2025年上海高考数学二轮复习：热点题型9 平面解析几何（十一大题型）（学生版+解析）

热点题型•选填题攻略

专题09平面解析几何(H^一大题型)

o------题型归纳•定方向-----------♦>

题型012021-2025年高考+春考真题..............................................................1

题型02直线与方程...........................................................................2

题型03圆与方程..............................................................................3

题型04圆与方程的应用........................................................................3

题型05圆锥曲线的概念辨析...................................................................4

题型06圆锥曲线的综合应用...................................................................4

题型07角度问题..............................................................................5

题型08向量问题..............................................................................5

题型09与数列结合问题........................................................................6

题型10空间中轨迹问题........................................................................6

题型11选择压轴辨析题........................................................................6

♦>-----------题型探析・明规律-----------o

【解题规律•提分快招】

1、判断直线与圆的位置关系的常见方法

⑴几何法：利用d与r的关系.

(2)代数法：联立方程之后利用△判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

2、根据条件求椭圆方程的主要方法

(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.

(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭

圆的方程为mx2+ny2=l(m>0,n>0,n#n),不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m,n的值即可.

3、⑴双曲线渐近线的求法：求双曲线提一祭=1(。>0,打。)的渐近线的方法是令最爷=°，即得两渐近线方

(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线/一方=1(°>0,b>0)中，离心率e与双曲

h

线的渐近线的斜率—满足关系式e2=l+贬

题型012021-2025年高考+春考真题

【典例1-1].(2025•上海)已知双曲线弓-上f=1(a>0)的左、右焦点分别为乃、F1.通过尸2且倾

ab-a

斜角为2L的直线与双曲线交于第一象限的点A,延长AF2至B使得A8=AFi.若△BQ放的面积为3a，

3

则a的值为二n_.

【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案.

22

【解答】解：已知三-上年=1，

/八c»

ab-a

则■=6-a2>0,

解得，

22

^c=Va+b=V6>

贝人F2(V6,0)-

设B(XB,中)，

又△8尸由2的面积为3、后，

则卷•EBI"恒"21=%lyB1=3^6'

解得中=-3,

由题意可得直线AB的斜率，

O

则方程为，

将9=-3代入上式，

则-3=加(XB-V6)，

解得XB=V6-73)

22

由题意可得|AF[I-|AF2|=|AB|-|AF2|=|BF2|=7(V6-V3-V6)+(-3-0)=2A/3-

易知a=V3.

故答案为：V3.

【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题.

【典例1-2].（2024•上海）已知抛物线y2=4x上有一点尸到准线的距离为9,那么尸到x轴的距离为_啦_

【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解.

【解答】解：设P坐标为（xo,yo）,

P到准线的距离为9,即刈+1=9,解得尤0=8,代入抛物线方程，可得，

故尸到x轴的距离为

故答案为：4A/2.

【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

【典例1-3].（2024•上海）直线x-y+l=0的倾斜角大小为45°.

【分析】求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得倾斜角的大小.

【解答】解：由直线x-y+l=0变形得：y—x+1,

设直线的倾斜角为a,即tana=l,

因为ae[0,180°）,

所以a=45°.

故答案为：45°.

【点评】本题考查了直线的倾斜角的求法，以及特殊角的三角函数值.熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系

是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围，属基础题.

【典例1一4】.（2024•上海）三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点

的双曲线的离心率为3.

【分析】利用双曲线的定义、离心率的计算公式即可得出结论.

【解答】解：由双曲线的定义，2c=6,2a=2,

解得c=3,a=l,

.-.e=—=3.

a

故答案为：3.

【点评】本题考查了双曲线的定义、离心率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

【典例1-5].（2023•上海）已知圆/+、2-4彳-%=0的面积为11,则"1=-3.

【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可.

【解答】解：圆/+/-4.X-〃7=0化为标准方程为：（X-2）2+y2=4+%,

:圆的面积为It,.•.圆的半径为1,

•\m=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题.

【典例1-6].（2023•上海）已知圆C的一般方程为/+2%+9=0,则圆C的半径为1.

【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径.

【解答】解：根据圆C的一般方程为/+2x+y2=0,可得圆C的标准方程为（X+1）2+/=1,

故圆C的圆心为（-1,0）,半径为1,

故答案为：1.

【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题.

2

【典例1-7].（2022•上海）已知Pi（xi,yi）,P2（X2,”）两点均在双曲线「：三-/=1（fl>0）的右

a

支上，若xix2>yiy2恒成立，则实数4的取值范围为11,+8）.

【分析】取尸2的对称点尸3（X2,-"），结合XLX2>yiy2,可得OP；•OP；〉。，然后可得渐近线夹角N

MONW9U。，代入渐近线斜率计算即可求得.

【解答】解：设尸2的对称点尸3（X2,-”）仍在双曲线右支，由XlX2>yiy2,

得xix2-yiy2>0,即op；恒成立，

・・・/尸10尸3恒为锐角，即NMONW90。，

/.其中一条渐近线y=的斜率」W1,

aa

•*Cl19

所以实数〃的取值范围为[1，+8）.

故答案为：[1,+8）.

【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题.

2

【典例1-8].（2022•上海）双曲线与-尸=1的实轴长为6

9

【分析】根据双曲线的性质可得。=3,实轴长为2a=6.

2

【解答】解：由双曲线2_-y2=i,可知：a=3,

9

所以双曲线的实轴长2a=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查双曲线的性质，是基础题.

【典例1-9].（2021•上海）直线尤=-2与直线J5x-y+l=0的夹角为

【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角.

【解答】解：•••直线x=-2的斜率不存在，倾斜角为工L,

2

直线Ex-y+l=0的斜率为遥，倾斜角为工，

3

故直线x=-2与直线遂龙7+1=0的夹角为2L-2L=2L,

236

故答案为：2L.

6

【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题.

【典例1-10】.（2021•上海）^x2+y2-2x-4y=o,求圆心坐标为（1,2）.

【分析】将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可.

【解答】解：由/+/-2x-4y=0,可得圆的标准方程为（x-1）2+（y-2）2=5,

所以圆心坐标为（1,2）.

故答案为：（1,2）.

【点评】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题.

【典例1-11】.（2021•上海）已知抛物线/=2内（p>0）,若第一象限的A,2在抛物线上，焦点为R|AF|

=2,|BF|=4,|AB|=3,求直线AB的斜率为—零

【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线

AB的斜率即可.

【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为/，作AC，/于点C,2。，/于点。，AEL2D于点E,

由抛物线的定义，可得AC=A尸=2,BD=BF=4,

•,-BE=4-2=2,AE=VAB2-BE2=79^4=V5-

直线AB的斜率

故答案为：叵.

2

【点评】本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题.

2

【典例1-12】.（2021•上海）已知椭圆工2+4=1（0<6<1）的左、右焦点为四、F1,以。为顶点，F2

b2

为焦点作抛物线交椭圆于P,且/尸为仍=45°,则抛物线的准线方程是x=l-M.

【分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线尸为的方程并与抛物线方程联

立，求出点尸的坐标，由此可得尸放_LPLF2,进而可以求出尸Q,P上的长度，再由椭圆的定义即可求解.

【解答】解：设为（-c,0）,F2（c,0）,则抛物线y2=4cx,

f2_

直线PF1：y=x+c,联立方程组（丫=4cx,解得尤=c,y=2c,

,y=x+c

所以点P的坐标为（c,2c）,所以「尸2，四尸2,又PF

所以PR

则c=V2-b

所以抛物线的准线方程为：X=-C=1-

故答案为：x=l-圾.

【点评】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题.

【典例1-13】.（2023•上海）已知P,。是曲线r上两点，若存在〃点，使得曲线r上任意一点P都存在

。使得I"尸|・|MQ|=1,则称曲线「是“自相关曲线”.现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；

②存在双曲线是“自相关曲线”，则（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【分析】根据定义结合图象，验证|MP|・|MQ=1是否恒成立即可.

【解答】解：；椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|・|MQ=1成立，故①正确，

在双曲线中，1PM,”分一+8,\PM\min=0,当|PM=0时，。点不存在；

当|PMwh=〃，0<〃Wl时，\QM\=1,

n

但当1PM=2>］，此时|QM=H这与1PM根而=〃矛盾，故②错误.

nn2

故选：B.

【点评】本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证|MP|・|MQ=1是否成立是解决本

题的关键，是中档题.

【典例1-14】.（2022•上海）设集合Q={（x,y）|（x-左）2+（y-M）2=4|）t|,依Z}

①存在直线/,使得集合。中不存在点在/上，而存在点在/两侧；

②存在直线/，使得集合。中存在无数点在/上；（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

【分析】分k=0，k>0,k<0,求出动点的轨迹，即可判定.

【解答】解：当％=0时，集合。={（x,y）|（尤-左）2+（y-M）2=4|川，蛇Z}={（0,0））,

当4>0时，集合Q={（x,y）|（x-Z）2+（y-启）2=4\k\,依Z},

表示圆心为（鼠层），半径为「=2，"了的圆，

圆的圆心在直线y=/上，半径厂=/（%）=2《单调递增，

相邻两个圆的圆心距d=Q（k+1-k）2+[（k+1）2-k2]2=J4k2+4k+2'相邻两个圆的半径之和为/

=2Vk+2Vk+l，

因为有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，

当％<0时，同左>0的情况，故存在直线/,使得集合。中不存在点在/上，而存在点在/两侧，故①正

确，

若直线/斜率不存在，显然不成立，

设直线/：y^mx+n,若考虑直线/与圆（尤-左）2+（y-必）2=4肉的焦点个数，

d=」吗也^",r=2\Q7L

给定7”,w,当左足够大时，均有d>r,

故直线/只与有限个圆相交，②错误.

故选：B.

【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题.

题型02直线与方程

【典例2-1】.（2024・上海嘉定•一模）直线3尤-»+1=。的倾斜角为.（用反三角函数表示）

【典例2-21.（24-25高三上•上海•阶段练习）直线/过点（1,2）,法向量“=（1,2）,贝门的一般式方程为.

【变式2-1】.（24-25高三上•上海•阶段练习）设meR,若直线y=耀》-1与直线x+2y+3=0互相垂直，则

【变式2-2].（2023•上海静安•一模）若直线x+2y+3=0与直线2x+〃少+10=。平行，则这两条直线间的

距离是.

【变式2-3].（2024•上海长宁•二模）直线2x-y-3=0与直线尤-3、-5=。的夹角大小为.

题型03圆与方程

【典例3-1】•（24-25高三上•上海金山•期末）以C（3,4）为圆心且过点（1,-3）的圆的标准方程是.

【典例3-2].（2024•上海普陀•模拟预测）已知圆尤2+/-4》-〃7=0的周长为2兀，则实数m的值为.

【变式3-1】.（24-25高三上•上海・开学考试）已知圆G：（x+3『+（y-4）=1与圆C?：/+（>-犷=16外

切，则实数后=.

【变式3-1].（24-25高三上•上海•开学考试）已知圆C:（x+2）2+（y-4）2=1,则圆心C到直线

/:丘+丫-左+3=0的最大距离为.

题型04圆与方程的应用

【典例4-1】.（2024•上海.模拟预测）平面点集｛（x,y）|（x-cos行+（y-sine『=9,6eR｝所构成区域的面积

为.

【典例4-21.（2024.上海.模拟预测）正方形草地ABCD边长L2,E到A5AD距离为0.2,歹到BC,C£>距离为

0.4,有个圆形通道经过瓦尸，且经过上一点，求圆形通道的周长.（精确到0.01）

【变式4-1】.（24-25高三上•上海黄浦•期末）i为虚数单位，若复数4满足|Z|-l+i|W0,复数z?满足

|z2|=|z2+l-i|,则|Zj-Zzl的最小值为.

【变式4-2].（24-25高三上•上海嘉定•期中）设函数〃x）=V-8x,若点P（x,y）满足/（x）+/（—y）W32,

〃y）W0,记点尸构成的图形为。，则。的面积是.

【变式4-3].（24-25高三上•上海•期中）已知实数占、%、%、%满足k+y：=2,尤;+货=2,xlx2+yly2=0,

记vv=k]+必-20|+卜2+%—2忘|,则w的最大值是.

_—>—>—>—>—>—>DTT

【变式4-4】.（24-25高三上•上海•期中）已知平面向量°,4c,e满足lal=4/e|=l,|b-a|=l,<a,e>=不，且

对任意的实数7,均有卜-e闫c-2e|•则小的最小值为

题型05圆锥曲线的概念辨析

2

【典例5-11.（2024•上海崇明・一模）双曲线犬-匕=1的渐近线方程是________.

4

【典例5-2].（2024•上海青浦.二模）椭圆二+9=1（4>1）的离心率为且,贝i]a=.

a2

【变式5-11.（2024.上海静安.一模）到点月（-3,0）,B（3,0）距离之和为10的动点尸的轨迹方程为.

【变式5-2】.（2022•上海浦东新•一模）若方程4/+02=4左表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）

A.2&B.2sPkC.mD.Q

【变式5-3].（23-24高三下•上海•阶段练习）若抛物线/=阳的焦点到它的准线距离为1,则实数加=—

【变式5-4】.（23-24高三下.上海.阶段练习）将抛物线C:/=4x关于直线y=x对称，得到抛物线Q,则

抛物线Q的焦点到其准线的距离为.

22

【变式5-5].（2024高三.全国•专题练习）已知焦点在x轴上的双曲线」—+"^=1的离心率此6,

6+2左2k-3

则上的取值范围是.

题型06圆锥曲线的综合应用

22

【典例6-1].（2023•上海虹口•一模）已知F是椭圆C/Z+匕=1与抛物线C2：y2=2px（p>0）的一个共同

43一

焦点，G与G相交于A,8两点，则线段的长等于（）

22

【典例6-2].（2024•上海普陀•一模）设椭圆c：W+4=l（a>b>0）的左、右焦点分别为小%,左顶点

为A’若椭圆C的离心率为上则喘的值为

2

【变式6-1】.（24-25高三上•上海浦东新•期末）已知双曲线炉-21=1的左、右焦点分别为％、F2,双曲

3

线上的点尸在第一象限，且尸外与双曲线的一条渐近线平行，则尸耳外的面积为.

【变式6-2].（24-25高三上•上海•期中）已知抛物线石：/=4尤，圆C:f+y2=2x,过圆心C作斜率为左的

直线/与抛物线E和圆C交于四点，自上而下依次为A,M,N,B,^\AM\+\NB\=2\AW\,则左的值为

（）

A.土&B.±73C.土变D.土立

23

22

【变式6-3].（2024高三・上海・专题练习）已知双曲线「-二=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别是耳，F,,

a'b"

经过歹2的直线与双曲线的右支相交于P,。两点，且|助|:|尸。|:|。片|=2:2:1,则双曲线的离心率等于（）

A.&B.gC.2D.3

【变式6-4].（23-24高三下•上海•期中）设不月为双曲线「a一汇=1左、右焦点，点M在r的右支上，

99

线段E"与r的左支相交于点N,且用=WM，则闺N卜.

22

【变式6-5】.（2024•上海•模拟预测）椭圆三+七=1（“>6>。）的左、右焦点分别为片,不，过F2作x轴的

ab

垂线交椭圆于尸,。，若片PQ为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为.

题型07角度问题

22

【典例7-1】•（23-24高三下•上海青浦•阶段练习）已知耳片（c,0）为双曲线C:二-2=l（a>0,b>0）

ab

的两个焦点，尸为C虚轴的一个端点，4尸6=120。，则C的渐近线方程为.

22

【变式7-1】.（2023•上海闵行•模拟预测）己知椭圆与+为=1（“>6>0）的左右焦点分别为耳,鸟，椭圆存

ab

在一点P,若N£PB=120,则椭圆的离心率取值范围为（）

题型08向量问题

2

【典例8-1].（2024•上海闵行二模）双曲线「尤2-21=1的左右焦点分别为久、K,过坐标原点的直线与

6

「相交于4B两点，若闺回=2|与4],则鸟4书3=.

【变式8-1】.（23-24高三下•上海•阶段练习）设0为坐标原点，F为抛物线y=4无的焦点，A是抛物线上

一点，若O4A尸=-4,则点A的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

题型09与数列结合问题

【典例9-1].（2024•上海・三模）已知椭圆C的焦点用、尸2都在x轴上，尸为椭圆C上一点，尸片外的周长

为6,且闺居|「闾成等差数列，则椭圆C的标准方程为.

【变式.（2020・上海•模拟预测）设数列｛。,｝的前〃项和为S,,%=3,5“=34,+|+1（”€^^）已知公，

2（q_i、

F?是双曲线C：上-9=1的左右焦点，p（〃eN*）,若此上周-上闾对“eN*恒成立，则实数

方的取值范围是.

题型10空间中轨迹问题

【典例10-1].（23-24高三下.上海•开学考试）已知四棱锥P-45co的底面为矩形，尸£），平面ABC。，点

。为侧棱抬（不含端点的线段）上动点，则点。在平面P3C上的射影在（）

A.棱尸8上B.△P3C内部C.△P3C外部D.不确定

【变式10-1].（2023•上海闵行•一模）已知点尸在正方体ABC。-ABIGR的表面上，尸到三个平面ABC。、

AD0A、A叫人中的两个平面的距离相等，且尸到剩下一个平面的距离与尸到此正方体的中心的距离相等，

则满足条件的点P的个数为.

题型11选择压轴辨析题

【典例11-1].（23-24高三上.上海宝山・期末）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆

C:1+y2=im>i）上，且其中恰有两个顶点为椭圆c的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题:

a

命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②：满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有

如下判断，正确的是（）

A.命题①正确；命题②错误.B.命题①错误；命题②正确.

C.命题①，②均正确.D.命题①，②均错误.

【变式11-1].（2023・上海青浦•一模）定义：如果曲线段C可以一笔画出，那么称曲线段C为单轨道曲线，

比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段C由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段C为双轨道曲线.对

于曲线r+1）2+产J（x-1）2+产=向加>0）有如下命题:P：存在常数加，使得曲线「为单轨道曲线；

存在常数机，使得曲线「为双轨道曲线.下列判断正确的是（）.

A.P和q均为真命题B.P和4均为假命题

C.P为真命题，4为假命题D.P为假命题，4为真命题

【变式11-2].（23-24高三上•上海虹口•期末）已知曲线r的对称中心为。，若对于r上的任意一点A,都

存在「上两点8,C,使得。为VABC的重心，则称曲线「为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：

①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”.

则（）

A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①②都是假命题D.①②都是真命题

【变式11-31.（2023•上海黄浦•三模）曲线C*：f+y*=4（*CUeQ）,下列两个命题：

命题甲：当左=；时，曲线与坐标轴围成的面积小于128；

命题乙：当仁2”，〃eN-时，曲线围成的面积总大于4；

下面说法正确的是（）

A.甲是真命题，乙是真命题B.甲是真命题，乙是假命题

C.甲是假命题，乙是真命题D.甲是假命题，乙是假命题

*>----------题型通关•冲高考-----------O

一、填空题

1.（2024.上海.模拟预测）已知方程二+1=1表示的曲线是椭圆，则实数％的取值范围是_________.

k—48—k

2.（2024•上海奉贤•一模）已知抛物线d=ayS>0）上有一点尸到准线的距离为6,点P到x轴的距离为4,

则抛物线的焦点坐标为.

3.（2024・上海杨浦•一模）中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，

月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均

以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为

变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为.（精

确到0.01）

22

4.（2024.上海闵行.一模）已知耳、骂分别为椭圆L+上=1的左、右焦点，过百的直线交椭圆于A、3两

42

点.若秋•隹=0,则在包g=.

5.（2024.上海浦东新.三模）已知点A、B位于抛物线丁=2力（0>0）上，|AB|=20,点M为线段.的中

点，记点/到y轴的距离为壮若d的最小值为7,则当1取该最小值时，直线43的斜率左（左>。）为.

6.（2024.上海奉贤.三模）已知正方体ABCZ）-A8C2的棱长为3,E2,心为正方形ABCD边上

的七个两两不同的点.若对任意的点片，存在点4""e{l,2,，口,*））.使得直线44与平面4月4以及平

面CREj所成角大小均为聿，则正整数k的最大值为.

二、单选题

22

7.（2023•上海嘉定•三模）已知双曲线「:二-2=1（。>0,6>0）的离心率为e,点B的坐标为（0力），若「上

ab

的任意一点尸都满足|尸却乂，则（）

A1/J+百R1+6

A.[<e<--------B.e>-------

22

「I,z1+小n.1+^5

C.l<e<-------u.e>-------

22

2222

8.（2022.上海黄浦.二模）将曲线R+卷=l（Q0）与曲线5+1_=l（xW0）合成的曲线记作C.设％为实

数，斜率为左的直线与C交于A8两点，尸为线段"的中点，有下列两个结论：①存在左,使得点尸的轨

迹总落在某个椭圆上；②存在心使得点尸的轨迹总落在某条直线上，那么（）.

A.①②均正确B.①②均错误

C.①正确，②错误D.①错误，②正确

热点题型•选填题攻略

专题09平面解析几何(H^一大题型)

♦>-----------题型归纳•定方向-----------O

题型012021-2025年高考+春考真题............................................................1

题型02直线与方程...........................................................................8

题型03圆与方程..............................................................................9

题型04圆与方程的应用.......................................................................10

题型05圆锥曲线的概念辨析...................................................................15

题型06圆锥曲线的综合应用...................................................................17

题型07角度问题.............................................................................21

题型08向量问题.............................................................................23

题型09与数列结合问题.......................................................................24

题型10空间中轨迹问题.......................................................................25

题型11选择压轴辨析题.......................................................................27

♦>-----------题型探析・明规律----------«>

【解题规律•提分快招】

1、判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系.

(2)代数法：联立方程之后利用A判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

2、根据条件求椭圆方程的主要方法

(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.

(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭

圆的方程为mx2+ny2=l(m>0,n>0,n#n),不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m,n的值即可.

3、⑴双曲线渐近线的求法：求双曲线5T=l(a>0,b>0)的渐近线的方法是令*0,即得两渐近线方

程

(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线，一g=l(a>0,方>0)中，离心率e与双曲

h

线的渐近线的斜率仁土字满足关系式e2=l+收

题型012021-2025年高考+春考真题

22

【典例1-1].(2025•上海)已知双曲线三•-上[7=1(a>0)的左、右焦点分别为乃、F2.通过尸2且倾

ab-a

斜角为子的直线与双曲线交于第一象限的点4延长AF2至B使得乃.若AB乃放的面积为3a，

则a的值为—愿

【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案.

22

【解析】解：已知0-上丁=1，

ab-a

则廿=6-〃2>o,

解得，

又。^^=后

则，F2(V6,0)，

设B(XB,中)，

又ABBE的面积为3旄，

则S/kBF：1蒋，|yBl'1?^2|=76|yBl=3V6>

解得yB=-3,

由题意可得直线AB的斜率ta6班，

则方程为，

将中=-3代入上式，

则-3二五(XB-V6)，

解得xB=V6-V3，

22

由题意可得|AFi|-|AF2|=|AB|-|AF2|=|BF2|=7(V6-V3-V6)+(-3-0)=2A/3，

易知a=V3.

故答案为：Vs-

【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题.

【典例1-2].(2024•上海)已知抛物线/=4x上有一点尸到准线的距离为9,那么P到x轴的距离为_小历

【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解.

【解析】解：设P坐标为（xo,yo）,

P到准线的距离为9,即xo+l=9,解得xo=8,代入抛物线方程，可得，

故尸至【Jx轴的距离为472.

故答案为：4^2•

【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

【典例1-3].（2024•上海）直线x-y+l=0的倾斜角大小为45。.

【分析】求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得倾斜角的大小.

【解析】解：由直线x-y+l=0变形得：>=尤+1,

设直线的倾斜角为a,即tana=l,

因为ad[0,180°）,

所以a=45°.

故答案为：45°.

【点评】本题考查了直线的倾斜角的求法，以及特殊角的三角函数值.熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系

是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围，属基础题.

【典例1-4】.（2024•上海）三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点

的双曲线的离心率为3.

【分析】利用双曲线的定义、离心率的计算公式即可得出结论.

【解析】解：由双曲线的定义，2c=6,2a=2,

解得c=3,a=\,

.-.e=—=3.

a

故答案为：3.

【点评】本题考查了双曲线的定义、离心率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

【典例1-5].（2023•上海）已知圆f+y2-4x-m=0的面积为兀，则m=-3.

【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可.

【解析】解：圆/+9-4x-。化为标准方程为：（x-2）?+;/=4+机，

..,圆的面积为兀，.•.圆的半径为1,

.,.4+m=L

.*.m=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题.

【典例1-6].（2023•上海）已知圆C的一般方程为f+2了+廿=0,则圆C的半径为1.

【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径.

【解析】解：根据圆C的一般方程为W+2x+/=0,可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2=l,

故圆C的圆心为（-1,0）,半径为1,

故答案为：1.

【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题.

2

【典例1-7].（2022•上海）已知PiCxi,yi）,P2（X2,"）两点均在双曲线「^—-^=1（«>0）的右

a

支上，若xix2>yiy2恒成立，则实数〃的取值范围为:1,+8）.

【分析】取尸2的对称点（X2,-"），结合xix2>yiy2,可得op；♦op；>0,然后可得渐近线夹角N

MON490。,代入渐近线斜率计算即可求得.

【解析】解：设尸2的对称点尸3（X2,-"）仍在双曲线右支，由XLX2>yiy2,

得x\x2-yiy2>0,即op；•op；>0恒成立，

:.NP1OP3恒为锐角,即NMONS90。,

其中一条渐近线尸2X的斜率工揖,

aa

a>\,

所以实数。的取值范围为口，+8）.

【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题.

2

【典例1-8].（2022•上海）双曲线3_-/=1的实轴长为6

9

【分析】根据双曲线的性质可得〃=3,实轴长为2〃=6.

2

【解析】解：由双曲线工一-/=1,可知：。=3,

9

所以双曲线的实轴长2a=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查双曲线的性质，是基础题.

【典例1-9].（2021•上海）直线x=-2与直线«x-y+l=0的夹角为—

6

【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角.

【解析】解：•.•直线x=-2的斜率不存在，倾斜角为

2

直线J§x-y+l=0的斜率为«，倾斜角为《，

故直线x=-2与直线我x-y+l=o的夹角为?，

236

故答案为：—.

6

【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题.

【典例1.10】.（2021•