2025年上海高考数学二轮复习：热点题型1 新增统计概率（根据教材）原卷版+解析

专题01新增统计概率(根据教材精编)

*>----------题型归纳•定方向-----------♦>

题型01伯努利分布、分布的表示................................................................12

题型02等可能分布或均匀分布.................................................

题型03随机变量及其分布.......................................................................2

题型04随机变量的期望与方差...................................................................3

题型05二项分布...............................................................

题型06超几何分布.............................................................................4

题型07正态分布..............................................................

题型08成对数据的统计分析...................................................

题型09条件概率与全概率公式+独立事件、互斥事件.............................

题型10判断事件的类型概率公式综合辨析.......................................................8

O----------------题型探析,明规律----------♦>

【解题规律•提分快招】

1、离散型随机变量分布列的性质的应用————

(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.

2、求离散型随机变量自的期望与方差的步骤

⑴理解自的意义，写出自可能的全部值.

(2)求自取每个值的概率.

⑶写出自的分布列.

(4)由期望、方差的定义求E化)，D&).

3、判断某随机变量是否服从二项分布的关键点

(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.

(2)各次试验中的事件是相互独立的.

(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.

4、(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①

考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.

(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.

5、解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴尤=〃；(2)标准差g(3)分布区间.利用对称性可求指定范

围内的概率值；由〃，。，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3。特殊区间，从而求出所求概率.注

意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.

题型01伯努利分布、分布的表示

【典例1-1】.抛掷I枚硬币，正面朝上的次数为X,则X的期望是.

【典例1-2】.以下分布中是伯努利分布的是().

A.掷一枚硬币正面次数X的分布

B.掷两枚硬币正面次数X的分布

C.抛一颗骰子点数X的分布

D.从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用x表示白球个数的分布

【变式1-1].已知随机变量X服从两点分布，且P（X=0）=2/,P（X=l）=a,那么".

【变式1-2].己知随机变量X服从两点分布，P（X=l）=0.34,则尸（X=0）=,E（X）=.

【变式1-3].已知X服从参数为0.3的两点分布，则P（X=O）=；若丫=3X-2,贝|尸（V=1）=.

【变式1-6]以下各项中是分布的为（)

'-101、

(02)

A.“B.1111

10.90.3)

/<4520>

仔&57.1]<-1.21.123.4

c00.20.380.4)D'10.1-0.10.40.6

题型02等可能分布或均匀分布

【典例2-1].已知随机变量X分布如下：（X，%%%],它是均匀分布，则p.为______.

（PlPlP3Pn）

【变式2-1】.已知某个随机变量的分布["〜该分布是等可能分布，则R的值为______

5PiP3J

题型03随机变量及其分布

,-101、

【典例3・1】.已知随机变量的分布1,贝[|力7+〃=

m

‘0123、

【典例3-2】.分别抛掷3枚硬币，正面次数X的分布如下131,其中c的值为.

——c—

1888J

'TO1、

【变式3-D.设4是一个随机变量，其分布为1,.,则实数q=________.

-1-2夕q-2

【变式3-2】.一袋中装5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5,从袋中同时取出3个，以X表

示取出的三个球中的最大号码，则随机变量X的分布为（）

’345、’2345、

A.111B.21J_

533>J10510>

345、(3

C.1_3_3D.331

5)I?

,10101010>

【变j式3-3】.若随机-变量〃的分布为(1°」2x0.33504.105.15。62}卜则户——‘外z芥方

题型04随机变量的期望与方差

(135、

【典例T.已知随机变量X的分布为0.4o.lJ则X的方差为-

【典例4-2】.已知一个随机变量X的分布为,1,且现X]=，，则而=

ab—3

I2)

」23、

【变式4-1].已知随机变量X的分布是11,则E[2X+a]等于()

———CL

(01x}

【变式4-2].已知随机变量X的分布列为：11,若E(X)=w，且Y=3X-2,贝|。任)=

【23口

’-212、

【变式4-3】.随机变量X的分布为,1,若研3X+3]=6,则可X]=__________.

cib一

I2J

’012、

【变式4.4】.已知一个随机变量X的分布为1人，且石[X]=l,则。[X]=____.

—ab

(5)

一(123、5

【变式4-5].随机变量X的分布是心，其中〃也°成等差数列.若顼X]=彳，则D[X]的值为

yabc)3

f-ior

【变式4-6].已知0<a<=，随机变量X的分布为12,当“增大时().

I33J

A.E(X)增大,D(X)增大B.E(X)减小，O(X)增大

C.E(X)增大,D(X)减小D.E(X)减小，D(X)减小

题型05二项分布

【典例5-1].已知随机变量J服从二项分布4〜8(4,£|,则P《=2)=.

【典例5-2】.若随机变量X服从二项分布3(20,0,当p=g且P(X=k)取得最大值时，则心

【变式5-1].下列说法中正确的是

则（）工

①设随机变量服X从二项分布PX=3=

16

②已知随机变量X服从正态分布N(2,/)且p(X<4)=0.9,则尸(0<X<2)=0.4；

③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A="4个人去的景点互不相同”,

7

事件8="小赵独自去一个景点”，则P(A|B)=-；

④E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2。(X)+3.

【变式5-2].如果随机变量X~8(2024,；|,丫〜B(2024,；J,那么当X、V变化时，使P(X=匕)=P(Y=七)

成立的色&)的个数为.

【变式5-3】•设随机变量X服从二项分布8(2,p),随机变量¥服从二项分布8(4,p),若尸(X21)=g,

贝|]尸(丫22)=.

【变式5-4].已知随机变量x〜3(2,0)，y~o-i,若P(XNI)=O.64,p(y=i)=。，则?(y=o)的值等

于.

【变式5-5】.在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次

全不中，则不合格.新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立,且击中靶标的概率均为p(0<。<1),

若当0=R)时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则/%=

题型06超几何分布

【典例6-1】.某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A

城市支援，设X表示其中内科医生的人数，则尸(X=2)=

【典例6-2】.某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑

球的概率为木，若记取出3个球中黑球的个数为X,则D[X]=_.

【变式6-1].在箱子中有10个小球，其中有4个红球，6个白球.从这10个球中任取3个，记X表示白球的

个数，贝|尸(X=2)=.

【变式6-2].学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X,

求尸(X<1)=.

【变式6-3].盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，〃表示取到黑球

的个数.给出下列各项：

①E(x)q,E(〃)=|；②E(x)=E⑺;③E(〃2)=E(X)；@r>(X)=r>(77)=^.

其中正确的是.(填上所有正确项的序号)

题型07正态分布

【典例7-1］.已知随机变量X服从正态分布N3b2）,若尸（XW-1”尸（X23）,则实数〃的取值范围

是.

【典例7・2】.随机变量X的概率分布密度函数/（%）=(xeR),其图象如图所示，设

P（X>2）=0.15,则图中阴影部分的面积为

【变式7-2】.某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩X服从正态

分布N（100,b2）（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于

闭区间［80,120］的学生人数约为.

【变式7-3】.若随机变量XN（6,l）,且P（5<X47）=a,尸（4<X48）=b,则P（4<X47）等于（）

b-a—b+a八\-b-1-a

A.------B.------C.——D.——

题型08成对数据的统计分析

【典例8-1】.在研究线性回归模型时，样本数据（4％）（7=1,2,3,L,〃）所对应的点均在直线y=+3

上，用「表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r=.

【典例8-2】.从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x（单位：cm）与体重，（单位：kg）的数据如

下表：

X165165157170175165155170

y4857505464614359

若已知y与X的线性回归方程为9=0.85彳-85.71,那么选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差

为.

【变式8-1].已知一组成对数据(18,24),(13,34),(10,38),(-1,根)的回归方程为尸-2工+59.5,则该组数据的

相关系数「=(精确到0.001).

【变式8-2].下列说法中，正确的有(填序号).

①回归直线y=&+B恒过点(元方，且至少过一个样本点；

②根据2x2列联表中的数据计算得出/>6.635,而P(/2>6.635)。0.01,则有99%的把握认为两个分类变

量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；

③/是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当/的值很小时可以推断两类变量不相关；

④某项测量结果占服从正态分布贝|尸(畀5)=0.81,则尸《<-3)=0.19.

【变式8-3].近五年来某草原羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如

图所示：

年份12345

羊只数量/万只1.40.90.750.60.3

草地植被指数1.14.315.631.349.7

A草地植被指数

60

50

40

30

20

10

।।*IA

O0.511.5羊只数量/万只

若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为4,去掉第一年数据(14,1.1)后得到的相关系数为则4.

r2(填><,<,>)

【变式8-4].为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表:

疾病

药物合计

未患病患病

服用m50-m50

未服用80—mm-3050

合计8020100

取显著性水平a=0.05,若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则优（加240,机eN）的最小值

为_________

n(ad-be)2

（参考公式：/=;参考值:P(^2>3.841)®0.05)

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

题型09条件概率与全概率公式+独立事件、互斥事件

【典例9-1】.甲、乙两气象站同时作天气预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7,且假定

甲、乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站、乙站预报都错误的概率

为.

【变式9-1].某科研型农场试验了生态柳丁的种植，在种植基地从收获的果实中随机抽取100个，得到其

质量（单位：g）的频率分布直方图及商品果率的频率分布表如图.已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，

用频率估计概率，现从中随机抽取1个柳丁，则该柳丁为商品果的概率为.

频率

丽

0.015-........

0.010-........

0.005—1-

O100120140160180200质量/g

质量/g[100,120)[120,140)[140,160)[160,180)[180,200]

商品果率0.70.80.80.90.7

【变式9-2】.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学

生每天玩手机超过2h,这些人的近视率约为60%,现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩

手机超过2h的概率为.

【变式9-3】.研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A为"对药物甲产生抗药性”，事

4?

件8为“对药物乙产生抗药性”，事件C为"对甲、乙两种药物均不产生抗药性若*4）=^,—,

P（C）=/，贝”（B|A）=—

题型10判断事件的类型概率公式综合辨析

【典例10-11.事件A与8独立，》分别是A、2的对立事件，则下列命题中成立的是（）

A.尸（AB）=P（A）尸（3）B.P（AuB）=P（A）+P（B）

C.P（通）=P（A）P（国D.P（AIB）=P（A）+1-P（B）

【典例10-2].已知事件A与B相互独立，且0<P（A）尸（为<1,则下列选项不一定成立的是（）

A.P(AB)=(1-P(A))P(B)；B.尸(AS)=P(A)+P(fi)；

C.P(AJB)=P(A)P(B)；D.P(A⑻尸(B|A)=尸(AcB).

【变式10-1].己知二方分别为随机事件A、B的对立事件，P(A)>0,P(B)>0,则下列等式错误的是

()

A.P(B|A)+P(叫A)=P(A)B.P(B|A)+P(B|A)=1

C.若A、8独立，则尸(A⑻fP(A)D.若A、B互斥,则尸(阖B)=尸3A)

【变式10-21.抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用》表示红色骰子的点数，

用》表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次试验结果，设事件E:x+y=8；事件F：至少有一颗点数为6；

事件G:x>4；事件H：y<4.则下列说法正确的是()

A.事件E与事件F为互斥事件B.事件厂与事件G为互斥事件

C.事件E与事件G相互独立D.事件G与事件H相互独立

【变式10-3】.现有4个礼品盒，前三个礼品盒中分别装了一支钢笔，一本书以及一个笔袋，第4个礼品

盒中三样均有.现随机抽取一个礼盒，事件A为抽中的盒子里面有钢笔，事件B为抽中的盒子里面有书，事

件C为抽中的盒子里面有笔袋，则下面选项正确的是()

A.A与8互斥B.A与8相互独立

C.A与BuC互斥D.A与BcC相互独立

【变式10-4].设A,B为两个随机事件，以下命题正确的为()

A.若A,B是对立事件，则玖A8)=l

B.若A,8是互斥事件，P(A)=1P(B)=1则尸(A+2)=-

326

-1-11

C.若尸(A)=§,P(B)=],且尸(AB)=1则A,8是独立事件

17—1

D.若A,B是独立事件，P(A)=§,P(8)=],则尸(A8)=§

【变式10-5】•设A,2为两个随机事件，

111

①若A,B是互斥事件尸(A)=：,P(B)=则P(AB)=-

326;

②若A,B是对立事件，贝”(Au8)=1；

17-1

③若A,8是独立事件，P(A)=-,P(B)=-,则P(AB)=-;

—i—i_1

④若尸(4)=彳，P(B)=:,且尸(AB)=-,则A,B是独立事件.

344

以上4个命题，正确的序号选项为().

A.①③B.②③C.②④D.②③④

【变式10-61.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲

箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A、4、4表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从

乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）

25

A.P（B）=-B.P（B|4）=n

c.事件B与事件A不相互独立D.A、4、4两两互斥

【变式10-71.假定生男生女是等可能的，设事件A：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件8：一个家庭中

最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（）.

A.①中事件A与事件8相互独立、②中的事件A与事件B相互独立

B.①中事件A与事件B不相互独立、②中的事件A与事件B相互独立

C.①中事件A与事件B相互独立、②中的事件A与事件B不相互独立

D.①中事件A与事件B不相互独立、②中的事件A与事件B不相互独立

*>----------题型通关•冲高考-----------*>

一、填空题

1.（2024・上海•模拟预测）某校举办科学竞技比赛，有AB、C3种题库，A题库有5000道题，8题库有

4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，已知小申完成A题库的正确率是0.92,8题库的正确

率是0.86,C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是.

2.（2024・上海•三模）设随机变量X服从成功概率为。的二项分布，若E[X]=30,D[X]=20,

则。=.

3.（2024•上海浦东新•三模）一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地摸出2个球，

记2球中白球的个数为X,则。[X]=.

二、单选题

4.（2023・上海奉贤•一模）下列结论不正确的是（）

A.若事件A与B互斥,贝小（4。3）=「（4）「（3）

B.若事件A与8相互独立，贝”（Ac®=尸（A）尸（3）

c.如果分别是两个独立的随机变量，那么。[x+y]=o[x]+D[y]

D.若随机变量y的方差。[叫=3,则。[2¥+1]=12

5.（2024.上海浦东新.三模）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球2024-左^eN*）.甲、乙两

人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上

一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第〃局甲获胜的概率为P“，则关于以下两个命题判断正确的是

()

①月=4048ZT且加=（1—2月）。“+加

②若第七局甲获胜的概率不小于0.9,则左不小于1992.

A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题

专题01新增统计概率(根据教材精编)

♦>-----------题型归纳•定方向-----------O

题型01伯努利分布、分布的表示................................................................12

题型02等可能分布或均匀分布...................................................................3

题型03随机变量及其分布.......................................................................4

题型04随机变量的期望与方差...................................................................5

题型05二项分布...............................................................................8

题型06超几何分布............................................................................11

题型07正态分布..............................................................................14

题型08成对数据的统计分析..................................................1错误!未定义书签。

题型09条件概率与全概率公式+独立事件、互斥事件..............................................19

题型10判断事件的类型概率公式综合辨析......................................................21

舱-----------题型探析・明规律-----------*>

【解题规律•提分快招】

1、离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.

2、求离散型随机变量自的期望与方差的步骤

⑴理解自的意义，写出自可能的全部值.

(2)求自取每个值的概率.

(3)写出自的分布列.

(4)由期望、方差的定义求E化)，D6).

3、判断某随机变量是否服从二项分布的关键点

(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.

(2)各次试验中的事件是相互独立的.

(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.

4、(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①

考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.

(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.

5、解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x=〃；(2)标准差g(3)分布区间.利用对称性可求指定范

围内的概率值；由〃，必分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3c特殊区间，从而求出所求概率.注

意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.

题型01伯努利分布、分布的表示

【典例1-1】.抛掷I枚硬币，正面朝上的次数为X,则X的期望是.

【答案】1/0.5

【分析】得到随机变量X的分布，求出期望值.

【解析】随机变量X的分布是11,则召[X]=0x1+lx[=1.

--222

121)

故答案为：g

【典例1-2】.以下分布中是伯努利分布的是().

A.掷一枚硬币正面次数X的分布

B.掷两枚硬币正面次数X的分布

C.抛一颗骰子点数X的分布

D.从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用x表示白球个数的分布

【答案】A

【分析】根据伯努利分布的概念即可判断.

【解析】只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布.

则选项A符合，选项BCD不符合.

故选：A.

【变式1-1].己知随机变量X服从两点分布，且P(x=o)=2/,p(x=l)=a,那么a=

【答案】1/0.5

【分析】根据概率之和为1即可求解.

【解析】由题意可知尸(X=0)+P(X=l)=a+24=ln。=；或a=—l,

由于。＞0,所以

2

故答案为：y

【变式1-2].已知随机变量X服从两点分布，P(X=1)=034,则P(X=0)=,E(X)=

【答案】0.660.34

【分析】由两点分布的性质及期望公式即可得出结论.

【解析】由两点分布可知尸(X=0)=1-0.34=0.66,

E(X)=Ox0.66+1x0.34=0.34.

故答案为：0.66;0.34.

【变式1-3].己知X服从参数为0.3的两点分布，则尸(X=0)=；若y=3X-2,贝up(y=I)=

73

【答案】0.7/—0.3/—

【分析】根据两点分布的基本性质即可求解.

【解析】因为X服从参数为0.3的两点分布,

所以P（X=l）=0.3,P（X=0）=l-0.3=0.7.

当X=1时，Y=3xl-2=1,所以尸（丫=1）=尸（X=l）=0.3.

故答案为：0.7,0.3

【变式1-4】.以下各项中是分布的为()

2)尸oq

0

A.0.3B-11H

0.9

145207

2.457.1)f-1.21.123.4]

C.0.38O.4JD，[01-0.10.40.6J

0.2

【答案】B

【分析】分布列中各项概率大于0,且概率之和为1,从而得到正确答案.

【解析】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1,

显然AC选项不满足概率之和为1,

D选项不满足各项概率大于0,B选项满足要求.

故选：B.

题型02等可能分布或均匀分布

【典例2・11.已知随机变量X分布如下：\X["/它是均匀分布，则外为______.

"P223Pn)

【答案】-

n

【分析】由均匀分布可知，Pl=p2=--=p„＞求解即可.

【解析】随机变量X分布是均匀分布，所以P1=P2==Pn，

,1

P|+P2-+0“=1,P„=~.

n

故答案为：—

n

【变式2・1】.已知某个随机变量的分布王”退，该分布是等可能分布，则p的值为______

[PlPlP3)

【答案】I

【分析】根据分布列的性质及等可能性即可求解.

【解析】由分布列的性质得P1+P2+P3=1，且。1=。2=。3，

即可解出百=。2=。3=；.

故答案为：—.

题型03随机变量及其分布

’-1oP

【典例3-1].已知随机变量的分布1,则7%+〃=.

I2J

【答案】1/05

2

【分析】利用分布列的概率和为1求解即可.

【解析】由题意得随机变量X的所有可能值得概率的和为1,

所以加+〃+工=1,解得根+〃=工

22

故答案为：y

9123、

【典例3.2】.分别抛掷3枚硬币，正面次数X的分布如下131，其中c的值为

-c-

88J

3

【答案】-/0.375

O

【分析】利用分布列的概率和为1求解参数即可.

【解析】由题意得随机变量X的所有可能值的概率的和为1,

故有g3+g1+g1+c=l，解得c=39

000O

3

故答案为：—

O

"-101、

【变式3-1】•设J是一个随机变量，其分布为1,c2，则实数4=________.

-1-24c\

【答案】1一叵

2

【分析】由概率大于等于0小于等于1,可以得到4的范围；根据概率之和为1,可以计算出4的值.

0<1-2?<1

,解得…若

【解析】依题意：0<<1

—+（1-2^）+^2=1

故答案为“专

【变式3-21.一袋中装5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5,从袋中同时取出3个，以X表

示取出的三个球中的最大号码，则随机变量X的分布为(）

'345、<2345、

A.111B.2311

J33；<5W510>

,345、'345、

C.j_a3D.3J_

<10105>J1010>

【答案】C

【分析】由题意可知X可取的值为3,4,5,分别利用古典概型概率公式求相应事件的概率，可得X的分布.

【解析】由题意可知随机变量X表示摸出的3个球中的最大号码数，X可取的值为3、4、5,

3,P（X=3）=±1一

当X=3时,个小球编号为、、

312"''C；10,

3中的两个，。。=4)二||=看

当X=4时,3个小球一个编号为4,另外两个为1、2、

3、4中的两个，尸(X=5)=冬

当X=5时,3个小球一个编号为5,另外两个为1、2、

C；5

故选：C.

123456

【变式3-3].若随机变量7的分布为，则x=，尸(〃W3)=

0.1尤0.350.10.150.2

【答案】0.1/—0.55/—

1020

【分析】直接由分布列第二行概率之和为1即可求出犬，再利用概率的可加性可得P(〃43).

【解析】由题意光=1—0.1—0.35—0.1—0.15—0.2=01，P（7<3）=0.1+0.1+0.35=0.55.

故答案为：0.1；0.55.

题型04随机变量的期望与方差

135

【典例4-1].已知随机变量X的分布为,则X的方差为

0.40.1m

【答案】3.56

【分析】先根据分布列的性质及数学期望公式求出期望值，再利用方差公式求解即可.

【解析】根据分布列的性质得0.4+0.1+"?=1,解得加=0.5,

所以E（X）=lx0.4+3x0.1+5x0.5=3.2,

所以X的方差为£＞（X）=（l-3.2）2x0.4+（3-3.2）2x0.1+（5-3.2）2*0.5=3.56.

故答案为：3.56

"-101]

【典例4-2】.已知一个随机变量X的分布为，1，且E[X]==，则曲=_______

ab—3

I2J

【答案7

【分析】利用随机变量均值的性质求解参数，再进行乘法运算即可.

【解析】E[X]=-lxa+lx1=V,贝!Ja=，，由a+b+1=l,得b=g,则"=

2362318

故答案为：—■

lo

，123、

【变式】.已知随机变量的分布是,贝闾2X+a]等于（

4.1X_1_1/7

<23)

5「7c7-23

A.-B.-C.一D.——

3326

【答案】C

【分析】利用分布列求出。，求出期望即可.

【解析】由题意可得1+!+a=l,解得〃=，，

236

E[Xl=lx-+2x-+3x-=-.

L」2363

:.E2X+-=2x-+-=-,

_6]362

故选：C.

（01x}

【变式4-2】.已知随机变量X的分布列为：11，若E（X）=：且y=3X-2,则。"）=_____.

一一p3

123口

【答案】5

【分析】先由概率之和为1,求出P,根据离散型随机变量的期望公式求出x,再由方差的公式求出。（X）,

最后根据方差的性质，即可求出结果.

【解析】由随机变量分布列的性质，得!+：+0=1,解得p=J,

23o

1119

E（X）=0x—+lx-+-x=—..x=2,

v72363

22

）（」1+1二」1+2