2025年新高考数学模拟试卷及答案详解

2025年高三年级高考模拟

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂

黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答

案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={-7i,-e,O,l,e,7i},B=-x-6＜o|,则A8=()

A.{0,1,e}B.{-e,0,l}C.{-e,0,l,e}D.{0,l,e,7i}

2.已知向量〃z=(2,—1),n=(-1,3),贝")=()

A.8B.10C.12D.16

3.已知z是方程3f+2x+l=0的一个复数根，贝U|z|=()

4.已知3上夕=3利＞1,则x+2y的最小值是(

C.4A/2

5.现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两

根筷子都是红色的概率为()

A.-B.-C.—D.—

591317

6.在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况.设斜坡

2

的倾斜角度为60＜。＜彳，经测算分析，发现tanetan26=：,若该斜坡的摩擦系数为

7.小王到某公司面试，一共要回答3道题，每道题答对得2分，答错倒扣1分，设他每道题

答对的概率均为且每道题答对与否相互独立，记小王答完3道题的总得分为X,

则当双X）+D（X）取得最大值时，P=（）

A,-B.-C.-D.-

4334

8.在锐角三角形PMN中，MN=2,PQLMN,垂足为Q,2QM-QN=MN2-PQ2,则点

P的轨迹为（）

A.长轴长为2,离心率为|■的椭圆的一部分

B.长轴长为2点，离心率为1的椭圆的一部分

C.实轴长为2,离心率为6的双曲线的一部分

D.实轴长为2夜，离心率为手的双曲线的一部分

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错

的得0分.

9.已知数列｛%｝的通项公式为%+优），若｛外,_｝为递减数列，｛%“｝为递增数列，

则r的可能取值为（）

A.-6B.-4C.-2D.3

10.已知点后,）3（天,为）均在抛物线C：y2=2px（p>0）±,尸是C的焦点，则下列

说法正确的是（）

A.p=2B.直线A///>轴

C.若%<-1,则|不卜忸尸ID.若

11.已知函数〃x）=sinxcos（x+0）,。为常数，则下列说法正确的有（）

A.“X）的最小正周期为兀

JT「311

B.当°时，的值域为-1工

6Loo.

C.在一"^一券+Eq—券+®9左eZ上单调递增

D.若对于任意的。，函数>=〃（。为常数）的图象均与曲线y=|/（x）|总有公共点，则

试卷第2页，共4页

ae0,—

_2_

三、填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分.

12.现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的

底面直径与母线长的比值为.

13.已知函数“X),g(x)的定义域均为R,其中是奇函数，g(x)是偶函数，且

/(x)+g(x)=or2-x-2,若对于任意1<网<%<6,都有8(%)一8(1>_2,则实数0的

王~X2

取值范围是.

14.已知三个正数小公4构成公比为q(q>l)的等比数列，圆G：(x-?;)2+y2=<(/=l,2,3),

过圆G上一点P分别作圆G，G的切线，切点分别为Q,R,若考■=¥，则4=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.下表是2020—2024年中国出生人口数y(单位：十万人)的数据：

年份20202021202220232024

年份代码X12345

出生人口数w十万人120106969095

(1)求2020—2024年中国每年出生人口数的平均数；

(2)某研究人员建立了y关于尤的回归模型夕=120-6》，用该回归模型预测从哪一年开始中

国出生人口数将低于700万；

(3)求(2)中回归模型的决定系数尺2,并评价其拟合效果.(如果0.854^41,就认为拟合

效果好，如果0.7<0.85,就认为拟合效果一般，如果炉<。7,就认为拟合效果差)

2

Z(X--X)5

附：丈=1一禺--------，E(y,-y)F567.

S(x-y)2T

Z=1

16.如图，在VABC中，AB=5,AC=3,点。,E是BC边上的两点，点。在民E之间，

ZBAD=ZCAE.

A

B

D

A.D,CE,,/士

⑴求益砺的值;

An

Q)若BC=7,ABYAE,求不；的值.

DE

17.如图，四棱锥P-ABCD的所有顶点均在同一个球的球面上，且AB=A£)=4,BC1CD,

(1)证明：平面尸AB_L平面A5C。；

⑵求四棱锥尸-ASCD体积的最大值;

(3)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求直线尸C与平面P3D所成角的正弦值.

18.已知匕eR,函数/(3)=彳-依%*+6.

⑴若a=l,b=-l,求曲线y=在点(-2,/■(-2))处的切线方程;

(2)若a>0,g(x)=/'(x),求g(x)的单调区间;

⑶若对任意6eR,〃x)至多有2个零点，求a的取值范围.

22

19.已知椭圆C：：+g=l(a>6>0)经过点

(1)求C的离心率.

(2)设A,B分别为C的左、右顶点，P,。为C上异于A,B的两动点，且直线8Q的斜率恒

为直线AP的斜率的5倍.

①当b的值确定时，证明：直线PQ过x轴上的定点；

②按下面方法构造数列帆｝：当八年时，直线PQ过的定点为河(口,0),且4=2,设

1

-1"证明：4+d2T---卜<1.

3

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】解不等式，得到8={引-2<*<3},根据交集概念求出交集.

【详解】由题意可得3={尤卜2<尤<3},集合A中的元素中，属于8的有0,1,e.

故AB={0,l,e}.

故选：A

2.B

【分析】由平面向量线性运算与数量积的坐标表示，可得答案.

【详解】由题意可得加一〃=（3,-4）,故加・（m-〃）=2x3+（—l）x（-4）=10.

故选：B.

3.B

【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可.

【详解】由题，因为A=4—4x3=—8v0,所以z和N是方程3炉+2x+l=0的两个根，

所以Z.彳=%即，=；,所以忖=1.

故选：B.

4.D

【分析】先由已知等式化简得到x+2y=孙，且x>0,y>0,利用基本不等式将其化成关于

尤+2》的不等式（尤+2y）（x+2y-8）20,解之即得.

【详解】由3口9>=3V>1可得3*+2>=39>1,即x+2y=肛>0,故x>0,y>0,

由2（x+2y）=x-2y4（x[2y）2,可得（彳+2〉）（》+2〉一8）20,

当且仅当无=2y时取等号，即当x=4,y=2时，x+2y取得最小值为8.

故选：D.

5.D

【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】设事件M为“两根筷子都是红色的”，则尸（M）=g=±.

设事件N为“取到的筷子中有红色的"，贝i]P（N）=l-与=].

答案第1页，共13页

所求即为尸(“河)=^^P(M)1

P(N)-17,

故选：D

6.B

2

【分析】根据正切的二倍角公式由tan6tan28=§求出tan。的值，再将所求式子

—利用三角函数的二倍角公式及同角三角函数的基本关系转化为关于tan。的

sin26+cos2。

式子，最后代入tan。的值进行计算.

【详解】已知tan6tan26=2,则豆里里=2,

3l-tan*3

BP6tan*2634(=2-2tan26»,解得tai?*；,

4

TT1

因为0<9<一,故tan9=—，

22

3

2222

的,,_1___+__s_in__0__________2_s_i_n___+__c_o_s__0_____—____2_t_a_n__3_+__1___—_9±L——6

sin20+cos202sin0cos6+cos2-sin22tan^+l-tan2077

4

故选：B.

7.C

【分析】设答对题的个数为y,由条件可得y〜3(3,p),结合二项分布期望公式和方差公式

求E(y),D(y),根据关系X=3Y-3,结合期望性质和方差性质求矶X),D(x),由此

可得E(x)+D(x)的解析式，再根据二次函数性质求结论.

【详解】设答对题的个数为y,由已知可得y~s(3,p),

所以E(y)=3p,o(y)=3p(i-p),

因为每道题答对得2分，答错倒扣1分，X为小王答完3道题的总得分，

所以X=2F_(3_y)=3Y_3,

所以E(X)=3E(y)—3=9p-3,

£)(X)=9£>(y)=9x3p(l-p)=27p(l-p),

2

所以E(X)+D(X)=-2702+360-3=—271p—gI+9,又。<?<1,

答案第2页，共13页

7

所以当P=§时，E(X)+D(X)取最大值，最大值为9.

故选：C.

8.D

【分析】建立平面直角坐标系，设尸(x,y),则。(x,0),由三角形为锐角三角形得到xe(-M),

2

利用2QM-QV=加解一PQ2求出一v=1(-1<x<1),根据方程特征得到答案.

【详解】以MN所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，的中点为坐标原点，

建立平面直角坐标系，不妨令N(1,O),设尸(x,y),则Q(x,O),

因为是锐角三角形，所以

则|QM|=l+x,|例=1,|尸0小

由2QM,QN=MN2-PQ2,得2(l+x)(l—x)=4-J=2-2/=4-丁，

2

整理得5-/=1(-1<芯<1),其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为2应，

离心率为这£=如，

V22

故点P的轨迹为实轴长为2啦，离心率为手的双曲线的一部分.

故选：D

9.CD

【分析】分〃为正偶数、〃为正奇数两种情况，分别化简氏+2-%,利用增减性将问题转化

为恒成立问题，即可求出f的取值范围.

【详解】当〃为正偶数时，an=rr+tn,贝I]-%=4〃+4+2f,

因｛a2n｝为递增数列，则4“+4+2f>0对任意的正偶数n恒成立，

答案第3页，共13页

则4x2+4+2f>0,解得f〉-6,

2

当”为正奇数时，an=-n-tn,则见十？-4,=-4"-4-2f,

因｛/i｝为递减数列，则2二<0对任意的正奇数〃恒成立,

贝――2/<0,解得r>T,

所以/的取值范围是(T,+8)，故/的可能取值为-2,3.

故选：CD

10.BCD

【分析】将点代入抛物线方程，求P的值，判断A的真假；判断A,尸点坐标的特点，

判断B的真假；根据抛物线的焦半径公式，可判断CD的真假.

【详解】对于A.将j的坐标代入C：y2=2px(p>0),得0=1,故A错误.

对于B,由题可得尸g,。］,点A,尸的横坐标相同，所以直线AF〃y轴，故B正确.

对于C,因为点A,8均在C上，所以|A司=g+~|=l,\BF\=x0+^,要使|明<|明，只

需若为<-1,由于y；=2%,所以2%>1,x0>1,故C正确.

对于D,若闻<2%,因为加上。，所以呼<4/，故2%<4x；,解得尤0>1,故D正确.

故选：BCD

11.ACD

【分析】利用三角恒等变形化简得〃x)=:sin(2x+e)-gsinp,然后利用三角函数的性质

求解判定ABC；利用分类讨论方法，研究函数y=|/(尤)|的值域，进而得到实数。的取值范

围.

［详解］/(x)=sinxcos(%+°)=sinx(cosxcoscp-sinxsincp)=sinxcosxcos(p-sin2xsin(p

1.c1-cos2x.1.小\1.

=—sin2xcos(p-------------sin0=/sin(2x+0)一万sin0,

易得的最小正周期为手=兀，故A正确；

当夕=丁时，/尤)二sin(2尤+5-9，其值域为「一|_,1,故B错误;

OZOy4

兀71

——+2kli<2x+9WQ+2kli(kGZ),

答案第4页，共13页

故/（无）在-：琮+航（-导航/eZ）上单调递增,故C正确;

当sin（2%+0）>sincp时,

止匕时ye1o,g-gsin0；

当sin（2%+0）<sin（p时,

当sin（2x+0）=sin。时，y=0,

因函数y=4的图象均与曲线y=Y（x）|总有公共点,

I乙乙乙乙\

当一兀+2ATIW夕W2^/1（左£Z）时，------sin（p—I—sin（p,止匕时-----sin°2一；

222

当2kit<（p<2kit+7i时，一十—sin。〉----sin°,止匕时一十—sin。2一,

Mf11-11・1、1

^max^---sin«9,-+-sin«9^>-）

I乙乙乙乙I乙

综上所述，。€0,；,故D正确.

故选：ACD.

12.75-1

【分析】设该圆锥的底面半径为「，母线长为/,由圆锥与球的表面积公式计算求解即可.

【详解】设该圆锥的底面半径为「，母线长为/,则其表面积为无〃+无户，

球的表面积为=兀/，所以兀〃+兀/2=兀产,

即⑶+--1=0,解得L避二1（负值舍去），

故圆锥的底面直径与母线长的比值为彳=6-1.

故答案为：75-1

13•卜%+°0]

【分析】由题意有/（力=一》和g（x）=a?-2,又,㈤-＞（%）＞一2得

答案第5页，共13页

g(%2)+2%2＞屋石)+2%，令/z(x)=g(x)+2x=依2+2%-2,利用函数的单调性即可求解.

【详解】・・,/(可是奇函数，g(x)是偶函数，在/(力+4力=加一x—2中，

用一X去代换工,得/(一九)+g(-X)=办2+工一2=一/(%)+g(力,

2

f^x)=-x,g(x)=<xv-2,*.<1<^<x2<6,

...由4—〜⑷>_2,可得g(赴)+2%>g(xj+2玉,

令/z(x)=g(%)+2%=依之+2%-2,则/z(x)在(1,6)上单调递增.

若。＞0,则可无)的图象的对称轴为直线x=-：＜0,图象开口向上，符合题意；

若。＜0,则可”的图象的对称轴为直线x=-：＞0,图象开口向下，

则需一即-gva＜0；若。=0,贝U/?(x)=2x-2在(1,6)上单调递增，符合题意.

综上，a2——.

6

故答案为：一：-09].

14.3

PT?PC,-q23

【分析】根据相切和勾股定理可得=彳，即可利用三角换元求解.

PQ[PG12-14

2C3(/,0),

【详解】不妨设乙=1,r2=q,r3=q,三个圆心分别为G。，。)，Q(?,0),

222

根据勾股定理得山。「=|尸c『_i,|P/?|=|PC2|-(Z,

\PR\\PC\-q23/N

2「+,2=/上,

所以।-------(2=~\---p----二:，因为点尸在圆(工一4)

\PQ[|PG|-14I//

故可设点尸("2COS。+/,/sin。)，其中。片兀，

q2c°sO+/-q『+(^sinOy-q2=33

2q-1)(1+cos0)3q3

则即0n―7=7，

(q2cosd+q2-1)"+年sin。)--142/,2-1)(1+cos6)4，夕+14

解得4=3.

故答案为：3

答案第6页，共13页

15.(1)101.4

(2)2028年

⑶R2y0.76,这个模型的拟合效果一般

【分析】(1)利用平均数公式计算即可.

(2)回归模型5=120-6x预测中国出生人口数低于700万，即9<70.计算即可.

(3)计算决定系数我，由R2的取值范围评价拟合效果即可.

【详解】(1)9=1(120+106+96+90+95)=率=101.4.

(2)中国出生人口数低于700万，即》<70.

y-120-6%<70,解得：尤>],(xeZ),

当％=8时，y=120—6x8=72>70,

当x=9时，9=120—6x9=66v7。，

x=9对应2028年，即预测从2028年开始中国出生人口数将低于700万.

(3)当x=l,5^=120-6x1=114,%一%=(120-114)2=36,

2

当x=2,y=120-6x2=108,y2-y2=(106-108)=4,

2

当x=3,9=120-6x3=102,j；3-y3=(96-102)=36,

2

当x=4,9=120-6x4=96,y4-y4=(90-96)=36,

2

当x=5,9=120-6x5=90,y5-y5=(95-90)=25,

51,

Z(…)

所以R2=l一号--------

Z(x-y)2

Z=1

I36+4+36+36+25

«1----------------------------

答案第7页，共13页

1137

=1-------

567

430

567

0.76

因为Q7VR2<O.85,所以这个模型的拟合效果一般.

3

16.(1)-

\L)-------

21

【分析】(1)根据题意，利用三角形的面积公式，得到黑，求得岑=尝，进

)CAE。七3AECE

ADCF

而求得季的假

12兀71

(2)由余弦定理，求得cosZ.BAC=――,得到NBAC=,再由AB_LAE,求得/DAE=—,

利用余弦定理求得COSB=E，得到sinNAED=兽，结合坐=当学，即可求解.

1414DEsmZDAE

【详解】(1)解：因为/R4D=/01E,且AB=5,AC=3,

-AB-ADsinABAD.-.„

所以c趣----------------=些Dr，可得迦=也

S^CAE-AC-AEsinZCAECE3AECE

2

ADCE_3

^5ADCE^3BDAE,所以

AEBD~5

(2)解：因为AB=5,AC=3,BC=7,

侬+叱-叱52+32-721

所以cos/A4c

2ABAC

又因为®Ce(0,7t),所以/3AC=w，

因为所以/BAD=NCAE=M_'=m，所以=

3263

T7日斗cAB2+BC2-AC252+72-321313

又因为cosB=-----------------------=----------=一,所以sinZzAED=cosBD=一,

2ABBC2x5x71414

13

ADsinZAEDu1373

所以---=---------=-^-F=-=——

“人DEsinZDAE百21,

~2

17.(1)证明见解析

32

⑵了

答案第8页，共13页

⑶4

【分析】（1）由条件先证明AB_LAD，Pfi_LAD,根据线面垂直判定定理证明AD_L平面上钻,

根据面面垂直判定定理证明平面PAB_L平面ABCD.

（2）过点尸作户日_LAB,垂足为H,根据面面垂直性质定理证明PH_L平面ABC。，结合

锥体体积公式可得丫M:PXIS"O+SBS），再求尸”和△BCD的面积的最大值，由此可

得结论；

（3）建立空间直角坐标系，求直线PC的方向向量与平面PBO的法向量，再结合向量夹角

公式求结论.

【详解】（1）由题意知四边形存在外接圆，

ikZBAD+ZBCD=Tt,

TT

而BCLCD,即N3CO=—,

2

TT

所以ZBAD=-,故AB_LAT>,

2

由P3J_平面PAD,A£>u平面PAD,可得PB_LA£>,

而ABcPB=B,ABu平面FAB,P8u平面FAB,

故A£>_L平面E4B,

又因为"）u平面ABC。，故平面MB，平面ABCD.

（2）如图，过点P作也_LAB,垂足为H,

由（1）平面P4B_L平面A2CD,又平面PABc平面ABCD=AB,尸Hu平面

所以PH_L平面A3C3.

设四边形ABCD的面积为S,

则四棱锥尸—ABCD的体积丫=；刊/5=3///（5.0+588），

因为AB=A£>=4,AB±AD,所以&ABD=8,

因为PB_L平面上4£>,B4u平面PAD,

答案第9页，共13页

所以PB_LB4,则点P在以A8为直径的圆上，

AD

当=时，PH最大,最大值为不-=2.

因为3CLCD,所以点C在以BO为直径的圆上，且刖=办加+心=4后，

当3C=CD=4时，5徵8最大，最大值为8,此时底面A8C。是正方形.

132

所以四棱锥P-ABCD体积的最大值为匕1ax=]x2x16=?.

(3)以A为坐标原点，AB,所在直线分别为x,y轴，过点A且与平面ABCD垂直的直

线为z轴，

建立空间直角坐标系，如图.

由(2)可知3(4,0,0),D(0,4,0),尸(2,0,2),C(4,4,0),

所以尸3=（2,0,-2）,BD=（T,4,0）,PC=（2,4,-2）.

设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),

PB-n=2x-2z=0

贝lj一

BD•n=—4x+4y=0

取x=i,贝（Jy=i,z=i

所以〃=(1,1,1)为平面PBD的一个法向量,

设直线PC与平面尸所成的角为

H-PC\|2+4-2|也

则sine=5_=

同回|氐14+16+43

所以直线PC与平面P3D所成角的正弦值为正.

3

4

18.(1)>=无一一r-l

(2)单调递增区间为12-5/^,-2+,单调递减区间为卜00,-2-A/^)和卜2+A/2,+ooj

答案第10页，共13页

【分析】(1)根据导数的几何意义求切线方程.

(2)求导，利用导函数的符号求函数的单调区间.

(3)分。=0和。工0讨论.当awO时，问题转化为方程：=(2工+工2卜工只有1解，求。的取

值范围.

【详解】⑴若a=l,b=-\,则/(x)=x-xV-1,r(x)=l-(2x+x2)e\

/、4

所以尸(一2)=1,/(-2)=-3--7,

所以曲线y=/(x)在点(-2,"-2))处的切线方程为y=(x+2)-3-5，即y=-1.

(2)由题易知g(x)=r(x)=l-。(2%+/)1,所以g'(x)=-a(x?+4x+2)e”.

令g'(x)=0,得尤=-2土行，

当x<-2-后或x>-2+夜时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当-2-夜<x<—2+应时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

故g(x)的单调递增区间(-2-72,-2+72),单调递减区间为卜哈-2-⑹和

2+A/2,+<»j.

(3)若。=0,贝ij/(x)=x+b,/(x)仅有1个零点，符合题意.

若°片0,由〃x)至多有2个零点，可知〃x)至多有1个极值点，

则_f(x)=l-a(2x+/)e”至多有1个变号零点.

由_f(x)=0,可得：=(2x+x2)e\

设=(21+12)匕",贝ij//(%)=(炉+4%+2)e”,

可得g)在卜2-0,-2+⑹上单调递减，在卜8,-2-⑹和卜2+加,+8)上单调递增，

所以火力的极大值为〃卜2-夜卜极小值为从-2+后)=

且当xe(-co,-2)D(0,+⑹时,h(x)>0,当xe(-2,0)时，/i(x)<0,作出的大致图象

如下:

答案第11页，共13页

根据题意，直线y与可力的图象至多有1个交点（切点除外）,

匚12-2*\/2_p.12+2^/2（1+亚忖-①（&-1/2+点

所以Lk或Lk'解得一^-----[----4a<0或。-----------

22

综上，〃的取值范围是

22

以⑴¥

⑵①证明见解析；②证明见解析

2722

【分析】（1）根据题意，将点瓦V2V—26代入椭圆方程得bh勺=上1，进而求得离心率;

37a29

（2）①由题可知直线尸。的斜率不可能为0,设尸。的方程为x=9+，〃，与椭圆方程联立可得

k

根与系数关系，结合詈=5,解得加=26,进而得证；②根据题意，可得｛2｝是等比数列,