2025年中考数学总复习《二次函数压轴之线段问题》专项测试卷及答案

2025年中考数学总复习《二次函数压轴之线段问题》专项测试卷及

答案

学校:姓名：班级：考号：

1.已知，抛物线蚱苏+bx+c与％轴交于4,5两点，与y轴交于点C,且对称轴为直线

x=-lOC=3OB=3.

⑴求抛物线的解析式;

(2)如图1,在第二象限的抛物线上作点。，连接交直线AC于点E,若AAOE与VA3C相

似，求点。的横坐标；

(3)如图2,经过点尸口，空的直线/：j+f(2<%<3)交抛物线于跖N两点(M在第

三象限，N在第一象限)，直线TQ：y=r［交线段M尸于点。(不与尸重合)，设

的面积为s,求s的取值范围.

2.如图，直线y=-3x+2交y轴于点A,交工轴于点C,抛物线股-卜+法+修过点A,

点C,且交入轴于另一点反

(1)直接写出：b=_,c=_.

(2)在直线AC上方的抛物线上有一点求四边形ABC”面积的最大值及此时点M的坐

标；

⑶将线段0A绕工轴上的动点P(“。)顺时针旋转9。。得到线段。处，若线段。以与抛物线只有

一个公共点，请结合函数图象，求用的取值范围.

3.如图8,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=Y+bx+c与4轴相交于4,5两点，与

y轴相交于C(O,Y)点，点4的坐标为(T。).

(1)求抛物线的解析式及B点坐标；

(2)求VABC的面积；

⑶点尸是直线下方抛物线上一动点，过点尸作y轴平行线交直线8C于点Q,求线段

P。的最大值及此时点P的坐标.

4.已知平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=分+bx+c与％轴交于4,5两点，

与丁轴的正半轴交于。点，且4-2,0),3(4,0),40,4)；

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸是抛物线在第一象限内的一点，连接P3，PC,过点尸作E轴于点。，

交8C于点K.记△PBC,的面积分别为S1和邑，求S「邑的最大值；

(3)如图2,连接AC,点石为线段AC的中点，过点石作比UAC交4轴于点八抛物线上

是否存在点。，使/。也=2/004?若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

5.【综合探究】

如图，已知抛物线，=一一2X+3的顶点为。点，且与X轴交于5、A两点(3在A的左侧),

与y轴交于点c,点E为抛物线对称轴上的一个动点.设对称轴与X轴交于点尸.

(1)当点E在x轴上方且CE〃加时，求sin/DEC的值；

(2)若抛物线对称轴上存在一点E,使得+取得最小值，连接AE并延长交第二象

限抛物线为点M,请求出此时线段期的长度.

6.如图，直线y=-x+4与X轴、y轴分别交于点A与点B,抛物线y=-；/+bx+c经过点A、

B,在线段0A上有一动点8%0),点。不与点0,4重合，过点。作X轴的垂线分别交

直线A2于点。，交抛物线于点E

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当点。是OE的中点时，求机的值；

(3)过点石作垂足为点尸，当点石坐标为多少时，线段所的长最大，最大值为

多少？

7.如图1,在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线y=++bx+3与X轴交于A(3,o)、8两点，

与y轴交于点C,且关于直线x=i对称.

⑴求线段48的长；

⑵当o<x<3时，求)的取值范围；

(3)如图2,点G为抛物线对称轴上的点，点网叫％),打〃,％)在对称轴右侧抛物线上，若

△GEF为等腰直角三角形，NEGF=90°,试证明：〃-加为定值.

8.如图，抛物线丫=浸+及-3交X轴于A(_3,o),3(1,0)两点,与y轴交于点C.连接AC,

(D求抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸为抛物线在第三象限的一个动点，PMLx轴于点交AC于点G,PE1AC

于点£,求线段行的最大值；

⑶如图2,若Q为抛物线上一点，直线。。与线段AC交于点N,是否存在这样的点Q,

使得以A,O,N为顶点的三角形与AABC相似.若存在，请求出此时点Q的横坐标；若

不存在，请说明理由.

9.如图，抛物线'=-；/+%+4与％轴交于45两点(点4在点5的左侧)，与y轴交

于点。，连接8C.

⑴求A,B,。三点的坐标，并直接写出线段sc所在直线的函数表达式；

(2)点尸是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点尸作正河，尤轴于点交于点N求

线段PN长的最大值.

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=加+区-5(。力。)交工轴于A(l,o),c(-5,o)两点,

与y轴交于点B.

(1)求此抛物线的表达式;

⑵抛物线的对称轴上是否存在一点使得△丽的周长最小，若存在，请求出点〃

的坐标，若不存在，请说明理由.

⑶连接BC,点尸是线段BC上一点，过点尸作y轴的平行线交抛物线于点。，是否存在

以点0、。、尸为顶点，以。3为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出

点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

11.如图，已知二次函数尸加+%+4的图像与X轴交于A(T0),5两点，与y轴交于点

C,作直线BC.

(D求直线8C的函数表达式；

(2)尸是第一象限内抛物线上一动点，过点尸作PQL3C于点Q,当线段尸。取得最大值时，

求点尸的坐标.

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线了=加+区-450)与x轴交于A,8两点，与＞轴

交于点c,点A的坐标为(T,0),且OC=OB.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M是直线8C下方抛物线上的一个动点(不与3、c重合)，当ABCM面积最大时，求

点M的点坐标及.BCM面积的最大值.

(3)点p为此函数图象上任意一点，其横坐标为机，过点P作加〃X轴，点Q的横坐标为

-m+5.已知点尸与点Q不重合，且线段尸。的长度随优的增大而减小.

①求优的取值范围；

②当PQW10时，直接写出线段尸。与二次函数片加+小4［白加＜3的图象交点个数及对

应的加的取值范围.

13.抛物线产--+2X+3与％轴交于点A,。(点4在点。的右侧)，与y轴交于点及一

次函数、=辰+6经过点4,B.

（2）如图1,过点。的直线交线段A2于点若山烈=4,直接写出点〃的坐标；

（3）如图2,点。是第一象限内抛物线上的一个动点，过点。作DE〃y轴交A3于点区

DF±AB垂足为下.当止=2时，求点尸的坐标.

14.如图,直线y=-x+〃与X轴交于点A（3,o）,与y轴交于点5,抛物线y=--+法+C经过

A,5两点，点E（〃?，。）是线段0A上的一个动点（不与点。和点A重合），过点石作EZUx

轴，交直线于点。，交抛物线于点尸，连接形.

（D求抛物线解析式；

（2）当线段加的长度最大时，求点尸的坐标；

⑶若线段加和加为等腰三角形尸叫的腰，求此时点石的坐标.

15.如图，抛物线L：y=1f+bx+C与x轴交于点A（T0）,B（2,0）,交V轴于点C,点。在抛

物线L上，且CO〃x轴.

(D求抛物线L的函数解析式;

(2)求线段。的长；

(3)点E在抛物线L上，且其横坐标为5,抛物线L在点D，E之间的部分(包括点2E)记

作图象W，若图象W向上平移根(加＞。)个单位长度后，与直线3C有唯一的公共点，求整

数加的值；

(4)直线/：y=-x-4与抛物线L交于两点，把抛物线L和直线/所围成的封闭图形的边界

上横、纵坐标都是整数的点称为“美点”.若在直线尸质的两侧的“美点”个数之比为12

直接写出人的取值范围.

参考答案

1.⑴,=-公一2%+3；

(2)匕卢或-若；

⑶型＜sv以

I)12832

【分析】(1)用待定系数法求解即可；

(2)分两种情况：①当AAOESAABC时〃OE=WC,②当时ZAOE=ZACB,分别

求解即可；

(3)根据产"+，经过点尸口，)则。+"二得到=*|,代入得照履+*+|,联

立股质+9+|与厂-x］，解得&-碓可，再根据三角形面积公式得到

=S=1|x12+2J即可求解.

D乙1KII)

【详解】(1)解：VOC=3OB=3

：.OB=1

Z.B（1,O）,C（O,3）

又•••对称轴为直线X=「F=T

2a

a+b+c=O

<c=3

a=-1

解得："=-2

c=3

抛物线的解析式为y=T_2X+3；

（2）解：如图1,①当AAOESAMC时ZAOE=ZABC贝ljOD〃3c

设直线3C解析式为'=〃戊+"

将3(1,0),C(0,3)代入得:

(m+n=0

[n=3

解得；3

/.直线8C角军析式为y=-3x+3

OD//BC

「•直线解析式为：)=-3%

联立抛物线与直线得：f2_2%+3=-3%

整理得：尤2_%_3=0

解得：%=上乎％=呼（舍去）

②当AAOES^24c3时ZAOE=ZACB作BH_LAC如图2

,/5（1,0）对称轴为直线x=-l

Z.A（-3,0）

AB=4OC=OA=3

•*.AC=ylo^+OC2=,32+32=30AH=BH=272

CH=tanAAOE=tanZACB==2

CH

EKLOA贝Ijtan/AOE=箓=2

设^OK=mAK=EK=2m

/.OK+AD=3m=AC=3

J点矶T2）

，直线OE解析式为：尸-2尤

联立抛物线与直线OE得：一d一2x+3=-2x

解得芯=-3%=下1（舍去）

综上所述点。的横坐标为萼或-若

（3）解：直线TQ：尸-尤-；交线段M尸于点Q（不与MP重合）

当尤=0时y="1

•直线/:丁=依+/经过点p

•'•直线/：y=^+-k+-

联立直线/：好质+5%+5与直线7。：y=~x~4

y=kx+—k+—

22

5

y=——

4

解得：%二一即

517

.CT=OC+OT=3+—=——

44

172^+1117

——x

32k+132

■•-2<k<3S随Z的增大而减小

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质相似三角形的性质解直角三角形一

次函数的图象与性质求函数解析式等知识掌握相关知识是解题的关键.

2.（1）12

⑵当4=2时四边形MCN面积最大其最大值为8此时“（2,2）

(3)—3—^17*<m<—4—3+VP7<m<2

【分析】（1）令x=。由y=2得A点坐标令>=。由y=-gx+2得C点坐标将A

C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式进而由二次函数解析式

（2）连接设求出8（-2,0）得到与边形ABCM-S^ABO+^^AOM+S40cM再根

据二次函数的性质求得最大值便可得M点的坐标

（3）根据旋转性质求得。点和A点的坐标令。点和A点在抛物线上时求出机的最

大和最小值便可.

【详解】（1）解：令尤=。得y=-gx+2=2

A（o,2）

令y=。得y=-?+2=。解得x=4

...C（4,0）

把AC两点代入y=-：/+6尤+c得

（1

'c=2cb,=—

,1解得2

——xl6+48+c=0c=2

I4I

「•抛物线的解析式为y=-%2+；x+2

（2）解：连接ON如图

设Mp，-+

令y=0得y=_；尤2+（尤+2=0

解得：x=-2或x=4

，5（-2,0）

SxABO+SAAOM+S2CM

则S四边形A5CN

1cc1c1（121Q

=—x2x2H—x2xH—x44x—xH—x+2

222I42J

12c,

——x+2x+6

2

••.当》=-±=2时四边形ABCM面积最大其最大值为8

此时M的坐标为（2,2）

(3)解：•.•将线段0A绕工轴上的动点尸(九。)顺时针旋转90。得到线段。A如图

p(y=PO=rnO'A=OA=2

...Ar(m+2,m)

当A(m+2,m)在抛物线上时有-;(m+2『+；(m+2)+2=wi

解得m=-3±y/17

当点。'(加,租)在抛物线上时有加+；m+2=m

解得加=-4或m=2

J当-3-鹿-4或-3+如(屋2时线段。灯与抛物线只有一个公共点.

【点睛】本题是一个二次函数的综合题主要考查了二次函数的图象与性质旋转的

性质待定系数法求函数图象与坐标轴的交点求函数的最大值三角形的面积公

式第(3)关键是确定。4点的坐标与位置.

3.⑴抛物线的表达式为y=Y-3尤-48(4,0)

(2)10

(3)线段P。的最大值是4此时点P的坐标为(2,-6)

【分析】本题考查了抛物线与工轴的交点待定系数法求函数的解析式二次函数的

性质.

(1)用待定系数法求解即可

(2)由AB。的坐标得AB=5,OC=4再根据三角形面积公式求解即可

(3)利用待定系数法即可求得直线BC的解析式为加=>4设P(苍龙2一3A4),0<x<4则

2(X,X-4)即可得出尸Q=.(X-2)2+4根据二次函数性质可得答案.

【详解】(1)解:把(OT)(TO)代入y=>+6x+c得:

Jl-〃+c=0

[o+O+c=-4

解得，二

•••抛物线的表达式为y=Y-3X-4

令d-3x-4=0则x=-l或4

3(4,0)

(2)解：VA(-I,o)3(4,0)C(0,T)

/.AB=5,OC=4

S△枷=<AROC=gx5x4=10

(3)解：设直线BC的解析式为%c=丘-4

：3(4,0)

...0=4%-4

解得k=1

直线BC的解析式为为c=x-4

设P(x,尤z-3x-4),0<x<4

YP。〃y轴

，Q(x,x-4)

PQ=X—4—^X2—3X—4^=—x2+4x=—(^x-2y+4

，当x=2时PQg=4此时尸(2,-6)

，线段P。的最大值是4此时点P的坐标为(2,-6).

4.(l)y=-^2+x+4

(2)|

⑶存在主力或

【分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可

（2）求出BC的解析式设P,,一/2+〃7+4］则：仪皿-,〃+4）,以办0）将S「邑转化为二次

函数求最值即可

（3）易得出垂直平分AC设5=4勾股定理求出厂点坐标三线合一结合同角的余

角相等推出NAFE=NOG4=NCFE分别作点E关于》轴和直线b的对称点6也直线

咫尸心与抛物线的交点即为所求进行求解即可.

【详解】（1）解：抛物线y=分+6x+c与％轴交于45两点与y轴的正半轴交于。点

且A（-2,0）,B（4,0）,C（0,4）

4。一2/7+c=0

/.<16a+4b+c=0

c=4

1

ci——

2

解得：<0=1

c=4

•••抛物线解析式为：蚱-；/+尤+4

（2）解：•.•8（4,0）C（0,4）

「•设直线5c的解析式为：y=/a+4（k^o）把川4,0）代入得：4左+4=0

，k=-l

y=-x+4

设尸+m+4j（0<m<4）贝［|：K（m,-m+4）,D（m,0）

11

PK=——m7+m+4+m-4=——m9+2mDK=—m+4DB=4—m

22

2

/.S1=^PKOB=-m+4m,S2=^DKDB=^+4）（4-〃z）=；（4-m）?

i

29

・\Sl—S2=­m+4m——（4—m）

,2

...当机=1时岳-邑的最大值为I

（3）解:存在:

•.•A（-2,0）C（0,4）点E为AC的中点

£（-1,2）

VFE1ACAE=CE=^（-1+2）2+22=75

AF=CF

ZAFE=/CFE

设=。贝I］：CF=AF=a+2

在R5COb中由勾股定理得:/+42=5+2)2

••a=3

/(3,0)CF=5

FE±ACZAOC=90°

ZAFE=ZOCA=90°-ZCAF

ZAFE=ZOCA=ZCFE

①取点E关于x轴的对称点片连接FE；交抛物线与点0则：NQFE=2NEFA=2NOCA

4(*2)

设鸣的解析式为：y=kxx+b

k-

l1=

则:解得：2

\Iu-473

b二—

2

•13

.・F.5

13

y=-x——

联立22

12/

y=——x+x+4

2

②取E关于CF的对称点E2连接EE?交CF于点、G连接厂当交抛物线于点Q2

则：ZQ2FE=2ZCFE=2ZOCAEG1CF

CE=>/5,CF=5

•*.EF=7CF2-CE2=2y/5

,/S«EF=；CF.EG=；CE.EF

J5EG=2A/5XV5

...EG=2

FG=^EF2-EG2=4

416312

过点G作GHU轴则:GH=FG-sin/CFO=4x—=——FH=FG•cosNCFO=4义一=——

5555

3

/.OH=OF-FH=-

216

G5J

"ll22

E

2,y,y

设直线E/的解析式为:y=k2x+&

11

3k2+4=0k

2~2

则:11,722解得:

33

T

.1133

.•尸丁+彳

1133屈+1313-769

y=-----x+一x=-----------x=-----------

联立22解得:2（舍去）或＜2

124-HA/69-77-77+11769

y=——x+x+4

2尸—4-J=-4—

【点睛】本题考查二次函数的综合应用涉及待定系数法求函数解析式中垂线的判

定和性质等积法求线段的长坐标与轴对称勾股定理解直角三角形等知识点

综合性强难度大计算量大属于中考压轴题正确的求出函数解析式利用数形

结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键.

5.(l)sinZDEC=^-

(2).=苧

【分析】(1)分别令x=O,y=O分别解方程求得A民C的坐标进而得出顶点。(TT)

设对称轴与x轴交于点厂根据平行线的性质得出加宏=/。即进而根据正弦的定义

即可求解

(2)如图所示过点A作于点”交对称轴于点£连接AE并延长交第二象限

抛物线为点加在中sinZ7fDE=^|得出AE+gDE=AE+HE则当点AE

DE5

H三点共线且AH垂直M时AE+HE最小待定系数法求AE的解析式联立'一万^^

丁=一%2-2%+3

进而即可求解.

【详解】⑴解:•y=-f—2%+3

令丁=-%2-21+3=0解得项=1%2=-3

即4（1,0）3（-3,0）

把％=0代入丁=*-2%+3中得产-3即C（0,-3）

*.*y=—x2—2x+3=—（x+1）2+4

.二对称轴是直线厂-1顶点。（T4）

BF=2DF=4BD=2百

CE//BD

：.ZBDE=Z.CED

RF2

••sin/DEC=sinZBDF=——=—=

BD2V55

(2)解：如图所示过点A作AH,05于点”交对称轴于点石连接人石并延长交第二

象限抛物线为点〃

•二HE=sinZHDExDE=—DE

5

/.AE+—DE=AE+HE

5

.♦.要AE+*OE取得最小值即要AE+HE最小

J当点AEH三点共线且々/垂直此时由HE最小此时AE+/OE最小

*.*ZHDE^AFAE

2FFFF

/.tanZBDE=tanZFAE=-=——=——

4AF2

EF=1即E（-l，l）

*.*A（1,O）

设直线AE的解析式为：y=kx+b

-k+b—1

则k+b=O

k=--

解得：2

b=-

2

1x+—1

•••AE的解析式为:y=——22

11

,、.y——xH—

联立.22

y=-x2-2x+3

5

x=——X=1

解得7z或（舍去）

y=0

【点睛】本题考查了二次函数综合问题二次函数与坐标轴的交点二次函数的图象

与性质勾股定理解直角三角形综合运用以上知识是解题的关键.

6.⑴、=-9+彳+4

（2）m=2

⑶当点石的坐标为（2,4）时线段跖的长最大最大值为a

【分析】（1）先由V=T+4求出4（4,0）8（0,4）然后代入y=-$2+6x+c求出反c的值即可

（2）先求出。的-根+4）£卜，-机+4］根据中点坐标可得利+2］则有

-lm2+|m+2=-m+4然后求出加的值即可

（3）先证明△ECFSAAC。则M=M再求出=+根+4-（-根+4）=-=加?+2根

AD^4-mCD=4-m再由勾股定理得出AC=JA。?+C》=-mf+（4-疥=以4-m）再代

入葛孝得到9-孝疗+园然后通过二次函数的性质即可求出最大值及E点坐

标.

【详解】（1）解：由y=T+4得当x=0时y=4当y=o时x=4

4(4,0)3(0,4)

:抛物线＞=-+c经过点A、B

1

0=——x49+4b+cf口b=l

2解得:c=4

c=4

•••抛物线的函数表达式为y=-12+x+4

（2）解：D（m,0）

2

当％=根时yc=-m+4yE=-^m+m+4

.二C(m,-m+4)E\m,——m2+m+4

I2

•点C是OE的中点时

.12,1

..Crm,—mH-—m+2

I42J

•••——m2+—m+2=—m+4—6m+8=0

解得：叫=2w,=4

丁点。不与点。A重合

「•m=2

(3)角军：VEF±ABCD1OA

/.ZEFC=ZCDA=9Q°

丁ZECF=ZACD

AECFS^ACD

•EFEC

・♦~AD~~XC

由(2)知C(小一机+4)+m+4

EC=+^+4-(-m+4)=_^m2+^m

,/>1（4,0）D（»A0）

/.AD=4—mCD=4-m

AD=CD

在RSADC中AC=y/AD2+CD2=^（4-zn）2+（4-m）2=&（4-，w）

-^m2+2mjx（4-m）

一叵府+

••,EF-ECXAD6m

AC夜（4-机）4

EF=-^-m2+41m=-^-（m-2）2+A/2

，当机=2时所有最大值应

止匕时一）〃/+相+4=—gx2?+2+4=4

^（2,4）.

【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质勾股定理相似三角形的判定与性

质解一元二次方程解题的关键是学会添加常用辅助线构造三角形解决问题学

会利用参数表示线段的长解决问题属于中考压轴题.

7.⑴AB=4

(2)当0<x<3时0<”4

(3)见解析

【分析】本题考查二次函数图象得性质.熟练掌握二次函数的对称性等腰直角三角

形性质全等三角形的判定和性质是解题关键.

(1)根据对称性求出点5的坐标即可求出A5的长

(2)由45的坐标求出抛物线解析式求出顶点可得y的取值范围

(3)分别过E歹作直线》=1的垂线垂直为河N根据△GEF为等腰直角三角形可

£\EMG=△GNF至[J_EM=G/V="?—]GM-NF-n—1MN=m+n—2

MN^y2-yx^(m-n){rn+n-2)即得.

【详解】(1)，.,抛物线与x轴交于A(3,0)3两点且对称轴为直线x=l

:.AB=4

(2)•..抛物线丫=尔+法+3与x轴交于A(3,o)3(-1,0)两点

y=<2(X-3)(X+1)=ax2—2ax—3a=ax2+Zzx+3.

•e•-3〃=3.

Cl=-1.

y——f+2x+3=—(x—1)+4.

「•当％=1时y=4.

二•当％=3时y=o

.•・当0<x<3时0<y<4.

(3)分别过后尸作直线％=1的垂线垂直为MN.

贝！JZEMG=NF/VG=90。.

N2+N3=900.

又・zGE尸为等腰直角三角形

:.GE=GF/EGF=90。.

.\Z1+Z2=9O°.

.•./1=/3.

:AEMGmAGNF.

:.EM=GNGM=NF.

・・・£(利y)尸(〃,％)

,.EM=GN=m-lGM=NF=n-l.

:.MN=GN+GM=m—1+n—l=m+n-2>0.

22

%二-m+2m+3y2=—n+2〃+3

MN=,2—y=+2〃+3—(2+2m+3)=(m—n)(m+zz—2).

.\(m—7t)(m+n—2)=m+n—2.

:.m—n=l.

8.(l)y=X2+2X-3

Q)典

8

⑶存在点。的横坐标为％=上笠或&=±6

【分析】(1)把｛TO)和8(1,0)的坐标代入抛物线解析求出。和。即可求解

(2)求出直线AC的解析式为y=r-3设网”/+2〃_3)则G(〃,f-3)进而求得PG的表

达式根据二次函数的性质即可得出答案

(3)分两种情况①若AAONSAABC②若AAONSAACB由相似三角形的性质可求出ON

的长求出N点坐标联立直线ON和抛物线的解析式可求出答案.

【详解】(1)解：•.•抛物线y=­+-3交X轴于A(_3,o)8(1,0)两点

.俨-36-3=0

**[a+b-3=0

解AF/得r\C仁l=\

「•该抛物线的解析式为y=V+2》-3

(2)解：•.•抛物线的解析式为，=炉+2元-3

.,.元=0时J=-3

?.C(0-3)

...AO=OC.

ZAOC=90°

：.ZCAO=45°.

VPM.LOAPELAC

/./PGM=ZPGE=Z.GPE=45°

设直线AC的解析式为户质+机

•f3k+m=0

・•jm=-3

.[k=-\

*■\m=-3

直线AC的解析式为y=r-3

设P（n,n2+2〃—3）

则G（n,-n—3）

Qn

贝”G=f—3_W+2〃_3）=_*_3〃=_（n+|）2+r

-l<0

.•.〃=《时PG有最大值:

•••依的最大值为学.

O

（3）解：A（-3,0）8（1，。）。（。，一3）

AB=4AC=A/32+32=3S/20A=3

若以4QN为顶点的三角形与VA3C相似可分两种情况:

①若AAONSAABC

.ANOA

•，AC-AB

.AN3

，，30一W

JAN2

4

过点N作NKLAB于点K

图2

9

\AK=-

4

93

\OK=3--=-

44

・•{

直线ON的解析式为尸3x

.，［y=彳2+2x-3

.-1±713

••X—

2

②若AAONS^ACB

.ANOA

**AB-AC

.AN3

*'4"3A/2

AN=2A/2

\N（-l「2）

同理ON的解析式为y=2尤

y=2x

y=x2+2x-3

••x=±5/3

综上所述点。的坐标为点。的横坐标为&=上笠或&=±6.

【点睛】本题是二次函数压轴题考查了二次函数的图象与性质待定系数法图形

面积计算相似三角形的判定与性质等知识点熟练掌握二次函数图象和性质相似

三角形的性质等相关知识是解题关键.

9.（l）A（-2,0）,B（6,0）,C（0,4）线段8C所在直线的函数表达式y=-|》+4

（2）3

【分析】（1）分别令、=。,、=。解方程即可得到4B。三点的坐标再利用待定系

数法即可求出线段BC所在直线的函数表达式

（2）根据题意结合（1）线段所在直线的函数表达式设点尸的坐标为

卜，-;疗+点N的坐标为（肛-■!"+”由

22

P^=PM-W=-1m+|m+4-^-|m+4^=-1（m-3）+3利用二次函数的性质解答即可.

【详解】（1）解:在丫=-#+$+4中

令尤=0则y=4

二点。的坐标为（。，4）

令y=o贝lj_12+gx+4=o

即%2-4A-12=0

解得：*=-2或尤=6

•・,点A在点5的左侧

•，•点A的坐标为（-2,0）点B的坐标为（6,0）

设线段8C所在直线的函数表达式为尸质+6

将点3（6,。）,C（。,4）代入户辰+6得：;

[4=。

解得：3

0=4

，线段BC所在直线的函数表达式为y=-|x+4

（2）解：•・•点尸在抛物线k-；尤2+m+4上

二设点尸的坐标为卜，-;疗+为+“

vWx轴交8c于点N

二点N的坐标为相，-£加+4

•・•点P在线段BC上方的抛物线上

——m+4

~—＜0且0＜机＜6

当机=3时PN有最大值线段PN长的最大值为3.

【点睛】本题考查了二次函数的性质二次函数的最值一次函数的性质解题的关

键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题.

10.（D抛物线为：y=%2+4x-5

（2）Af（-2,-3）

⑶点P的坐标为：［三立，F］）或［二手，三"I

【分析】（1）由题意设抛物线为y=a（xT）（x+5）=加+4依-5。再进一步解答即可

（2）根据抛物线的解析式可得点A的对称点为点C结合轴对称最短路径可得△如的

^^Z=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC^J^/^根据点BC的坐标可求出直线8C的解

析式是由抛物线的对称轴为x=-2代入直线BC的解析式即可求解

（3）根据平行四边形的判定和性质可得PQ=O8=5设点尸（x,r-5）则。（羽/+4—）

由此列方程求解即可.

【详解】（1）解：：抛物线广加+法-550）交工轴于A（l,0）C（-5,0）两点

「・y=〃(x-l)(x+5)=冰2+4依一5a

解得：。=1

「•抛物线为：y=x2+4x-5

（2）解：由（1）可知抛物线的表达式为：y=%2+4.Y-5

•••对称轴为直线x=-2

，点A关于抛物线对称轴得对称点为点C

，交抛物线的对称轴于点/即为所求点的位置即AABM的周长

=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC^J^/]\

V5(0,-5)C(-5,0)

设直线8C的解析式为：y=kx+b(k^Q)

.[b=-5

**\-5k+b=Q

解得I/

直线8C的解析式为：尸-彳-5

•••抛物线的对称轴为直线＞-2

.,.当x=-2时y=-x-5=-3

则点”(-2,-3)

(3)解：5(0,-5)C(-5,0)

设直线8c为丫=〃a-5

—5m—5=0解得：m=l

二.直线BC的解析式为尸-》-5

如图所示设点尸(％T-5)根据过点尸作了轴的平行线交抛物线于点。四边形。BQP

为平行四边形则。（羽必+以一5）

/.PQ=OB=5

PQ=^—x—5^—^x2+4x—5^=—x2—5x=5

••+5x+5=0

解得：%=*且

...当x=时

.--5+^5匚-5!gnJ-5+6-5-A/5

..-x-5=--------------5=----------EJ"---------,---------

2222

当尤=三好时

.u-5-V5u-5+75

・•—x-5=-------------5=-----------

22

'-5-石-5+5

即尸

22

-5+君-5-6"-5-75-5+5

•••点尸的坐标为:)，）

22)[22

【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式轴对称最短路径的计算方法

平行四边形的判定和性质的综合掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

11.⑴y=f+4

(2)尸［吟］

【分析】(1)利用待定系数法先求解抛物线为产-:尤?+|x+4再求解8(8,0)C(0,4)再

求解一次函数的解析式即可

(2)如图过尸作尸〃〃y轴交2c于H连接PCPB设-卜2+|工+4］则

小-”4)%=-|八%再利用二次函数的性质可得答案.

【详解】(1)解：•••二次函数股西+|尤+4的图像与％轴交于A(T0)

9Q+|X(—3)+4=0

•1

..Q=~—

6

•125

・•y=——x+—x+44

66

令y=0贝(J--X2+-X+4=0

66

解得：％=-3%2=8

3(8，。)

令尤=0时y=4

Z.C(0,4)

设直线BC为y=笈+4

/.8左+4=0

解得：k=一;

直线8C为y=+x+4

(2)解：如图过尸作P"〃y轴交于H连接PCPB

PH=--x2+-x+4+—x-4=--x2+—x

66263

•c_1Q/12J2.16

••S^PCB=2x8xl-6X+3XJ~3X+~3X

16

当尤=-一/15=4时“cm面积最大而为定值

2xhJ

，此时p。最大

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数二次函数的解析式二次函数

与面积问题线段问题熟练的利用二次函数的性质解题是关键.

12.(l)y=x2-3^-4

(2)(2-6)8

⑶①加4②-白冽＜；时有一个交点?加时有两个交点白〃，《时有一个

交占八、、

【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式二次函数的图像和性质等腰直角

三角形的性质熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.

(1)求出3点坐标再将43代入进行求解即可

(2)过点/作皿_13。于点H作旌〃y轴交直线8C于点M交X轴于点/证明△//£以

为等腰直角三角形得到创1="花求出直线的解析式令"(疗-％-4)则

Eg-4)求出府的长根据二次函数的性质求出最大值得到结果

(3)①将尸、。坐标表示出来得到尸Q=|2祖-5］根据题意分两种情况进行讨论即可

②由题意求出得到x=g与户；对应的函数值相等从而得到答案.

【详解】(1)解：:点A的坐标为(TO)

「.a-6-4=0①

令尤=0贝(Jy=—4

/.C(0,-4)

:.OC=4

QOC=OB

:.0B=4

5(4,0)

.•」6a+4Z?-4=0②

由①②可得a=1,〃=-3

二.y=x2-3x-4

(2)解：过点M作必/_LBC于点H作ME//y轴交直线BC于点M交了轴于点尸

：OB=OC

:.ZOCB=ZOBC=45°

BC=4-42

■.■MF//y-^

:.ZHEM=A5°

•;MHIBC

为等腰直角三角形

:.HE=HM,EM=6HE

设直线8C解析式为：y=kx+b

将8(4,0)C(0,-4)代入

仁r解得〔二

/.y=x-4

设^点—3t—4),E(t,t—4)

EM——t?+4/

:.HM=--t2+2y[2t

2

…2夜

当一2x(一交)时加有最大值此时“(2,-6)且“四厘=2夜

(3)解：①由题意可知产(根,苏-3%-4)2(/71+5,m2-3/71+5)

:.PQ=\2m-5\

当P点在。点右侧时尸。=2吁5

此时线段P。的长度随加的增大而增大不符合题意

当P点在。点左侧时PQ=9租+5

此时线段尸。的长度随加的增大而减小

m+5>m

5

:.m<—

2

②•••PQ410

2m+5<10

5,

/.——<m

2

由①得-"加<:

当尸、。重合时m=-m+5

解得加=1

y=x2-3x-4的对称轴为直线x=|

.•"=：与xg对应的函数值相等

・••1*<；时有一个交点时有两个交点时有一个交点.

13.⑴左=一1b=3

（2）M（I,2）

（3）尸点坐标（0,3）或下点坐标为（1,2）

【分析】（1）先求出C（T0）,A（3,0）8（0,3）将A8代入产辰解方程组即可

（2）设M（x,-x+3）其中0<x<3求解AC=3-（-1）=3+1=4结合LCM=4再建立方程求

解即可

（3）过点尸作FGLx轴于点G过点E作于点”由（1）得一次函数解析式为：

y=-x+3设E（x,-x+3）则£）（元,-x?+2x+3）则DEn-x?+2x+3-（-x+3）=-无?+3x得至!J

-f+3x=2可得E（l,2）或E（2,l）得到ADE/为等腰直角三角形在RtADM中由勾股定

理得EF=0而NFE"=ZB4C=45。则在RSFE”中由勾股定理得四=1故当网1，2）时

此时号=/=1-1=0—0,3）当E（2,l）时此时号=%=2-1=1尸（1,2）

【详解】（1）解：当产。-X?+2%+3=0

解得：x=T或x=3

/.C（-l,0）,A（3,0）

当无=0,y=3

5（0,3）

将4,8代入y=fcr+Z?

得:『

解得：江

（2）解：由（1）得直线A3为y=-x+3

•••过点。的直线交线段初于点〃

.,.设M（x,-x+3）其中0<X<3

•/C（-l,0）,A（3,0）

/.AC=3-(-l)=3+l=4

•••"vACM=—4r

解得：xT

/."(1,2)

(3)解：过点尸作FGU轴于点G过点E作于点”

由(1)得一次函数解析式为：产-尤+3

二•点石在直线AB上

；・设£1(%,-4+3)

贝(|/+2%+3)

二•DE-—炉+2