2025年中考数学专项训练：圆综合（含解析）

2025年中考数学专题训练：圆综合

一、单选题

1.下列命题中，真命题是（）

A.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

B.相等的弦所对的圆周角相等

C.若问=可，贝!=或a+Z?=O

D.若ac=be,贝Ua=Z?

2.如图，。是VABC的外接圆，ZABO=15°,则/C的度数为（）

3.如图，正六边形ABC0E尸的边长为1,分别以5、D、尸为圆心，1为半径画弧，则图中阴影部分

的面积是（）

4.有一个侧面积为15»cm2的圆锥，将它的侧面展开是一个半径为5cm的扇形，这个圆锥的底面半径

为（）

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

5.如图，A5是，。的直径，CO是O的弦，AB±CDf垂足为石，若AB=34,8=30,则CE的

长为（）

r

A.17B.15C.8D.2

6.如图，点A是。外一点，AB,AC分别与〔。相切于点8、C,点。在BOC上、已知NA=50。,

则”的度数是（）

A.55°B.60°C.65°D.75°

7.如图，等边三角形A3C的三个顶点均在。上，BC=3,BD为O的直径，则3。的长为（）

8.如图，已知。的半径长是1,PA,P8分别切。于点A,B,连结尸。并延长交（。于点C,连

结AC,BC.若四边形R4cB是菱形，则PC的长是（）

A.2A/2B.3C.2月D.4

二、填空题

9.如图，点3、C在。上，点A在。内，其中。4=7,AB=ll,NA=N3=60。，则BC=

10.我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”.己知等腰三角形的腰长为

5,底边长为8,那么它的“变形值”等于.

11.如图，AB是:。的直径，尸是延长线上一点，过尸作。的切线，切点为点C,点D是劣弧

上一点，连接AC,BD,CD,若NOPC=20。，则/即C的度数为.

12.如图，。的直径A3平分弦（不是直径）.若NACD=55。，则“=

C

13.如图，0A是l。的半径，BC是。的弦，O4_L5C于点AE是。的切线，AE交OC的延

长线于点E.若NAOC=30。，BC=2,则线段AE的长为.

14.如图，VABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,AD//CB,AD=2,分别以点A,C为圆心，

大于!AC长为半径作弧，两弧交于点M,N,直线"N交CD于点E,以点E为圆心，CE为半径作

2

弧，交于点尸，连接CP,则CF的长为.

AD

15.如图，在四边形ABCD中，cosA=』，AD=2AB,ZC=2ZA,BC=CD=5.。在四边形ABCD

2

内部移动（可以与该四边形的边相切），若。的面积为2万，则点B到.。上的点的距离的最大值

为.

16.如图，在。中，AB是直径，弦CD_LAB于点E,过点C作O的切线，交A8的延长线于点歹,

连接D7L

A

⑴求证：£不是，:。的切线；

⑵若AE=9,BE=1,求线段CF的长.

17.如图，量角器放置在长方形纸面中，A3为其直径，点。为其圆心，点C,。在量角器的半弧上,

对应刻度分别为30。和60。，连接OC、OD、BD.

-.120

々SO

__*180

B

(1)尺规作图：求作线段Q4的垂直平分线/,直线/与04交于点E,与OC交于点歹.(保留作图痕

迹，标注清楚字母，不写作法)

(2)连接AF,求证：AFO^BOD.

18.如图，AB为：。的直径，点C是BO的中点，过点C作CE人交于点E,交1。于点兄连接

BD交CF于点、G.

口

⑴连接AC,BC,求证CE2=AE.BE;

(2)若BD=10,3E=4,求。的半径；

(3)连接CRARBF,若G尸=3&，求GD的长.

19.如图1,。为VABC的外接圆，OB为。的半径

E

图］图2

(1)当所在的直线垂直于AC时，ZABO___________NCBO.（填“>”"=”或“<”）

(2)若/4=60。，06=3,求BC的长.

(3)嘉嘉发现，当点A在2C上方的圆弧上移动时，总有NA与NOBC的和为定值，请证明这种说法.

⑷如图2,CDLAB,交。。于点E,OHJ_BC于点、H.若OH=2,直接写出AE的长.

20.如图，在矩形A3CD中，AD^IO,E为AB上一点，S.AE=^-AB=a,连结DE,尸是DE中

备用图

（1）用。的代数式表示DE2=，BF2=；

⑵求证：。必过BC的中点：

（3）若与矩形ABC。各边所在的直线相切时，求。的值；

（4）作A关于直线,的对称点A,若A落在矩形ABC。内部（不包括边界），则。的取值范围

,（直接写出答案）

21.如图，A3是；。的直径，过点8作。的切线点尸在右半圆上移动（点尸与点A,8不重

合），过点尸作尸垂足为C；点Q在射线BM上移动（点”在点8的右边），且在移动过程

中保持。。〃人尸.

A

(1)若尸C,。。的延长线相交于点E,判断是否存在点P,使得点E恰好在：。上？若存在，求出一APC

的大小；若不存在，请说明理由；

PF

(2)连接AQ交尸C于点尸，设左==,试问：上的值是否随点尸的移动而变化？证明你的结论.

22.【问题背景】

正方形Q4BC与正方形CD跖相邻，点。，C,尸在同一条直线上.以OCOA所在直线为x轴、y轴

建立平面直角坐标系，如图.若尸过A,B,E三点(圆心尸在x轴上),抛物线y=-x2+bx+c

4

经过A,C两点，与x轴的另一交点为G,M是尸G的中点，正方形CDEb的面积为1.

备用图

【构建联系】

(1)求抛物线的解析式.

(2)求证：ME是P的切线.

【深入探究】

（3）设N（x,y）是抛物线上的一个动点（不与点C,G重合）.当NOVG<30。时，请求出点N的横

坐标的取值范围.

《2025年中考数学专题训练：圆综合》参考答案

题号12345678

答案CBADBCCB

1.C

【分析】本题考查的是命题的真假.依次根据垂径定理的推论，圆心角、弧与弦的关系，绝对值的性

质，等式的性质判断即可.

【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原命题是假命题，本

选项不符合题意；

B、相等的弦所对的圆周角不一定相等，原命题是假命题，本选项不符合题意；

C、若同=网，则。=匕或。+6=0,是真命题，本选项符合题意；

D、若ac=be,且cwO时，则a=原命题是假命题，本选项不符合题意；

故选：C.

2.B

【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆周角定理，掌握圆周角定理是关键.

根据题意，连接。4,可得NQ4B=NOB4=15。，由三角形内角和定理得到NAO3=150。，再根据圆

周角定理即可求解.

【详解】解：如图所示，连接04,

,.・OB=OA,ZABO=15°,

：.ZOAB=ZOBA=15°,

：.ZAOB=180°-ZOAB-ZOBA=150°,

ZC=-ZAOB=75°

2f

故选：B.

3.A

【分析】本题考查了扇形面积公式，多边形内角，含30度直角三角形，阴影部分面积等于三个扇形

的面积减去正六边形回。。£尸的面积，熟练运用扇形面积公式是解题的关键.

【详解】解：观察图形可得S阴=3相形DEC-S六边形ABCDEF，

六边形ABCDEF为正六边形，

360°

每个内角为180。-----=120°,

6

如图，连接/C,过点A3作AM，bCBN,/C交于点

则NAFC=N£FC=60。，

ZfXB+ZAFC=180°,

:.AB//FC,

ZFAM=ZCBN=30°,

：.FM=NC=L,ZMAB=ZNBA=120°-30°=90°,

2

/.AM:<AF?-FM?=昱,

2

ZAMN=90°f

二•四边形AMVB为矩形，

.\AB=MN,

:.FC=FM+MN+NC=2,

。+2)xg30,

S六边形ABCDEF=2s梯形A尸C8=2X

22

120°373

S阴=3x------XI2X7T-----=71-----

360°22

故选：A.

4.D

【分析】本题主要查了圆锥的侧面积.根据圆锥的侧面积公式解答，即可.

【详解】解：根据题意得：这个圆锥的底面半径为

旦3cm.

5冗

故选：D

5.B

【分析】本题考查了垂径定理，根据是。的直径，CD是,。的弦，并且ABLCD,根据垂直

定理可知CE=LC£>=15.

2

【详解】解：•••AB是直径，

CD=30,ABVCD,

:.CE=-CD=15.

2

故选：B.

6.C

【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理定理等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键.

如图：连接OBOC,由切线的性质得ZABO=ZACO=90。，进而由四边形的内角和得ZBOC=130。，

再根据圆周角定理求解即可.

【详解】解：如图：连接。B,OC,

：.ZABO=ZACO=90°,

NA=50。，

ZBOC=360°-90°-90°-50°=130°,

:点。在3OC上，

13

ZD=-ZBOC=-xl30°=65°.

22

故选：C.

7.C

【分析】连接CO,如图.根据VABC是等边三角形，得出NABC=60。，根据垂径定理和圆周角定理

得出ZBCD=9Q°,即可得NCBZ)=NABD=30。，根据直角三角形的性质得出8。=：。，

结合勾股定理即可求解.

【详解】解：连接C。，如图.

A

//\\D

O

B'C

「VABC是等边三角形，BC=3,

:.ZABC=m°,

：8。为00的直径，

:.ZBCD=90°,ACJ.BD,

：.ZCBD=ZABD=30°,

：.BD=-CD,

2

BD2=BC2+CD2=32+BD^，

BD=273,

故选：c.

【点睛】该题考查了勾股定理，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等知

识点，解题的关键是掌握以上知识点.

8.B

【分析】本题考查菱形的性质，切线的性质，含30度的直角三角形，掌握圆的切线的性质是解题关

键.连接49,BO,根据切线的性质得到NQ4P=NO5夕=90。，再根据等边对等角的性质推出

ZAOP=2ZAPC,进而得到NAPO=30。，贝!]OP=2Q4=2,即可求出PC的长.

【详解】解：如图，连接AO,BO,

PA,依分别切：。于点A,B,

:.ZOAP=ZOBP=90°f

OA=OC=1,

:.ZOCA=ZOACf

ZAOP=ZOCA+ZOAC=2ZOCA,

四边形R1CB是菱形,

:.AC=AP,

.\ZAPC=ZACP,

:.ZAOP=2ZAPC,

:.ZAOP+ZAPO=3ZAPO=90°,

：.ZAPO=30°,

:.OP=2OA=2,

PC=OP+OC=2+1=3,

故选B.

9.18

【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，垂径定理和勾股定理，含30度角的直角三角形的

性质，掌握垂径定理与勾股定理的综合求线段长是关键.

延长AO交8C于。，过。作于M,ON1BC于N,由垂径定理得到BC=2BN,判定△"£>

是等边三角形，得到AD=AB=1L求出OD=4,由含30度角的直角三角形的性质求出

77R15

DN=2,ON=2^/3,AM=-,求出=A8-40=彳，由勾股定理得到

OB2=OM2+MB2=—^~,BN=1o将-ON?=9,因此5c=25N=18,由此即可求解.

【详解】解：延长AO交于。，过。作于ON1BC于N,

：.BC=2BN,

VZA=ZABD=60°,

・•・ZADB=180°-60°-60°=60°,

；・ZA=ZABD=ZADB,

・•・△ABD是等边三角形，

.'.AD=AB=11,

・・・OD=AD-AO=U-7=4f

*.*/DON=90°-60°=30°,

DN=-OD=2

2f

ON=出DN=2A/3,

ZAOM=90°-60°=30°,

17

：.AM=-OA=-

22f

：.OM=6AM=^,

2

BC=2BN=18.

故答案为：18.

【分析】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、重心和外心等知识.求出Q4和AG,即可得到

答案.

【详解】解：如图，VA3C中，AB=AC=5,BC=8,作AD/3C于点。,

A

/.BD=CD=-BC=4,

2

,,AD=VAB2—BD2=\Js2—42=3,

设三角形的外心为0,外接圆半径为R，

..•等腰三角形的外心在底边的垂直平分线上,

二。在AD所在直线上，

设（M=O8=R,

在RtZkOBO中，08?=。£>2+3£>2,即&=（R-3）2+4?,

解得R=2=5，

O

重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点距离是到对边中点的距离两倍,

2

・•・重心G在VABC在AD上，S.AG=-AD=2,

2513

「变形值''等于OG=OA-AG=--2=-

66f

13

故答案为：—

0

11.145°

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，连接OC,则可以求出/尸。。的

度数，进而求出NA,再根据圆内接四边形的对角互补解题即可.

【详解】解：连接OC,

〈PC是。的切线，

・•・ZOCP=90°,

・•・ZPOC=90°-ZP=90°-20°=70°,

ZA=-ZPOC=-x70°=35°,

22

Z.BDC=180°—ZA=180°-35°=145°,

故答案为：145。.

12.350/35度

【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理.

利用垂径定理得出AB，CD,求得NA=35。，再利用圆周角定理即可求解.

【详解】解：：。的直径A3平分弦。，

:.ABVCD,

:.ZA=90°-ZACD=90°-55°=35°,

:.ZD=ZA=35°,

故答案为：35°.

13.汉1/2白

33

【分析】本题考查了垂径定理，圆的切线的性质，解直角三角形，掌握相关性质是解题关键.由垂径

定理可知BD=CD=；3C=1,再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到。1=OC=2,由圆

的切线可知/。归=90。，再利用特殊角的正切值求解即可.

【详解】解：是。的半径，5C是0的弦，OALBC,BC=2,

：.BD=CD=-BC=l

2f

NAOC=30。，

.\OC=2CD=2,

:.OA=2,

AE是，。的切线，

.\ZOAE=90%

.\tanZAOC=­

OAf

tan30°=—=—,

23

.•・AE;班,

3

故答案为：正.

3

14.回

【分析】根据勾股定理求得。。=，4衣+4£>2=2行，设直线MN交AC于点G,连接班DF,由

由作图可得是AC的垂直平分线，从而证得GCEjACD,根据相似三角形的性质求出CE=百，

根据作图有跖=CE=DE,根据等边对等角及三角形的内角和求得NCFD=90。，得到

ZCFD=ZCAD=90°,从而点A,C,F,。四点共圆，因此NCDF=NC4/=45。，则户C=M>,在

RtZ\C£>尸中，根据勾股定理即可解答.

【详解】解：：NACB=90。，AC=BC=4,

/.VABC是等腰直角三角形，

ZCAB=ZCBA^45°

VAD//CB,ZACB=90°,

：.ACAD=180°-ZACB=180°-90°=90°,

：AC=4,AD=2,

CD=yjAC2+AD2=A/42+22=2后.

设直线MN交AC于点G,连接DF,

,/由作图可得MN是AC的垂直平分线，

・•・ZCGE=90°,CG=-AC=2,

2

VZCGE=ZCAD=90°,ZGCE=ZACD,

:•一GCES_ACD,

.CGCE2_CE

••一,即nn.—/~,

CACD42V5

CE=y/5,

由作图可得EF=EC=JL

NECF=NEFC,

'/DE=CD-CE=275-A/5=,

:.DE=EF,

Z.EDF=AEFD,

,：ZECF+ZEFC+ZEDF+ZEFD=180°,

NEFC+NEFD=90°,即ZCFD=90°,

ZCFD=ZCAD^90°,

...点A,C,F,。四点共圆，

NCDP=NC4F=45°,

，Z.DCF=90°-ZCDF=45°,

NCDF=NDCF,

FC=FD,

•在RtZXCD产中，CF2+DF-=CD2=20,

CF=M.

故答案为：\/10

【点睛】本题考查尺规作图一作垂直平分线与作线段等于已知线段，勾股定理，相似三角形的判定

及性质，等腰三角形的判定及性质，四点共圆等，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键.

15.5百-应/-应+56

【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，一点到圆上一点的距离的最值问题，如

图所示，过点B作3G_LAD于G,连接先求出NA=60。，再证明tan/BDG=空=且，则可

DG3

得到//M>3=30。，进一步求出NCBr>=N4M=30。，ZCZM=60°,得到NA=NADC,BC//AD,

则四边形ABCD是等腰梯形；连接30并延长交于E,连接QE,则点E为CO上到点2的距离最

大的点，由等腰梯形的对称性可知，当满足夙E、。三点共线，且DE最小时，BE有最大值，此时

一定有匚。与A£),CD相切，据此求出3D8的长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点B作BGLAD于G,连接3。，

***cosA——,

2

：.ZA=60°,

AG=ABcosA=^-AB,BG=ABsinA=—AB,

22

*.*AD=2AB,

3

DG=AD-AG=-AG

2f

・，/“BG6

・・tan/50G=---=——,

DG3

・•・NAT«=30。，

VZC=2ZA=120°,BC=CD=5,

：.ZCBD=ZCDB=180°T20°=30。，

2

AZCBD=ZADB=30°,ZCDA=60°,

：.ZA=ZADC,BC//AD,

四边形ABCD是等腰梯形；

如图所示，连接30并延长交;。于E,连接。E,则点E为。上到点8的距离最大的点，

,/BE>BD-DE,

由等腰梯形的对称性可知，当满足小E、。三点共线，且DE最小时，BE有最大值，此时一定有

0与AD,CD相切；

如图所示，过点C作CVLBD于「过点。作于"，

在RtZYFBC中，BF=BC-cosZCBF=—,

2

：.BD=2BF=56；

V。的面积为2万，

AO的半径为血,

•*-OH=OE=42，

OH

在Rt中0D==2^/2,

sinZODH

BE=BD-OD+OE=5y/3-s/2,

...点8到：。上的点的距离的最大值为5港-夜,

故答案为：5/1-母.

【分析】（1）由A3是，。的直径，弦CDLAB于点E,得AB垂直平分C。，所以CF=O尸，由切

线的性质得NOCF=90。，由NFDC=/FC£）,NODC=NOCD,推导出NODb=NOCF=90。，即可证

明。产是。。的切线；

(2)由AE=9,BE=1,得AS=10,则OC=O3=tM=5,所以OE=4,求得CE=JOC?-OE?=3,

CFCF3315

由tanNCOb=J=U=三，^CF=-OC=—.

OCOE444

【详解】(1)证明：・・・45是。的直径，弦。。，他于点后，

・•・CE=DE,

・•・AB垂直平分CO,

•・•过点。作。的切线，交的延长线于点尸，

/.CFLOC,CF=DF,

：.ZOCF=90°,ZFDC=ZFCDf

•；OC=OD,

ZODC=ZOCD,

：.NODF=NODC+NFDC=NOCD+NFCD=NOCF=90。,

•；OD是。的半径，且。尸_L。。，

；・DF是。的切线；

(2)解：*：AE=9,BE=1,

：.AB=AE+BE=10f

：.OC=OB=OA=-AB=5

2f

OE=OB-BE=4,

,/ZOEC=ZOCF=90°,

CE=ylo^-OE2=A/52-42=3，

CFCE3

：.tanZCOF=——

OCOE~4

3

CF=-OC=

444

•・・线段CF的长是*

【点睛】此题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等

知识，推导出A3垂直平分C。，进而证明CF=D尸是解题的关键.

17.⑴作图见解析；

(2)证明见解析.

【分析】本题考查了尺规作图一作垂线，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，掌

握知识点的应用是解题的关键.

(1)根据作垂直平分线的方法即可求解；

(2)连接AF,由垂直平分线的性质可得AF=OR,则/9。=/尸。4=30。，由图可知NAOZ)=60。，

所以由圆周角定理得/O3O=1/AOD=30。，再通过等边对等角得/0£>3=/。8。=30。，最后由相

2

似三角形的判定方法即可求证.

【详解】(1)解：如图1,直线/即为所求；

(2)证明：如图，连接AF,

由作图可知A尸=OF,

ZFAO=ZFOA=30°,

由图可知NAQD=60。,

ZOBD=一ZAOD=30°,

2

,:OD=OB,

：./ODB=/OBD=30。,

：.ZFAO=ZOBD,/FOA=/ODB,

：._AFMBOD.

18.⑴见解析

⑵过

8

(3)3A/2

【分析】(1)根据题意，AB为。的直径，CE1AB,得到ZACB=90。，ZAEC=ZBEC=90°,

BECE

证明AB石CS2\CE4,继而证明——二——,即可得证。不二钻历石；

CEAE

(2)证明加=前，得到3。=。尸=10,CE=EF=；CF=5,连接OC,设OC=O3=x,贝I」

41

OE=OB-BE=x-4,得至1」％2=(1一4)92+25,解得冗=一即可；

8

(3)根据题意，立)=存C=M，得到CD+BCuB尸+8C，NGCB=NGBC,继而证明9=

GB=GC,得至l」BD—GB=CF-GC,结合已知解答即可.

【详解】(1)证明：根据题意，AB为t。的直径，CE1AB,

：.ZACB=90°,ZAEC=Z.BEC=90°,

ZEAC=90°-ZACE=Z.ECB,

：.ABECsACEA,

,BECE

~CE~AE

CE2=AE.BE.

(2)解：：A3为；，。的直径，点C是的中点，CE1AB,

*£)=比=M，

•-CD+BC=BF+BC>

•'­》D=BF，

：.BD=CF,

；.BD=CF=10,CE=EF=-CF=5,

2

连接"，^OC=OB=X9

：.OE=OB-BE=x-4,

：.X2=(X-4)2+25,

41

解得x=?，

o

41

故圆的半径为2.

o

(3)解：：A3为：。的直径，点C是BD的中点，CEJ.AB,

也＞==汴，

CD+BC=BF+BC，

SD=GF>

：.BD=CF,

根据题意，*£)=M，

故NGCB=NGBC,

故GF=GC,

故BD—GB=CF-GC,

故GD=GF=3也.

【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判

定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键.

19.(1)=

(2)271

(3)证明见解析

⑷4

【分析】(1)根据题意，作出图形，结合垂径定理、中垂线的判定与性质及等腰三角形性质即可得

到答案；

(2)连接OC,如图所示，根据题意，由圆周角定理求出NBOC=2NA=120。，再由弧长公式代值求

解即可得到答案；

(3)连接OC,如图所示，由圆周角定理、等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得证;

(4)由两个三角形相似的判定定理得到OBH,得到相似比=黑；再由"

OHBH

得到F胃D=黑FA，联立代值求解即可得到答案•

DL)nC

【详解】(1)解：延长B0,交AC于点D,如图所示:

当03所在的直线垂直于AC时，即3D，AC,

•••由垂径定理可知AO=CD,

是线段AC的垂直平分线，则8A=8C,

由等腰三角形三线合一性质可知，8。平分/ABC,

ZABO=NCBO；

故答案为：=;

(2)解：连接OC,如图所示:

BC=BC，ZA=60°,

••・由圆周角定理可得NBOC=2/4=120°,

OB=3,

120120

/.BC的长为---x2TI-OB=x2TIx3=2K；

360360

(3)解：当点A在5c上方的圆弧上移动时，总有NA与NQBC的和为定值,

证明如下：

连接OC,如图所示：

由圆周角定理知ZBOC=2ZA,

OB=OC,

.\ZOBC=ZOCBf

在AOBC中，由三角形内角和定理可得ZBOC+ZOBC+ZOCB=180。，

则2NA+2/050=180。，

/.ZA+ZOBC=90°,即当点A在上方的圆弧上移动时，总有与N05C的和为定值;

(4)解：连接OC、BE,如图所示：

由圆周角定理可得ZBOC=2NBEC,

OB=OC,OH±BC,

二•由等腰三角形三线合一性质可得O"平分/5OC,即NBOH=NCOH,

:./BED=/BOH,

CDVAB,

.\ZBHO=90°=ZBDE,

即空=也

:.EBD^OBH,

BDBH

ED_2

BD~BH

AC=AC，

:.ZAED=ZABCf

ZADE=NBDC,

■■EDAABDC,艮嗡喂

OB=OC,OHIBC,

:.BH=CH=-BC,

2

ED2EA

解得AE=4.

BD~BH2BH

【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、垂径定理、中垂线的判定与性质、等腰三角形的性质、

弧长公式、相似三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握圆的基本性质、圆综合

题型的解法是解决问题的关键.

20.(1)*10。，49““。。

4

⑵见解析

(3)a的值为”或述

74

/八1010匚

(4)—<Q<—

77

【分析】本题是圆和四边形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质定

理、垂径定理、矩形与折叠问题，第三问和第四问中采用分类讨论的思想，注意不要丢解，第四问有

难度，准确画出图形是关键.

(1)如图1,根据勾股定理得：ED2=AE2+AD2=a2+102=a2+100,在Rt刀GF中，由勾股定理得：

BF2=BG2+GF2,代入可得结果；

(2)如图1,证明四边形是矩形，得===所以:。必过3c的中点；

(3)因为，：。不可能与边A3和BC相切，所以分两种情况：①如图2,当：。与边C。相切时，根据

RtzXONF中，ON〜NFrOF'OM，列式［gj，求0的值；②如图3,当，。与边

49

AD相切时，设切点为。，根据：BF2=25+—a2S.BF=2OQ,列式可得结论；

4

(4)分别计算当。最小和最大时，即4在边上和边CO上，作辅助线，根据对称点的连线被对称

轴垂直平分，由线段垂直平分线的性质列式可得结论.

【详解】(1)解:如图1,

四边形ABCD是矩形，

.-.ZA=90°,

在RtZ\A£D中，AE=a,AD=IO,

由勾股定理得：£D2=AE2+AD2=6i2+102=4+100,

设：。交于G,连接FG,

BF是。的直径，

.\ZBGF=90%

ZA=90°,

:.ZBGF=ZAf

:.FG〃AD,

:NEGF^NEAD,

.GFEFEG

\4D-E5-EA)

方是£0的中点，

GF=—AD=5,EG=AG=—a,

22

AE=—AB=a,

4

AB=4a,

17

BG=4。­a=-a•

22

由勾股定理得：BF2=BG2+GF2,

49a2+100

BF2+52=—a2+25=

44

49。2+100

故答案为：a2+100;

4

(2)解：如图1,设。交BC于H,连接

跖是的直径,

.-.ZBHF=90°,

ZABC=ZBHF=ZAGF=90°,

四边形3Gm是矩形，

:.BH=GF=-AD=-BC,

22

是BC的中点，

即。必过BC的中点;

区HC

、E

G

AD

图1

(3)解：分两种情况:

①如图2,当。与边CD相切时，设切点为连接。河、FH交于N,则OWLCD,

17

由（2）得B4〃HF〃CD,BH=-AD=5,HF=-a,

22

OMVCD,

:.ON±HF,

:.NH=NF,

:.ON=-BH=-,

22

QZAWC=ZC=ZCW=90°,

二•四边形HNMC为矩形，

:.NM=HC=5,

:.OM=ON+MN=-+5=—,

22

OMLFH,

1177

:.NF=-FH=-x-a=-a,

2224

在RtZXSWF中，ON2+NF2=OF2=OM2,

解得，=±方后,

a>0,

:.a=@叵,

7

②如图3,当；。与边AD相切时，设切点为Q,连接OQ,则OQLAO,连接尸G,交OQ于P,

171

同理可得OPLGb,OP=-BG=-a,PQ=GA=-a,

1719

OQ=OP+PQ=—BG+AG=—a-^—a=—ci,

40

由（1）知：8/2=25+—/且8尸=20。,

4

2

cu4922x|«

254---Q

4

解得°=述,

4

综上所述‘若，。与矩形抽。各边所在的直线相切时’〃的值为7立或半;

(4)解：如图4,当A的对称点A恰好在边3c上时，连接AA'交即于"，连接AF、AN,过歹作

MN1BC,交BC于M,交A。于N,则MN/AD,

A关于直线BF的对称点A,,

BF是4A的垂直平分线,

..AF^A'F,AB=A'B=4a,

17

由（1）（2）得：FN=-a,FM=-a,DM=AN=5

22

.-.A'M=4a-5,

由勾股定理得：AN2+FN2=AM2+MF2

即52+gq）=（4q—5）2+1m）,

解得：卬=0（舍），a2=y,

.・・当。<与时，A落在矩形ABCD外部(包括边界)；

如图5,当A落在边C。上时，连接A4'、A'B,设)。交AB于G,连接FG,延长GP交CB于点a,

,QFG_LAD,AD//BC,

GHLBC,

四边形G4B”为矩形，

HD=AM=—a,

2

A关于直线BF的对称点A',

二所是A4’的垂直平分线，

:.AF=A'F,AB=A'B=4a,

QZFMA=ZFHA'=90°,ZMFA=NHFA；AF=A'F,

AFM^AFH(AAS),

:.AM=A'H^-a,

2

:.AD^AH+HD^a,

AC=3a,

在Rt.5c4'中，(W=102+(3«)2,

解得。=费"(负值舍去)，

二°的取值范围是：~<a>

77

故答案为：?<a币.

77

21.(1)ZAPC=30°

(2)左值不随点尸的移动而变化.证明见解析

【分析】(1)当点E在。上时，设。。与。交于点。，证明外E=g峪8,即可得到NAPC=30。；

(2)由于P是<。右半圆上的任意一点，且A尸〃OQ,由两直线平行，同位角相等知，"AC=NQOB

由是。的切线，由切线的性质知，ZABQ=90,已知中有PC,AB,即NACP=NAB。=90。,

ACPC

△ACPSAOBQ得到，===,又有NCAF=ZBAQ,ZACF=ZABQ=9。，故由△Ab^ABQ,

ODQB

ACCF,ACCFAC2CF

可知弁=访，又因为AB=2Q9,贝4少京=许即=F得至UPC=2CF，即PP=CF，所以有

ADD{JZODD{JOD

PF1

k=~PC=2,即左值不随点尸的移动而变化.

【详解】（1）解：当点E在。上时，设。。与：）。交于点

VAB1PC,

:.^E=PA-

・.・AP//OQ,

ZAPC=NPEQ.

/.=PD=•

又ZAOE=ZBOD,AE=BD，

即初二；痴，

/.ZAPC=-x-ZAOB=-xlxl80°=30°.

2323

(2)上值不随点P的移动而变化.理由是：

・・・？是10右半圆上的任意一点，且