内蒙古赤峰市2024-2025学年高一数学上学期第一次月考试题含解析

内蒙古赤峰市2024-2025学年高一数学上学期第一次月考试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x∈[-1,3]，x2-3x+2<0”的否定为（

A．∃x∈-1,3，x2-3x+2≥0 B．C．∀x∈-1,3，x2-3x+2≥0 D．2．已知集合U=R，集合A=x-3<x<1，B=x0≤x≤2A．x-3<x<0B．xC．x0<x<1 D．3．下列命题为真命题的是()A.∀a>b>B.集合A=x∣C.若b<aD.所有的素数都是奇数4．设A=xx2-8x+15=0，B=xax-1=0，若A∩B=B，则实数A．15 B．3 C．0 D．5．已知1<A.1<ab<15B.2<a+b<86．向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A,A.赞成A的不赞成B的有9人 B.赞成B的不赞成A的有11人C.对A,B都赞成的有21人 D.对7.下面命题正确的是（

）A．已知x∈R，则“x>1”是“1B．命题“若∃x0≥1，使得xC．已知x,y∈R，则“x+yD．已知a,b∈R，则“a-3b=0”是“a8.已知a，b是实数，则“a>1且b>1”是“ab+1>a+b”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问:物几何?”现有数学语言表达如下:已知A=x∣x=3n+2A.8 B.23 C.37 D.12810.设a,b∈A={x∣x=3m+1,m∈Z},c∈B={x∣x=3k-1,k∈ZA．a+b∈A B．ab∈AC．a+b∈B D．a+c∈B11.已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列结论中正确的是（

）A．a+b>0 B．ac<bcC．1a-b>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知x=2在不等式k-1x13.已知M={x∈N∣614．设集合M=1,2,3,4,5,6，选择M的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，满足这样条件的一个集合A与对应的一个集合B称为一组合，则不同的组合共有四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)设R为全集,集合A={(1)若a=3,求(2)若A⊆B,求实数16.(本小题满分15分)(1)已知集合A={x∣a-1≤(2)命题p:m∈R，m+1≤0,命题q17.(本小题满分17分)(1)设a,b,c∈R证明:a2+b(2)已知a,b都是正实数,且a≠b,试比较a3+b18．已知命题p:对于∀x∈R，x（1）求实数a的取值的集合A；（2）若∃x∈{x|1≤x≤3}，使得x(mx-b)≤0(m≠0)成立，记实数b的范围为集合B19．(本小题满分17分)法国数学家佛朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理.韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题.(1)关于x的方程x2-4x+m=0的一个实数根为-2，求另一实数根及实数(2)关于x的方程x2-k+1x+1若x1(4x2(3)已知a,b∈R集合A=xx2-2ax+b-2=0，集合B=xx2-2ax+b+1=0，且赤峰二中2024级高一上学期第一次月考数学试卷1．命题“∀x∈[-1,3]，x2-3x+2<0”的否定为（

AA．∃x∈-1,3，x2-3x+2≥0 B．C．∀x∈-1,3，x2-3x+2≥0 D．2．已知集合U=R，集合A=x-3<x<1，B=x0≤x≤2，则图中阴影部分表示的集合为（A．x-3<x<0B．x-1<x<0 C．x3．下列命题为真命题的是(C)A.∀a>b>0,当B.集合A=x∣y=xC.若b<a<0D.所有的素数都是奇数4．设A=xx2-8x+15=0，B=xax-1=0，若A∩B=B，则实数A．15 B．3 C．0 D．5．已知1<a<5,A.1<ab<15C.-2<a-6．向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生数的三分之一多1A.赞成A的不赞成B的有9人 B.赞成B的不赞成A的有11人C.对A,B都赞成的有21人 D.对A,B6【详解】.赞成A的人数为50×35=30,赞成B的人数为30+3=33.记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A设对事件A,B都赞成的学生人数为x,则对A,B都不赞成的学生人数为x3+1.赞成A而不赞成B的人数为赞成B而不赞成A的人数为33-x.依题意30-x+33-x7.下面命题正确的是（

D

）A．已知x∈R，则“x>1”是“1B．命题“若∃x0≥1，使得xC．已知x,y∈R，则“x+yD．已知a,b∈R，则“a-3b=0”是“a【答案】D【难度】0.65【知识点】判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、特称命题的否定及其真假判断、既不充分也不必要条件【分析】利用充分不必要条件的定义判断A；利用存在量词命题的否定判断B；利用既不充分也不必要定义判断C；利用必要不充分条件的定义判断D.【详解】对于A，当1x<1时，x<0或x>1，故x>1能推出1x<1，但所以“x>1”是“1x对于B，由存在量词命题的否定为全称量词命题知：命题“若∃x0≥1，使得x对于C，由x+y>0得x≠0或y≠0，故x但是当x>0时，x+y≥x+0=所以“x+y>0对于D，已知a,b∈R，当a=b=0时，满足a-3b=0，但是不满足a反之，当ab=3时，则a=3b，即所以“a-3b=0”是“ab故选：D8.已知a，b是实数，则“a>1且b>1”是“ab+1>a+b”的（

A

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、作差法比较代数式的大小【分析】根据充分必要条件的关系,结合不等式性质即可判断.【详解】当a>1且b>1时,ab+1-a+b=a-1b-1>0,即a>1当ab+1>a+b时,即ab+1-a+b=a-1b-1>0解得a>1且综上可知,“a>1且b>1”是“ab+1>a+b”的充分不必要条件故选:A【点睛】本题考查了不等式比较大小,充分必要条件的关系及判断,属于基础题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问:物几何?”现有数学语言表达如下:已知A=x∣x=3n+2,n∈N*,A.8 B.23 C.37 D.1289.【详解】因为23=3×7+2=5×4+3=7×3+2,故23∈A∩B∩C;128=3×42+2=5×25+3=7×18+2,故128∈A∩B∩C;因8=7×1+1,则8∉C;37=3×12+110.设a,b∈A={x∣x=3m+1,m∈Z},c∈B={x∣x=3k-1,k∈ZA．a+b∈A B．ab∈AC．a+b∈B D．a+c∈B【答案】BC【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.【详解】设a=3u+1,b=3v+1,c=3w-1u、v、w∈而a+b=3u+vab=9uv+3a+c=3u+1+3w-1=3u+w∉故选：BC.11.已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列结论中正确的是（

）A．a+b>0 B．ac<bcC．1a-b>【答案】ABD【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.【详解】a+b+c=0且a>b>c，则a>0，c<0，则a+b>0，A正确；因为a>b，c<0，所以ac<bc，B正确；因为a>b>c，a-b>0,b-c>0，a-b-当b>0时，0<a-b<b-c，则1a-b>1b-c；当b<0时，a-b>b-c>0，则1a-b<1因为a-cb-c当且仅当a=-12c时，等号成立，此时由a+b+c=0可得b=-所以-a+12c2故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知x=2在不等式k-1x2-12.k≥4或[4,+∞)12.【详解】因为x=2在不等式的解集中,把x=2带入不等式得:413.已知M={x∈N∣66-x∈N}13.【详解】解:因为66-x∈N,所以又x∈N,所以x=0,3,4,5,所以集合M={0,14．设集合M=1,2,3,4,5,6，选择M的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，满足这样条件的一个集合A与对应的一个集合B称为一组合，则不同的组合共有【答案】129【分析】讨论A中最大的数，分别求出A和B的非空子集，从而求得正确答案.【详解】当A中最大的数为1时，B可以是2,3,4,5,6的非空子集，有25当A中最大的数为2时，A可以是2或1,2，B可以是3,4,5,6的非空子集，有2×2当A中最大的数为3时，A可以是3，1,3，2,3或1,2,3，B可以是4,5,6的非空子集，有4×2当A中最大的数为4时，A可以是4，1,4，2,4，3,4，1,2,4，1,3,4，2,3,4,或1,2,3,4，B可以是5,6的非空子集，有8×2当A中最大的数为5时，A可以是：5，1,5,1,2,5,1,3,5,1,2,3,4,5，B是6，有16×1=16（种）选择方法.所以满足条件的集合共有31+30+28+24+16=129（种）不同的选择方法.故答案为：129【点睛】思路点睛：解题的突破口在于“B中最小的数大于A中最大的数”，解题的思想方法是分类讨论的数学思想方法，根据集合A中最大的数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)设R为全集,集合A={(1)若a=3,求(2)若A⊆B,求实数a16.(1)由题意可得B={y∣-2≤y≤当a=3时,A所以A∩B因为CRA={x∣x<4,或x>7所以CRA∩B={x∣-2(2)由(1)知,B={y∣-2若A=⌀,即a+1>2a+1,解得a<0,此时满足若A≠⌀,要使A⊆B,则a+1≤2a+1a+综上,若A⊆B,所求实数a的取值范围为a∣a≤521316.(本小题满分15分)(1)已知集合A={x∣a-1≤x≤a+1},B(2)命题p:m∈R，m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+116.(1)由x∈An是x∈Bn的充分不必要条件,得A而A=a-1,a于是a-1≥-1a+所以a的取值范围为0,2(2)当命题p为真命题时,m≤-1当命题q为真命题时,Δ=m2-4<所以p与q同时为真命题时有m≤-1-2<m故p与q不同时为真命题时,m的取值范围是(-∞,-17.(本小题满分15分)(1)设a,b,c∈R证明:a2+b(2)已知a,b都是正实数,且a≠b,试比较a3+b【答案】见解析【解析】分别证明充分性与必要性即可.【详解】（1）证明:(1)充分性:如果a=b=c,那么(a-b)2∴a(2)必要性:如果a2那么a2∴(a-b)2+由(1)(2)知,a2+b【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.【详解】解:(1)∵2x(2)a=∵a,b都是正实数,且a≠b,∴∴a【点睛】此题考查利用作差法比较大小，关键在于对作差之后的代数式进行因式分解.18．已知命题p:对于∀x∈R，x（1）求实数a的取值的集合A；（2）若∃x∈{x|1≤x≤3}，使得x(mx-b)≤0(m≠0)成立，记实数b的范围为集合B，若A∩B【答案】（1）a|a≤3；（2）n|【分析】（1）根据命题为真转化为不等式恒成立，利用判别式Δ<0求解；（2）分类讨论n的正负求出集合B,再根据A∩B中只有一个整数建立不等式求解.【详解】（1）由条件知，x2只需不等式所对应的二次方程x2+2ax+a∴解得a≤3，也即A=（2）若存在1≤x≤3，使得x(mx-b)≤0(m≠0)成立，由1≤x≤3可知，即使得mx-b≤0也即存在1≤x≤3，使得mx≤b当m>0，只需b≥m，此时B=b当m<0，只需b≥3m(3m<0)，此时因此，当m>0时，若使得A∩B有且只有三个整数，则只需解得0<m≤1当m<0，由于a因此A∩B必有整数0,1,2,3共四个整数，与条件不符，矛盾.综上所述，实数m的取值范围是m|0<m≤1.19．法国数学家佛朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理.韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题.(1)关于x的方程x2-4x+m=0的一个实数根为-2，求另一实数根及实数(2)关于x的方程