2025年中考数学专项复习：相似形分类讨论问题

2025年中考复习专题：相似形分类讨论问题

1.如图，XABCsMADE,ZBAC=ZDAE=90°,与庞交于点0,AB=4,AC=3,F是DE

的中点，连接加，BF,若点£是射线％上的动点，下列结论：①△/勿s△尸附②X

BOD^^EOA,③/b吩/侬'=90。，④:BF=&AE,其中正确的是（）

A.①②B.③④C.②③D.②③④

2.如图，在RtZ\AOB中，AO=2BO=4,ZAOB=90°,点C,。分别是。4,A8的中点,

在射线CD上有一动点P.若△ABP是直角三角形，则线段PD的长为.

3.如图，D、E分别在AABC的边AC,AB±,BD与CE相交于F,若邂=力理」，AABC

EBDC2

的面积S”BC=21,那么四边形AEFD的面积等于.

4.已知：如图，AB=AC,AE+CE=CD,ZAEC=2ABCD,则鲤■=

CD

A

5.如图，在△AC。中，AD=6,BC=5,AC2=ABCAB+BC),且48s△ocA,若A。

=3AP,点。是线段AB上的动点，则尸。的最小值是（）

「脏D

2-f

6.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,点M、N分别在A3、2C边上，将AAWB沿

翻折得到AMNE>,ON与AC相交于点E,若BM=2AM,AC=4,BC=8,CE=1,

则CN的值是

7.如图，为了估测笔直的公路/旁边矩形场地ABC。的面积，在公路/上依次确定点E,F,

M,N,使AEJJ,BFM,点N,A,B在同一直线上，NCMN=/AFE,并测得EF=20

米，FM=10米，A/N=15米，/ANE=45°,则矩形场地A2C£>的面积为米2.

8.如图，边长为5c7"的正方形ABCD,E,尸分别从A,8两点同时出发，以lc%/s速度沿

射线射线8C运动，连结AROE交于点P,G为AQ中点，连结尸G,PB,若^

POG与△A2P相似，则运动时间f的值为.

9.如图，在矩形ABC。中，AB=2,AO=8,点E,尸在BC上，点G是射线。C与射线

的交点，若BE=1,ZEAF=45°,则AG的长为.

10.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线

段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，

另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线.在aABC中，

ZA=50°,CD是△ABC的最美分割线.若△AC。为等腰三角形，则/ACB的度

数一

11.如图，在平面直角坐标系xOy中.边长为4的等边△OA8的边04在x轴上，C、。、E

分别是42、0B、上的动点，且满足BO=2AC,DE//AB,连接C。、CE,当点E坐

标为时，△CDE与XNCE相似.

12.如图，在正方形ABC。中，AB=4,〃为BC的中点，点N在射线上，过点N作

于点E,连接儿W,请探究下列问题：

(1)处=；

AN一

(2)当△MEN与相似时，AN=.

13.如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示

意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G,重锤挂在点尸，点A为支点，点D是水平底板BC上

的一点，AD=AC=3米，C£)=3.6米.

(1)投石车准备时，点G恰好与点8重合，此时AG和AC垂直，则AG_米.

(2)投石车投石瞬间，AP的延长线交线段。C于点E,若DE：CE=5：1,则点G的

上升高度为米.

14.如图，在△A8C中，ZACB=90°,AC=6,8C=8,。是斜边A8上一个动点，E是

直线BC上的一个动点，将AABC沿ZJE折叠，使点8的对应点F落在直线上，连接

CF,当是直角三角形时，线段8。的长为.

15.如图，及△ABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,D,E分别是边AB,AC的中点，F

为。E边上一动点，尸G_L2C于G,GH〃BA交AC于H.

(1)FG=；

(2)当△人7//和△ABC相似时，FH=

16.如图，RtZvlBC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,点、P,Q分别为48,BC上一个

动点，将△PQB沿尸。折叠得到△P。。，点2的对应点是点。，若点。始终在边AC上，

当△APO与△ABC相似时，AP的长为.

17.如图，矩形ABC。中，AB=3,8C=4,点E是矩形ABC。对角线AC上的动点，连接

DE,过点E作交BC所在直线与点R以DE、所为边作矩形。E/G,当S矩形

DEFG=9"时，则AE长为.

2—

18.如图，在RtZxABC中，ZACB=90°,ZCBA=30°,AC=1,。为AB上一动点(点

。与点A不重合).若在△ABC的直角边BC上存在一点E,使△AOE与△ABC相似，

则AD的值为—.

19.如图，在平面直角坐标系中，边长为6的等边三角形的边OA在x轴上，点C、

点。、点£分别为A3、0B、。4上的动点，且满足：BD=2AC,DE//AB,连接CZX

CE,当△(?£比与△ACE相似时，点E的坐标为.

20.如图，在矩形/戊/中，AB=6cm,BC=8cm,动点尸以2c〃/s的速度从点/出发，沿4c

向点C移动，同时动点0以IcMs的速度从点C出发.沿/向点6移动，设只0两点移动

ts(0<t<5)后，△期的面积为S”

(1)在20两点移动的过程中，的面积能否等于3.6c勿”若能，求出此时力的值;

若不能，请说明理由；

(2)当运动时间为多少秒时，△CF0与△06相似.

21.如图，在△/回中，ZC=90°,AC=6an,BC=3cm,D、£分别是/C、46的中点，连接

施.点尸从点，出发，沿庞方向匀速运动，速度为IcWs；同时，点0从点方出发，沿

掰方向匀速运动，速度为2cMs,当点户停止运动时，点。也停止运动.连接户0,设运

动时间为t(0<t<4)s.解答下列问题：

(1)当力为何值时，以点£、P、。为顶点的三角形与△/龙相似？

(2)当《为何值时，△露0为等腰三角形？(直接写出答案即可).

22.如图1,在平行四边形ABC。中，AB=7,CE_LAB于点E,且CE=4,BC=5.点P从点E

出发，沿EB-BC向终点C运动，设点尸在该折线上运动的路径长为x(x>0),连接EP.

(1)BC的长为,当点P在BC上运动时，£P的最小值为；

⑵点厂是AE的中点，如图2,

①请用无刻度的直尺和圆规过点尸作的垂线尸G,垂足为点G(保留作图痕迹，不写作

法)；

②求证：ABCE/ABEG；

⑶延长PE到点使得=以CE,ME为邻边作平行四边形CEMN.

①当点尸在2C上，平行四边形CEMN对角线EN所在的直线恰好经过点。时，如图3,

求x的值；

②当点A落在平行四边形CEMN的边上或内部时，直接写出x的取值范围.

23.如图，在中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,CQ_LAB于点。.点P从点。

出发，沿线段。C向点C运动，点。从点C出发，沿线段C4向点A运动，两点同时出

发，速度都为每秒1个单位长度，当点尸运动到C时，两点都停止.设运动时间为f秒.

（1）求线段。的长；

（2）当f为何值时，△CP。是直角三角形？

（3）是否存在某一时刻，使得分△AC。的面积为1：11?若存在，求出「的值，若

不存在，请说明理由.

2025年中考复习专题：相似形分类讨论问题（答案）

1.如图，4ABCs4ADE,/BAC=/DAE=9Q°,”与应交于点。，48=4,47=3,F是DE

的中点，连接物，BF,若点£是射线/上的动点，下列结论：①△/⑺s△刀"，②X

BOD^^EOA,③Z.FD&r/FBE=90°,④）BF=+AE,其中正确的是（）

A.①②B.③④C.②③D.②③④

【分析】首先证明△/⑺s△仇况推出△加叱△仇儿再证明/侬'=90°,可得②③正

确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确.

【解答】解：•：AABCs丛ADE,

：.ZADO=ZOBE,

NAOD=NBOE,

:.△A0D^XE0B,

•0D=0A,

"OBOE)

A0D=0B；•：/BOM/AOE,

0AOE

:.△BOD^XEOA,故②正确，

■：△AOD^AEOB,XBOD^XEOA,

：.AADO=AEBO,AAEO=ADBO,

4仍//£〃=90°,

：.ZDBE=ADB(AAEBO=^a,

■:DF=EF,

：.FD=FB=FE,

:.4FDB=4FBD,

：./FDB+Z.FBE=NFBMNFBE=9G,故③正确，

在RtZv!6C中，：/8=4,47=3,

BC=，32+42=5,

■:二ABCsAADE,

•DE=BC=_5

"AEAC于

•:BF=LDE,

2

•-•-2-B-F-_-5,

AE3

:.BF=殳AE,故④正确,

6

•：ZADg40BE,

C.ZADO^ZOBF,

.,.无法判断△/"s△刀防，故①错误.

故选：D.

2.如图，在RtZ\AOB中，49=230=4,ZAOB=90°,点C,。分别是。4,A5的中点,

在射线CD上有一动点P.若△ABP是直角三角形，则线段PD的长为5或两

【分析】分两种情况讨论，由勾股定理可求A8的长，由直角三角形的性质和相似三角形

的性质可求解.

【解答】解：：4。=28。=4,

：.B0=2,

.,.AB=7A02+B02=V16+4=2^5,

当/APB=90°时，：点。是AB的中点,

.,.PD=-AB=yf5^

2

当/ABP=90°时，如图,

A

：点C,D分别是OA,48的中点,

，.AD=BD=&,CD//OB,

\ZACD=ZAOB=9Q°,

\ZACD=ZABP=ZAOB=9Q°,

又：NADC=/BDP,

\ZA=ZP,

•.AAOBSAPB。,

•OBBD

'AB'DP，

._2_=V§_

\DP=5,

故答案为：5或遍.

3.如图，D、E分别在AABC的边AC,AB±,BD与CE相交于F,若越=力旭」，AABC

EBDC2

的面积SAABC=21,那么四边形AEFD的面积等于.

考三角形的面积.

点：

专常规题型.

题：

连接AF,设S&EF二x,SAADF—yf根据鲤=2和期二，确定三角形面积之间的等量关

析：EBDC2

系，求出X和y之间的关系式，然后根据AABC的面积解得X,最后求出四边形AEFD

的面积.

解解：连接AF,设SaAEF二x,SAADF—yf

答：..AE门

---二7，

EB

.SAAEF^SAAEC-AEc

•.-------------——二2，

^ABEF^ABECEB

.Q_1

••»^ABEF-Xf

2

.•.AD——1，

DC2

.SAADF_SAABD^1

••--------------，

S/kDFC2ABDC2

SADFC=2y,

."..ZxX2=x+2y,

2

即y=2x,

VAABC的面积SAABC=21,

7x+—x=21,

2

解得x=2,

故四边形AEFD的面积=x+y=6,

故答案为6.

点本题主要考查三角形的面积的知识点，根据等高的三角形的面积与底边成比例进行

评：解答，此题需要同学们熟练掌握.

4.已知：如图，AB=AC,AE+CE=CD,/AEC=2/BCD,则鲤•=2

CD-3

【分析】延长龙到反使得*口.设/£=x,CD^y,利用相似三角形的性质，构建方

程即可解决问题；

【解答】解：延长应到〃，使得图=初.

,:EA=EH,

:・/H=/EAH,

•:/AED=/EAH=2/H,

.：/AED=24DCB,

：.ZDCB=AH,

：.BC//AH,

设4£=x,CD=y,

AE+EC=EmEC=CH=CD=y,

:•EC=y-x,

U：AB=AC,

：.ZABC=AACB=ZCAH,

9：ZCAH=ZCAE+ZEAH,ZABC=ZD^-ZDCB,

：.ZEAC=ZD,

丁/AEC=/DEA,

:ZACSXEDA,

:.E#=EC・ED,

•\x=(y-x)(2y-x),

•••py-—3—yx,

2

•AE_x_2

CDy3

2

5.如图，在△AC。中，AD=6,BC=5,AC=AB(AB+BC),且△ZM8sZ\ocA,若AD

=3AP,点。是线段AB上的动点，则尸。的最小值是()

D

A.近B.逅C.遮D.A

2225

【分析】根据相似三角形的性质得到殁=毁，得到3D=4（负值舍去），42=20=4,

DCAD

过8作BH1AD于X,根据等腰三角形的性质得到根据勾股定理得到

2

BH=VAB2-AH2=^42-32=＞当尸Q'AB时，PQ的值最小，根据相似三角形的

性质即可得到结论.

【解答】1¥：VADAB^ADCA,

•AD=BD

"DCAD"

.6=BD

5+BDT;

解得：BD=4（负值舍去），

'：ADAB^ADCA,

.AC二CD二9二3,

"AB"ADT"?"

；.AC=/皿’

,：AC2^ABCAB+BC）,

：.（旦AB）2=AB（AB+BC）,

2

：.AB=4,

：.AB=BD=4,

过B作BHLAD于H,

.,.AH^—AD=3,

2

BH=VAB2-AH2=V42-32=夜'

9

：AD=3APfAD=6,

：.AP=2,

当时，PQ的值最小，

VZAQP=ZAHB=90°,ZPAQ=ZBAH,

：.AAPQ^AABH,

•APPQ

"AB'BH，

.2.PQ

,'ITF

3*

6.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,点、M、N分别在48、BC边上，将AMA®沿

MTV翻折得到AMN。，ON与AC相交于点E,若=AC=4,BC=8,CE=|,

则CN的值是.

【分析】过点/W作MbJ_3c于点F,作此;，4。于点6,交ND于点、H,作MLJ.ND于点

L,根据勾股定理求出AB=JAC。+BC，=4如，解直角三角形求出

MF=袅BM=&乂迈=*,BF=^BM=正乂晅=应,证明四边形MFCG为矩

55335533

QQ3

形，得出M/=CG=§,MG=CF=-,设CN=x,证明△GEWSACEV,得出GH=1X,

85g

根据tanNMHL=tanNC7VE,得出§,，求出HL==x,根据勾股定理得出

---二-5

HLx

求出x即可.

【详解】解：过点M作M/，5c于点R作MGLAC于点G,交ND于点、H,作

于点£,如图所示：

则NMFC=NMGC=90。,

团NAC6=90。，AC=4,BC=S,

0AB=7AC2+BC2=475，

^\BM=2AM,

团加*竽,BM=^AB=^,

回sin2=^=生一4,_A/5

BMAB4V55

团g争竿=|,

「nBFBC8_2百

0cosB=-----

BM-AB-4A/5

raRF275R.-2^587516

SBF=-------BM=-------x-------=—,

5533

[AR

^\CF=BC-BF=S———=-,

33

^ZMFC=ZMGC=ZACB=90°,

团四边形MFCG为矩形，

QQ

^\MF=CG=~,MG=CF=—,MG//BC,

33

0CE=-,

3

QC

0GE=-----=1,

33

根据折叠可知：BN=ND,ZBNM=ZCNM,MD=MB=工,

3

0MF1BC,MLIND,

Q

^\ML=MF=~,

3

设CN=x,

^MG//BC,

中4EHS卫EN,

GHGE13

^~CN~~CE~~5~~5

3

3

团GH=—x,

o3

团MH=MG+GH=—+—x,

35

^\MG//BC,

⑦/MHL=NCNE,

团tanZMHL=tanNQVE,

MLCE

0-----=------,

HLCN

85

即3=§,

HLx

Q

解得：HL=^x,

根据勾股定理得：ML:+Hl3=MH2,

解得：兀=下■或x=。（舍去），

即CN=3.

11

故答案为：—.

7.如图，为了估测笔直的公路/旁边矩形场地A8C。的面积，在公路/上依次确定点E,F,

M,N,使AE_L/,BF1.1,点N,A,8在同一直线上，ZCMN=ZAFE,并测得EF=20

米，/加=10米，MN=15米，ZANE=45°,则矩形场地ABC。的面积为米2.

【分析】根据已知可知△AEN和△BFN都是等腰直角三角形，从而求出AN与8N的长，

即可求出AB的长，因为已知想到构造这两个角所在的三角形相似，

所以过点C作C”，/,垂足为H,过点8作垂足为。，延长交AE于点P,

然后证明△朋£s△〃(?”，进而得到CH与的关系，最后证明△CQB是等腰直角三

角形即可解答.

【解答】解：过点C作CW，/,垂足为H过点B作80,8,垂足为。，延长QB交

AE于点P,

"：AE±l,BFLI,

：./AEN=NBFN=90°,

•*.四边形BFHQ和四边形BPEF是矩形，

：.BF=QH=PE,BP=EF,QB=HF,

：EF=20米，FM=10米，MV=15米，

:.FN=MN+FM=25米，EN=EF+FM+MN=45米，

VZANE=45°,

AAEN和ABFN都是等腰直角三角形，

.•.AE=EN=45米，BF=FN=25米，

...AN=6AE=45'Q米，BN=®BF=25近米,

：.AB=AN-BN=45y/2-25衣=20加米，

"：ZCMN=ZAFE,/AEF=NCHM=90°,

AFAEsAMCH,

•EF=MH=20=J4

"AECH45

.•.设M”=4x米，CH=9x米，

：.CQ=CH-QH=(9x-25)米，QB=HF=HM+MF=(4x+10)米,

'：AP=AE-PE=45-25=20米，BP=EF=20米，ZAPB=90°,

・・・AAPB是等腰直角三角形，

AZABP=45°,

•・•四边形A3CO是矩形，

AZABC=90°,

：.ZCBQ=180°-ZABP-ZABC=45°,

9：ZCQB=90°,

・・・/\CQB是等腰直角三角形，

:.CQ=QB,

.,.9x-25=4x+10,

.\x=7,

：.CQ=5Q=38米，

.•.8C=6B0=38衣米，

矩形ABC。的面积=20&X38&=1520平方米，

故答案为：1520.

【点评】本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形

添加适当的辅助线是解题的关键.

8.如图，边长为5c机的正方形ABC。，E,尸分别从A,B两点同时出发，以Icm/s速度沿

射线射线BC运动，连结AF,DE交于点、P,G为中点，连结PG,PB,若4

PDG与AABP相似，则运动时间t的值为

【分析】分两种情况：①E点在上；②E点在A8延长线上；根据相似三角形的性质

得到比例式求出运动时间/即可.

【解答】解：如图1中，

图1

•・•四边形A8CD是正方形,

：.AD=ABfZDAE=ZABF=90°,

VAE=BF,

：./\DAE^AABF(SAS),

・•・NADE=/BAF,

VZADE+ZAED=90°,

：.ZBAF+ZAED=90°,

ZAPE=90°,

222

,<*DE=^5+t=5/25+t'

"."SAADE——X5Xf="lX而不XAP,

22

25

：.AP=,DP

VZPGD,/APB都是钝角，△PZJG与△ABP相似,

:.△DGPs^APB,

;>DG=DP；

,.QAB'

25

25+t2

------,

5

解得，f=5,

经检验，r=5的方程的解.

解法二：证明GP=G。，推出AP=P8=PF,推出。E垂直平分线段阿帆，推出点尸与

点C重合，可得t=5.

如图2中，当点E在AB的延长线上时，

D

T7―?一号

E

图2

有两种情形：ADGPs4APB或△DGPsAABP,

,,DG=DP^DG=DP)

APABABAP

V25+t2V25+t2

解得f=5（不合题意舍去）或f=10,

综上所述，满足条件的t的值为5或10.

解法二：证明GP=G。，推出AB=PB=BE,可得f=10.

【点评】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，本题关键是根据相似三角形

的性质列出比例式，注意分类思想的运用.

9.如图，在矩形ABC。中，48=2,4。=8,点E,歹在8C上，点G是射线QC与射线

【分析】过点E作E//LAE,交AG于点H,过点“作垂足为可得/AEH

=/HME=/HMF=90°,从而可得AE=EH,再利用矩形的性质可得BC=AO=8,Z

B=ZBCD=90°,从而证明△ABE四进而可得A3=EM=2,BE=HM=1,然

后再证明A字模型相似三角形利用相似三角形的性质可求出MF的长,

从而求出BF的长，进而利用勾股定理求出AF的长，最后证明8字模型相似三角形△

ABFs^GCF,利用相似三角形的性质可求出FG的长，进行计算即可解答.

【解答】解：过点E作EH1AE,交AG于点H,过点H作HM±BC,垂足为M,

A

JNAEH=/HME=NHMF=90°,

"AEB+/HEM=90°,ZFCG=180°/BCD=9Q°,

：ZEAF=45°,

*.ZAHE=90°-ZEAH=45°,

\AE=EH,

••四边形ABC。是矩形，

*.BC=AD=8,ZB=ZBCD=90°,

\ZBAE+ZAEB=90°,

•・NBAE=NHEM,

：ZB=ZHME=90°,

\AABE^AEMH(AAS),

•・AB=EM=2,BE=HM=1,

：ZB=ZHMF=90°,/AFB=/HFM,

\△ABFsLHMF,

・Iffl=FM,

*AB雨，

.1=FM

•工FM+1+2'

\FM=3,

\BF=BE+EM+FM=6,

\CF=BC-BF=8-6=2,

AF=VAB2+BF2=722+62=,

；/B=/FCG=90°,ZAFB=ZCFG,

•.△ABFs^GCF,

••F,G一=C，F

AFBF

■FG_2

・访厂享

;.尸6=生亘，

3_

/.AG=AF+FG=致叵",

3

故答案为：朝叵.

3

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质,

根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

10.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线

段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，

另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线.在AABC中，

ZA=50°,CD是△ABC的最美分割线.若△AC。为等腰三角形，则/ACB的度

数

【分析】根据△AC。为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①当AD=CD时，②如当

AD^AC,③当AC^CD,然后结合最美分割线的定义，可得可以分

别求出/ACB的度数.

【解答】解：①当AO=AC时，如图1,

图1

AZACD=ZADC=1.(180°-50°)=65°,

2

,:△BDCsABCA,

AZBCD=ZA=50°,

：.ZACB^ZACD+ZBCD^65°+50°=115°.

②当时，如图2,ZAC£)=ZA=50",

,/ABDC^/\BCA,

.\ZBC£)=ZA=50°，

：.ZACB=ZACD+ZBCD=50°+50°=100°.

③当AC=C。时，如图3,ZADC=ZA=5Q0,

图3

△BDCsABCN,

.\ZBC£)=ZA=50°,

：.ZADC^ZBCD(不合题意).

综上所述，ZACB=100°或115°.

【点评】本题考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，理解最美分割线的定义

是解决本题的关键.

11.如图，在平面直角坐标系xOy中.边长为4的等边△Q43的边在x轴上，C、D、E

分别是A3、OB、OA上的动点，且满足8O=2AC,DE//AB,连接CD、CE,当点E坐

标为时，△€!)£与△ACE相似.

【分析】因为DE〃A8得到NDEC=NACE,所以△CZ)E与△ACE相似分两种情况分类

讨论.

【解答】解：'：DE//AB,

：./DEC=ZACE,AODE^AOBA,

.♦.△OOE也是等边三角形，则OO=OE=DE,

设E(a,0),则。E=OD=r)E=a,BD=AE=4-a.

；△COE与△ACE相似，分两种情况讨论：

①当△C〃ESZ\EAC时，则/。CE=/CE4,

CD//AE,

四边形AEDC是平行四边形，

••AC^~cif

\'BD=2ACf

・•4-Q=2〃，

・a=4

3

；.E得，0)；

o

②当△COES^AEC时，ZDCE=ZEAC=60°=ZB,

：.ZBCD+ZECA=180°-60°=120°,

又•.•NJ8OC+NBCZ)=180°-ZB=120°,

NBCD+NECA=ZBDC+ZBCD,

；./ECA=NBDC,

.,.△BDC^AACE,

•••B--D=---B--C=y门,

ACAE

.•.BC=2AE=2(4-a)=8-2a,

8-2a+2_A=4,

2

•a=12

5

E(率，0)-

D

综上所述，点£的坐标为(三，0)或(」2,0).

35

12.如图，在正方形ABC。中，A3=4,M为8C的中点，点N在射线A。上，过点N作

NE_LAM于点连接MN,请探究下列问题：

(1)里=;

AN一

(2)当△MEN与相似时，AN=

ADN

【分析】（1）由勾股定理可求AM的长，由锐角三角函数可求解；

（2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和矩形的性质是解题的关键.

【解答】解：（1）・・,四边形ABCZ）是正方形，

.'.AB=BC=AD=49

•・•点M是5。的中点，

：.BM=2=CM,

：.AM=VAB24CM2="16+4=2收，

\'BC//AD,

：.ZBMA=ZMAN,

'：EN±AM,

cosZMAN=cosZBMA==—^=-=

_AM2V55

.AEV5

••----=-----;

AN5

（2）\9EN±AM,

：.ZABC^/MEN,

当ZAMB=ZEMN时，则△ABMsANEM,

：.ZAMB=/EMN=/MAN,

：.AN=MN,

'：EN±AM,

.\AE—EM=y/5

..AEV5

•--------，

AN5

：.AN=5,

当NBAM=NAMN时，丛ABMs丛MEN,

：.ZMAN+ZAMN=90°,

ZAW=90°,

，四边形ABMN是矩形，

：.BM=AN=2,

综上所述：AN的长为2或5.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理

等知识，利用分类讨论思想是解题的关键.

13.如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示

意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G,重锤挂在点P,点A为支点，点。是水平底板上

的■点，AO=AC=3米，CD=3.6米.

（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则AG_米.

（2）投石车投石瞬间，AP的延长线交线段。C于点E,若DE：CE=5：1,则点G的

上升高度为一米.

【分析】（1）过A作于H,根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质

进行解答即可；

（2）过G作GF_LOC于R过A作A8_L于X,则更1=旦旦，根

GFEF

据题意可计算出EH、EH、EF,进而可求出点G的上升高度GR

【解答】解：（1）过A作AH_LCD于H,

VAGXAC,

：.ZGAC=ZAHC=90a,

ZGCA=ZACH,

：./\GAC^^AHC,

•AG=AC

"AHCH，

：A£>=AC=3米，C£）=3.6米，

.•.CH=£»H=L8米，

*'•AH=VAC2-CH2=V32-l.82=2A（米），

.AG3

••Z：-----f

2.41.8

.".AG=4（米），

故答案为：4；

（2）过G作GF±DC于凡过A作AHICD于H,则ZAHE=ZGFE=90°,

ACE=0.6（米），

：.EH=1.8-0.6=1.2（米）,

22+2.4?（米）,

,//AEH=/GEF,

/.△EAH^AEGF,

.•.旭=里即&1=旱二，

GFEGGF尔5位

5

:.GF=（米），

55_

故G点上升的高度为=（现5+」2）米.

55

故答案为：（曼£+丝）.

55

14.如图，在△ABC中，ZACB=90°，AC=6,2C=8,。是斜边48上一个动点，E是

直线8c上的一个动点，将△A8C沿DE折叠，使点8的对应点F落在直线AB上，连接

CF,当是直角三角形时，线段8。的长为

【分析】当/CFE=90°时，过点尸作FMLBC于点M.由翻折可知，BD=DF,BE=

EF,/BDE=/EDF=90°,根据可得即逛L设DE=3x,

8106

则BD=4x,BE=5x,贝I]BF=Sx,CE=8-5x,再结合可得BM=

7

—X

丝＞戈，ME=BM-BE=-LY,由△EFMs^ECF,得空即_^_金_,可求出

55CEEF8-5x5x

X,即得BD当/ECr=90°时，此时点尸落在点A,则8。=/杷=5.

【解答】解：当NCFE=90°时，过点尸作FALLBC于点

VZACB=90°,AC=6,BC=8,

：.AB=1O,

由翻折可知，BD=DF,BE=EF,NBDE=/EDF=90°,

'：ZDBE=ZABC,/BDE=/ACB=90°,

:公BDEsABCA,

•••BD=:---BE=---DE,

BCABAC

gpBD_BE_DE

记，

设。E=3尤，贝！|BD=4尤，BE=5x,

BF—8x,CE—S-5x,

'：ZFBM=ZABC,ZBMF=ZACB=90°,

△FBMsAABC,

•••BF=---BM,

ABBC

即包型.，

108

：.BM=^,ME=BM-BE=-L,

5V5xV

ZFEM=ZCEF,ZCFE=ZEMF,

.♦.△EFMsdECF,

•••-E-F=ME",

CEEF

7_

即4M

8-5x5x

解得尤=」L,

20

:.BD=L

5

当/E"=90°时，

此时点尸落在点A,

.•.80=4AB=5.

故答案为：工或5.

5

【点评】本题考查翻折变换(折叠问题)、相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折的

性质是解答本题的关键.

15.如图，RtAABC中，NA=90°,AB=6,AC=8,D,E■分别是边AB,AC的中点，F

为QE边上一动点，FG_L8C于G,GH//BA交AC于■H.

(1)FG=

(2)当△/GH和△ABC相似时，FH=

22

【分析】(1)过A作AM1BC于M交DE于N,根据勾股定理得到BC=7AB+AC=

10,根据三角形的中位线定理得到DE//BC,DE=18C=5,根据相似三角形的性质得

2

到处=些=』，于是得到结论；

AHBC2

(2)根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：(1)过A作于〃交DE于N,

在中，ZA=90°,AB=6,AC=8,

：-BC=VAB2+AC2=10,

；D,E分别是边AB,AC的中点，

：.DE//BC,DE=1.BC=5,

2

：.AN±DE,

：.AADEsAABC,

•AN=DE=_1

,,额BC2，

'：FG±BC,

：.FG=MN,

'：^AB-AC=^BC'AM,

22

A6X8=10AM,

：.AM=21,

5

：AN=卫，

5

:.FG=MN=叁-=

555

故答案为：12；

5

(2)当△PG"和△ABC相似时,

①lAFGHs^ACB,

•FG=FH

"AC而'

12x

.PHFG-AB5-16

AC65

②△EHGSABC,

•FH-FG

••---------,f

ABAC

12

.FH-V

••―---,

68

5

综上所述，9=西或9,

55

故答案为：」旦或史.

55

A

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线

是解题的关键.

16.如图，RtAABC^，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,点、P,Q分别为48,BC上一个

动点，将△尸沿PQ折叠得到△PQ£>,点B的对应点是点。，若点。始终在边AC上，

当△APO与△ABC相似时，AP的长为.

【分析】根据直角三角形的性质可得AB=4,当与△ABC相似时，设AP=x,则

PB=PD=4-x,分两种情况：①①△APOS/XABC,②△APDS^ACB,分别列方程求

解即可.

【解答】解：：NC=90°,NA=30°,BC=2,

：.AB=2BC=4,ZB=60°,

当△APD与△ABC相似时，

丁点。始终在边AC上，

根据折叠PB=PD,

设AP=尤，贝1|PB=PD=4-x,

分两种情况：

①△APDs^ABC,

此时NAOP=NACB=90°,

：.AP^2DP,

即x—2(4-x),

解得x=且，

3

,,.AP=—,

3

©△APD^AACB,

此时NAPO=NACB=90°,

.•.DP=AP・tan30°=返人尸，

3

即4-x=立-x,

3

解得x=6-K巧，

6-2A/3,

综上，AP的长为6或6-K打，

3

故答案为：旦或6-W§.

3

【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握这

些性质是解题的关键，注意△APO与AABC相似要分情况讨论.

17.如图，矩形ABC。中，AB=3,BC=4,点E是矩形ABC。对角线AC上的动点，连接

DE,过点E作E尸，。E交2C所在直线与点R以DE、EF为边作矩形。所G,当S矩形

DEFG=a•时，则AE长为.

2—

【分析】作EML8C于点交AD于点H,设A£=机，先根据勾股定理求出AC的长,

再证明△EA〃s△£)”£■,可求得空=旦，贝!]£/=旦。£可推导出S矩形OEFG=ENZ)E

DE44

=旦。£2,再用含机的代数式表示。H、EH