2025年人教版八年级数学下册 第16章 二次根式 章节重点梳理（13类题型清单）

第十六章二次根式知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

1.二次根式的概念

二次根式2.二次根式有无意义的条件

3.二次颗的性质

1.最简二次根式

最简二次根式与同类二次根式

二次根式2.同类二;欠根式

1.二次根式的乘法

2.二次取的触

二次根式的运算

3.二次根式的除法

4.二次根式的混合运算

02知识速记

一、二次根式

1.二次根式的概念

1.二次根式的概念:一般地，我们把形如疝a20）的式子的式子叫做二次根式，“/"称为称为二次根

号.如百，师A都是二次根式.

2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号（2）被开方数必须是非负数.

2.二次根式有无意义的条件

1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即血有意义oa20；

2.二次根式无意义：被开方数为负数，即、6无意义oa<0；

3.二次根式的性质

1.二次根式G（«>0）的非负性

1

4a（。20）表示。的算术平方根，也就是说，4a（。20）是一个非负数，即（«>0）.

2.二次根式的性质：（«>0）

3.二次根式J7的性质：J於=|。|={-^1<0）

最简二次根式与同类二次根式

1.最简二次根式

（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式

（2）化简二次根式的一般方法

方法举例

将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方V8=74^2=141

若被开方数中含有带分数，先将被开方

V3V373^33

数化成假分数

若被开方数中含有小数，先将小数化成阿=、e=、匹=巫

viovioo10

化去根分数

号下的

若被开方数时分式，先将分式分母化成1~5a__15a-3c_1_15ac__J15℃

\nifc~]12^2-3C~\36^,22~6bc

分母能转化为平方的形式，再进行开方运算C

(a>0,b>0,c>0)

被开方数时多项式的要先因式分解Jx'Zxy+y?={(x+y)2=x+y(GO,y>0)

（3）分母有理化

分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.

2.同类二次根式

（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

（2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘

法分配律，如mV+〃后=（〃2+”）y（a20）

三'二次根式的运算

1.二次根式的乘法

（1）二次根式的乘法法则：VI-Vb=V^b（G>0,^>0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不

2

变)

(2)二次根式的乘法法则的推广：

①Va-Vb-Vc=Jabc(a>0,£»>0,c>0)

QaVb-cVd=ocVbd(^>0,f/>0),即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进

行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.

(3)二次根式的乘法法则的逆用：=VI-VF(o>0^>0)(二次根式的乘法法则的逆用实为积的算

数平方根的性质)

(4)二次根式的乘法法则的逆用的推广：V^d=V^-Vb-V^-V^(a>0,Z?>0,c>0,J>0)

2.二次根式的除法

(1)二次根式的除法法则：=(a>0,b>0)(二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变)

(2)二次根式的除法法则的推广：Q®GJ"6+c(a20/〉0,c>0).

3.二次根式的除法

(1)二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

(2)二次根式加减运算的步骤：

①化：将各个二次根式化成最简二次根式；

②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；

③合：合并被开方数相同的二次根式一一将“系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。

4.二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号

里面的(或先去掉括号)

03题型归纳

题型一判断是否为二次根式

例题：(23-24八年级下•广西河池•期中)下列各式中，一定是二次根式的是()

A.RB.屈C.^27D.7m2+1

3

巩固训练

1.下列根式是二次根式的是（）.

A.次B.y/aC.也D.

2.下列式子一定是二次根式的是（）

A.yj-x-2B.y[xc.7772D.47^2

3.x为实数，下列式子一定有意义的是（)

A.y/x2+1B.J%'+工C.-^―D-5

x2-l

4.下列各式中，一定是二次根式的是（)

A.&B.y/~2C.Ja+2D.J/+1

5.下列各式中，一定是二次根式的是（)

A.7«2-2B.J-+3C.3D.2a

题型二求二次根式的值

例题：（23-24八年级下•浙江衢州•期中）当x=-2时，二次根式J-3x+10的值为（）

A.2B.±2C.4D.±4

巩固训练

1.（23-24八年级下•浙江杭州•期中）当Q=6时，二次根式Ja-2的值为（）

A.1B.2C.3D.4

2.（23-24九年级上•海南彳詹州•期末）当x=-l时,二次根式元+7的值为（）

A.±2B.2c.—2D.

3.（23-24八年级下.浙江杭州•期末）当犬=1时，二次根式^/^的值为（）

A.4B.76C.6D.2

题型三根据二次根式有意义条件求范围

例题：（23-24八年级下•辽宁营口•期末）若二次根式«^与有意义，则实数尤的取值范围是（)

A.xw3B.x>3C.x>-3D.x<3

巩固训练

4

1.（23-24八年级下.山东聊城.期末）若二次根式真二2x有意义，则x的取值范围是（）.

3333

A.x之一B.xW—C*.x>—D.x<—

2222

2.（23-24八年级下.新疆和田•期中）使疗7+V7Z7有意义的字母元的取值范围（）

A.全体实数B.x<2C.x>^D.-4<x<2

3.（2024.贵州铜仁.一模）若VT与在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

4.（2024・湖北•模拟预测）当x取何值时，二次根式五巨有意义：.

z-3

5.（24-25八年级下•吉林•阶段练习）使式子避三有意义的尤的取值范围是.

2+x

题型四根据二次根式有意义求值

例题：（23-24八年级下.吉林松原•期中）若y=Jx-4+，4-x+5,则12xy=.

巩固训练

1.（23-24八年级下•四川绵阳•期中）已知衣V为实数，且、="与+病不+3,则x+V的值为

2.（23-24八年级下.湖北荆州•阶段练习）己知实数x,y满足y=++则历的小数部分

是.

3.（23-24八年级下.山东烟台.期中）已知y=G?+57+2,则炉=.

题型五二次根式的乘除混合运算

例题：（2024八年级下•安徽•专题练习）计算：2疵x』+3五.

4

巩固训练

2.计算:

(1)7454-

5

3.计算:

(2)|V^?^-|7^^3^(a>0,10).

4.计算：

⑴后x回一几；

(4)87^¥+2痣喘(“>0,6>0).

5.计算：

(1)75x5/2x2^4-2^/5；

题型六最简二次根式的判断

例题：（23-24九年级上•河南洛阳・期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（）

A•《a2+及B.〃C.5

巩固训练

1.下列二次根式中的最简二次根式是（)

A."B.弧C.行D.V(M2

6

2.下列根式中，最简二次根式是（）

la

A.125aB.Ja2卡力C.D.VO5

V2

3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

la

A.历B.724C.D.2yjmn

u

4.下列选项中的式子，是最简二次根式的是（)

A.B.1243C.d36nlD.J，+2

5.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

41

A.拒B.V?C.D-国

题型七化为最简二次根式

例题：（23-24八年级上.广东佛山.阶段练习）化简：瓜=；4=.

巩固训练

1.（23-24八年级上•广东肇庆•阶段练习）化简：段=,£=.

2.（23-24八年级下.浙江•期中）化简成最简二次根式：5屈=_;6A=_.

3.（22-23八年级上•宁夏银川•阶段练习）化简：

（1虐⑵后⑶后

4.（23-24八年级•全国•假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式：

（1）后；（2）J|；（3）字；（5）2（a,b,c均大于。）.

题型八同类二次根式的判断

例题：（23-24八年级下.江西上饶.期中）下列根式中，与也是同类二次根式的是（）

A.724B.712C.4D.后

巩固训练

1.（23-24八年级下.江苏淮安・期末）下列二次根式中，与石是同类二次根式的是（）

A.A/0.5B.y/30C.J25D.J-

1

2.（2023・广西来宾•一模）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）

A.庄和厉B.而和廊IC.J和4D.£和一而

3.（23-24七年级下.上海浦东新•阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（）

A.；n和3夜B.«和&^

C.相和£D.6和加

题型九二次根式的加减运算

例题：（24-25八年级上•全国•课后作业）计算:

⑴臣+3(2)2A/3-3V12+5V27.

巩固训练

1.计算：2A/12-12^1+3748.

2.计算:

(1)A/8+A/32-A/2

(2)#+y/27-耶

3.计算：

(D《一瓦+421

4.计算:

(1)1囱一5|+艮+W-0.125；

(2)727+5j--^+-V45；

V52

5.计算：

(1)2^+3712-5/48

(2)血+3上

(3)病--+2y/20-y/45+—

V52

8

题型十二次根式的混合运算

例题：（23-24八年级下•山西太原・单元测试）计算:

巩固训练

1.计算.

⑴场+R+；

（2）2>/3X^-A/48-A/3+（2-A/6）（2+A/6）.

2.计算：

⑴（2+有了一（3_2衣）（3+2拒）；

（2）2月一26+病］+2君.

3.计算：

⑴"回+（痒兀）°_阴+应；

(1)V18X72-V25+^(-3)2

(2)(76-^)(A/6+A/5)+(2>^-3A/2)2

5.计算

(1)V8+A/32-V2；

C、屈X也

0----/=­;

V6

(3)(2+⑹x(2一⑹一卜一同；

(4)(TT-I)0-(1)-'+^27.

9

题型十一比较二次根式的大小

例题：（23-24八年级下•浙江宁波•开学考试）比较大小：

（1）715+^/178；

（2）^2014-72015_______A/2015-A/2016.

巩固训练

1.（23-24八年级下.江苏宿迁•阶段练习）比较下列实数的大小：3瓜2而.

2.（23-24七年级下.上海•期末）比较大小：-273-3血.（填“>”，"="，或“<”）

3.（23-24八年级下•河北邢台•期末）比较大小：2+6己v（填“〈”或“=”）

题型十二已知字母的值，化简求值

例题：（23-24八年级下.云南曲靖•阶段练习）计算：已知，x=2-6，y=2+6,求尤?+y2-xy的值.

巩固训练

1.（23-24八年级下•河北承德•期末）若x=7?+l,y=V5-l,求下列各式的值.

（1）无+>;

（2）（x+y）2-（x-y）2.

2.（23-24八年级下.广东汕尾.期末）已知。=#+2,6=近-2,求下列代数式的值

；

（2）cr-2ab+b2.

3.（23-24八年级下•海南省直辖县级单位•期中）已知a=3+S，6=3-"求下列各式的值：

（l）o+Z?和ab；

（2）a1+ab+b2.

题型十三已知条件式，化简求值

例题：（23-24八年级下•甘肃武威・期中）已知x+y=-5,xy=4求的值.

巩固训练

10

1.（2024・湖南怀化.一模）已矢口实数x满足J（2021-x『+Jx-2022=x,求尤-202F的值.

2.（23-24八年级下.福建厦门.阶段练习）若x,y为实数，且y=4岳=T+3G7+1,求近2x二y"的值.

3.（22-23八年级上•山西运城・期末）若为实数，且y=。1-4尤+,4x-l+=.求上+2+工+J±+2一工

的值.

11

第十六章二次根式知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

1.二次根式的概念

二次根式2.二次根式有无意义的条件

3.二次颗的性质

1.最简二次根式

最简二次根式与同类二次根式

二次根式2.同类二;欠根式

1.二次根式的乘法

2.二次取的触

二次根式的运算

3.二次根式的除法

4.二次根式的混合运算

02知识速记

一、二次根式

1.二次根式的概念

1.二次根式的概念:一般地，我们把形如疝a20）的式子的式子叫做二次根式，“/"称为称为二次根

号.如百，师A都是二次根式.

2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号（2）被开方数必须是非负数.

2.二次根式有无意义的条件

1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即血有意义oa20；

2.二次根式无意义：被开方数为负数，即、6无意义oa<0；

3.二次根式的性质

1.二次根式G（«>0）的非负性

12

4a（。20）表示。的算术平方根，也就是说，4a（。20）是一个非负数，即（«>0）.

2.二次根式的性质：（«>0）

3.二次根式J7的性质：J於=|。|={-^1<0）

最简二次根式与同类二次根式

1.最简二次根式

（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式

（2）化简二次根式的一般方法

方法举例

将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方V8=74^2=141

若被开方数中含有带分数，先将被开方

V3V373^33

数化成假分数

若被开方数中含有小数，先将小数化成阿=、e=、匹=巫

viovioo10

化去根分数

号下的

若被开方数时分式，先将分式分母化成1~5a__15a-3c_1_15ac__J15℃

\nifc~]12^2-3C~\36^,22~6bc

分母能转化为平方的形式，再进行开方运算C

(a>0,b>0,c>0)

被开方数时多项式的要先因式分解Jx'Zxy+y?={(x+y)2=x+y(GO,y>0)

（3）分母有理化

分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.

2.同类二次根式

（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

（2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘

法分配律，如mV+〃后=（〃2+”）y（a20）

三'二次根式的运算

1.二次根式的乘法

（1）二次根式的乘法法则：VI-Vb=V^b（G>0,^>0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不

13

变)

(2)二次根式的乘法法则的推广：

①Va-Vb-Vc=Jabc(a>0,£»>0,c>0)

QaVb-cVd=ocVbd(^>0,f/>0),即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进

行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.

(3)二次根式的乘法法则的逆用：=VI-VF(o>0^>0)(二次根式的乘法法则的逆用实为积的算

数平方根的性质)

(4)二次根式的乘法法则的逆用的推广：V^d=V^-Vb-V^-V^(a>0,Z?>0,c>0,J>0)

2.二次根式的除法

(1)二次根式的除法法则：=(a>0,b>0)(二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变)

(2)二次根式的除法法则的推广：Q®GJ"6+c(a20/〉0,c>0).

3.二次根式的除法

(1)二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

(2)二次根式加减运算的步骤：

①化：将各个二次根式化成最简二次根式；

②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；

③合：合并被开方数相同的二次根式一一将“系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。

4.二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号

里面的(或先去掉括号)

03题型归纳

题型一判断是否为二次根式

例题：(23-24八年级下•广西河池•期中)下列各式中，一定是二次根式的是()

A.RB.屈C.^27D.7m2+1

14

【答案】D

【分析】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键.

形如后（.20）的代数式叫做二次根式，其中。叫做被开方数，据此逐项判断即可.

【详解】解：A、启中的被开方数T<0,故不是二次根式，不符合题意；

B、岛中的。不一定大于等于0,故不是二次根式，不符合题意；

C、场是三次根式，故不是二次根式，不符合题意；

。、J一+1是二次根式,符合题意，

故选：D.

巩固训练

1.下列根式是二次根式的是（）.

A.次B.4aC.百D.2-2

【答案】C

【知识点】求二次根式中的参数

【分析】本题考查了二次根式.熟练掌握二次根式的定义是解题的关键.形如的式子是二次根式.

根据二次根式的定义判断作答即可.

【详解】解：由题意知，正，&,2以不是二次根式，目是二次根式，

:.A、B、D不符合要求；C符合要求；

故选：C.

2.下列式子一定是二次根式的是（）

A.yJ-x-2B.C.Jd+2D.yjx2-2

【答案】C

【知识点】二次根式有意义的条件

【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键.

一般地，我们把形如后（。上0）的式子叫做二次根式.直接利用二次根式的定义分别分析得出答案.

【详解】解：A.当x>-2时，原式无意义，故A不一定不是二次根式；

B.当x<0时，原式无意义，故B不一定是二次根式；

C./+2>o恒成立，故C一定是二次根式；

15

D.当d-2<0时，原式无意义，故D不一定是二次根式；

故选：C.

3.尤为实数，下列式子一定有意义的是（）

A.yjx2+1B.J-2+xC.彳2_]D.摄

【答案】A

【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件

【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，

根据二次根式有意义的条件判断A,B,再根据分式有意义的条件判断C,D.

【详解】因为无?+121,所以斤石有意义，则A符合题意；

当x=-J时，尤?+》=（一9了+（一J一±=一之<0,二次根式行彳无意义，则B不符合题意；

444161616

当％=±1时，x2-l=o,分式F二无意义，则C不符合题意；

X-1

当x=0时，炉=0,分式与无意义,则D不符合题意.

故选：A.

4.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.yfaB.y/^2C.Ja+2D.J/十]

【答案】D

【知识点】二次根式有意义的条件

【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的定义“一般地，我们把形如右（。20）的式子叫做二次根式

即可判断.

【详解】解：A、当“<0时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意；

B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意；

C、当。+2<0时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意；

D、因为所以77W是二次根式，选项说法正确，符合题意；

故选：D.

5.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.正—2B.J/+3C.3D.百

【答案】B

16

【知识点】二次根式有意义的条件

【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.根据二次根式的

定义：一般地，我们把形如6（。20）的式子叫做二次根式，对每个选项进行逐一判断即可.

【详解】解：A、被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；

B、是二次根式，故此选项符合题意；

C、是有理数，不符合二次根式的定义，故此选项不合题意；

D、时，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；

故选：B.

题型二求二次根式的值

例题：（23-24八年级下•浙江衢州•期中）当x=-2时，二次根式J-3X+10的值为（）

A.2B.i2C.4D.+4

【答案】C

【分析】本题考查求二次根式的值，先将x=-2代入，再利用二次根式的性质化简求解即可.

【详解】当x=-2时，

y/—3x+10=3x（-2）+10=-716=4.

故选：C.

巩固训练

1.（23-24八年级下•浙江杭州•期中）当。=6时，二次根式7^1的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查二次根式求值，将。=6代入二次根式，直接求解即可.

【详解】解：当a=6时，y/a—2=“6-2=A/4=2

故选：B.

2.（23-24九年级上•海南僧州•期末）当x=-l时，二次根式）3尤+7的值为（）

A.±2B.2C.-2D.y/2

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把x=-1代入原式化简即可.

17

【详解】解：当x=-l时，原式=53%（一1）+7=6=2,

故选：B.

3.（23-24八年级下.浙江杭州.期末）当x=l时，二次根式后7的值为（）

A.4B.76C.6D.2

【答案】D

【分析】本题考查二次根式的定义，把x=l代入求值即可.

【详解】解：当了=1时，二次根式^^二I=^/^=l=a=2,

故选：D.

题型三根据二次根式有意义条件求范围

例题：（23-24八年级下•辽宁营口•期末）若二次根式G与有意义，则实数无的取值范围是（）

A.B.x>3C.x>-3D.x<3

【答案】B

【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

根据二次根式有意义的条件，可得：x-320,据此求出实数x的取值范围即可.

【详解】解：二次根式«^有意义，

x—320,

解得：x>3.

故选：B.

巩固训练

1.（23-24八年级下.山东聊城.期末）若二次根式万“有意义，则x的取值范围是（）.

A.x—B.xW—C.x>—D.x<—

2222

【答案】B

【分析】本题考查的是二次根式的意义和性质.概念：式子GgNO）叫二次根式.性质：二次根式被开方

数必须为非负数，否则二次根式无意义.掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键.

根据二次根式性质，被开方数大于等于0,列不等式求解.

【详解】解：由题意得，3-2^>0,

18

3

解得「W].

故选：B.

2.（23-24八年级下•新疆和田•期中）使万7+有意义的字母x的取值范围（）

A.全体实数B.x<2C.x>-4D.-4<x<2

【答案】C

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：x+4>0,解得：龙NT；

故选C.

3.（2024.贵州铜仁.一模）若&方在实数范围内有意义，则实数尤的取值范围是.

【答案】x>3

【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义

的条件是解题的关键.

由二次根式有意义的条件可得一元一次不等式，解之，即可得解.

【详解】解：由二次根式有意义的条件可得：x-320,

解得：x>3,

故答案为：x>3.

4.（2024・湖北•模拟预测）当尤取何值时，二次根式五巨有意义：.

x-3

【答案】xNl且"3.

【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件

【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据条件列出不等式是解决此题的关

键.

二次根式有意义的条件：被开方数20,分式有意义的条件分母*0,列出不等式即可.

【详解】解：由题意可得：

x-lzo,X-3H0

x21且xw3.

故答案为：xNl且XH3.

5.（24-25八年级下•吉林•阶段练习）使式子建三有意义的尤的取值范围是.

2+x

19

【答案】E且无彳-2

【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集

【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件.根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或

等于。列出式子求解即可得.

2+xw0

【详解】解：由题意得:

l-x>0

解得xW1且xw—2，

故答案为：无W1且xw-2.

题型四根据二次根式有意义求值

例题：（23-24八年级下.吉林松原•期中）若y=J尤-4+j4-%+5,则12xy=

【答案】2屈

【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值

成为解题的关键.

先根据二次根式的非负性求得x,进而求得.然后代入计算即可.

【详解】解：y=y/x—4+\j4--x+5,

x-4>0

,解得:x=4,

4-x>0

***y=5,

/.12xy=,2x4x5=25/15.

故答案为：2M.

巩固训练

1.（23-24八年级下•四川绵阳•期中）已知X、V为实数，且y=+J6-3X+3,则*+＞的值为.

【答案】5

【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y

的值，进而得出答案.

【详解】解：Vy=y[^2+y/6-3x+3,

20

.Jx-2>0

，，[6-3x>0，

/.x=2,

y=3,

.\x+y=5,

故答案为：5.

2.（23-24八年级下•湖北荆州•阶段练习）已知实数x,y满足y=J—+VTi+3,则而的小数部分

是.

【答案】46-21-2+46

【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得尤，y的值是解题的关键.

根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出而，利用无理数的估算求得小数部分.

【详解】解：由题意可得：x-2>0,2-%>0,

贝IJ尤=2,y=0+0+3=3,

贝II=J2*3=底,

4<6<9,

/.2<^6<3,

则而的小整数部分是2,小数部分是花-2,

故答案为：娓-2.

3.（23-24八年级下.山东烟台.期中）已知y=^/^：?+户7+2,则.

【答案】25

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用二

次根式有意义的条件进行求解即可；

fx-5>0

【详解】解：由题意知：<、八，

[5-

解得：尤=5,

「•y=2,

:.xy=25,

21

故答案为：25；

题型五二次根式的乘除混合运算

例题：（2。24八年级下.安徽.专题练习）计算：2屈三3日

【答案】X

【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用,根据二次根式的乘除法法则，系数相乘除，被开方数相

乘除，根指数不变，计算后求出即可.

【详解】解：2瓦…

2x2x112

43

巩固训练

【答案】⑴竽

（2）-|

【知识点】二次根式的乘除混合运算

【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算,解题的关键是掌握以上运算法则.

（1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可;

（2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可.

40

=;

3

22

【答案】(1)15小

⑵-丝舟

8

【知识点】二次根式的乘除混合运算

【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键;

(1)按照从左至右的顺序进行计算即可；

(2)按照从左至右的顺序进行计算即可；

【详解】(1)解：原式=[1X|XT)J45+：X5

=J45x5x5

=156；

(2)原式

_3”5x5

--4V2

23

(2)-c^byfab

【知识点】二次根式的乘除混合运算

【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算：

（1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可;

（2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可.

【详解】（1）解：原式=

2

3

=--y/a5b5

b

=—c^byfab•

4.计算：

(1)727x750-76;

24

(4)87^?十2疝］£(a>0,b>0).

【答案】(1)15

(2)20A/6

⑶一，

(4)华扬

【知识点】二次根式的乘除混合运算

【分析】本题考查了二次根式的混合运算

(1)根据二次根式乘除法法则计算即可；

(2)根据二次根式乘除法法则计算即可；

(3)根据二次根式乘除法法则计算即可；

(4)根据二次根式乘除法法则计算即可.

【详解】(1)解：原式=3+X5也+氐=15戈+瓜=15

(2)原式=3x2：)45」X§

3V53

=2x7600=20A/6;

(3)1M5^3X(--)X2./—xl5x—=--x5=--；

8V3244

5.计算:

(1)如乂区2及:2也；

【答案】⑴2

25

⑵-4石

⑶332

4

(4)-今疝

m

【知识点】二次根式的乘除混合运算

【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键.

(1)先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案；

(2)直接根据二次根式乘法计算法则求解即可；

(3)把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此

可得答案；

(4)把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此

可得答案.

【详解】(1)解：原式=V^x2x2+2行

=4乒2出

=2；

(2)解:原式=^^*2限］-：9)

=-4百；

(3)解：原式=町2.匕％4,

26

n

题型六最简二次根式的判断

例题：（23-24九年级上.河南洛阳・期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（）

A.y/a2+b2B.飙C.V18D.

【答案】A

【分析】本题考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得

尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可.

【详解】解:A、77寿是最简二次根式，故此选项符合题意；

8、被开方数含有能开得尽方的因数4,所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

a被开方数含有能开得尽方的因数9,所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

D,被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

故选：A.

巩固训练

1.下列二次根式中的最简二次根式是（）

A.74B.C.-J5D.V0.12

【答案】C

【知识点】最简二次根式的判断

【分析】本题考查了最简二次根式的概念，掌握满足最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数，因式

是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是关键.利用最简二次根式的概念判断每个选项即可.

【详解】解：A、74=2,不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

B、庖=9,不是最简二次根式，故本选项不符合题意;

C、石是最简二次根式，故本选项符合题意;

27

D、疝#，不是最简二次根式，故本选项不符合题意.

故选：C.

2.下列根式中，最简二次根式是（）

A.而B.址+/C.★D.Vol

【答案】B

【知识点】最简二次根式的判断

【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应

满足两个条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可.

【详解】解：A.反，被开方数254含有能开得尽方的因数25,不是最简二次根式，故选项A不符合题

思；

B.而定，被开方数的字母因式是整式，且被开方