

-1012

A.V10B.V10-1C.V5D.V5-1

【答案】B

【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得乙48c=90。，AC=AM,BC=AD=1,再由勾

股定理求出AM=AC=VIU,即可得解.

【详解】解：由题意可得：/.ABC-90°,AC^AM,2c=40=1,

EL4c=7AB2+BC2=V10,

EL4M=AC=V10,

回点M表示的数为同一1,

8

故选：B.

3.（3分）（24-25八年级•吉林长春・期中）如图，在△ABC中，乙4=38。,28=AC,点。在江边上，以C8、CD

为边作团BCDE,贝此E的度数为（）

A.71°B.61°C.51°D.41°

【答案】A

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，掌握等腰三

角形的两个底角相等，平行四边形的对角相等是解本题的关键.根据等腰三角形的性质可求NC,再根据平

行四边形的性质可求NE.

【详解】解：在A48C中，=38。，AB=AC,

0ZC=/.ABC=（180°-38°）+2=71°,

团四边形BCDE是平行四边形，

0ZF=NC=71°.

故选：A.

4.（3分）（24-25八年级•山东济宁•阶段练习）要把（2-x）区中根号外的因式移入根号内，下面式子正

确的是（）

A.Vx—2B.V2—xC._V2—xD.-7x-2

【答案】D

【分析】根据非负数才能移入根号内或根号外，变成非负数后，变形化简即可.

本题考查了二次根式的化简，熟练掌握根式的性质是解题的关键.

【详解】解：根据题意，得％—2>0,

故（2一行层=一0一2）居

=X-2）2=—y/x—2,

故选：D.

5.（3分）（24-25八年级•河南开封•期中）如图，在四边形48CD中，AB=3,BC=VLCD=1,力。=V12,

且N8CD=90。，则四边形力BCD的面积为（）

9

A.B.要C.2+2VHD.3+V21

【答案】A

【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键.

先由勾股定理求出BD=百，贝。力B2+BZJ2=4。2,再通过勾股定理逆定理得乙4BD=90。，最后由

S四边形4BCD=ShABD+SABCO即可求解.

【详解】解：0ZSCD=90°,

SBD=VBC24-CD2=J（V2）2+l2=V3,

^\AB=3,AD=V12,

^\AB2+BD2=AD2,

也乙ABD=90°,

ii

团S四边形ZBCD=S^ABD+S^BCD=2xBDxAB+-xBCxCD

11

=-xV3x3+-xV2xl

3V3V2

-----1---

22

_3近+近

-2'

故选：A.

6.（3分）（24-25八年级•湖北十堰•期中）如图，矩形/BCD中，AB=6,点后是40上一点，且DE=2,

CE的垂直平分线交CB的延长线于点尸，交CD于点、H,连接EF交于点G.若G是48的中点，则的长

10

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【分析】过点E作EP1BC于点尸，证明四边形2BPE和四边形CDEP为矩形，得出CD=EP=6,DE=CP=

2,根据证明ZkAEGmABFG,得出力E=BF,又FH垂直平分EC,得出FC=FE,令BC=x,则BP=4E=

BF=x-2,进而BP=4E=8尸=2%—2,FP=2x-4,EF=FC=2x-2,在RtAEFP中，EP2+FP2=

E产，进行求解即可.

【详解】解：过点E作EP1BC于点P,

Z.A=Z.ABC=乙BCD=ZD=90°,AB=CD=6,

团四边形4BPE和四边形COEP为矩形，

又48=6,DE=2,

SCD=EP=6,DE=CP=2,

回G是2B的中点，

国AG=GB=3,

又MDIIBC,

团匕AEG=Z-BFG,

又〃GE=乙BGF,

SAAEG三△BFG(AAS),

团4E=BF,

团F”垂直平分EC,

BFC=FE,

令BC=%,则3尸=%—2,

又回4E=BF=BP,

国BP=AE=BF=x—2,

团FP=2x-4,EF=FC=2%—2,

11

在RtAEFP中，EP2+FP2=EF2,

062+(2x-4)2=(2%-2尸

解得x=6.

故选：A.

【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解决

本题的关键是作辅助线构造直角三角形求边长.

7.(3分)(24-25八年级•山东东营•期中)已知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积问题，中外数

学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=Jp(p-a)(p-b)(p-c),其

中「=手，我国南宋时期数学家秦九韶(约1202—1261)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公

式S=冰2b2-(空与若一个三角形的三边长分别为2,3,4,则其面积是()

.3V15口3V15「15「3V15

A.-------b.-------C.—L).------

8224

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的应用，设a=2,b=3,c=4,贝!|p=再根据S=yjp(p-a)(p-b)(p-c)

计算即可得出答案.

【详解】解：设a=2,b=3,c=4,

故选：D.

8.(3分)(24-25八年级•江苏南通・期中)已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边

形A8CD,对角线"=8,BD=6,过点。作。H148于点则DH的长是()

【答案】B

12

【分析】作垂足为F,设47与相交于点。，根据菱形的判定与性质可知。夙0A,最后利用菱

形面积的两种表示方法即可解答.

【详解】解：作垂足为F,设/C与BD相交于点。，

团两张等宽的纸条，DHLAB,

也DF1BC,

@DH=DF,

团4811mADWBC,

团四边形ZBCO是平行四边形，

团S平行四边形ABCD="8-DH=BC-DF,

国DH=DF,

国BC=AB,

回四边形4BCD是菱形，

11

BOB=0D=-BD=3,OA=OC=-AC=4,AC1BD,

22

EL4B=y/AO2+OB2=5,

SAB-DH^-AC-BD,

2

答：DH的长是4.8；

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的两种计算方式,

掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

9.（3分）（24-25八年级•四川眉山・期中）如图，在RtAABC中，Z.C=90°,AC=3,AB=5.如果D、

E分别为BC、4B上的动点，那么4D+DE的最小值是（）

13

A

A24CLC27CL

A.—B.5C.—D.6

55

【答案】A

【分析】延长AC到点F,使得ac=CF,则直线BC是线段4F的垂直平分线，连接DF,BF,于是得到4D=DF,

AB=BF,于是4。+0E就变成了DF+DE,根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到。尸+DE的最小

值就是A4BF的高，过点/作FG14B于点G,求FG即可.

此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性

质是解本题的关键.

【详解】解：延长4C到点R使得4C=CF,

0ZXCB=90°,

团直线BC是线段4F的垂直平分线，

连接

EL4D=DF,AB=BF,

即W+DE就变成了DF+DE,

根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到。尸+OE的最小值就是AABF的高，

过点尸作FG，力B于点G,

B/.ACB=90°,AC=3,AB=5,

EL4F=2AC=6,BC=y/AB2-AC2=4,

^S^ABF^\AF-BC^^AB-FG,

团6x4=5FG,

24

MG=—.

5

故选：A.

14

10.（3分）（24-25八年级•浙江金华•期中）图1是一幅“青朱出入图"，运用"割补术”，通过三个正方形之

间的面积转化证明勾股定理（。2+。2=02）,如图2,连结HK,GK,HG,记四边形。HKG与正方形的

面积分别为S.若HD=HG,则2的值为（）

2S2

图1

A.-B.

3

【答案】D

【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌

握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

过点H作1CD于点M,根据题意可得四边形4HMD是矩形，进而证明Rt△DAH=RtADCE（HL）,设CE=

AH=CG=DM=MG=x,则。4=DC=AB=BC=3x,BH=2x,分别表示出S2,然后作比值求解

即可.

【详解】解：过点"作”"1CD于点M,

=HG,四边形4BCD是正方形,

MD=MG,四边形是矩形,

15

・•.MD=AH,

•・・四边形48CD,四边形DH/E,四边形EFGC都是正方形，

DA=DC=AB=BC,

DH=DE=HI=IE,

FG=GC=CE=EF,

乙DAH=乙DCE=乙DEI=90°,

在Rt△D4”和Rt△OCE中，

(DH=DE

iDA=DC'

・•・Rt△DAH=RtADCE(HL),

・•.CE=AH,

.・.CE=AH=CG=DM=MG,

・•.CD=CG+DM+MG=3CG=3CE,

设CE=AH=CG=DM=MG=x,

则ZM=DC=AB=BC=3%,BH=2%,

•••(DCE=乙EKI=乙DEI=90°,

・•・(DEC+乙IEK=90°,

乙EIK+乙IEK=90°,

・•・乙DEC=Z.EIK,

又•・・DE=EI,

•••△DCE三△EK/(AAS),

KE=DC=3x,

BH=CK=2x,BK=CE=%,

四边形DHKG的面积S'】=|(2%+3x)x3x-1x2%x%-1x2%xx=y%2,

222222

正方形OH/E的面积为：S2=DE=CD+CE=(3x)+x=10x,

112

.Si二置二11

2

"S210x20’

故选：D.

二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

11.(3分)(24-25八年级•黑龙江绥化•期中)已知a+6=—8,ab=1,则+，的值为

16

【答案】8

【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据a+b=-8,ab=1判断出a<0,b<0,

将J1+化简再进行加减运算，最后将a+b=-8,ab=1代入求值即可.

【详解】解：回a+b=-8,ab=1,

国aV0,bV0,

Vab>[ab

ab

byfaba^ab

abab

b^ab+ayfab

ab

(a+b)Vab

一ab，

当a+b=-8,ab=1,原式=-9答^=8,

故答案为：8.

12.（3分）（24-25八年级•辽宁沈阳•期中）如图，点。为数轴的原点，点4和B分别对应的实数是1和2.过

点4作射线力D1OA,以点。为圆心，OB长为半径画弧，交2D于点C；以点4为圆心，4C长为半径画弧，交

数轴的正半轴于点E,则点E对应的实数是

【答案】1+V3/V3+1

【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键.由题意可知4E=4C,。。=

OB=2,再由勾股定理求出4C=百，贝=然后求出。E=+4E=1+w，即可得出结论.

【详解】解：•.・点力和B分别对应的实数是1和2,

OA=1,OB=2,

由题意可知，AE=AC,OC=OB=2,

•・•AD1OA,

17

AOAC=ABAC=90°,

•••AC=ylOC2—OA2=V22—l2=y/3,

AE=V3,

•••OE=OA+AE=l+s/3,

即点E对应的实数是1+百，

故答案为：l+百.

13.（3分）（24-25八年级,湖北荆州•期中）如图，平行四边形4BCD中，E,尸是对角线4C上的两点，有

如下四个条件：①DE=BF；@AE=FC；③=42；@AF=EC,如果从中选择一个作为添加条件,

使四边形BEDF是平行四边形，那么这个添加的条件可以是（填写序号）.

--------

DC

【答案】②（或③，或④）

【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质.

若添加添加①，无法证明四边形BEDF是平行四边形.若添加条件②，连接BD,交2C于点O,根据平行四

边形的性质得到4。=CO,BO=DO,进而得到E。=F0,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得

证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得A/WE三ACBF（ASA）,得到DE=BF,乙AED=MFB,

进而得到DEIIBF,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角

线互相平分的四边形是平行四边形可得证.

【详解】解：若添加添加①，无法证明四边形BEOF是平行四边形.

若添加条件②AE=FC,可得四边形BED尸是平行四边形.

理由如下：

连接BD,交4C于点O

入_________

回四边形力BCD是平行四边形,

m4。=CO,B0—DO,

18

EL4F=FC,

^AO-AE=CO-CF,即EO=F。，

团四边形BFDE是平行四边形.

若添加条件③=42,可得四边形BEDF是平行四边形.

理由如下：

回四边形4BCD是平行四边形，

EL4D=CB,ADWBC,

SZ.DAE=Z.BCF,

0Z1=42,

0AADEdCBF（ASA）,

WE—BF,/LAED—乙CFB,

0180°-^AED=180°-乙CFB,BRzDEF=乙EFD,

WEWBF,

回四边形BEDF是平行四边形.

若添加条件④4尸=EC,可得四边形BEDF是平行四边形.

理由如下：

连接BD,交AC于点。

团四边形4BCD是平行四边形，

刻。=CO,BO=DO,

[?L4F=EC,

^AF-AO=CE-CO,即FO=E。，

回四边形BFDE是平行四边形.

综上所述，添加的条件可以是②或③或④.

故答案为：②（或③，或④）

14.（3分）（24-25八年级•四川成都・期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,

19

B,C,D,P都在格点上，连接AP,CP,CD,贝附以8—EIPCO=

【答案】45°

【分析】如图，取C。边上的格点E,连接AE,PE,易得aBA£=aPC。证明A4PE为等腰直角三角形，从

而可得答案.

【详解】如图，取CD边上的格点E,连接AE,PE,易得SBAE=aPCD

由题意可得Ap2=PE2=#+22=5,4/=12+3』10.

0AE2=AP2+PE2.

团0APE是等腰直角三角形.

00B4E=45

-SPCD=mB-EBA£=m£=45°.

B

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键.

15.（3分）（24-25八年级•浙江丽水・期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC_LBD,尸为CD上一点,

连接力F交BD于点E,AFVAB,已知NB4G=^ABC=45°,且8c+AG=10V2.

(1)贝的长是；

(2)若4E=2EF,5./.AGD+乙BCD=180°,则4尸=

【答案】106

20

【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟

练掌握相关知识是解题的关键.

(1)延长49交BC的延长线于点易得△力是等腰直角三角形，可证A/WG三所以=BC+

AG=10V2,即可得解；

(2)由条件易证AAGEmAHCF(ASA),得到FH=4E=2x,所以AH=5x=10,即可求解.

【详解】解：(1)延长4尸交BC的延长线于点

.­.乙BAH=90°,

••1Z.ABC=45°,

0ZH=90°-/.ABC=45°=Z.ABC,

：.AB=AH,即△是等腰直角三角形，

Z.AHB=45°=Z.BAG,AH=AB,

AC1BD,

・•.Z.CAH=90°-/.AEG=N4BG,

在△4BG和中，

^LBAG=^.AHC

AB=AH,

Z.ABG=MAH

[?]△ABG=AHi4C(SAS),

CH=AG,

•••BC+AG=10V2,

BC+CH=BH=10V2,

在RtAABH中，AB2+AH2=BH2,

即2aB2=200,

AB=10；

故答案为：10;

(2)­••Zu4GD+乙BCD=180°,Z.FCH+/.BCD=180°,

21

・•・乙4Go=乙FCH,

vABAG=45°,Z.BAG=^LFHC,

・•.Z.EAG=45°=乙FHC,

在AAGE和中，

AEAG=Z.FHC

AG=CH,

zAGD=乙FCH

AGE三△HCF（ASA）,

・•.FH=AE,

设E尸=%,贝！JFH=/E=2%,

AH=AE+EFFH=5x=10,

解得：%=2,

•••AF=AE+EF=3%=6.

故答案为：6.

16.（3分）（24-25八年级•浙江金华•期中）如图，在长方形力BCD中，AB=10,AZ）=12,点E为边/。上

的一个动点，把△ABE沿BE折叠，若点A的对应点4刚好落在边AO的垂直平分线MN上，贝iJZE的长为—.

【分析】由矩形的性质得到BC=AD=12,8。||ADf^A=^ABC=90°,由线段垂直平分线的性质得到/M=

6,BN=6,由折叠的性质得到：BA'=AB=1(},AE=A'E,由勾股定理求出N4=力BA?一NB?=8,由

矩形的性质得到MN=AB=10,求出M4=2,令/E=%,由勾股定理得到％2=(6-%)2+22,求出久=y,

即可得到4E的长.

【详解】解：回四边形/BCD是矩形，

BC=AD=12,BC||AD,/.A=AABC=90°,

回MN垂直平分4D,

22

EIMN垂直平分BC,

AM=^AD=6,NB=1BC=6,

由折叠的性质得到：BA'=AB=10,AE=A'E,

NA'=NBA'2-NB2=8,

•••ZX=乙ABN=Z.BNM=90°,

四边形4MNB是矩形，

MN=AB=10,

MA,=MN-NA'=10-8=2,

令AE=x,

EAr=x,EM=AM—EM=6—%,

•・•EA,2=EM2+MA,2,

:.x2=(6—%)2+22,

故答案为：y.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，图形折叠的性质等知识，熟

练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题关键.

第n卷

三.解答题(共9小题，满分72分)

17.(6分)(24-25八年级•山东青岛•期中)计算：

2

(1)(373-1)(373+1)-(2V3-1)

⑵(2旧-卧回号

【答案】(1)13+4V3

(2)1172-5

【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混合

运算法则.

(1)利用平方差公式，完全平方公式计算即可；

23

（2）先计算乘除，再计算加减.

2

【详解］（1）解：（38_1）（3百+1）-（28一1）

=（3V3）-1-（12-4V3+1）

=27-1-12+4V3-1

=13+4V3；

⑵解：（2g一卧回鬻

=2V12x—x—V27+—V12+

=12V2-V2-3-2

=11V2-5.

18.（6分）（24-25八年级•重庆沙坪坝♦期中）如图，小区A与公路/的距离4c=200米，小区B与公路/

的距离8。=400米，已知CD=800米.

B

A

——J-------------------------------n_/

C。

⑴政府准备在公路边建造一座公交站台。，使。到48两小区的路程相等，求CQ的长；

（2）现要在公路旁建造一利民超市P,使P到4B两小区的路程之和最短，求P2+PB的最小值，求出此最

小值.

【答案】⑴475米

（2）1000米

【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出。、尸的位置是本题的

关键.

（1）设CQ=x,则DQ=800-x,根据4Q=BQ利用勾股定理即可得出结果.

（2）作A关于/的对称点A,连接48,交/于尸，由对称性得P4+PB的最小值为线段4B的长，作4E1BE

于点E,在Rt^dBE中，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】（1）解：如图1,

24

B

A/

_□_____________________□―/

CQD1

图1

根据题意得：AQ=BQ,

设CQ=x,贝。DQ=800-x,

.­.2002+x2=4002+（800-x）2,

解得％=475,

即CQ的长为475米；

（2）如图，作点A关于直线/的对称点4,连接4B,交直线/于点P.

B

A/

「'、、」「/

C；/PD

।

A''E

图2

则4P=A'P,

AP+BP=A'P+BP,

:P4+PB的最小值为48,

如图，作4E1BE于点E,

在RtA48E中，

A'E=CD=800米，BE=BD+DE=BD+CA'=BD+AC=400+200=600米，

A'B=y/AE2+BE2=V8002+6002=1000米，

PA+PB的最小值为1000米.

19.（6分）（24-25八年级,陕西渭南•期中）如图，点E是团4BCD对角线力C上的点（不与A,C重合），

连接BE,过点£作EF1BE交CD于点F.连接BF交力C于点G,BE=AD,乙FEC=LFCE.

25

⑴求证：团4BCD是矩形；

(2)若点E为4C的中点，求乙4BE的度数.

【答案】⑴证明见解析

(2)30°

【分析】(1)先由平行四边形的性质得到4。=BC,则BE=BC,由等边对等角得到NECB=NCEB,则可

证明4FE8=4BCD=90°,进而可证明平行四边形4BCD是矩形；

(2)由矩形的性质得到BE=CE=|4C,AABC=90°,则可证明△BCE是等边三角形，得到NCBE=60。,

贝/BE=30°.

【详解】(1)证明：回四边形力BCD是平行四边形，

SAD=BC,

0BF=AD,

回BE=BC,

回乙ECB=乙CEB,

^Z.FEC=乙FCE,

团NFEC+乙CEB=乙FCE+乙BCE,

^BEF=乙BCF,

MF1BE,

国乙FEB=乙BCD=90°,

团平行四边形ZBCD是矩形；

(2)解：国四边形4BCD是矩形，点E为力C的中点，

5\BE=CE=-AC,/.ABC=90°,

2

团BE=CE=BC,

I21ABCE是等边三角形，

国KCBE=60°,

^ABE=30°.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行

四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键：

20.(8分)(24-25八年级,江苏淮安•期中)像54-2b，，闻-候，这样的根式叫做复合二次根式.有

26

一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：

如：V4-2V3=V3-2V3+1=J(V3)2-2xV3xl+l2=J(V3-l)2=V3-1,

再如：V5+2V6=73+2V6TI=J(V3)2+2V3XV2+=J(V3+用=W+VL

请用上述方法探索并解决下列问题：

⑴化简：V9+2V14=

⑵化简：Vs—4V3=

⑶若-7?)=k—6V2,且k,ni,n为正整数，求k的值.

【答案】⑴夕+或

(2)V6-V2

(3)11或19.

【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键.

(1)利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；

(2)利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；

(3)利用完全平方公式，结合晨m、〃为正整数求解即可.

【详解】(1)解：79+2V14=J(V7)2+2xV7xV2+(四『=J(V7+V2)2=夕+或；

故答案为：V7+V2

(2)A/8—45/3=V6—2XV12+-2=^(V6)2—2XV6XV2+(V2)=J(V6-V2)=V6-V2；

故答案为：V6—V2

(3)0(V2m—n)=k-6V2

02m2—2y[2mn+n2=k—6y12,

团k=27n2+九2,2mn=6,,

曲nn=3

又团k、m、〃为正整数，

0m=l,n=3,或者m=3,几=1,

团当m==3时，k=2m2+n2=2xl+32=11；

当7n=3,n=1时，k=2m2+n2=2x32+I2=19.

27

龈的值为:11或19.

21.（8分）（24-25八年级,陕西西安•期中）如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊

臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径.在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工

人师傅了解到如下信息：如图2,起重臂4B=1.3m,点B到地面CD的距离BC=DE=2m,点B到4D的距

离BE=1.2m,BELAD^E,BC1