2025年中考数学押题预测（南京卷02）（试卷+答案详解）

2025年中考押题预测卷（南京卷02）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，恰有一

项是符合题目要求的）

1.下列各数中，负数的是（）

C.0D.-(-3)

2.下列运算正确的是（）

A.屈-&=&B.a2-a-a2=a5C.(a4)3=a7D.(a+b)2=a2+b2

3.估计质xj+屈的运算结果应在（

)

A.4到5之间B.5到6之间C.6到7之间D.7到8之间

4.如图，四边形ABCD,已知AB=3C=6,AD=CD=4,且点。在VABC外部，则氏。之间的距离可能是

()

第4题第5题

5.如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记I,II,III部分的面积分别为航，片.给

出以下结论:

①I和II合在一起能拼成一个菱形；②ni中最大的内角是150。；③SmnZd+Su）.

其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

6.定义:在平面直角坐标系无0V中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于20）,到另一条坐标轴的距

离不大于。的点叫做该函数图象的“。方内点

对于下列四个结论：

①点（1,2）是一次函数y=2x图象的“2方内点”；

3

②函数y=—-图象上不存在“2方内点”；

x

③若直线>=履+八］的“。方内点”有两个，则-2〈左<0；

22

④当函数y=-2〃-1的“。方内点''恰有3个时，符合条件的“的值也有3个.其中正确的序

号为（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.②③④

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.）

7.因式分解：a3-4a=.

8.若三在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____.

x-3

9.已知6是关于x的一元二次方程》2一5*-2=0的两个实数根，则的值为.

10.定义：若点C把线段分成两部分，且满足较长线段是较短线段的后倍，则称点C为线段48的青铜

分割点.已知点C是线段42的青铜分割点，且AB=4,则AC=.

31

11.代数式57和代数式;的值相等，贝。尤=_______.

5x+llx

12.某种L即灯能提供4000（流明）的光通量.把它安装在某房间时，房间的光照强度/（单位：勒克斯）

与房间面积S（单位：平方米）满足关系式/=理.若要求房间的光照强度/不低于200勒克斯，则房间

的最大面积为平方米.

1

13.如图，四边形A3CD是平行四边形，AC为对角线，3ELAC于点E,CF^BE,--=-,^\S^:S^

DF2BCEACF

的值为.

第13题第14题

14.如图，在Rt/XABC中，NA=90。，AB=6,AC=8.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半

径画弧，分别交AB,AC于点N；②分别以N为圆心，大于（MN的长为半径画弧，两弧在—BAC

内交于点E；③作射线4E交BC于点A④以点A为圆心，AC长为半径画弧，交48的延长线于点X,连

接。“，则△%>”的周长为.

15.如图是由全等的含60。角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A,B,C在格点

上，贝UtanNACB的值为.

AB

第15题

16.我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”.在平面直

角坐标系中，点4（-3,1）,5（0,2）,点C在线段上运动，过C点作与x轴平行的直线/,/与抛物线

y=一人+6始终有交点.设直线/与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为〃，若〃满

足0<〃415,则6的取值范围为.

三、解答题（本大题共11小题，共88分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

2x—1<—x+2

17.（7分）解不等式组]x-ll+2x.

------<-------

[23

18.（7分）先化简，再求值：fl+—TV2一T，其中X=F―-.

Ix-1）x~-2尤+1V2-1

19.（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=H+b（左力。）的图象由函数y=2元的图象向下平移1个

单位得到.

（1）求该一次函数的解析式；

（2）对于X的每一个值，函数y=〃a+"的值都大于一次函数>=履+。小#。）的值且小于y=2x的值，直接写

出m和n的取值范围.

20.（8分）如图，VA3C内接于O,BC是。的直径，O是劣弧AB的中点，连接C。、，过点A作。

的切线交OD的延长线于点P.

⑴求证：ZP=ZB；

(2)连接AD,当=时，求证：四边形ACOD是菱形.

:

21.(8分)七巧板、九连环、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具.现将1个七巧板，2个九连环和1个鲁

班锁分别装在4个不透明的盒子中(每个盒子装1个)，所有盒子除里面的玩具外均相同.

(1)从这4个盒子中随机选取1个盒子，选中鲁班锁的概率是；

(2)从这4个盒子中随机选取2个盒子，请用画树状图或列表的方法求选中的2个盒子里都是九连环的概率、

22.(8分)为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多

彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400

名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数

据绘制了如图所示的统计图：

根据以上信息，解答下列问题：

⑴本次接受随机调查的学生有_____人，图①中的值是;

(2)本次调查获取样本数据的众数为元，中位数为元；

(3)根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数.

23.(8分)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点尸恰好看到一

颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离3Q=4m,仰角为a；淇淇向前走了3m后到达点，透过点尸恰好看

到月亮，仰角为夕，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离4?=CD=L6m,点P到8。的

距离PQ=2.6m,AC的延长线交PQ于点E.(注：图中所有点均在同一平面)

(1)求£的大小及tana的值；

(2)求CP的长及sinZAPC的值.

24.（8分）如图1,矩形ABCD中，AB=4A/3,BC=4,动点E,尸分别从点B,。同时出发，以每秒1

个单位长度的速度沿BA0c向终点A,C运动,过点A作直线砂的垂线，垂足为G.

图2

（1）当。尸=RS时，与AG的数量关系为；

（2）如图2,若AG平分运动时间为f秒，求砂的长及f的值;

⑶当运动时间t=由时，直接写出AG的长.

25.（8分）如图抛物线y=f+bx+c与x轴交于点A（-L,0）和点8,与y轴交于点C（0,—4）,其顶点为D

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）在y轴上是否存在一点使得的周长最小.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由;

⑶若点E在以点尸（3,0）为圆心，1为半径的P上，连接AE,以AE为边在AE的下方作等边三角形型,

连接罚.求3月的取值范围.

26.（8分）如图是由小正方形组成的6x9网格，每个小正方形的顶点叫做格点，VA5C的三个顶点都是格

点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.

(1)在图1中，先画将线段明绕点A逆时针旋转90。后的线段ZM,再在AC上画点E,使tanNABE=；；

(2)在图2中，先画将线段CB绕点C顺时针旋转2/4CB后的线段CP,再画FH〃AB交AC于点”.

27.(10分)综合与实践

折叠在探究问题中，是极为重要的数学问题，在如下问题探究中，回答相关问题:

【问题情境】

如图1,将矩形纸片ABCD先沿对角线8。折叠，展开后再折叠，使点B落在射线8。上，点B的对应点记为

B,,折痕与边AD,BC分别交于点E,F.

(1)【活动猜想】

如图2,当点？与点。重合时，那么四边形班DF是哪种特殊的四边形？请说明理由.

⑵【问题解决】

在矩形纸片ABCD中，若边AB=2,BC=2也.

①请判断AE与对角线AC的位置关系并仅就图3给出证明；

②当B7)=l时，请求出此时AE的长度.

(3)【拓展提升】

如图4,在正方形ABCD中，AB=46,对角线AC,相交于点。.点E是对角线AC上一点，连接BE,

过点E作分别交8。，C。于点F，G,连接3G交AC于点H,将EG"沿EG翻折，点H的

对应点尸恰好落在8。上，得到△£PG.若点G为CQ的中点，则△PPG的面积为.

2025年中考押题预测卷（南京卷02）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，恰有一

项是符合题目要求的）

1.下列各数中，负数的是（）

A.|—5|B.+（T）C.0D.—（—3）

【答案】B

【知识点】正负数的定义、有理数的分类、化简多重符号、求一个数的绝对值

【分析】此题考查了有理数的分类，绝对值求值，相反数等知识点，解题的关键是掌握负数的概念.

先将各数化简，再由负数的定义，即可得出答案.

【详解】解：A.|-5|=5>0,该选项结果为正数，不符合题意；

B.+（-4）=T<0,该选项结果为负数，符合题意；

C.0既不是正数，也不是负数，不符合题意；

D.-（-3）=3>0,该选项结果为正数，不符合题意.

故选：B.

2.下列运算正确的是（）

A.J10--\/2=y/8B.a2-ci-cT=G5C.（a4）=a，D.（a+b?=a2+b^

【答案】B

【知识点】同底数幕相乘、塞的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算

【分析】本题考查二次根式的减法，同底数累乘法运算，累的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法

则是解题的关键.根据运算法则逐一计算进行判断即可.

【详解】解：A、J记与应不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；

B,a2-a-a2=a5,正确,故此选项符合题意;

C、("4)3="2,原式错误，故此选项不符合题意；

D、(a+b^=a2+2ab+b2,原式错误，故此选项不符合题意；

故选：B.

3.估计腕xJ+g的运算结果应在()

A.4到5之间B.5到6之间C.6到7之间D.7到8之间

【答案】D

【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算、不等式的性质

【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简求值，二次根式的混合运算，无理数的估算，不等式的性质.解

题的关键在于对知识的熟练掌握并明确1.5=0^<若<2.由题意知岳xg\巫=4+2代，

1.5=VZ25<百<2,然后根据不等式的性质进行求解判断即可.

【详解】解：质xR+屈=4+26,

1.5=A/Z25<73<2,

,3<2百<4,

/.7<2A/3+4<8,

:.屈x卜月的运算结果在7到8之间，

故选：D.

4.如图，四边形ABCD,已知A3=3C=6,AD=CD=4,且点。在VABC外部，则氏。之间的距离可能是

()

B

A.4B.4.4C.9D.11

【答案】C

【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形

【分析】本题考查了三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等形的判

定和性质，勾股定理，三角形三边数量关系的计算是关键.

如图所示，连接AC,即，由三角形三边数量关系得到2<班》<10,0<AC<8,证明AABO-CBO(SSS),

ZABD=ZCBD,ABO^CBO(SAS),ZAOB=ZCOB,AO=CO,在用A03中，

BO>\/AB2-AO2=V62-42=>/20=4A/5>点。在VABC外部，即BD>3。，结合图形即可求解.

【详解】解：如图所示，连接AC,即，交于点O

在，ABD中，AB-AD<BD<AB+AD,

：.6-4<BD<6+4,gP2<BD<10,

在,AC。中，AD-CD<AC<AD<CD,

：.0<AC<8,

在和CBD中，

AB=CB

<AD=CD,

BD=BD

.ABD^CBD(SSS),

：.ZABD=NCBD,

在4ABO和C30中，

AB=CB

<ZABO=ZCBO,

BO=BO

：.iABO丝CBO(SAS),

:.ZAOB=NCOB,AO^CO,

又,/ZAOB+ZCOB=180°,

ZAOB=ZCOB=90°,

：.BD垂直平分AC,

0<AO<4,

在RfAOB中，，AB2—AO2=&2_42=病=45

点。在VABC外部，即瓦>>30,

4y/5<BD<10,

故选：C.

5.如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记I,II,III部分的面积分别为加，Sn,Sni.给

出以下结论：

①I和II合在一起能拼成一个菱形；②ni中最大的内角是150。；③Sm=2（H+Sn）.

其中正确的是（）

A.①②

【答案】B

【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、正多边形和

圆的综合

62x180

【分析】由六边形ABCDEF是正六边形，得AB=BC=CD=DE=EF=AF,ZDEF=（~）=120°,

6

从而I和II合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由NAFE=/BDE=90。，ZDBF=60°,故III中最大的内

角是120°,故②说法错误；证明，BAF-DEF空DOF空DOB乡BO-BCD,得/=4£=2（S1+Sn）,

故③说法正确.

【详解】解：如图所示:

,/六边形ABCDEF是正六边形，

62xl800

AAB=BC=CD=DE=EF=AF,ZDEF=（-）=120,

6

**-AB=BC=CD=DE=EF=AF^I和H合在一起能拼成一个菱形，故①正确；

1360°1360°

・♦.ZAFE=ZBDE=-x——x3=90°,/DBF=—x——x2=60°,

2626

・・・ni中最大的内角是120。，故②说法错误；

•・•六边形ABCDEF是正六边形，

AAB=BC=CD=DE=EF=AFfNBAF=NBCD=120。,OA=OB=OF,^AOB=^AOF=6Q°f

:..BAF"RBCD,AQB和AQF都是等边三角形，

:.AB=OB=OF=FA，

,:BF=BF,

:・-BAFWBOF,

同理可证，BAF空DEF会DOgDOB空BOF出BCD,

Sm=4,=2（Sj+SR）,故③说法正确；

故选B.

【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、

弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键.

6.定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于20）,到另一条坐标轴的距

离不大于。的点叫做该函数图象的方内点

对于下列四个结论：

①点（1,2）是一次函数y=2x图象的“2方内点”；

3

②函数y=-一图象上不存在“2方内点”；

x

③若直线>=履+左+:的吟方内点”有两个，则-2〈左<0；

2乙

④当函数、=[尤--]+]-2a-l的方内点”恰有3个时，符合条件的〃的值也有3个.其中正确的序

号为（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.②③④

【答案】C

【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值、y=ax2+bx+c的图象与性质、求反比例函数

值

【分析】本题为新定义题型，考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐

标特征.根据“。方内点''的定义，逐一判断即可.

【详解】解：①点(1,2)到无轴距离为2,到y轴的距离等于1,不大于2,

故(1,2)是一次函数y=2x图像的“2方内点”；故①正确；

②当了=—2时，y=|,贝U点(一21)至Uy轴的距离为2,到x轴的距离为不大于2,即点1-2,|J是函数

y=-三图像上的“2方内点”；故②错误；

③若直线、=履+左+g的“!方内点”有两个，

由题意知，函数图象的‘2方内点''是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与X轴、

y轴平行的正方形边上，

如图，当x=-l时，y=g,即直线过定点

当左=0时，直线y="+左+：与AD有无数个";方内点”，

对于直线P3,把点)代入＞=履+左+:中，一9+左+:=-1，

解得：k=-2,

当-2＜左＜0时，直线旷=丘+左+3与正方形ABCD的边有两个交点，表明有两个‘g方内点”，故③正确；

④抛物线丫=[-1]+[-24-1的“。方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为2a且相邻两边分

别平行于x轴与＞轴的正方形上的点，如下图；

当抛物线顶点在直线，=上时，抛物线恰有三个“。方内点”,

止匕时：——2〃一1二—解得：a=1+5/3,a=1—6(舍去)；

2

当抛物线经过点B(-a-d)时,抛物线恰有三个“。方内点”，

止匕时[一a—等]+-2a-l=-a,整理得：lla2+2a-3=0,

解得：.士反，出=土典(舍去)；

“11211

当抛物线经过点C(a,-a)时，抛物线恰有三个“。方内点”，

此时(a—a]]+^--2a—l=-a,整理得：2a—1=0,

解得：4=1+◎，a2=1—A/2(舍去)；

故正确的有①③④,

故选：C.

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.)

7.因式分解：a3-4a=.

【答案】«(a+2)(«-2)

【知识点】综合提公因式和公式法分解因式

【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.

【详解】解：1—4“=—4)=q(a+2)(a—2).

故答案为：a(a+2)(a—2).

8.若上^在实数范围内有意义，则实数》的取值范围是____.

x-3

【答案】xw3

【知识点】分式有意义的条件

【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为零是解题的关键.

根据分式有意义，分母不为零得到X-3HO,即可求解.

【详解】解：若仁在实数范围内有意义，

x-3

则x-3wO,

解得：

故答案为：xw3.

9.已知a,b是关于X的一元二次方程d-5x-2=0的两个实数根，则（4-2）2"。一切的值为.

【答案】4

【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数

【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解及代数式求值.根据一元二次方程

的根与系数的关系可得而=—2,/一5a=2,再将（。一2）2-“（1一9变形为〃一5a+"+4,最后整体代入计

算即可求解.

【详解】解：。是一元二次方程d-5x-2=0的两个实数根，

ab=-2,a2—5a—2=0,

••a2-5a=2,

（a-2）

—/—4a+4—a+ab

—/—5〃+cib+4

=2-2+4

=4.

故答案为：4.

10.定义：若点C把线段分成两部分，且满足较长线段是较短线段的夜倍，则称点C为线段的青铜

分割点.已知点C是线段48的青铜分割点，且AB=4,则AC=.

【答案】40-4或8-40

【知识点】二次根式的混合运算、两点间的距离

【分析】本题考查了线段上两点间的距离，二次根式的计算，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键.由

已知条件不能确定点C在线段上的位置，故要分情况讨论：当ACV8C时，及当AC>BC时，然后进行

求解即可.

【详解】解：分两种情况考虑，

①当ACVBC时，

根据题意设AC=a,则8C=缶，

AC+BC=AB=4,

••a+A/2«=4，

解得a—45/2—4，

即AC=4y/2-4;

②当AC>BC时，

同理可得AC=8-40,

故答案为：4a-4或8-40.

31

11.代数式仁和代数式六的值相等，则苫=_______.

DX+l2x

【答案】1

【知识点】解分式方程（化为一元一次）

【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是

解决本题的关键.通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可.

【详解】解：由题可得：二工=白，

5尤+12x

去分母得，3x2x=5x+l,

解得，x-1,

检验：当x=l时，2x（5x+l）^0,

，尤=1是所列方程的根，

故答案为：1.

12.某种LED灯能提供4000（流明）的光通量.把它安装在某房间时，房间的光照强度/（单位：勒克斯）

与房间面积S（单位：平方米）满足关系式/=用.若要求房间的光照强度/不低于200勒克斯，则房间

的最大面积为平方米.

【答案】20

【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、实际问题与反比例函数

【分析】本题主要考查了求反比例函数值，解一元一次不等式，

将/之200代入得用2200,求出解集可得答案.

【详解】解：=W，且/N200,

二.幽22。。,

S

解得SV20.

所以房间的最大面积是20平方米.

13.如图，四边形"8是平行四边形，AC为对角线，BE,AC于点E,CF〃8E,线=1,则S^BCE:S^ACF

DF2

的值为.

【答案】1:9

【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性

质及空=1,得出g=1,再判定OBCESACF，即可求解，掌握相关知识是解题的关键•

DF2AF3

【详解】解：,・•四边形ABCD是平行四边形，

ABCAD,AD=BC,

：.ZBCE=NFAC,

..BC_1

,~DF~2"

：.DF=2BC,

：.AF=AD+DF=BC+2BC=3BC,

.BC_1

**AF-3?

♦；CF〃BE,

・・・ZBEC=NFCA,

又・・•ZBCE=ZFAC,

AtBCE^cACF,

2

•uBCEBC

|=—>即S&BCE：=1：9,

一q~AF

°ACFI

故答案为：1:9.

14.如图，在RtaABC中，NA=90。，AB=6,AC=8.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半

径画弧，分别交AB,AC于点N；②分别以N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在—54C

内交于点E；③作射线AE交BC于点D；④以点A为圆心，AC长为半径画弧，交A3的延长线于点连

接DH,则△8。”的周长为.

【答案】12

【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线（尺规作图）、用勾股定理解三角形

【分析】本题考查了尺规作图.熟练掌握勾股定理，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，三角形周

长，是解题的关键.

根据勾股定理得3C=10,根据角平分线定义得NR4D=NC4。，可得AHD(SAS),得

CD=HD,AH=AC=8,得BH=2,BD+DH=BC,即得△3D”的周长.

【详解】解：•.•在RtaABC中，NA=90。，AB=6,AC=8,

BC=y]AC2+AB2=10，

由作图知，AH=AC,AE>平分，3AC,

ABAD=ACAD,

"：AD=AD,

_ACD也A/7D(SAS),

:.CD=HD,AH=AC=8,

BH=AH-AB=2,

：.ABDH的周长为：BD+DH+BH=BD+CD+BH=BC+BH=12.

故答案为：12.

15.如图是由全等的含60。角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A,B,C在格点

上，则tanNACB的值为.

【答案】正

3

【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求角度、求角的正切值

【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，连接3",则BH_LAC,设小菱形的边长是。，由△3E”是

等边三角形，得到B"=8E=2a,由NCDH=120。，CD=DH,得到C"=缶，于是tan/ACB=些=2叵

CH3

【详解】解：连接则9LAC,

•••菱形的锐角是60。,

是等边三角形,

BH=BE=2a,

过点。作。G,CH,

,/ZCDH=120°,CD=DH,

ZDCH=ZDHC=1(180°-120°)=30°,

/.CG=a-cos30°=^-a,

2

：.CH=2CG=J3a

・••tanZA加西=*=友

CH疯z3

故答案为:竽

16.我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”.在平面直

角坐标系中，点A（-3,l）,3（0,2）,点C在线段43上运动，过C点作与x轴平行的直线/,/与抛物线

、=一/一4x+6始终有交点.设直线/与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为"，若〃满

足0<九V15,则6的取值范围为.

【答案】-2<b<2

【知识点】一元一次不等式组的其他应用、y=ax2+bx+c的图象与性质

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.先

由抛物线、=-必一4》+6=-（彳+2）2+6+4得出抛物线的对称轴为直线》=一2,顶点坐标为（-2,6+4）,画出

图形，然后根据/与抛物线y=-尤②-4x+b始终有交点，直线/与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的

Z?+4>2

“整点”个数为"，满足。<“415,可得不等式组然后解不等式组即可得.

[2<b+4<6

【详解】解：由抛物线丁=一%2—4%+6=一（％+2）2+8+4,

抛物线的对称轴为直线X=-2,顶点坐标为（-2/+4）,

画出图形如下:

,-1/与抛物线>=-/一4》+6始终有交点，

：.b+4>2,

•..如图，直线/与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为"，满足0<〃V15,

b+4>2

联立:

2<Z?+4<6

解得-2"<2,

的取值范围为—2V6<2,

故答案为：-2<b<2.

三、解答题（本大题共11小题，共88分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

2x—1<—x+2

17.（7分）解不等式组]无.1l+2x.

----<-----

[23

【答案】-5<x<l

【知识点】求不等式组的解集

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小,

大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可.

【详解】解：解不等式2x-l<-x+2,得x<l,

x-1l+2x_

解不等式2<-<得x>-5,

不等式组的解集是-5<x<l.

+J+1,其中x=

（分）先化简，再求值:

18.7X2-2X+1夬中V2-1,

【答案】x-1,扬

【知识点】分式化简求值、分母有理化

【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化.原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计

算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把X的值代入计算即可求出值.

x+1（X-1）2

x-1X+1

=X—1,

1及+1

=忘+1时，原式=0+1-1=0.

当Xy/2-l（正一1）（立+1）

19.(8分)在平面直角坐标系中，一次函数、=区+6(左30)的图象由函数y=2x的图象向下平移1个

单位得到.

(1)求该一次函数的解析式；

⑵对于x的每一个值，函数>=tm+n的值都大于一次函数y=kx+b(k*0)的值且小于y=2x的值，直接写

出m和n的取值范围.

【答案】(i)y=2尤-1

(2)m=2,—l<n<0

【知识点】一次函数图象平移问题、比较一次函数值的大小

【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移和函数性质，熟练掌握函数图象平移的技巧和结合图像分析

函数值大小是解题的关键.

(1)根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行求解即可；

(2)从函数位置关系入手，根据y=2尤-1的图象和y=2元的图象平行即可确定机的值，再结合与y轴交点

即可确定九的范围.

【详解】(1)解：•.•一次函数>=履+6(左/。)的图象由函数y=2x的图象向下平移1个单位得到，

y-2x-l.

(2)解：•.•对于x的每一个值，函数y=的值都大于一次函数y=kx+b(k手0)的值且小于y=2尤的值，

二函数>=的+〃的图象在>=2x-l的图象和y=2x的图象之间,

•••y=2尤-1的图象和y=2尤的图象平行，且与y轴交点分别为-1和0,

m=2,—1<H<0.

20.(8分)如图，VABC内接于。，BC是。的直径，D是劣弧AB的中点，连接CD、OD,过点A作O

的切线交OD的延长线于点P.

⑴求证：ZP=ZB；

(2)连接AD,当=时，求证：四边形ACOD是菱形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、圆周角定理、切线的性质定理

【分析】(1)连接贝IJOALAP,得至l」ZB4C=NQ4P=90°,然后根据圆周角定理ZAOD^ZACB,而

ZP=90°-ZAOD,=900-ZACB,即可证明；

(2)先证明aAOWACB(AAS),证明是等边三角形，则NACB=60。，再证明是等边三角

形即可.

【详解】(1)证明：如图，连接。4,则。

NO4P=90°,

「BC是，。的直径，

/.ZBAC=ZOAP=90°,

：.ZACB+ZB=90°,

O是劣弧A3的中点,

:.ZACD=/BCD=-ZACB,

2

・.,ZACD=-ZAOD,

2

：.ZAOD=ZACBf

・.・NP=90°-ZAOD,ZB=90°-ZACB,

・•・ZP=ZB；

(2)证明：*;ZP=ZB,ZAOP=ZACB,AP=AB,

：.；,ACB(AAS),

・・・AO=ACf

VOC=OA,：.OC=OA=AC,

••.0。是等边三角形，

・・・ZACB=60°,

・・・ZAOD=ZACB=60°,

・；OA=OD,

：.△OAD是等边三角形，

・・・AD=OA=OD,

：.AD=OD=OC=AC,

・・・四边形ACOD是菱形.

21.(8分)七巧板、九连环、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具.现将1个七巧板，2个九连环和1个鲁

班锁分别装在4个不透明的盒子中(每个盒子装1个)，所有盒子除里面的玩具外均相同.

⑴从这4个盒子中随机选取1个盒子，选中鲁班锁的概率是；

⑵从这4个盒子中随机选取2个盒子，请用画树状图或列表的方法求选中的2个盒子里都是九连环的概率、

【答案】⑴](2)1.

【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率

【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，简单的概率公式，掌握相关知识是解题的关键.

(1)直接用简单的概率公式求解即可；

(2)画出表格，得出共有12种等可能情况，其中选中的2个盒子里都是九连环的结果数为2,即可求解.

【详解】(1)解：由题意可得，选中鲁班锁的概率是:，

4

故答案为：";

(2)解：1个七巧板和1个鲁班锁分别用A、C表示，2个九连环分别用耳，B?表示,列表如下:

ABiB2c

AAAB2AC

BiB\NB\B24C

BABC

B22B?Bi2

cCACBtcB2

共有12种等可能情况，其中选中的2个盒子里都是九连环的结果数为2,

21

•••选中的2个盒子里都是九连环的概率为：—

126

22.(8分)为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多

彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400

名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数

据绘制了如图所示的统计图：

图①图②

根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次接受随机调查的学生有人，图①中的值是;

(2)本次调查获取样本数据的众数为_____元，中位数为元；

(3)根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数.

【答案】(1)50,32

(2)10,15

(3)864人

【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、求众数

【分析】本题主要考查了抽样调查.熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，中位数，众数，样本容

量的定义和确定，用样本估计总体，是解题的关键.

（1）以5元组的4人占8%求出调查的总人数；（2）根据从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组，

得中位数为15元，10元组16人，人数最多，得众数为10元；（3）2400乘20元和30元总人数占比，即

得.

【详解】（1）解：••,4+8%=50（人），〃[％=1|xlOO%=32%,

本次接受随机调查的学生有50人,图①中机的值是32.

故答案为：50,32.

（2）..TO元组16人,人数最多，

众数为10元，

•；4元的4人，10元的16人，15元的12人，且4+16<25,4+16+12>26,

.•.从小到大排列,第25个,第26个数落在15元组,

.••中位数为15元.

故答案为：10,15.

（3）2400x^^=864（人），

故该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生约864人.

23.（8分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一

颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离8。=4m,仰角为a；淇淇向前走了3m后到达点。，透过点P恰好看

到月亮，仰角为夕，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=L6m,点P到时的

距离PQ=2.6m,AC的延长线交于点E.（注：图中所有点均在同一平面）

（D求P的大小及tana的值；

⑵求CP的长及sinZAPC的值.

BDQ

【答案】（1）45。，［

⑵血、手

【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题（解直角三角形的应用）

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；

（1）根据题意先求解CE=PE=lm,再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；

1

（2）利用勾股定理先求解CP=&m,如图，过C作于结合tana=tanNPAE===：,设

AH4

CH=xm,则Af/=4xm,再建立方程求解x,即可得到答案.

【详解】（1）解：由题意可得：PQ^AE,PG=2.6m,AB=CD=EQ=l.6m,

AE=Bg=4（m）,AC=3D=3（m）,

CE=4-3=1（m）,PE=2.6-1.6=l（m）,ZCEP=90°,

CE=PE,

PE1

/.P=ZPCE=45°,tana=tan/PAE==—；

AE4

(2)解：9：CE=PE=lm,ZCEP=90°.

•*-CP=Vl2+12=0m，

如图，过C作于

CHi

1.,tana=tanZPAE'=——=-,设CH=%m,则AH=4xm,

AH4

：.x2+(4x)2=AC2=9,

解得：x=亚,

17

/.CH,

17

3后

：...CH3A/34.

sinZAPC=-

CP近-34

24.(8分)如图1,矩形A3CD中，AB=4BC=4,动点E,P分别从点8,