智能制造系统设计 课件 第2章 设计基础-底层建模逻辑

数学简介1/108计算政治学：‌运用数学形式和模型方法对政治现象进行定量、模型化分析研究的社会科学学科，2024年成为二级学科2/1082024诺贝尔物理学奖约翰·J·霍普菲尔德（JohnJ.Hopfield）和杰弗里·E·辛顿（GeoffreyE.Hinton），表彰他们在使用人工神经网络进行机器学习的基础性发现和发明。2024诺贝尔化学奖DavidBaker以表彰其在计算蛋白质设计方面的贡献，另一半则共同授予DemisHassabis和JohnM.Jumper，以表彰其在蛋白质结构预测方面的人工智能模型AlphaFold2（2020年），能够预测几乎所有已确定的蛋白质结构。图神经网络主要内容数学全貌；集合论

现代数学的共同基础；张量分析

现代数学的共同语言；泛函分析

网络距离的度量；群

论网络同构的度量；

现代数学的三大支柱拓扑学

网络结构的度量；分形理论

网络形状的度量；如果把一个人的科学成就比作一棵树，数学就是树根。树根的深浅决定了一个人成为参天大树还是灌木丛。4/1085/1081.数学全貌1.1数学树与数学史—了解数学全貌，形成概况；1.2数学的分类；1.3数学的定义；1.4数学的演化；1.5数学家职业—我们也可以学好数学微积分牛顿-拉布尼茨在1665年（康熙四年）创立：

1.1665之后的数学有哪些？见下页数学树

2.中国在干什么？《不得已》批判西洋历

康熙四年与现代中国的差距，

就是微积分与现代数学的差距

杨光先：宁可使中夏无好历法，不可使中夏有西洋人6/108牛顿《流数简论》手稿1665.5.20杨光先等人所著《不得已》1.1数学树与数学史—了解数学全貌，形成概况7/108基石:图论关键:场景变矩阵运行:运筹学模型:复杂网络计算:数值分析规律:统计出特征实质:量化人性人性:博弈+运筹+深度学习图论、概率学和线性代数构成了人工智能的三大数学基础逻辑古希腊时期集合论1870s数字系统古代分析17世纪几何公元前300年代数古代线性代数19世纪博弈论二战时期数值分析1940s实分析1900s复分析19世纪中期扭结理论19世纪末运筹学二战时期微分方程18世纪初统计学18世纪中叶概率论1650s计算数学20世纪初期微积分17世纪后半叶图论1730s拓扑学1890s数论1800s建模理论20世纪初密码学1940s1、哲学产生逻辑学，所以说哲学是父亲，数学是母亲。2、以逻辑学为基础，产生了集合论；3、为了分别代表数、形和数形结合，数字系统分成了代数、几何和分析；4、因为非线性总可以用线性近似表示，代数的主流是线性代数；线性代数的推广就是泛函分析；5、几何首先分为图论（包括图形学）和拓扑两大块，拓扑学的重要内容是群论；6、在图论和拓扑的基础上形成数论；7、按集合不同，分析首先分为实分析和复分析；实分析的基础是测度论；8、实分析演变成数值分析（之后变成计算数学），复分析接着演变成微积分；9、实分析同样也可以产生概率学，概率学和时间序列结合产生统计学；10、微积分和拓扑结合，产生扭结理论；11、扭结理论和线性代数组成微分方程；12、运筹学+微分方程+统计学组成建模理论的基础，可以最一切事物和过程进行建模。数学树的解读8/1081.2数学的分类9/108

二级学科：25；三级学科：144；小项：5100。2.主要分为三部分：分析数学(-1850s)、结构数学(1850s-1950s)、应用数学(1950s-)；3.德裔美国数学家外尔（1885－1955）是最后一位数学全才。1.2数学的分类10/108结构数学：O14

数理逻辑、数学基础：演绎逻辑学、应用数理逻辑、数学基础、元数学、递归论、模型论、集合论；O15

代数、数论、组合理论：代数方程论、线性代数、群论、环论、模论、格论、范畴论、同调代数、微分代数、差分代数、解析数论、代数数论、超越数论

、丢番图逼近、概率数论

、计算数论、组合数学、离散数学

、模糊数学；分析数学：O17数学分析：微积分、级数论、实变函数、逼近论、复变函数、微分方程、积分方程、变分法、泛函分析，非标准分析；O18

几何：解析几何、张量分析、非欧几何、射影（投影）几何、仿射几何、分形几何、微分几何、代数几何、

拓扑：点集拓扑学、代数拓扑学、同伦论、低维拓扑学、同调论、维数论、格上拓扑学、纤维丛论、几何拓扑学、奇点理论、微分拓扑学；1.2数学的分类11/108O19动力系统理论：整体分析、流形上分析、突变理论、微分动力系统；应用数学：O21概率论与数理统计；O22运筹学：规划论、统筹方法、最优化的数学理论、对策论（博弈论）、排队论、库存论、更新理论、搜索理论；O23控制论、信息论：控制论、最优控制、逻辑网络理论、学习机理论、模式识别理论、信息论O24计算数学：数值分析、数学模拟、近似计算、图解数学、数值软件、数值并行计算；O29应用数学.捷径：1.数学史

2.国外翻译的多版或高职

3.最薄的

4.定义+应用12/1081.3数学的定义13/1081.亚里士多德（400B.C）：数学是量的科学（强调“数”）；2.笛卡尔（1700s）：数学是研究顺序与度量的科学（扩展：几何）；3.恩格斯（1850s）：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学（扩展：运动）；4.前苏联（1950s）：数学是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的科学（扩展：多维空间）；5.现代（1980s）：数学被称为模式的科学（scienceofpattern），其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察的结构和对称性（扩展：研究对象）。14/1081.4数学的演化

数学家只会扩展前人的成果，而不会推翻前人的成果。

活动观念概念表述收集集体元素的集合观察对称群论测量距离、面积度量空间（泛函分析）估计逼近、附近连续性、极限挑选部分布尔代数论证证明逻辑、元数学选择机会概率论15/1081.5数学家职业—我们也可以学好数学优秀的物理学家也是数学家：亚里士多德、开普勒、牛顿、爱因斯坦、霍金、杨振宁；优秀的数学家很多为力学家：阿基米德、洛伦茨（混沌之父）、伯努利、傅里叶、冯.卡门（导弹之父）、泊松；数学家的职业多为大学老师，也有例外：祖冲之－长水校尉（四品）；笛卡尔－律师；傅里叶－军官；费马－议员；狄康尼斯－魔术师，陈景润－中学老师。数学家的专业：柯西－道路与桥梁工程；黎曼－神学；冯.诺伊曼－化学工程；莱布尼兹、费马、笛卡尔－法律；约翰.伯努利－医学；外尔斯特拉斯－财务管理（中学体育老师）、华罗庚－初中毕业。16/108集合论：现代数学的共同基础“选择公理”(AxiomofChoice)。这个公理的意思是“任意的一群非空集合，一定可以从每个集合中各拿出一个元素。2.集合—现代数学的共同基础17/108/6840611805656515075/在数轴上随机取一个点，它是有理数的概率是多少裂纹分形维数的演化示意图2.1集合论的定义；2.2无限集合；2.3势—比较∞的大小；2.4模糊集合。2.集合—现代数学的共同基础18/1082.1集合论的定义集合论的创立者：康托尔（cantor，1845-1918，德国）定义（cantor）：把一定的并且可以彼此明确识别的事物－这种事物可

以是直观的对象，也可以是思维的对象－放在一起，称为一个集合。导致罗素悖论：一个集合会是自己的元素又不是自己的元素。如：集合A=（x｜x为10个以上元素的集合）ZF公理：集合中的元素不能包含自身。19/1082.1集合论的定义一个图书馆编制了一本书名词典，其中记录了该图书馆中所有不包含自己名称的书籍。这样一本词典是否会包含自己的名称呢，如下图？再比如，上帝是万能的，但是他能否制造一个他所不能搬动的石头呢？罗素悖论20/1082.2无限集合1.无限集：元素个数为无穷。2.集合A为无限集的充要条件是A必能与其某些真子集B对等，即A的元素与B的元素一一对应。如：A为自然数的全体，B为偶数的全体。

21/1082.3势—比较∞的大小势是有限集中元素个数的推广。定义：彼此对等的集合归于同一集类，记为称为这类集合中任何一个集合的势（或基数）。如：

A=（x|0<x<1)，则

3.无穷集中自然数N的势最小。22/1082.3势—比较∞的大小1.无穷大这一概念可细分为可数无穷和不可数无穷。2.可数无穷作是无穷序列中最小的无穷大。3.可数集：那些能够与自然数集建立一一对应关系的集合，其包含的元素数量被定义为可数无穷。4.无穷大的层级采用阿列夫数（希伯来字母א）进行表示。其中，阿列夫零א(0)指可数无穷，如自然数，作为无穷序列的起始点。23/1082.4模糊集合

同样，模糊集合也常常与逻辑回归、异构张量的权重、概率图相结合24/1083.张量—现代数学的共同语言3.1张量分析的实质；3.2协变基矢量与逆变基矢量；3.3张量的定义；3.4张量的商法则；3.5曲线与曲面坐标张量（非线性与大变形）；3.6拉格朗日坐标与欧拉坐标；3.7共轭张量。25/1083.1张量分析的实质创立：黎曼（Riemann，1826-1866

）.因为爱因斯坦1915年发表的广义相对论而得到广泛应用。属于几何的范畴，是多维几何的表示方法。张量分析的实质是研究张量在不同坐标系下的求导法则。笛卡尔张量用于直角坐标系，只能处理小变形和线性问题。黎曼张量的精髓是曲线坐标系，可处理大变形和非线性问题。26/1083.2协变基矢量与逆变基矢量

x1x2P1g1P2g2P2g2P1g1P

27/1083.2协变基矢量与逆变基矢量张量：只有大小没方向的物理量称为标量，既有大小又有方向的物理量为矢量，具有多重方向性的物理量称为张量。矢量：28/1083.3张量的定义基矢量可在两个不同的坐标系之间转换。协变转换系数：逆变转换系数：满足坐标转换关系的有序数组成的集合，称为张量-9565-94258521.25.54679535652.371423.18521.25.54679535652.3704258521.25.54679535652.37-94258521.25.54679535652.37标量零维张量矢量一维张量矩阵二维张量矩阵数组三维张量-929/1083.4张量的商法则商法则：判定一个张量的阶数。

二阶应力张量四阶弹性张量二阶应变张量30/1083.5曲线坐标张量非线性与大变形中必须采用曲线与曲面坐标张量；通过Christoffel符号，实现张量在曲线坐标系中的求导。光速不变原理广义相对论

曲线坐标笛卡尔坐标转换Christoffel符号Oi3i2i1

g1g2g3

31/1083.6拉格朗日坐标与欧拉坐标Lagrange:(X,Y,Z,t)中“X”,“Y”,“Z”不变，基矢量与Christoffel符号变,如图a；

Euler：(x,y,z,t)中“x”,“y”,“z”变，基矢量与Christoffel符号不变,如图b；推导公式用Lagrange坐标，因为“X”,“Y”,“Z”对t的导数为零。计算用Euler坐标，因为Lagrange坐标只能是曲线坐标，计算不方便。yxO

EulerLagrange(a)欧拉坐标系(b)拉格朗日坐标系yzTOPe2e3e1xx0P’tux

TOPe2e3e1

x0P’tuOxyzxyzx32/1084.1泛函分析的实质；4.2实变函数－在实数理论和测度理论上建立起现代分析；4.3距离；4.4范数4.泛函—网络距离的度量33/1084.1泛函分析的实质

泛函分析：创立于20世纪初，是在变分法、线性代数、微分方程、逼近论、数值分析的基础上，将其具有共同特征的问题进行抽象概括、发展而来的。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。

研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。34/1084.1泛函分析的实质实质：

A.分析的课题、代数的方法和几何的观点。

B.线性泛函（序幕）—无限维空间上的线性代数（矩阵分析）；非线性泛函（核心）—无限维空间上的微积分（数学分析）。

C.变分法—函数的函数，泛函分析－求变分方程的近似函数解。35/1084.1泛函分析的实质

A(0,0)B(xf,yf)yx条件极值－Euler-lagrange方程－速降线问题36/1084.2.1勒贝格积分实变函数：Lebesgue（1875－1941）创立，是对黎曼积分的推广：以测度为基础建立，扩大了可积函数类，降低逐项积分的条件和降低交换积分顺序的条件。勒贝格积分与黎曼积分的比较:ayxOyxOx1

黎曼积分勒贝格积分4.2实变函数－在实数理论和测度理论上建立起现代分析37/1084.2.2测度测度是长度，面积的推广，推广到n维空间上，是用“点集”的概念表示“长度”。如：

n=1时，m(I)就是长度，n=2时，m(I)就是面积，n=3时，m(I)就是体积.4.2实变函数－在实数理论和测度理论上建立起现代分析38/108狄利克雷（Dirichlet）函数:在区间（0,1)上:有理数的测度为0，无理数的测度为1-04.2.2测度4.2实变函数－在实数理论和测度理论上建立起现代分析39/1084.3距离

4.3.1距离空间（Banach空间）40/1084.3距离4.3.2常见的距离Hamming101100111000ABEuclideanaCosinebcManhattandMinkowskiP=3P=2P=1P=0.5P=0.3eChebyshevfHaversineBAuvhJaccardgIntersectionABA

BUnionAB⋀AB⋁Sørensen-DiceiIntersectionABA

BAB2×+⋀欧几里德距离余弦相似度Sørensen-Dice系数Haversine公式Jaccard

系数切比雪夫距离闵可夫斯基距离汉明距离曼哈顿距离41/1084.4范数

42/108几何学七阶段一：公理（欧几里德）

二：坐标（笛卡尔、费马）

三：微积分（牛顿菜布尼兹）

四：群（克莱因、李）

五：拓扑

六：流形（黎曼）、纤维丛（嘉当、惠特尼）

七阶：分形几何（曼德勃罗特）43/1085.群论—网络同构的度量5.1实质：对称性；5.2重要群；5.3同构与同态。初等代数-算“数”抽象代数-算“结构”44/1085.1实质：对称性创立：伽罗瓦（Galois1811-1832,法国数学家)群论群论是研究系统对称性质的科学。系统的对称性就是指它对转动和平移保持不变的性质。对力学中的非对称性张量，可以通过群论，引入结构张量，转化为各向同性张量。如：第二类P-K张量。45/1085.1实质：对称性

本构原理：决定性原理、局部作用原理和客观性原理。

第二类PK张量重整化群确定裂纹分形方向-10-2-100121Sobel算子梯度向量裂纹图像像素点梯度重整化群α46/1085.2重要群集合Ｇ中元素的个数，称为阶群的定义：47/1085.2重要群

阿贝尔群：即交换群a×b=b×a，又叫加法群，常将“×”改为“＋”。

循环群：某个固定元素的幂的集合。如：由x3=1的根组成的群。

李群：群论用于偏微分方程，是一种连续群，其映射可微分。

环:定义了两个二元运算“×”和“＋”，分别称为加法和乘法，并满足乘法结合率、分配率、阿贝尔群相结合，即：(a×b)×c=a×(b×c)a×(b＋c)=a×b＋a×c(b＋c)×a=b×a＋c×a

群只具有一种代数运算（“×”或“＋”），环具有两种代数运算（“×”和“＋”）。48/1085.3同构与同态映射：一一对应→同构，多对一→同态同态包含同构GF

G

F（a）同构（b）同态49/1085.3同构与同态

同构图图的同构变换，看似完全不一样的图，实质拓扑关系是一样的。abcdeabecde1e4e2e3e5e1e2e3e4e5（a）（b）同构图实质上是一个图，判断同构图为智能制造系统设计中的难题。50/1086.1拓扑学的实质；6.2拓扑学的定义；6.3图论与复杂网络的拓扑性质；6.4拓扑学的分类；6.5同伦与同调；6.拓扑—网络结构的度量51/1086.1拓扑学的实质Topology：原意为地形学、地貌学。法国数学家庞加莱（1854-1912）实质：橡皮膜几何学，研究橡皮膜变形过程（不能断裂和重叠）中的不变量52/1086.1拓扑学的实质多面体的拓扑性质有欧拉定理：F是多面体的面数量，E为边数量，V为顶点数量六面体四棱锥足球53/1086.2拓扑学的定义

拓扑学直观描述：研究图形在弹性运动中保持不变性质的科学。

同胚映射：集合A、B之间的映射既是一一对应的又是连续的。直观地说，同胚可以看作是从一个集合到另一个集合的这样的映射：它既不断开，又不重叠。

图形在同胚映射下不变的性质叫做图形的拓扑性质或拓扑不变量。

拓扑学是研究拓扑不变量的科学，它是现代分析的抽象基础。54/1086.3图论与复杂网络的拓扑性质复杂网络拓扑性质研究是理解网络结构的关键。图论中的拓扑性质主要涉及图的结构和连接方式，不涉及节点和边的具体属性。复杂网络拓扑性质涉及网络结构特征和模式，它们的拓扑性质有：小世界性、无标度性、社区结构、聚类系数等55/1086.4拓扑学的分类按照同胚映射的性质分为点集拓扑和组合拓扑（代数拓扑和微分拓扑）：点集拓扑：距离空间＋拓扑，映射结构为集合类；代数拓扑：环＋拓扑，映射结构为代数；微分拓扑：微分几何＋拓扑，映射是可微的。点集拓扑：把几何图形看作点的集合，再把集合看作一个用某种规律连接其中元素的空间。组合拓扑：把几何图形看作一些基本构件所组成，用代数工具组合这些构件，并研究图形在微分同胚变换下的不变性质。56/1086.5同伦与同调同伦：端点相同的两条道路，经过连续变形能够重合，称这两条道路同伦。同调：两条同伦的环路。57/1087.1分形几何的定义及特点；7.2典型曲线；7.3分维计算；7.分形—网络形状的度量58/1087.1分形几何的定义及特点分形（1975，Mandelbrot）定义：部分以某种形式与整体相似的形状叫作分形（fractal）。Fractal，原意是指不规则，支离破碎的物体。分形高度不规则几何度量，宏微观协同。分形的特点：A.自相似性；

B.标度不变性;C.自组织现象。59/1087.1分形几何的定义及特点A.自相似性人体小肠的自相似结构蕨类植物叶子的自相似性60/1087.1分形几何的定义及特点Sierpinski集61/1087.1分形几何的定义及特点62/1087.1分形几何的定义及特点63/1087.1分形几何的定义及特点B.标度不变性64/1087.1分形几何的定义及特点C.自组织现象自组织现象是指在某一系统或过程中自发形成时空有序或状态的现象。T2T1(T2>T1)(a)(c)(b)65/1087.2典型曲线7.2.1Koch曲线；7.2.2Sierpinski集；7.2.3Peano曲线；7.2.4Cantor集；7.2.5Mandelbrot集。66/1087.2典型曲线7.2.1Koch

曲线（1906年）特点：处处连续，处处不可导四次Koch曲线67/1087.2典型曲线Sierpinski三角形及其形成过程7.2.2Sierpinski集（1916，波兰）特点:Sierpinski海绵的体积为零68/1087.2典型曲线特点：一条曲线但可以充满整个平面。7.2.3Peano曲线（1890，意大利）69/1087.2典型曲线7.2.4Cantor集（1883，法国）特点：不含任何开区间。又叫康托尔（Cantordust）三分Cantor集70/1087.2典型曲线Mandelbrot集合是非常复杂的,它包含了无限多个层次，具有千变万化的形态，它可以用作潮泊、海洋线的数学模拟，也可以用作数据压缩的模型，数学家们称该集合中有研究不完的问题7.2.5Mandelbrot集71/1087.3分维计算7.3.1分维定义；7.3.2分维计算－数盒子法。72分维定义：根据此公式：直线的维数为1，平面为2，体积为3。分维是对欧几里德空间维数的推广。7.3.1分维定义737.3.2分维计算－数盒子法

通过数包括英国海岸线的小盒子数目，计算小盒子数目随盒子大小的变化，可以求出分维74利用“复杂网络”来解决复合材料跨尺度问题项目特点动力学复杂网络自相似自组织无标度集群关键点社区发现链路预测分形几何√√√多重吸引子多重分形分形生长裂纹√√√缺陷裂纹引发生成树裂纹演化复杂网络、分形与裂纹相似性75（a）原始图像（b）灰度化（c）闭运算（d）拉普拉斯（f）去噪声（g）膨胀（h）反向（i）二值图像（e）改进的Canny（j）划分网格（k）二值矩阵（l）分维计算2.42.3

2.22.11.41.51.61.7

盒维数

76谢谢观看！图论引言

图论是智能制造系统的细胞、设计的基石。图论主要研究由点（顶点）和（边）所构成的图形的性质。在智能制造领域，从物流网络设计到生产流程优化，图论的应用都是不可或缺的。微积分到图论，是思维方式从产品形状到要素关系的巨大改变。学习目标

理解图论的基本术语以及在实际应用中的含义。掌握图的分类和性质并在智能制造中的具体应用。了解复杂图与简单图的嵌入，增强对大规模系统结构分析的能力。掌握谱图论的基础知识，分析和优化网络结构。应用分析工具进行图的构建、分析和可视化。图论课程简介1.图论的概述2.谱图论3.复杂图4.图嵌入5.图论与智能制造的关系定义1图（Graph）：一个图G（图2-18）可以被视为一个组成元素的集合，包括节点（Vertex或Node）和边（Edge），成为有序二元组G=（V，E）。1.图论的概述—图的定义定义2无向图（UndirectedGraph）：在图论中，如果一个图的所有边都没有指定方向，那么这样的图称为无向图。定义3有向图（DirectedGraph）：相对于无向图，如果图中的边具有明确的方向，即从一个特定的起点指向一个终点，那么这种图称为有向图。1.图论的概述—无向图与有向图定义4权值图（WeightedGraph）如果图中的每条边都有一个实数权值与之对应，并且这个实数权值代表着这条边的重要程度，那么这样的图称为权值图。1.图论的概述—权值图定义5邻接矩阵：对于一个图G=（V，E），其中V是节点集，E是边集，邻接矩阵是一个大小为vi×vj的矩阵，用于表示节点间的直接连接关系。在邻接矩阵A中，第i行第j列的元素记作Ai,j。1.图论的概述—邻接矩阵与关联矩阵节点v1与节点v3之间的连接强度为3，节点v3与另一个节点v2的连接强度为2，等等。这种加权表示更加细致地描绘了网络中各种关系的强度。1.图论的概述—邻接矩阵与关联矩阵定义7邻域（Neighborhood）：对于任意一个节点vi，与其直接相连的所有节点组成了一个集合，称为节点vi的邻域。1.图论的概述—邻域和度定义8度（Degree）：一个节点vi的度是指与该节点直接相连的边的数量。这个度数提供了关于节点连接密度的重要信息，通常记为deg(vi)或简写为d()。在上图中展示的无向图里，节点v2与三个节点v1、v5和v6直接相连。因此，节点v2的邻接点包括这三个节点。由于这三个连接，节点v2的度为3，表示为deg(v2)=3。1.图论的概述—邻域和度定义9度数矩阵（DegreeMatrix）是用来描述一个图中各节点度数的矩阵，特别用于无向图和有向图的分析。在度数矩阵中，每个节点的度（即与该节点相连的边的数量）被表示在矩阵的对角线上，而矩阵的其他元素都是0。1.图论的概述—度数矩阵在加权邻接矩阵W中，每个元素Wi,j表示节点i与节点j之间的连接权重。如果两个节点之间没有直接的连接，相应的矩阵元素就是0。否则，它是一个正实数，表示这两个节点之间连接的强度。1.图论的概述—度数矩阵深度优先搜索（Depth-FirstSearch，DFS）和广度优先搜索（Breadth-FirstSearch，BFS）是图遍历的两种基本方法，每种方法都有其特定的用途和特点。DFS探索尽可能深的节点，而不考虑先探索邻近的节点，直到当前路径被完全探索，然后回溯并探索下一个可能的路径。BFS从图的根节点开始，探索所有邻近节点，然后再按顺序访问每个邻近节点的邻居，层层推进。1.图论的概述—图的遍历定义10图同构：两个图G=（V，E）和G’=（V’，E’）是同构的，记作G≈G’，当且仅当存在一个从G到G’的映射σ。1.图论的概述—图的同构定义11途径是在图G=（V，E）中从一个节点u到另一个节点v的一个交替的节点和边序列。定义12迹是一种特殊的途径，其中所有的边都是互不相同的，但节点可以重复。定义13路径是一种更严格的途径，其中所有节点（以及所有边）都是唯一的，即途径中没有任何节点或边重复出现。1.图论的概述—图的途径、轨迹与路定义14连通图（ConnectedGraph）如果图G=（V，E）只有一个连通分量，那么G是连通图。这意味着在连通图中，没有任何孤立的节点或节点组，所有节点都至少通过一条路径与图中的其他节点相连。连通图的一个关键特征是它只包含一个连通分量。1.图论的概述—图的连通性定义15最短路（ShortestPath）指的是在图G中从一个节点u到另一个节点v的所有可能路径中，长度最短的那一条路径。定义16直径（Diameter）是指在连通图中所有节点对的最短路径的最大长度。换句话说，直径是图中最远两个节点间最短路径的长度。1.图论的概述—图的连通性之前提到，矩阵可以看作一种线性变换（类似于运动）。从这个角度看，邻接矩阵可以理解为图的拓扑结构的“运动”方式，而拉普拉斯矩阵则描述了这种运动的变化（即中心节点和相邻节点的信号差异）。拉普拉斯矩阵的概念源自拉普拉斯算子。在工程数学中，拉普拉斯算子是一种常见的微分工具，它反映了中心点和其周围点之间的梯度差异的总和。2.谱图论拉普拉斯矩阵（LaplacianMatrix）是拉普拉斯算子在图论中表现形式，广泛应用于图的分析和计算。给定一个无向图G=（V，E），拉普拉斯矩阵L定义为L=D-A。2.谱图论定义17异质图（HeterogeneousGraphs）：节点集V和边集E可以被映射到多个类型上，即存在一个节点类型映射函数V→A和一个边类型映射函数筏：E→R。3.复杂图—异质图定义18二分图（BipartiteGraph）：二分图是一种特殊的无向图，其节点集V可以被分割成两个互不相交的子集A和B。每条边都跨越这两个集合，连接一个来自A的节点和一个来自B的节点，即每条边的两个端点分别属于A和B。3.复杂图—二分图定义19多维图（Multi-dimensionalGraphs）：一个多维图由一个节点集V={v1,……，vN}和D个边集{e1,……,eD}构成，每个边集εd描述节点间的一种特定关系。这D种不同的关系可以通过D个邻接矩阵A（1），…，A（D）来表示。3.复杂图—多维图定义20符号图（SignedGraph）：符号图G={V，E+，E-}是一种特殊类型的图，其中V是节点集，包含n个节点。E+⊂V×V和E-⊂V×V分别代表图中的正边集和负边集。在符号图中，每条边要么具有正的标志（表达积极的关系），要么具有负的标志（表达消极的关系），不存在没有符号的边，即每条边都明确标记为正或负。3.复杂图—符号图定义21超图：超图G={V,E,W}是一种图形结构，其中V是包含n个节点的集合，E是超边的集合，而W是一个对角权重矩阵，Wj,j表示超边ej的权重。3.复杂图—超图超图示例，圆圈为超边代表产品、设备为节点定义22动态图（DynamicGraphs）：动态图G=（V，E）是一个图模型，其中包括一组节点V={v1,……，vN}和一组边E={e1,……，eM}。在动态图中，每个节点和每条边都与其产生的时间相关联。3.复杂图—动态图将复杂网络压缩就是图嵌入。比如高考，通过原始分和标准分等操作，将各科成绩（6个分量）转化为一个总分（1个分量）来录取。图嵌入（GraphEmbedding）的目的是每个节点映射到一个低维的向量表示。4.图嵌入—简介4.图嵌入—简单图的图嵌入①保留节点共现一种常见方法是执行随机游走（RandomWalk）。使得学习到的节点能够重现从随机游走中提取的“相似性”。②保留结构角色从原始图中提取结构角色相似度的信息，并用它来构建一个新的图。③保留节点状态同时保留节点共现信息和节点全局状态的图嵌入方法，主要由两个部分组成：保留共现信息的组件和保留全局状态的组件。4.图嵌入—简单图的图嵌入全局排名被保留下来的概率可以通过使用节点嵌入进行建模，见下式：式中，

表示节点

的排名在

之前的概率。④保留社区结构

文献[1]基于矩阵分解的方法，既保留了节点之间的连接、共现等结构信息，又保留了社区结构。[1]WangX,CuiP,WangJ,etal.Communitypreservingnetworkembedding[C]//ProceedingsoftheAAAIconferenceonartificialintelligence.2017,31(1).①异质图嵌入旨在将异质图中的各类节点映射到一个统一的嵌入空间。4.图嵌入—复杂图的图嵌入②二分图嵌入

BiNE的二分图嵌入框架用于捕捉两个集合之间的关系以及集合内部的关系。③多维图嵌入

学习所有维度捕获信息所得到的节点的通用表示。④符号图嵌入

使正边相连的节点比负边相连的节点在嵌入域中更接近彼此。⑤超图嵌入利用超边中编码的节点关系来学习超图节点表示的方法4.图嵌入—复杂图的图嵌入⑥动态图嵌入

文献[2]引入了时序随机游走来生成能够捕获图中时间信息的随机游走，利用产生的时序信息重构共现信息。定义24时序邻居：对于动态图G中的节点v，它在时间t的时序邻居是在时间t之后与v相连的节点。这可以正式表示见式：定义25时序随机游走：设图G={V,E}，G={V,E,Φe}是一个动态图，其中Φe是边的时间映射函数。[2]NguyenGH,LeeJB,RossiRA,etal.Continuous-timedynamicnetworkembeddings[C]//Companionproceedingsofthethewebconference2018.2018:969-976.忽略时间因素导致信息丢失的例子生产流程优化每个作业的加工顺序和时间如下：作业A：在M1上加工3小时，然后在M2上加工2小时。作业B：在M2上加工1小时，然后在M1上加工4小时。作业C：在M1上加工2小时，然后在M2上加工3小时。可以将这个调度问题建模为有向图，使用最短路径算法找到最优的调度顺序，最小化总生产时间。5.图论与智能制造的关系供应链管理使用最小费用流算法找到最优的库存分配方案，以最小化总库存成本和缺货风险。如下图所示，在这个SCM网络中，从供应商1到零售商1的最优路径是通过制造商1进行运输，这条路径的总运输成本为30。这个路径是基于运输成本最小化的目标计算出来的。5.图论与智能制造的关系工厂布局设计假设一个工厂有三台设备X、Y、Z，需要在三个工作区域W1、W2、W3中进行布局。可以将这个设备布局问题建模为一个二分图，节点表示设备和工作区域，边表示设备与工作区域之间的匹配关系和移动成本。使用图匹配算法找到最优的设备布局方案以最小化设备之间的移动和转换时间。如下图所示，图中的蓝色双线边表示通过Kruskal算法计算出的最小生成树，这条路径连接了所有设备，并且总布线成本最小化。5.图论与智能制造的关系故障诊断与维护假设一个生产系统有五台设备E1、E2、E3、E4、E5，其中E1依赖于E2和E3，E3依赖于E4，E4依赖于E5。可以将这个系统建模为一个有向图，节点表示设备，边表示设备之间的依赖关系，如图2-48所示。通过分析设备依赖图，可以识别出关键设备E5，并优先进行维护和修复，以防止故障传播影响整个系统。5.图论与智能制造的关系数据分析与机器学习通过构建生产过程的图模型，可以分析各个环节的关键性，并检测到异常的生产环节，从而及时进行调整和优化。假设一个生产系统有多个生产环节，每个环节都有数据采集。可以将这些数据建模为一个有向图，节点表示生产环节，边表示生产环节之间的数据流，如下图所示。5.图论与智能制造的关系113谢谢观看！复杂网络—智能制造系统的神经1复杂网络概述2复杂网络的测度3异构张量及复杂网络类型4复杂网络与智能制造的关系目录1复杂网络概述1.复杂网络的定义复杂网络（ComplexNetwork），钱学森院士给出的定义，是指具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络，是一种用来描述现实世界中复杂系统之间相互作用关系的抽象模型。与一般图相比，复杂网络节点数目巨大，可以代表任何事物且节点之间的连接权重存在差异，同时网络结构展现出高度的动态性和自组织性。图1具有34个节点和78条边的Zachary空手道俱乐部网络图2复杂网络如一幅千变万化的画卷1复杂网络概述2.复杂网络的特性复杂网络的特性像是幅画卷的纹理和图案，展现出了网络结构的多样性和复杂性。其中包括：小世界性、集群性、无标度性等。图3小世界网络转换过程图4具有3个集群的图图5无标度网络示意图小世界性：网络中任意两点间通过少量节点即可相连，体现信息的快速传播能力。集群性：网络中节点倾向于形成紧密连接的群体或社区。无标度性：网络中少数节点拥有大量连接，而大多数节点连接较少，形成幂律分布。1复杂网络概述3.复杂网络模型随机图模型是最简单的网络模型之一，它假设网络中的节点和连接是随机生成的，具有均匀的度分布和随机的连接规则。核心-边缘网络模型就是将网络中的节点分为两个主要部分：核心节点和边缘节点。核心节点通常在网络中占据重要位置，它们之间连接紧密，拥有较高的连接度和影响力。而边缘节点则相对孤立，它们与核心节点的连接较少，彼此之间的连接也可能较弱。图6具有100个节点，概率参数p=0.03的随机网络图7核心边缘网络示意图2复杂网络的测度在复杂网络分析领域，测度被用于识别和表征不同类型的网络结构。复杂网络测度包括：平均邻居度、网络直径、度分布、连通性测度、社区结构和中心性等。这些测度不仅刻画点、边、社区在系统的权重，还是制造系统设计算法创新的关键。1.平均邻居度平均邻居度（AverageNeighborDegree,AND）为网络中所有节点的度的平均值。通过比较不同网络的平均邻居度，可以判断网络的稀疏性或密集性，进而推测网络的功能和稳定性。AND刻画了网络的局部特性，有助于确定网络的类型。2.网络直径网络直径是网络中所有节点对中所有可能的最短路径距离的最大值。网络直径的大小与网络的有效性和鲁棒性密切相关，对于优化网络结构和提高网络性能具有重要意义。较小的网络直径表示网络中的远程节点可以更快地到达，降低网络直径将能够改善网络中的传输延迟。图8平均邻居度为2的图图9网络直径为2的图2复杂网络的测度3.度分布网络的度分布反映了网络的整体连通性，即度分布表示在网络中有多少个节点具有相同的度。度分布通常用概率分布函数来表示，在许多复杂网络中，度分布遵循幂律分布。4.连通性测度平均路径长度：网络中所有可能节点对之间的端到端路径长度的平均值，是基于网络中所有节点间的距离计算得到，因此其为一个全局测度。平均聚类系数：代表一个节点的邻居彼此间也是邻居的数目的平均值，用来刻画网络的健壮性和冗余性。图10平均路径长度为1.53的图图11平均聚类系数为0.28的图2复杂网络的测度5.社区结构测度社区结构是复杂网络中普遍存在的现象，它指的是网络中的节点倾向于形成若干个相对独立且内部连接紧密的群组，这些群组之间则相对稀疏地连接。社区结构测度旨在揭示这些群组的存在、规模、边界以及它们之间的相互作用。模块度衡量了网络划分成社区后，社区内部连接与社区间连接的相对强度。轮廓系数结合了节点的内部相似度和外部差异度，为每个节点计算一个值，从而评估整个划分的紧密性和分离度。标准化相互信息是一种比较两个社区划分相似性的方法，常用于评估社区检测算法的性能。图12具有四个社区的图2复杂网络的测度6.中心性测度对中心性度量是理解复杂网络结构和动态特性的基础。度量网络中的节点的中心性，本质上就是量化网络中节点的重要性。度中心性（DegreeCentrality，DC）：是一种最简单的中心性测度，节点的DC定义为所有与该节点关联的边之和。某一节点i的DC可以通过如下公式计算得出：图13给出了一个非加权网络及对应邻接矩阵的例子，其中节点的DC值如表1所示。可以发现节点C的DC值最高，意味着节点C是该网络中最中心的节点。节点DCA2/4B2/4C1D1/4E1/4图13网络及其邻接矩阵的例子表1度中心性式中，表示节点i和节点j之间的边。度分布函数:随机选定节点的度恰好为k的概率。通常我们定义网络的度分布，为网络中度数为k的节点个数占节点总个数的比例。

2复杂网络的测度2复杂网络的测度接近中心性（ClosenessCentrality，CC）：描述了在网络中一个节点与其他节点的接近程度。网络中的临近节点可以与他们的邻居节点快速交互。CC还度量了在向网络中的其他节点扩散信息时的节点的重要性。在一个N节点的网络中，第i个节点的CC可以通过下述公式计算得到：节点d(i,j)CCA61/6B61/6C41/4D71/7E71/7表2接近中心性图14给出了一个无权网络及对应最短路径耗费矩阵的例子。节点的CC分数如表2所示。可以看出，根据CC测度值，节点C是整个网络最中心的节点。需进一步指出的是，节点C之所以具有最大的CC分数，是因为它与网络中所有其他节点都有直接联系。图14一个网络及其最短路径耗费矩阵式中，是节点i和j之间最短路径的长度。2复杂网络的测度介数中心性（BetweennessCentrality，BC）：度量了网络中一个节点位于其他节点最短路径上的程度。也就是说，计算网络中任意两个节点的所有最短路径，如果这些最短路径中很多条都经过了某个节点，那么就认为这个节点的介数中心性高。可通过以下公式计算：式中，是点Vi的介数中心性，是图中各节点最短路径的数量，是经过点Vi的最短路径的数量。图15介数中心性，其中E点介数中心性最大2复杂网络的测度特征向量中心性（EigenvectorCentrality，EC）：度量了网络中一个节点位于其他节点最短路径上的程度。也就是说，节点的重要性不仅取决于自身的度，还与连接的节点的重要性紧密相关。图16以特征值的最大值对应的特征向量作为中心性度量3异构张量及复杂网络类型1.异构张量构建应用所谓异构张量是一种多维数组，但其各个维度可以代表不同类型的数据或实体。图17智能制造系统异构网络示意一个智能制造工厂内，从原材料入库到成品出库，每一个环节都产生着海量的数据。这些数据不仅包括产品的物理属性、生产线的运行参数，还涵盖了设备状态、人员操作记录以及外部环境因素等多种类型的信息。传统的数据处理方式在面对如此复杂多样的数据时显得力不从心，而异构张量则以其独特的结构优势，能够轻松地将这些不同类型的数据整合到一个统一而有序的多维数组中。在智能制造系统中，设备、工人、生产任务等元素之间的相互作用和依赖关系构成了一个复杂的网络，如图17所示。3异构张量及复杂网络类型2.端到端学习端到端学习是一种机器学习方法，能够直接从原始数据中学习并输出最终结果，不需要人工设计特征或中间步骤。这种方法的特点包括减少了人为干预的需求，提高了模型的整体性能，并能够自动优化整个学习过程。图18

端到端学习（端到端的语音识别系统）3异构张量及复杂网络类型3.复杂网络类型剖析异构网络：指由不同类型节点和边交织而成的网络体系。异构网络的核心特征在于其“异构性”，即网络中的节点和边在类型、属性和功能上均呈现出多样性。图19简单异构张量构建举一个简单的例子如图19所示。用数学形式表示异构张量，我们可以定义一个二维张量T，其中每个元素T[i,j]表示任务（i=1,2）和工人（j=1,2）之间的关系。具体来说，异构张量可以定义为：例如，T[i,j]表示设备连接到任务1，且任务1连接到工人1。张量T具体表示为：3异构张量及复杂网络类型层析网络：核心在于其相对独立的层次化结构。揭示了系统内部的组织结构和功能关系,是跨尺度模型的利器。图19层析网络示意4复杂网络与智能制造的关系1.数据驱动的智能制造通过复杂网络分析，可以揭示制造系统中不同部分之间的关系和互动。例如，生产线上的机器、传感器和产品可以看作网络中的节点，它们之间的连接则代表数据的传输和信息的交换。图20

数据驱动的智能制造4复杂网络与智能制造的关系2.网络化生产系统网络化生产系统通过复杂网络连接设备，实现实时数据共享与协作，增强生产灵活性与效率。MES网络结构实时监控设备状态，预测性维护减少故障影响，动态调度优化生产任务分配，确保生产不中断。图21

智能制造设备网络结构4复杂网络与智能制造的关系3.智能供应链管理SCMSCM通过复杂网络模型优化供应链节点关系，识别关键节点和薄弱环节，提升稳定性与效率。可视化技术直观呈现供应链结构，帮助发现瓶颈并制定优化策略，如增加供应商多样性、改进物流管理等，提高供应链可靠性。图22

智能供应链管理4复杂网络与智能制造的关系4.复杂网络在APS中的应用复杂网络应用于生产调度，通过优化APS，确定最优生产路径，减少设备空闲和切换时间，实现高效调度；实时数据分析使调度动态调整，确保资源优化配置和高效生产运行。图23

复杂网络在APS中的应用135谢谢观看！运筹学--智能制造系统的器官1运筹学概念2运筹学内容——十大分支3运筹学应用——与智能制造的关系智能制造框架

运筹学与智能制造关系

动态规划智能制造生态圈智能排产PLMERPAPSLIMSSRM企业供应方工厂实验数据研发工艺工艺仿真物料采购单与物料供应计划排产发布MES运筹学非线性规划网络分析排队论决策分析对策论WMS物料配送存储论一一对应运输问题线性规划动态规划和整数规划运筹学释义与发展简史运筹学释义

运筹学(operationalresearch)一词起源于第二次世界大战时期的英国。运筹学在不同的领域有不同的释义,从其性质与特点可定义为:

运筹学是一门以数学为主要工具,用系统的观念,多学科的综合,应用模型技术,为经济、军事、管理等部门提供最优的决策方案。“夫运筹帷幄之中，决胜前里之外”，朴素的运筹学思想在我国古代文献中有不少记载。如齐王赛马和北宋丁渭修复皇宫等事例。

现代运筹学名词源于1938年英国，为解决空袭的

早期预警中的协调配合问题。英军成立了由P.M.S.Blackett领导的“operationalresearch”小组。由于综合应用了科学方法和技术，纠正了人们一些直观想象的错误，有效解决了当时战争中的一些新问题。运筹学的发展趋势：(1)运筹学理论研究将会进一步系统深入发展．(2)运筹学将向一些新的研究领域发展．(3)运筹学分散融化于其他学科，并结合于其他学科一起发展．(4)运筹学沿原有的各学科分支向前发展．(5)运筹学中建立模型的问题将日益受到重视．(6)运筹学的发展将进一步依赖计算机的应用和发展．工业生产优化1940二战期间的军事应用交通运输的应用融合大数据人工智能结合计算机技术19702000195019802020深度运筹时间线

运筹学将不同的实际问题归结为不同的数学模型，不同的模型构成了运筹学的各个分支，主要的分支有：1.线性规划（linearprogramming)——PLM

2.非线性规划（nonlinearprogramming)——PLM3.动态规划（dynamicprogramming)——MES4.整数规划（Integerprogramming——SCM5.网络分析（networkanalysis)——ERP6.运输问题（Transportationproblem）7.存储论（inventorytheory)——WMS8.排队论（queueingtheory)——APS9.对策论（gametheory)——CRM10.决策分析（decisiontheory)——CRM运筹分析基本步骤运筹学的核心方法为智能制造系统提供了强有力的决策支持与优化方案。这些方法不仅在理论上精致而全面，也在实际应用中证明了其高效与可行性。问题的分析和确立深入分析，并准确表述问题的本质和目标模型的建立以形式化的方式描述问题结构和关系模型的求解和优化数学方法和算法对建立的模型进行求解模型的验证和修正确保解在实际应用中的有效性和可行性解的有效控制将优化的方案转化为实际行动，实施并监控方案的执行过程方案的实施

确保模型的准确性和可靠性在多元化的经济活动中，巧妙地利用手中有限的资源，以精心的统筹安排实现总体效益的最大化，或是在既定的任务目标下，如何以最小的资源消耗达成目标，这些都是我们面临的关键问题。这类问题，我们通常称之为规划问题。而当这类问题被转化为数学语言进行表述时，如果目标（函数）以及资源的约束条件均呈现为线性函数的形式，那么我们便称之为线性规划问题。第一章线性规划

在考虑资源的合理分配时，还要兼顾效益的最大化线性规划问题的数学模型，其一般形式是：

线性规划问题及其数学模型min(或max)z=CTX

≤(≥,=)bX≥0其中:

向量形式:线性规划问题及其数学模型min(或max)Z=CTXAX≤(≥,=)bX≥0其中:矩阵和向量形式:线性规划问题及其数学模型例如对三个资源的约束，构建二维坐标系。考虑目标函数，在可行域上找到使得目标函数达到最大值的方案。资源1资源2资源3等值线12340123456789图2-75

三个资源的二维坐标系图解法对模型中只含2个变量的LP，可通过在平面坐标系中作图求解。其步骤概括为：1.在平面建立直角坐标系；2.图示约束条件，找出可行域；3.图示目标函数和寻求最优解。

图解法一、图解法的步骤：二、线性规划问题求解的几种可能的结局

无穷多最优解：目标函数与某约束条件对应成比例。无界解：可行域无界无解或无可行解：无可行域1.解的情况有：唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。2.若LP的可行域存在，则可行域是一凸集。3.若线性规划问题的最优解存在,则最优解或最优解之一(如有无穷多)一定是可行域的某个顶点。4.解题思路,先找出可行域的某个顶点，计算其目标函数值。比较相邻顶点的目标函数值，直至找出使目标函数值最大的顶点。图解法三、从图解法得到的启示：

通过建立一个目标函数和一系列线性约束来寻找最优解。在智能制造的大背景下，线性规划与PLM的结合，不仅强化了对生产流程的智能化管理，还促进了制造系统中资源配置的精准化和科学化，为企业的可持续发展提供了有力的决策支持。通过对生产计划的优化，企业可以更灵活地应对市场变化，实现生产效率和产品质量的双重提升，从而在激烈的市场竞争中占据有利地位。产品外观图产品加工路线生产物料清单产品设计产品工艺设计产品生产制造产品服务产品设计图设计物料清单产品库存信息客户需求信息客户需求产品的形成过程产品资料与信息

运输是WMS和SCM中的一类重要问题。供应链是一个由物流系统和该供应链中的所有单个组织或企业相关活动组成的网络。为满足供应链中各方的需求，需要对物品、服务及相关信息，从产地到消费地高效率、低成本地流动及储存进行规划、执行和控制。运筹学中对运输模型的研究为达到上述目的提供了相应的理论和方法论基础。第二章运输问题图2-77

运输网

运输问题即研究物资运输的调度问题。其典型的情况是：设某种物品有m个产地A1,A2,……,Am，各产地的产量分别为a1,a2,……am;有n个销地B1,B2,…,Bn，各销地的销量分别为b1,b2,……,bn，假定从产地Ai（i=1,2……m)向销地Bj（j=1,2,……,n）运输单位物品的运价是cij，如图所示，问怎样调运这些物品才能使总运费最少？运输问题及数学模型产销平衡问题的数学模型为：或用表格表示：运输问题及数学模型运输问题一定有有限最优解运输问题的约束系数矩阵⑴的元素等于０或１。⑵运输问题的约束系数矩阵的每一列有两个非零元素。对产销平衡问题有：⑶所有约束都是等式约束。⑷产量等于总销量。运输问题及数学模型运输问题数学模型的特点运输问题的解运输问题的解X＝（xij）代表一种运输方案。xij的值表示从Ai调运数量为xij的物品到Bj。解X必须满足模型中所有约束条件。基变量对应的约束方程组的系数列向量线性无关。运输问题模型中的约束条件个数为m+n个，但因为总产量=总销量，故只有m+n-1个是线性独立的，所以解X中非零变量的个数不能大于m+n-1个。为使迭带过程能顺利进行，基变量在迭代过程中应保持为m+n-1个。运输问题及数学模型最小元素法：产大于销，划掉列；产小于销，划掉行销产B1B2B3B4产量A141241116A22103910A38511622销量8141214②⑤⑥81410268681026①③④⑦运输问题的最小元素法前面讨论的线性规划问题，有些最优解可能是分数或小数，这是因为线性规划是连续变量的优化问题。在实际问题中，常有要求问题的解必须是整数的情形（整数解），如人员、设备配置等。线性规划中如果所有的变量都限制为（非负）整数，就称之为纯整数线性规划或称为全整数线性规划。第三章整数规划整数规划的数学模型及解的特点整数线性规划的分类：纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取值的整数线性规划。也称全整数规划。混合整数线性规划：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的线性规划。0-1型整数线性规划：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。整数规划的数学模型及解的特点整数规划数学模型为：去掉整数约束后的数学模型称为整数规划的松弛问题整数规划及其松弛问题，从解的特点看，二者间既有密切的联系，又有本质的区别。松弛问题的可行域是一凸集，整数规划的可行域（非凸集）是它的松弛问题的可行解集的一个子集。由于整数规划的可行解一定是它的松弛问题的可行解(反之则不一定)。所以整数规划的最优解的目标函数值≤其松弛问题的目标函数值。在一般情况下，松弛问题的最优解不会刚好满足整数约束条件，自然就不是整数规划的最优解。解的特点：整数规划的数学模型及解的特点整数规划并不是线性规划取整。求解整数规划可用分支定界法和割平面解法。分支定界解法，就是只检查可行的整数部分，就能定出最优的整数解，可用于解纯整数或混合的整数规划问题。整数规划的求解例图2-76

三个约束的二维坐标系1234056781234678959x1+8x2=567x1+22x2=70z=x1+x2①

分支定界解法分支定界解法整数规划的求解迭代过程图整数规划的求解②

割平面解法先利用单纯形法解其松弛问题，若最优解中X*的所有分量均为整数，则原问题得到最优解，否则，从X*的非整数分量中选一个，用于构造一个线性约束条件，将其加入最终单纯形表中在继续求解．重复上述步骤，直到获得整数最优解为止。现实生活中经常遇到这样的问题，如某单位需要完成n项任务，有n个人可承担这些任务。由于每个人专长不同，各人完成任务不同（或所耗费时间），效率也不同。于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务的总效率最高（或所需总时间最小）的问题。这类问题被称为指派（分配）问题（assignment

problem）。整数规划的求解问题要求极小化时的数学模型是：整数规划的求解约束条件②说明第j项任务只能一人完成：约束条件③说明第i人只能完成一项任务。约束条件②~④的可行解可写成表格或矩阵形式，称为解矩阵。整数规划的求解第一步：使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列都出现0元素。整数规划的求解反复进行前两步直到0元素都被圈出和划掉为止这表明，甲加工D，乙加工B，丙加工A，丁加工C，所需总时间最少。

第一步：变换系数矩阵。第二步：用最少的直线覆盖系数矩阵中的零元素，若直线数等于矩阵阶数n，则已得到最优解，可用画圈的方法确定独立零元素。否则转第三步。第三步：对于系数矩阵中未被直线覆盖的元素选取最小者θ

，所有未被直线覆盖的元素都减去θ，而被一条直线覆盖的元素不变，被两条直线覆盖的元素加上θ

，转第二步。

整数规划的求解匈牙利解法的一般步骤:→-1-7-6-6-6-4-3因为可以覆盖所有０元素的最少直线为４条，小于矩阵阶数，故独立０元素个数小于阶数，非最优。转下一步调整。

整数规划的求解→

整数规划的求解→-1-1+1

C’’已有５个独立的０元素，故可以确定最优的指派方案X。在很多管理情境中，企业面临着多阶段（可以体现为空间、时间等维度）的决策问题，每一阶段的最优决策不仅受制于当时的实际情况（比如当时具备的资源)，而且要考虑到该决策对未来的影响。因此，不同阶段的决策是彼此关联的。动态规划提供了一种解决多阶段决策过程最优化的数学方法。第四章动态规划多阶段决策过程的最优化所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程:它可以分为若干个互相联系的阶段(称为时段)，在每一阶段都需要作出决策。这个决策不仅决定这一阶段的效益,而且决定下一阶段的初始状态。每个阶段的决策确定以后,就得到一个决策序列,称为策略。多阶段决策问题求一个策略,使得整个活动过程的整体效果最优。243254354735358235724332图2-78

简单的线路网图动态规划的基本概念：

⑴

阶段：将所给问题的过程，按时间或空间特征分解为若干相互联系的阶段，以便按次序去求每一阶段的解。用k表示阶段变量。⑵状态：各阶段开始时的客观条件叫做状态。描述各阶段的客观条件的变量称为状态变量sk

，状态变量sk的取值集合称为状态集合,用Sk表示。

状态应具有如下性质：当某阶段状态给定后，在这阶段以后过程的发展不

受以前各段状态的影响。这种特性称为状态的无后效性。多阶段决策