2025年上海高考数学二轮复习大题模拟卷02（题型必刷ABC三组）原卷版+解析

大题仿真卷02（A组+B组+C组）

（模式：5道解答题满分：78分限时：70分钟）

舱--------------A组.巩固提升-----------*

一、解答题

1.设0A3c的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知/一=gsinC.

⑴求角B；

⑵若13ABe的面积为3vL求a.

2.如图，在三棱锥P—ABC中ACJLBC,平面R4C_L平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,尸分别

是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线/.

（1）求证：直线EF_L平面PAC；

⑵若直线/上存在一点。（与B都在AC的同侧），且直线尸。与直线跖所成的角为1,求平面依。与平面

AE尸所成的锐二面角的余弦值.

3.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，

记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

赔偿次数01234

单数800100603010

假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司

赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

⑴估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望同X］；

（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润

的数学期望估计值与（i）中研X］估计值的大小.

4.已知椭圆「；+y2=l的左、右焦点分别为耳鸟,A,2分别为r的上，下顶点，网为X）,0（々/2）是「上

不同于点A的两点.

⑴求I耳剧的值;

⑵记△尸片八心尸爪?的面积分别为邑，若5<邑，求4的取值范围；

⑶若直线AP与AQ的斜率之和为2,作AHLPQ,垂足为H,试问：点H是否在一个定圆上？若是，求出

该圆的方程；若不是，说明理由.

5.对于一个函数“元)和一个点加(。力)，令s(x)=(x—a)2+(〃x)—6)2,若可毛,〃/))是s(x)取到最小

值的点，则称尸是“在f(x)的"最近点”.

(1)对于/(%)=5(x>0)，求证：对于点〃(0,0),存在点尸，使得点P是M在〃尤)的"最近点”；

⑵对于〃力=1,"(1,。)，请判断是否存在一个点P,它是M在〃尤)的“最近点”，且直线MP与>=/(尤)在

点尸处的切线垂直；

⑶已知y=/(x)在定义域R上存在导函数r(x),且函数g(x)在定义域R上恒正,设点M(Tf⑺-g(t)),

+若对任意的fcR,存在点P同时是在的“最近点"，试判断f(x)的单调

性.

♦>-------------B组•能力强化----------<>

一、解答题

1.如图所示四棱锥尸一ABCD,其中AB=AD=AP="CB=CD=CP=2yf5,AC交BD于点、0.

⑴求证：AC±^PBD；

⑵若AC=5,PB=2及,点Q是线段尸C的中点，求直线8。与平面己4£>所成角的正弦值.

2.已知函数/(©=伫为奇函数.

1+e

(1)求。的值并直接写出/(x)的单调性(无需说明理由)；

(2)若存在实数"使得了(/一2。+/(2/-左)>0成立，求实数上的取值范围.

3.中国首个海外高铁项目一一雅万高铁全线长142.3千米，共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德

卡伯尔站4个车站.在运营期间，铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录，统计分析，得到下表(单位：

人)：

下车站上车站卡拉旺站帕达拉朗站德卡鲁尔站总计

哈利姆站5201540

卡拉旺站102030

帕达拉朗站3030

总计53065100

用频率代替概率，根据上表解决下列问题：

⑴在运营期间，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为随机变量X,求X

的分布列及其数学期望；

(2)已知A地处在哈利姆站与卡拉旺站之间，A地居民到哈利姆站乘车的概率为0.4,到卡拉旺站乘车的概率

为0.6(A地居民不可能在卡拉旺站下车).在高铁离开卡拉旺站时，求从哈利姆站上车的乘客来自A地的概

率与从卡拉旺站上车的乘客来自A地的概率的比值.

4.如图，已知口是中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，匕是以口的焦点不B为顶点的等轴双曲线，

点是一与一的一个交点，动点P在一的右支上且异于顶点.

⑴求「与「2的方程；

⑵若直线PF2的倾斜角是直线尸耳的倾斜角的2倍，求点尸的坐标；

⑶设直线PF\,P6的斜率分别为尤/，直线PK与口相交于点,直线PF?与r,相交于点C,D,\AFX\-\BFX\

=机，\CF2\-\DF2\=n,求证：1M：2=1且存在常数s使得m+〃=s加".

5.若函数〃x)在区间/上有定义，且Vxe/,则称/是〃x)的一个“封闭区间

(1)已知函数/(x)=x+sinx,区间/=[0,r](r>0)且/(x)的一个“封闭区间",求r的取值集合；

(2)已知函数g(x)=ln(x+l)+w尤)设集合P={x|g(x)=x}.

(i)求集合尸中元素的个数；

(ii)用匕-。表示区间口,可(。<6)的长度，设加为集合尸中的最大元素.证明：存在唯一长度为小的闭区

间D,使得。是g(x)的一个“封闭区间”.

c组•高分突破o

一、解答题

1.已知数列｛%｝满足Iog2%+1=l+log2。"，且4=2.

（1）求旬）的值;

⑵若数歹u｛%+一｝为严格增数列，其中力是常数，求2的取值范围.

an

2.如图，A5为圆O的直径，点斯在圆。上，AB//EF,矩形A3CD所在平面和圆。所在的平面互相垂直,

已知AS=2,EF=1.

⑴求证：平面ZMF_L平面CB尸；

⑵当4）的长为何值时，二面角C-EF-3的大小为60。？

3.某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择.为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球"

这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）

男生女生合计

同意7050120

不同意305080

合计100100200

（1）能否有95%的把握认为学生对"三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？

（2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择.

①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影

响.记事件A为"学生甲选择足球"，事件B为"甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求尸（B|A）,并判断事件A,

3是否独立，请说明理由.

②若该校所有学生每分钟跳绳个数X〜N085,169）.根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有

明显进步.假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预

估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数(结果四舍五入到整数).

22

参考公式和数据：力=7~其中〃=a+b+c+d,P(Z>3.841)«0.05.若

(〃+b)(c+d)(Q+c)(/?+d)'7

X〜NJ,"),P(|X-//|<o-)«0.6827,P(|X-//|<2cr)«0.9545,P(|X—“v3bb0,9973.

2222

4.如图1,已知椭圆「的方程为n=l(a>b>0)和椭圆r：d=l,其中48分别是椭圆「的左右

顶点.

⑴若A5恰好为椭圆r的两个焦点，椭圆「和椭圆©有相同的离心率，求椭圆「的方程；

22

⑵如图2,若椭圆「的方程为工+^=1.尸是椭圆7上一点，射线AP,3尸分别交椭圆「于M,N,连接

84

AN,BM(尸,“仆均在工轴上方).求证：斜率之积%，•%4为定值，求出这个定值；

⑶在(2)的条件下，若ANHBM,且两条平行线的斜率为左化>0),求正数％的值.

5.设函数y=f(x)的定义域为。，若存在实数左，使得对于任意xeD,都有〃x)〈鼠则称函数y=/(x)

有上界，实数上的最小值为函数y=〃x)的上确界；记集合〃“={/(尤”=/，在区间(0,+8)上是严格增

函数};

2

(1)求函数>=——-(2<x<6)的上确界；

x-l

32

(2)^/(^)=%-to+2xlnxeMx,求”的最大值；

⑶设函数y=一定义域为(。,+“)；若〃耳€河2,且y=〃力有上界，求证：〃“<。，且存在函数

y=〃"，它的上确界为o；

大题仿真卷02（A组+B组+C组）

（模式：5道解答题满分：78分限时：70分钟）

♦>------------A组.巩固提升----------♦>

一、解答题

1.设AABC的内角A,B,C所对的边分别为mb,c,已知6+〃-^uG^cosBuGsinC.

⑴求角B；

⑵若“BC的面积为36，求a.

【答案】（1）8=9

O

（2）6.

【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解；

（2）由（1）得b=c,由三角形面积求得Z?c=12,再由余弦定理即可求得

【解析】（1）因为a?一。？=6〃人，

所以由余弦定理得cosC=—1=雪=孝'故smC〈，

所以85区=6$m。=^^,又BE（。,兀），

2

所以5=g

o

（2）由（1）知cosC=且，又。仁（0,兀），所以C=g

2o

TT,2兀

所以C=5=z，所以〃=c,A=—

63

因为鼠4BC=；°csinA=3/，所以儿=12，所以b=c=2g,

所以由余弦定理得/=廿+，-26。854=12+12-2*120）$——=36,所以。=6.

3

2.如图，在三棱锥尸-ABC中AC_L3C,平面P4C_L平面A5C,PA=PC=AC=2,BC=4,E,尸分别

是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线/.

p

(1)求证：直线EF_L平面PAC；

TT

(2)若直线/上存在一点Q(与B都在AC的同侧)，且直线PQ与直线E尸所成的角为求平面尸8。与平面

4

AE尸所成的锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵与

【分析】(1)根据面面垂直可证线面垂直，再结合中位线可得证；

(2)根据线线平行可证线面平行，进而可证直线〃/BC,建立空间直角坐标系，可设。，结合异面直线夹

角可解得点Q，再根据向量法可得平面的法向量，进而可得二面角余弦值.

【解析】(1)vBCLAC,平面PAC_L平面ABC,平面PACA平面ABC=AC，，BC_L平面PAC,

又/分别是PC,PB的中点，

EFHBC,

.•.EF_L平面尸AC；

vBCLAC,平面PACJL平面ABC

.•・以C为坐标原点，C4所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，过C垂直于平面A3C的直线为Z轴，建立

空间直角坐标系,

则点P在平面xOz内,

即4(2,0,0),3(0,4,0),P(1,O,73),E1,0,心2,

_(3出、

则丽=(0,4,0),丽=(0,2,0),AE=--,0,^-

122)

而EF//BC,平面AEF,EFu平面AEF,

BC〃平面AEF,

又平面AEF与平面ABC的交线为直线I,

设而=2万=(0,4九0)(220),

则点坐标为（）用（一石），（）（2|2|=72

Q2,40,=14B2=2,-2,0:.\cosPQ,EF^=解得2=2,

2"+外2

则Q点坐标为（2,2,0）,Pg=（l,2,-73）,BQ={2-2,0）

设平面尸8。的法向量访=(%0，%,20),

即卜£=°，即卜。+2%一心。=。

取毛=1,可得为=(1,1,6卜

n-BQ=02x0—2yo=0

设平面AEF法向量为需=a，X，zJ,

--X+^-z=0/\

m-AE=0r

则一，即<212।,取玉=1,可得沆=0,0,6）；

m-EF=0

2%=0

.寺。sW，砌，焉卜当，

即平面PBQ与平面的所成的锐二面角的余弦值为撞.

5

3.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份,

记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表:

赔偿次数01234

单数800100603010

假设：一份保单的保费为04万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司

赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

(i)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E［X］；

(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利

润的数学期望估计值与(i)中司X］估计值的大小.

【答案】(1)《

(2)(i)0.122；(ii)答案见解析

【分析】(1)根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；

(2)(i)设？为赔付金额，则，可取0,0.8,1.624,3,用频率估计概率后可求♦的分布列及数学期望，从而

可求E[X]；

＜ii)先算出下一期保费的变化情况，结合(1)的结果可求E[y],从而即可比较大小得解.

【解析】(1)设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得：

八60+30+101

P(A)=----------------------=——.

')800+100+60+30+1010

(2)(i)设？为赔付金额，则可取0,0.8,1.624,3,由题设中的统计数据可得：*?=())=黑=[,

100_160_3

“7=0.8)=?(7=1.6)=

1000-101000-50

3010_1

尸(7=2.4)=—,尸(7=3)=-

1000100,)wooToo

4133]

故石(？)=0x—+0.8x——+1.6x——+2.4x——+3x——=0.278,

v751050100100

故£[X]=0.4-0.278=0.122(万元).

(ii)由题设保费的变化为石[y]=0.4x：x0.96+0.4xgxl.2=0.4032,故E[X]<E[y].

4.已知椭圆一5+丁=1的左、右焦点分别为小工,分别为「的上，下顶点，？(%,%)©(%,%)是「上

不同于点A的两点.

⑴求出阊的值;

(2)记△尸月工,△PA8的面积分别为见邑，若岳＜邑，求』的取值范围;

⑶若直线AP与AQ的斜率之和为2,作人8，尸。，垂足为H,试问：点H是否在一个定圆上？若是，求出

该圆的方程；若不是，说明理由.

【答案】(1)2

(2)一"-qu

\7\7

(3)点H在圆卜+g]+y2=|

【分析】(1)根据椭圆方程求b,c,即可得闺&I；

(2)根据(1)可得/=|城$2=|讣由题意可得褚＜心结合椭圆方程列式求解；

(3)设直线尸。:、=履+mW1),联立方程，根据题意结合韦达定理可知直线P0过定点结合

垂直关系分析圆的方程，注意分类讨论直线尸。的斜率是否存在.

【解析】(1)由题意可知：a=41,b=1,c=a2-b1=1，且焦点在x轴上,

可知耳(-1,0)E(1,0),A(0,l),B(0,-l),

所以国司=2c=2.

（2）由（1）可知：品=：忻用.血=血，邑斗H=M，

若岳＜52，即闻＜|对,可得y；＜x；,

又因为POi，yD在椭圆「工+y2=i上，则手+才=1,即4=1』,

222

可得解得%＞，或&＜一半，

且无］€卜血,血），可得-豆＜玉＜一2^或2^＜玉＜④，

所以七的取值范围为

（3）若直线尸。的斜率存在，设直线尸Q:y=H+m（相wl）,

+1卜2+4kmx+2m2—2—0

2m2-2

2k2+1

因为直线AP与AQ的斜率之和为2,

则„,,小七,广y七,-1+七y0-1=k七x.+「m-l+」kx^^+m-1=-2,

整理可得（2左一2）平,+（加—。（西+X,）=0,则一人2）（2"2）_4历〃（〃-1）=0,

2k1+12^2+1

且"2H1,即〃7-1/0,可得（左+—切7=0,整理可得〃2=4-1,

此时直线2。:丁=依+左一1=%（》+1）-1过定点加（-1,-1）;

若直线PQ的斜率不存在，则尸（生另）,。（公-乂），

因为直线针与4。的斜率之和为2,

则^AP+。=—+—="-=2,即玉=-1,

王玉为

此时直线PQ-x=-l也过定点M(-1,-1)；

综上所述：直线尸。过定点”(-1,-1),

又因为AHLPQ,则点H在以4〃为直径的圆上，

且AM的中点为且=日，

可知以4〃为直径的圆的方程为(x+g：+y2=%

所以点H在圆+上.

【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略

(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在.

(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；

②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况.

5.对于一个函数了⑺和一个点,令s(x)=(x-a)2+(〃x)-b)2,若尸是s(x)取到最小

值的点，则称P是“在〃x)的“最近点

⑴对于/(尤)=$尤>0),求证：对于点河(0,0),存在点尸，使得点尸是M在〃x)的“最近点”；

⑵对于，(x)=e',"(L0),请判断是否存在一个点尸，它是M在〃%)的“最近点”，且直线与y=/(x)在

点尸处的切线垂直；

⑶已知y=/(x)在定义域R上存在导函数((x),且函数g(x)在定义域R上恒正，设点

陷。一1J⑴-g⑺)，“2卜+1J⑺+g⑺).若对任意的feR,存在点尸同时是陷,AG在〃尤)的“最近点”,

试判断的单调性.

【答案】(1)证明见解析

⑵存在，尸(0,1)

(3)严格单调递减

【分析】(1)代入M(0,0),利用基本不等式即可；

(2)由题得s(x)=(x-l)2+e2)利用导函数得到其最小值，则得到P,再证明直线MP与切线垂直即可；

(3)根据题意得到s；(%)=s；(尤。)=0,对两等式化简得/伉)=-七，再利用“最近点”的定义得到不等

式组，即可证明无。=乙最后得到函数单调性.

【解析】(1)当"(0,0)时，5(x)=(x-0)2+Q-oj=%2+^>X2—=2,

当且仅当无2=4即X=1时取等号，

故对于点M(0,0),存在点尸(1,1),使得该点是“(0,0)在“X)的“最近点”.

(2)由题设可得s(x)=(x-1)?+⑹一07=(x-1)?+e2*,

则s'(x)=2(x-l)+2e2x,因为、=2(彳—1)»=262，均为口上单调递增函数，

则s'(无)=2(无-1)+26在R上为严格增函数，

而s'(0)=0,故当无<0时，s'(x)<0,当尤>0时，s'(x)>0,

故S(x)min=s(0)=2，此时P(。」)，

而/'(x)=ef=/<o)=l,故/(无)在点尸处的切线方程为y=x+l.

而改心=汜=一1，故kMP.k=-l,故直线与y=f(尤)在点尸处的切线垂直.

(3)设1(x)=(x-f+if+(/⑺-/⑺+g⑺尸，

$2(x)=(XT-1)2+(“X)-/⑺-g⑺)2,

而s；(x)=2(xT+1)+2(/(X)-/⑺+g⑺)1(x),

Sj(x)=2(x-Z-1)+2(/(%)-/(/)-g(Z))/f(x),

若对任意的feR,存在点P同时是阳,在〃x)的“最近点”，

设尸(%,%),则/既是S](x)的最小值点，也是$2(尤)的最小值点，

因为两函数的定义域均为R，则%也是两函数的极小值点，

则存在尤0，使得S；(%)=S2'(%)=。,

即S：(%)=2(尤0-f+1)+2-(％)[/(x0)-/(0+g(r)]=0①

s；(飞)=2(/T-1)+2尸(%)[〃飞)-/«)-g«)]=0②

由①②相等得4+4g(t).尸®)=0,即1+L«)=0,

即((%)=一工，又因为函数g。)在定义域R上恒正，

g(f)

则f'(xo)=---1<。恒成立，

接下来证明》=「，

因为％既是S1(X)的最小值点，也是S2(X)的最小值点，

则S](%)<s(t),s2(x0)<s(t),

(x0-?-l)+(/(x0)-/(Z)-g(f)jWl+(g(O),④

③+④得2(『)2+2+2[〃/)-/⑺]2+2g2⑺42+2g2«)

即(%t)2+(/(%)—/⑻2WO,因为国一)2NO,⑺丫NO

叫[⑷xQT-t=⑺O3解得『，

则/(。=一吃<0恒成立，因为》的任意性，则/■(》)严格单调递减.

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到:(%)=-一置，再利用最值点

定义得到x0=f即可.

O----------------B组•能力强化----------♦>

一、解答题

1.如图所示四棱锥P-ABCD,其中=AD=A尸=石，CB=CD=CP=245,AC交BD于点。.

⑴求证：47_1平面「8。；

(2)若AC=5,尸2=2&,点。是线段尸C的中点，求直线BQ与平面PLD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)|.

【分析】(1)根据线面垂直的判定定理来证得AC，平面P5O.

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线8。与平面上4。所成角的正弦值.

【解析】(1)因为=CB=CD,

所以4。均在8。的垂直平分线上，所以AC，3DBO=OD,

图为AB=",BC=PC,AC=AC,

所以AABC三APC,

图为BO_LAC,所以PO_LAC,

又囹为AC，BD,POcBD=O,POu平面PBD,BDu平面PBD,

所以AC_L平面P5D,

(2)因为ACu平面尸AC,所以平面PAC_L平面PfiD.

由(1)可知OBLOC,

以。为原点，OB,OC所在直线分别为龙，》轴，

过点。垂直于底面08C的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

因为A8=2,3C=4,AC=2^,

所以+=AC2,所以NA3C=90。，

从而由等面积法，可知2。=义=生5,由勾股定理，可知AO=」4一3=空,

2>/55V55

由(1)可知30=0£>=0尸，所以。。=。尸=述，

5

由(1)可知尸OLAC,BOLAC,

而平面ABCfl平面APC=AC,03u平面ABC,OPu平面APC,

冗

且二面角P-AC-B为T27r，所以NP0B=72，

所以尸。与z轴所在直线的夹角为m，所以P-T-,0,-2，

6I55)

因为8殍，°，°，A°，一雪，°一竽,0,0,

设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),

2下2指2^/15

PA-n=-----x--------y-------z=0

555

则

五*"z=0

55

令z=—1,解得x=6，y=26,

所以平面上4。的法向量为力=("2指,-11

设直线网与平面Bm所成角为

।一।8岳

则sin6=|cos（n,=「।]=---,——=—,

1'Z,同•同4义手2，

所以直线依与平面BID所成角的正弦值为g.

2.已知函数/。）=伫三为奇函数.

1+e

（1）求。的值并直接写出/（x）的单调性（无需说明理由）；

（2）若存在实数上使得/d-24+/（2»一人）>0成立，求实数上的取值范围.

【答案】（1）。=1，单调递减

（2）[-8]

【分析】（1）根据奇函数的含义可求得。的值，根据函数单调性的定义法可求得单调性；

（2）根据单调性以及奇函数性质可得了（/-24>/9-2/），从而得到不等式，求解即可.

【解析】（1）因为函数/（x）=E为奇函数，定义域为R,则/（。）=0,

1+e

所以〃0）=^^=0,即0=1,

此时〃x）=R,满足〃T）=£：=£=T（X）,即/（X）为奇函数,

x

1—P7

f（x}=----=-1+-----,定义域为R,对VX，/£R，且石<%2,

l+exl+ex

2?2於—8）

贝/（%2）=------------=7一-~\7---\，

'"I2/i+9i+e热（1+炉）（1+廿）

因为再<龙2，所以e也-e*>0,l+e%,>0,l+e'2>0,

所以/（%）-/（々）>0,即函数/（%）在R上单调递减；

（2）由/（"2f）+/（2产―左）>0,贝厅（产一2。>一/（2户一人），

又因为“X）为奇函数，所以/（产12fAi/（2产_左户/「-2产）,

又因为函数/'（X）在R上单调递减，

所以产-2/</一2产,因为存在实数"使得3/-20％<0,

所以八=4+12左>0,解得%

所以女的取值范围为[-；，+8）.

3.中国首个海外高铁项目——雅万高铁全线长142.3千米，共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德

卡伯尔站4个车站.在运营期间，铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录，统计分析，得到下表（单位:

人）：

下车站上车站卡拉旺站帕达拉朗站德卡鲁尔站总计

哈利姆站5201540

卡拉旺站102030

帕达拉朗站3030

总计53065100

用频率代替概率，根据上表解决下列问题：

（1）在运营期间，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为随机变量X,求X

的分布列及其数学期望；

（2）已知A地处在哈利姆站与卡拉旺站之间，A地居民到哈利姆站乘车的概率为0.4,到卡拉旺站乘车的概率

为。6（A地居民不可能在卡拉旺站下车）.在高铁离开卡拉旺站时，求从哈利姆站上车的乘客来自A地的概

率与从卡拉旺站上车的乘客来自A地的概率的比值.

【答案】（1）分布列见解析，E（X）=2.

吗

【分析】（1）首先求出样本中从卡拉旺站上车的乘客到德卡鲁尔站下车的概率，即可得到*~8（3?）,根

据二项分布的概率公式求出分布列，再计算其期望即可;

（2）记事件A：该乘客来自A地；记事件与：该乘客在哈利姆站上车；记事件纥：该乘客在卡拉旺站上

车，依题意得到P（4）,P（Bj,P（4|A）,P（BJA）,再由概率乘法公式得到，从而得到.

【解析】（1）从卡拉旺站上车的乘客到德卡鲁尔站下车的概率尸=令20=]2,

•••根据频率估计概率，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，

则这3人到德卡鲁尔站下车的人数即X的可能取值为0,1,2,3,

所以，（x=°）=c01*2

4,

P(X=3)=C；

所以X的分布列如下:

X0123

(2)由表中数据可知，在高铁离开卡拉旺站时，在哈利姆站上车的有35人，在卡拉旺站上车的有30人.

记事件A：该乘客来自A地；记事件瓦：该乘客在哈利姆站上车；记事件2：该乘客在卡拉旺站上车；

.・)(团=»尸⑻=||，(即

=［，A)=04P(B2\A)=0.6,

从哈利姆站上车的乘客中是来自A地的概率为尸(Al耳)，从卡拉旺站上车的乘客中是来自A地的概率为

尸⑷与),

•••尸(4闺尸(A)=尸(刊4)尸(4),P(B2\A)P(A)=P(^2)P(B2),

4X

P（A|B,）P（B1|A）P（B2）013；；4

尸⑷鸟厂尸（BM）P（BJ-06xZ一亍

-13

4

二在高铁离开卡拉旺站时，所求概率的比值为亍

4.如图，已知口是中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，一是以口的焦点为顶点的等轴双曲线,

点是口与口的一个交点，动点P在口的右支上且异于顶点.

⑴求心与匕的方程;

(2)若直线P8的倾斜角是直线P片的倾斜角的2倍，求点P的坐标;

(3)设直线PF\,PF?的斜率分别为此,直线PFX与ri相交于点A,凡直线PF2与一相交于点C,D,\AF{\-\BFX\

=m,\CF2\-\DF2\=n,求证：上的=1且存在常数$使得根+”=s加".

22

【答案】⑴土+乙=1与f-产=1

54

（2）（2,我

⑶证明见解析

22

【分析】(1)设「、12的方程分别为3+2=1(〃>匕>0)与--丁=c2(c>0),将点M的坐标代入「2的方

ab

程可求出C,利用椭圆的定义可求出a的值，从而可得6,进而可得「、12的方程；

(2)分点P在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点尸的坐标；

,1

(3)利用两点的斜率公式及点p在「2上即可证明与=7，设P耳的方程为y=A(x+D,与椭圆方程联立，

可得根与系数的关系，从而可表示人〃，化简工+工为常数，即可得出答案.

mn

22

【解析】⑴设「1、12的方程分别为多=l(a>>>0)与♦一/=於9>0),

ab

由m：一,得c=i,故小乃的坐标分别为(T。)。,。)，

22

所以2Q=|*|+|M闻=:有+-|75=2A/5故a=®b=da-c=2,

22

故和与「2的方程分别为土+L=1与炉->2=1.

54

(2)当点尸在第四象限时，直线尸片,尸工的倾斜角都为钝角，不适合题意；

当P在第一象限时，由直线PF2的倾斜角是直线PK的倾斜角的2倍,

可知/工4尸=/工尸耳，故|丑剧=|耳引=2,

设尸点坐标为(羽y),可知。一I)?+V=4且/一y=>0,y>0),

解得尤=2,y=6,故点P的坐标为(2,6),

⑶设直线尸£,尸尸2的斜率分别为匕，&，点、P,A,B的坐标分别为小,%),(西,乂),仁,%)，

姬_婕-1

则k-%2=l，桃2="7%

%+1%-1•V-1-1

尸6的方程为y=Mx+i),

代入反=1可得（4+542）y2—8外一16左2=0,

54

-16〃

故X%

4+5F

16（片+1）

所以机=|A/讣忸凰=1+5苗为仁

4+5k；

,116（1+"）

同理可得〃,又“2=不，故〃

%4婷+5

y1IL4+5婷।4奸+5=9（片+1）=9

以mn~16（k；+l）16（将+1）=16（。+1）=4'

9

即加+〃=一mn,所以存在%使得加+〃=wm.

16

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

5.若函数在区间/上有定义，且Vxe/,/（x）e/,则称/是的一个“封闭区间

⑴已知函数〃x）=x+sinx,区间/=[0/]（r＞0）且的一个，封闭区间”，求厂的取值集合；

3

⑵已知函数8（%）=111（苫+1）+13,设集合尸川了忖⑺二耳.

（i）求集合尸中元素的个数；

（ii）用》-。表示区间[。力]（。＜6）的长度，设机为集合户中的最大元素.证明：存在唯一长度为优的闭区

间D,使得。是g（x）的一个“封闭区间”.

【答案】⑴[（2＞1）兀,2如信eN*）

⑵（i）2；（ii）证明见解析

【分析】（1）根据“封闭区间”的定义，对函数/（x）=x+sinx求导并求出其值域解不等式可得「的取值集合；

（2）（i）对力（切=111。+1）+:丁-苫。＞-1）求导得出函数八⑺的单调性，利用零点存在定理即可求得集合

P中元素的个数为2个；

（ii）根据区间长度的定义，对参数。进行分类讨论得出g（x）的所有可能的“封闭区间”即可得出证明.

【解析】（1）由题意，Vxe[0,r],/（x）e[0,r],

；r（X）=1+cosx之0恒成立，所以/（x）在[0,“上单调递增,

可得/(x)的值域为［0,r+sinr］,

因此只需［0,r+sinr|=［0,F|,

即可得r+sinr4r,BPsinr<0(r>0),

则r的取值集合为［(2左—1)兀,2E］依€e).

3

(2)(i)t己函数/z(x)=g(x)-尤=111(尤+1)+^/一龙(》>-1),

1o4+9x2(x+l)-4(x+l)9x2(x+1)—4xx（3x+4）（3x-l）

贝——+-x2-i=4（x+l）（）

v7x+l44(x+l)4(元+1)

11

由〃（％）＞0得一1＜九＜0或%＞§；由〃（元）＜0得0＜工＜3；

所以函数用力在(-1,0)和上单调递增，在上单调递减.

其中可0)=0,因此当xe(-l,0)u]。,j时，h(x)<0,不存在零点；

由网力在/j单调递减，易知<〃⑼=0,而Ml)=ln2-;>0,

由零点存在定理可知存在唯一的尤o使得/1(%)=0；

当尤€。,+°°)时，/z(x)>0,不存在零点.

综上所述，函数/z(x)有0和与两个零点，即集合尸中元素的个数为2.

(ii)由⑴得力=%,假设长度为旭的闭区间是g(x)的一个“封闭区间”,

则对Vxe[a,a+i],g(x)e[a,a+x0],

当-1<。<0时，由⑴得力(x)在(-1,。)单调递增，

/z(a)=g(a)-a</i(0)=0,即g(a)<a,不满足要求；

当a>0时，由⑴得在(如+00)单调递增，

/z(a+Xo)=g(a+5)-(a+M)>〃(Xo)=O,

即g(a+飞)>a+飞,也不满足要求；

当a=0时，闭区间£>=[0,5],而g(x)显然在(-1,e)单调递增，

，g(O)Wg(x)Wg(M)，

由(i)可得g(0)=/i(0)+0=0,g(%)=+,

.,.g(x)e[0,%]=。，满足要求.

综上，存在唯一的长度为旭的闭区间。=[0,机],使得。是g(x)的一个“封闭区间

【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“封闭区间''的定义，结合导函数判断出各函数的单调性和对应的单

调区间，再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论.

g----------------C组•高分突破-----------♦>

一、解答题

1.已知数列｛%｝满足Iog2%+1=l+log2。.，且％=2.

(1)求％0的值；

A,

⑵若数歹网r4+一｝为严格增数列，其中九是常数，求力的取值范围.

【答案】⑴/。=1024

(2)/1<8

【分析】(1)根据对数运算性质可得%+1=2%,即可判断｛4