2025年中考数学押题：几何图形选填压轴题（解析版）

几何图形选填崖轴题

目录

解密中考..................................................................................1

题型特训提分..............................................................................2

【题型一】平行线中求角的度数............................................................2

【题型二】三角形中求线段戢角............................................................5

【题型三】多边附中求线段或角...........................................................10

【题型四】四边形中求线段或.角...........................................................13

【慝型五】国中求线盘或角...............................................................19

【题型六】国中求扇财或不规则图移的面积................................................23

【题型七】图形平移中求线段我角.........................................................27

【慝型八】图形於桥中求线盘或角.........................................................32

误区点找.................................................................................36

易售点一:舒展三角形多解题漏解........................................................36

易臂点二:直角三角形多解题漏解........................................................43

解密中考

考情分析:几何图形选填压轴题含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题是全国中考的热点内容，更是

全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，以等腰三角形、直角三角形等为基础的多解题,特殊四边形与圆为载体的几何求解问题是

高频考点、必考点，所以必须提高对几何图形性质的理解和掌握。

2.从题型角度看，以选择题、填空题最后一题为主，分值3分左右，着实不少！

备考策略:几何图形选填压轴题备考需聚焦高频考点，如动态最值、多结论推理、几何变换综合。首先夯实基

础,熟背全等/相似判定、解直角三角形、圆的性质等核心定理，归纳手拉手、将军饮马等经典模型。训练时注重

特殊值法、极限位置法快速排除选项，结合尺规作图辅助分析,错题按“条件-突破口-易错点”分类整理。考前

限时刷题保持题感，重点突破图形折叠、动点轨迹等复杂情境，提升数形结合与逆向推导能力。

题型特训提分

【题型一】平行线中求角的度数

1.（2025•全国•二模）如图是一款手机支架，若张角/BCD=70°,支撑杆CB与桌面夹角NB=65°,那么此

时面板CD与水平方向夹角N1的度数为（）.

C.65°D.70°

【答案】A

【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用

【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的

关键.由题意可得：DE///DEC=/B=65°;然后根据三角形内角和定理即可解答.

【详解】解:如图，过点D作DE〃AB,

NDEC=/B=65°,

•//BCD=70°,

：.Z1=180°"BCD—ZCED=45°.

故选：A.

平行线中求角的度数，先辨角的位置关系（同位角、内错角、同旁内角），直接用定理转化。遇拐点

型等）过点作平行线，分解图形为基本模型。结合对顶角、邻补角及三角形外角性质，标

注已知角逐步推导，复杂图形可拆分或延长线段显化关系，注意隐含平行条件（如矩形对边、三角板

直角边）。

2.（2025•上海闵行•模拟预测）如图，已知AB〃CD,EF交CD于点及NA=30°,/LEF=50°,那么ZF=

【答案】20

【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质

0

【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；

由平行线的性质推出/BMF=/DEF=50°,由三角形的外角性质即可求出NF的度数.

【详解】解：•••AB〃CD,

NBMF=NDEF=50°,

：./F=ZBMF-ZA=50°-30°=20°.

故答案为：20

3.（2025•山西忻州•模拟预测）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中

AB,CD都与地面Z平行，ZBCE>=60°,434。=55°,若力M7/8。,则NM4c等于（）

A.90°B.65°C.60°D.75°

【答案】B

【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数

【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键.先根据平行公理推论

可得AB//CD,再根据平行线的性质可得AACD=125°，从而可得AACB=65°,然后根据平行线的性质求解

即可得.

【详解】解：GD都与地面，平行，

：.AB//CD,

：./BAG+乙4c0=180°,

/BAG=55°,

ZACD=180°-55°=125°,

•//BCD=60°,

AACB=NACD-ZBGD=65°,

AMUBC,

：.乙肱4。=乙4cB=65°,

故选：B.

4.（2025•山西・一模）如图，一条光线AB经平面镜的反射光线BC经凹透镜折射后，其折射光线CD的反向

延长线过凹透镜的一个焦点网.已知光线AB的入射角为45°,反射光线8C与折射光线CD的夹角

NBCD=155°,则光线CD与光线48所夹的锐角为（）

I)

【答案】A

【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用

【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角

形的相关性质成为解题的关键.

如图：延长相交于点E,由题意可得：4耳8。=乙4_571=/283=/£83=45°,由邻补角的定义可

得NBCE=25°,再根据三角形外角的性质可得ABGE=70°,再最后根据三角形内角和定理求得NBEG即

可.

【详解】解:如图：延长相交于点E,

由题意可得：NHBC=NABH=2CBG=NEBG=45°,

•：/BCD=155°,

ABCE=180°-/BCD=25°,

ABGE=NBCE+ZCBG=70°,

•/ABGE+AEBG+4EBG=180°,

/BEG=180°-ABGE-2EBG=65°.

故选4

5.（2025•山东青岛・模拟预测）2023年5月底，由中国商飞公司制造的C919圆满完成商业首飞，对中国涉足

国际航空领域大国政治具有象征意义.如图是C919机翼设计图，已知乙BCD=153°,DE；与

水平线的夹角为17°,则ACDE等于.

【答案】46°

【知识点】平行线的性质在生活中的应用、根据平行线判定与性质求角度

【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作DF〃人B,CG〃人B,则。尸〃CG〃4B,根据平行线得

到乙4BC=/BCG=90°,/DCG=/FDC=63°,最后根据/CDE=/EDC—/FDE代入计算即可.

【详解】解:如图，作。?〃AB,CG〃AB,点G在点。右边，点。在点F右边，

•：BC±AB,

：./AB。=90°,

•：CG//AB,

A/AB。=/BCG=90°,

/BCD=153°,

AADCG=NBCD-ABCG=153°-90°=63°,

•：DF//CG,

：.NDCG=2FDC=6考,

•.♦DE与水平线的夹角为17°,

ZFDE=17°,

：.NCDE=AFDC-AFDE=63°-17°=46°,

故答案为：46°.

【题型二】三角形中求线段或角

6.（2025•陕西咸阳•一模）如图，在△48。中，点。，E分别是边的中点，连接AD,0E.若4ABC

的面积是8,则△BDE的面积是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【知识点】根据三角形中线求面积

【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键.根据三角形的中线

与面积公式即可得到结论.

【详解】解：♦.•点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8,

S&ABD=—SAABC=4,

•••E是AB的中点，

故选：A.

口圆巧

三角形中求线段和角，先判三角形类型（等腰、直角等），用对应性质（等边对等角、勾股定理）。线段

常借全等/相似转化，遇中点连中线、倍长法,截长补短处理和差;角度用内角和、外角定理,结合角

平分线、三角函数（正弦/余弦定理），复杂时作高或辅助线构造基本图形推导。

7.（2025•广东东莞•模拟预测）如图，在△4BC中，=4D是NR4C的平分线.若AB=10,AD=

6,则的长为.

【答案】16

【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形

【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.根据等腰三角

形的性质得到AD_LBC,=CD,根据勾股定理即可得到结论.

【详解】解：•.•AB=4C,AO是/BAC的平分线，

:.AD_LBC,BD=CD,

：AB=10,人。=6,

BD=y/ABi-AD-=8,

/.BC=2BD=16,

故答案为：16.

8.（2025•河南关B州•模拟预测）如图，在△ABC中，乙4cB=90°,设="且①+'是定值，点。

是4。上一点，点E为中点,连接CE,将线段CE沿绕点E顺时针旋转90°,得到线段EF交AC于点

G,若点A关于直线0E的对称点恰为点尸，则下列线段长为定值的是（）

A.ADB.CDC.CGD.DE

【答案】B

【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与

性质综合

【分析】连接ED,DF,AF,在4。上取点H,使CH=BC,连接BH，过点E作EK_L4。于点K,根据直角三

角形的性质得出AE=CE=BE,设乙BAC=a，则乙阳。=2/BAC=2%求出AEAF=y（180°-ZABF）

=45°+a,得出ADFA=ADAF=45°+a—a=45°,求出AADF=180°-45°-45°=90°,得出4EDC=135°

一90。=45。，求出S=BC,/HCB=90°,得出BH=J1BC=为，/出AH=AC-BC=t—y,AD=DK

x+y

二卷入仁得二即二得用二乎/从而求出CD=AC-AD=x-^^-CG=CD-DG=

NZZ/Z2

x+y22

y(^~y)=x+y即可得出答案.

22x2x

【详解】解:连接即，DF,AF,在力。上取点H,使CH=BC=y,连接过点E作EKLAC于点K,如图

所示:

•.•在4ABC中,乙4cB=90°,点E为4B中点，

：.AE=CE=BE,

：.ABAC=NACE,

根据旋转可知：EF=CE,NFEC=90°,

/./\AEF和△CEB为等腰三角形，ZAEF+ACEB=180°-90°=90°,

设/A4C=a,则ABEC=2ABAC=2a,

乙4EF=90°—2a,

/.NEAF=y(180o-ZA£；F)=45°+a,

根据轴对称可知：AD=OF,NADE=AFDE,

：.ADFA=ADAF=45°+a—a=45°,

NADF=180°-45°-45°=90°,

：.DF±AC,

/ADE+AADF+AFDE=360°,

NADE=2FDE=135°,

/血。=135°—90°=45°,

,:CH=BC,ZHCS=90°,

/BHC=45°,BH^V2BC^V2y,

AH—AC—CH—x—y,

・・・4EDK=ABHC,

：.ED//BH,

.AP=钻=i

：.AD=DK=^-AH=^^-,

22

/.DE为△ABK的中位线,

:.ED=^BH=^y,

.•.DE、AD均不是定值，

.•.CD为定值，

•：EK±AC,FD±AC,

：.EK//DF,

・・・/FDK=/BCA=90°,

：.DF//BC,

：.DF//EK//BCf

.AK=AE=1

・・・EK为△ABC的中位线，

・・・EK=^BC=j-yfAK=j-AC=j-xf

DK=AK-AD=-j-x-=y?/,

•：EK//DF,

MDFG〜/\KEG,

Ly

.DG_DF「2=x-y

GK一酝—工，—y

2yy

DG=x-y

iy-DGy

nG-y)

：.DG=

2x

:.CG=CD-DG=^^-y(x-y')_x-+y2

2x2x

.•.CG不是定值，

综上分析可知，CD为定值,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位

线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定

和性质.

9.（2025•辽宁•一模）如图，在△ABC中，AC=BC,以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交47、8C于

点、E,再分别以点E,斤为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G,作射线CG交48于点

过点。作DH//BC交AC于点H.若CH=a，则BC=（用含a的代数式表示）.

【答案】2a

【知识点】作角平分线（尺规作图）、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合

【分析】由作法得CD平分乙4CB,证明DH=CH=a,AH=DH=a,再证明△ADH■〜△ABC,再利用相似三,

角形的性质可得答案.:

【详解】解：由作法得CD平分乙4cB,；

:"ACD=/BCD,\

........……____—_4

•：DH//BC,

・・.AHDC=/BCD,/ADH=AABC,

：.4ACD=/HDC,

:.DH—CH—a,

・・・AC=BC,

：.乙4=/ABC,

・・.ZA=ZADH9

:.AH—DH—a,

•：DH//BC,

・・・AADH〜AABC,

.AH=DH

"AC-BC?

.DH=AH=a=1

"BC-AC-2^-T，

・・.BC=2a.

故答案为：2Q.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明

Q是解本题的关键.

10.（2025•陕西西安・一模）如图，在四边形ABCD中，连接BO,NADB=NCBZ?=90°,NBDC=2NABD.

已知E是BC边上的一点，连接现;，过点石作EFLCD于点尸，且BE=EF.若80=3,CD=5,则

的长为.

【答案】竽

【知识点】内错角相等两直线平行、角平分线的判定定理、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质

求解

【分析】结合题意,再根据角平分线的判定可得DE平分4BDC,利用平行线的判定，可推出四边形ABED是

平行四边形，即AB=DE,根据勾股定理可得BC=^/CD2-BD2=V52-32=4,设BE=EF=’,再利用

SGBC=B*D=迎产+CD-EF,代入数值解方程可得BE=EF=今,再利用勾股定理可得AB=

DE=^~.

【详解】解：•••/CBD=90°,EF_LCD,BE=EF,

:.DE平分2BDC,

：.ZBDE=2EDC,

•：ZBDC=24ABD,

：.NABD=ABDE,

：.AB//DE,

ZADB=ZCBD,

：.AD//BE,

四边形ABED是平行四边形，

/.AB=DE,

•:BD=3,CD=5,/CBD=90°,

ABC=^CD2-BD2=V52-32=4,

设BE=EF=5

..a_BCBD_BE-BD,CD-EF

'~2―2H2，

-4xl3^5^

"2=2+2，

解得工=年，

：.BE=EF=^,

：.DE=y/BD2+BE2=砂+^j=,

：.AB=DE=^~,

故答案为：呼.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行线的判定，勾股定理，角平分线的判定，熟练掌握以上

知识是解题的关键.

【题型三】多边形中求线段或角

11.（2025•河南驻马店•一模）如图，直线。〃，2，正五边形ABCDE的边AB在直线上,顶点。在直线h上,

过点。作正五边形的对称轴分别交于点G,H,尸，则NOGF的度数为（）

A.18°B.30°C.36°D.42°

【答案】A

【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、正多边形的内角问题

【分析】本题考查了正五边形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，掌握正多边形的内角问题是解题的关

键.

过点。作DQ，AB于点Q,先求出正五边形的内角NEDC=ADCB=108°,再根据其轴对称性求出Z1,

/2,再由三角形的外角性质即可解决.

【详解】解:过点。作。Q，AB于点、Q,

_____________________________

•/NEDC=4DCB=21180=10go

5

,/IJ/l2,DQ±AB,

：.DQJ_Zi,

•.•正五边形是轴对称图形，

/I/DC®=54°,ACDQ=^EDQ=yAEDC=54°,

Z2=90°-ZCDQ=36°,

ZnGF=Zl-Z2=18°,

故选：A.

本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数交点的求解，以及锐角三角函数的应

用，正确添加辅助线是解题的关键.

12.（2025•上海杨浦•一模）如图，已知正五边形ABODE的边长是4,联结AC.BD交于点F,那么CF的长是

【答案】-2/-2+2

【知识点】等腰三角形的性质和判定、正多边形的内角问题、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题考查了正多边形内角和定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等，先求出

ACBD=ACDB=ZACB=36°，则可求出=CF,2DFC=2DCF，则。F=。。=4,设BF=CF='，则

BD=①+4,证明△FBC〜△CBD，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可.

【详解】解：；五边形ABCDE是正五边形，

:.BC=CD=4,/BCD=I8。*（5-2）=侬。，

5

=o,

ACBD=ZCDB=180。-jBCD3g

同理可得乙408=36°,

NFBC=ZFCB=ACDB=36°,

ADCF=ZBGD-ABCA=72°,ADFC=AFBC+ZFCB=72°,BF=CF,

ZDFC=ZDCF,

:.DF=DC=4,

设BF=CF=c，则BD=2+4,

•/ZFBC=AFCB=ACDB=36°,

/XFBC〜/\CBD,

.BDCD0nx+44

••而=—=7

解得a;=2A/5—2或2=-2V5-2（舍去），

CF=2V5-2,

故答案为：2函一2.

13.（2025•安徽蚌埠•一模）如图,将正五边形沿BF折叠，若21=18°,则N2的度数为（）

【答案】。

【知识点】正多边形的内角问题、折叠问题

【分析】本题考查了正多边形的内角和以及折叠的性质，根据多边形内角和可得/C=/。=NABC=108°,根

据折叠的性质得出/CBF=45°,进而根据四边形内角和为360°,即可求解.

【详解】解：五边形ABCDE是正五边形，

ZC=ZD=ZABC=（J*18。=108"

5

由折叠的性质得，ZCBF=ZCfBF

VZ1=18°,

/.4CBF=/C'BF=］（108°—18°）=45°

在四边形BCDF中，

Z2=360°-ACBF-/C—=360°-45°-108°-108°=99°

故选：D.

14.（2025•福建漳州•模拟预测）中国古建筑中的字台楼阁很多都采用八边形结构.如图1是漳州市威镇阁,

其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图2所示，则这个正八边形的一个外角的度数为

图】图2

【答案】45

【知识点】正多边形的外角问题

【分析】本题考查多边形的外角和.熟练掌握多边形的外角和为360°,是解题的关键.根据多边形的外角和进

行计算即可.

【详解】解:正八边形的一个外角的度数为360°+8=45°,

故答案为：45.■

15.（2025•陕西咸阳•一模）如图是由正方形尸和正五边形4BCDE叠放在一起形成的图形，点G是边［

CD的中点，则ZAOF的度数为.

……____……—/

【答案】36°/36度

【知识点】正多边形的内角问题、直角三角形的两个锐角互余

【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的内角和定理的应用，根据正五边形的内角和可得=

108°,结合直线AG为正五边形的对称轴，可得NEAG=/A4G=1x108°=54°,进一步结合正方形的性质

可得答案.

【详解】解：：正五边形ABCDE,点、G是边CD的中点，

/EAB=（5-2］义180=log。,直线AG为正五边形的对称轴,

5

NEAG=NBAG=x108°=54°,

,:正方形OFBP,

：.ZAPO=/1OPB=90°,

：.乙4OP=90°—54°=36°;

故答案为：36°

【题型四】四边形中求线段或角

16.（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）如图，LJABCD中，以点口为圆心,适当长为半径作弧,分别交BA,BC

于点E,尸，分别以点E和点尸为圆心，大于皆即的长为半径作弧,两弧在AABC内交于点O,作射线

交AD于点G,交CD的延长线于点若48=3〃=3,3。=5,日2的长为（）

【答案】B

【知识点】作角平分线（尺规作图）、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定

与性质综合

【分析】本题考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性

质，由角平分线的定义结合平行四边形的性质可得4G=4B=3,DG=AD-AG=2,证明/XABG〜

^DHG,由相似三角形的性质计算即可得解.

【详解】解：由作图可得：平分AABC,

・•・/ABH=/CBH,

・・・四边形ABCD为平行四边形，

・・.AB//CD,AD//BC,AD=BC=5,

：.AAGB=ZHBC,

：.4ABH=AAGB,

：.AG=AB=3,DG=AD-AG=2f

・・・ABIICD,

・・・丛ABGsRDHG,

.AG_^BG_即3=BG

"DGGH923，

・•.BG/

故选：B.

技I巧

四边形中求线段和角，先判类型（平行四边形、梯形等），用对应性质（对边平行、对角线平分等）。线

段常连对角线分三角形,借全等/相似、勾股定理转化,梯形作高或平移腰;角度用内角和360。,结

合平行线性质、三角形外角定理，遇中点连中位线，复杂图形补形或拆分基本模型推导。

17.（2025•河北石家庄•一模）如图,在菱形4BCD中，对角线AC,AD相交于点0,47=6,AABC=120°.

点人与4关于过点O的直线I对称，直线，与人。交于点P.当点4落在BD的延长线上时，AP的值

【答案】3g-3

【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算

【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，轴对称的性质，连接A4,过P作PEUAO于H,由菱形的性质

推出4。_1打0,4。=9>1。，>1。平分ADAB,ADIIBC,得到NABC+ABAD=180°,求出NBAD=60°,

求出APAO=30°,40=3,由轴对称的性质推出直线Z垂直平分AA',得至IOA=OA,由等腰三角形的性质

得到/AOP=45°,判定△POH是等腰直南三角形，得到PH=,设=力，由tanAPAH=第,求出

AH—，得到V3x+rc=3,求出x=――，由含30度角的直角三角形的性质得到AH—2PH=3A/3

一3.

【详解】解:连接44,过P作PHJ_49于

________0

・・•四边形4BCD是菱形，

・・・ACrBD,AO=^-AC,AC平分/BAB,AD//BC,

：.AABCA-ABAD=180°,

・・・ZABC=120°,

・・・/历10=60°,

・・.N_B4O=/BAD=30°,

•・・AC=6,

:.AO—3,

・・,点A与A关于直线/对称，

・••直线/垂直平分44、

：.OA=OA\

・•・直线Z平分乙4OD,

・・.ZAOF=45°,

・・・AFOH是等腰直角三角形，

:・PH=OH,

设PH=%

ta.nZ.PAH—tan30°=勺=

fAH3

PH=A/3T,

T=3,

._3(V3-1)

"X~2，

/PAH=30°,AAHP=90°,

/.AP=2PH=2x=3V3-3.

故答案为：3，^-3.

18.（2025•广东东莞•模拟预测）如图，在矩形中，AB=3,4,对角线与相交于点O,点H为射线延长线

上一点，连接C归交人。于点E,若AH=1,则0H的长度为（）

口V26c2。

A—

20.,D呼

【答案】。

【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判

定与性质综合

【分析】本题考查了中位线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，取AD的中点F,连接

OF,则可得AFOE〜AAHE，则可求得AE,再利用勾股定理，即可解答,作出正确的辅助线是解题的关键.

【详解】解:如图，取AD的中点F,连接OF,

，:四边形4BCD是矩形，

DO=BO.NDAB=90°,

•.•点F是D4的中点，

.•.OF是△ZMB的中位线，

：.OF=^-AB=^,OF//BH,/OFE=90°,

：.ZFOE=ZH,ZOFA=ZEAH=90°,

.•.△FOE〜△AHE,

.FEEO_FO_3

,,亚一施一商一E'

•/AF=^-AD=2,

■-AE=^,

5

根据勾股定理可得HE=-JAH-+AE1=坐匚，

5

.CF—何y3_3V41

・QE-丁义2-

：.OH=OE+EH=^^~,

.LU0Zi

故选：D.

19.（2025•北京海淀•模拟预测）如图，正方形边长为a,点后是正方形ABCD内一点，满足ZAEB=90°.连

接CE,则下面给出的四个结论中，所有正确结论的序号为（）

①AE+CE>Ma；②CEM在4a；③ABCE的度数最大值为60°；④当CE=a时，tanAABE=

1；

~2'

A.①②B.①④C.①②③D.①③④

【答案】B

……____——血

【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、解直角三角形的相关计算

【分析】本题主要考查了圆与正方形综合、解直角三角形、勾股定理等知识点，根据题意得到点E的运动轨迹

是解题的关键.

如图：连接AC交BD于取AB中点O,连接OC,先证明点E在以点。为圆心，AB为直径的圆上运动，当

A.E,。三点共线，即点E运动到点H时AB+CE=47,当。、O、E三点共线时，CE有最小值，据此可判断

①②;如图：当CE与。O相切时/BCE有最大值,证明①△OBC空出△OEC,得到CE=BC=a,AOCE=

20cB,则tanZOCE=萼=4，再证明/ABE=ABCO=NOCE,得至Utan/ABE=tan/OCE=4，即

CE22

可判断③④.

【详解】解:如图：连接AC交BD于取AB中点O,连接OC,

•.•四边形ABCD是正方形，

4D

，一—7~一-------------71

~-

BC

：.ZAHB=90°;

•/AAEB=90°,

.•.点E在以点O为圆心，AB为直径的圆上运动，

•/ZAHB=90°,

.•.点H在。。上，

•：AE+CE>AC=V2AB=V2a,

：.当A、E、。三点共线，即点E运动到点H时，AE+CE=AC,故①正确;

•.•点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，

当C、O、E三点共线时，CE有最小值，

在Rt/\OBC中，由勾股定理得OC=VOB2+BC2=卓华

CE的最小值为^~a—~，a=辰?1a,故②错误;

如图：当CE与<30相切时/BCE有最大值，

/D

“7'•------------------1

OB=OEQC=OC

・・・Rt/XOBC^Rt/\OEC(HL),

:,CE=BC=a,AOCE=AOCB

：.tanZOCE=,

.'.ZOCE^30°,

ZBCE#60°,

A/BCE的度数最大值不是60°,故③错误；

,:BC=EC,OB=OE,

：.OC垂直平分BE,

NABE+NBOC=NBOC+2BCO,

：.NABE=ZBCO=ZOCE,

tanAABE=tanZOCE=--,故④正确.

综上，正确的有①④.

故选：B.

20.（2025•山西忻州•模拟预测）在矩形ABCD中，AB=3,4D=3四,对角线AC,交于点O,过点A作

AE±BO,垂足为E,N为AD中点,连接BN交AE于点P,则PE的长为.

【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相

关计算

【分析】如图，延长AE交BC于点7/,先利用三角函数求得AABD=60°,得出AABO为等边三角形，得出BE

=EO、DE=3BE，再证出4ADE〜AHBE和AANP〜AHBP，得出PH=4g，进而即可得解.

5

【详解】如图，延长AE交BC于点X,

在矩形ABCD中，

AB=3、AD=3存ABAD=90°,

ADL

：.tanAABD———二V3,

AB

：./ABD=60°,

•.•四边形ABCD是矩形，

AC=BD,AO=^-AC.BO=^-BD,

:.AO—BO,

・・・△ABO为等边三角形，:

•：AE±BO,；

:・BE=EO、DE=3BE,\

•：ADUBC,\

........……____——”

・•.ZADE=4EBH,ZDAE=/BHE,

・・・4ADE〜

・・・AD=3BH、AE=3EH,

・・・BH=®AH=4HE,

在Rt/\ABH中，由勾股定理可得AH=2V3,

・・・AD//BC,

・・・丛ANP〜丛HBP,

•・・N为AD中点、,

：.AN=^~,

.=3

••丽一］，

:.PH=^AH=%I,

55

故答案为：笔

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握

以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键.

【题型五】画中求线段或角

21.（2025•河北保定•一模）如图，4B,。是圆O上的三点，已知/O4B=21°,那么/C的度数为（）

A.60'B.611C.681D.691

【答案】。

【知识点】等边对等角、圆周角定理

【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键.连接OB,先根

据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得ZO的度数，再根据圆周角定理即可得.

【详解】解:如图，连接OB,

•：OA^OB,=21°,

ZOBA=ZOAB=21°,

ZO=180°-AOBA-ZOAB=138°,

由圆周角定理得：/C=；/O=69°,

故选：D.

圆中求线段和角，紧扣圆的性质：连半径、作弦心距，构造直角三角形（半径、半弦、弦心距）,用垂径

定理、勾股定理求线段;借圆周角定理（同弧/等弧、直径对直角）、圆心角定理、弦切角定理转化角

度，圆内接四边形对角互补。遇切线连切点与圆心，遇交点用相交弦/切割线定理,辅助线多围绕

“弧-角—线段”对应关系推导。

22.（2025•天津•一模）如图，04交（DO于点8,AC切。。于点C,。点在0O上，若=26°,则NA为

【答案】38°/38度

【知识点】圆周角定理、切线的性质定理

【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，利用圆周角定理求出AAOC=52°是解

题的关键.先由圆周角定理得到AAOC=52°,由切线的性质得到NACO=90°,即可利用三角形内角和定理

求出ZA的度数.

【详解】解：26°,

乙4OC=2/。=52°,

AC切（30于点。，

A/ACO=90°,

乙4=90°—乙40。=38°,

故答案为：38°.

23.（2025•湖南衡阳•模拟预测）如图，在。。中，是切线，切点是直线CO交。。于点。，A,点E为

。。上的一点，连接班；，。石.若NC=24°,则NE的度数为（）

A.66°B.33°C.34°D.24°

【答案】B：

__血

【知识点】直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、切线的性质定理

【分析】考查切线的性质、直角三角形锐角互余、圆周南定理及推论,如图所示，连接OB,首先由切线得到

/OBC=90°,然后求出/BQD=90°-/。=66°,最后利用圆周角定理求解即可.

【详解】如图所示，连接OB,

；BC是。。的切线，切点是B

.­.ZOBC=90°

在RtLOBC中，/C=24°

AZBOD=90°-ZC=66°

•.•圆周角/E与圆心角ABOD所对的弧是BD,

Z£；=yZBOn=33°.

故选：B.

24.（2025•江苏南京•二模）如图，内接于0O,AACB=90°，点。在前上，4E，CD于点E.若

Zl=30°,BB=6,则CE的长为

【知识点】含30度角的直角三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题考查了圆周角的性质，相似三角形的判定和性质.关键是添加适当的辅助线，构造相似.连接

AD,ZADB=90°,=利用同弧所对的圆周角相等，乙4BD=/ACE,可得三角形相似，再找

到对应线段成比例即可求出.

【详解】解：连接4D.

•/ZACB=90°,^Zl=30°,

•/乙4cB=90°,

.♦.AB是圆的直径,

ZADB=90°,

•：AE±CD,

：./AEG=90°,

NADB=NAEC,

NABD=ZACE,

：.△ADB〜AAEC,

.DB_AB-

"ECAC'

■：BD=6,

：.CE=3.

故答案为：3.

25.（2025•吉林长春•一模）如图，是。O的直径，弦CD，于点G,点尸是CD上一点，且满足CF-.

。尸=1：3,连接AF并延长交。O于点E,连接给出下列结论：

®AADC=AAED-,

@AD2=AE-AF；

③当@=靛时，cos/4ED=李；

④当人斤=3,。尸=2时，△OEF的面积是40.

上述结论中，正确结论的序号是.

【答案】①②④

【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算

❷❷

【分析”艮据圆周角定理及垂径定理推出AC=AD,