2025年中考数学总复习《拱桥问题与二次函数》专项测试卷（带答案）

2025年中考数学总复习《拱桥问题与二次函数》专项测试卷(带答案)

学校:班级：姓名：考号：

1.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2,还要兼顾

美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直

角坐标系中，如图所示：

方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PELON,OE=EN.

方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m,拱高PE'=6m其中，点N'在x轴上，P'E'±O'N',O'E'=E'N'.

要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)，方案一中，矩形框架ABCD的面积

记为H，点A、。在抛物线上，边在QV上；方案二中，矩形框架AB'C'D的面积记为S2,点A',力在抛物线

2

上，边3'C'在ON'上，现知，小华已正确求出方案二中，当A?=3m时，S2=1272m,请你根据以上提供的相关

(1)求方案一中抛物线的函数表达式;

(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积跖并比较%S2的大小.

2.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索乙与缆索人均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔均垂直于桥

面，如图所示，以。为原点，以直线F尸'为无轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

己知：缆索4所在抛物线与缆索4所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔3c之间的距离OC=100m,

AO=BC=17m,缆索乙的最低点尸到尸尸的距离PD=2m(桥塔的粗细忽略不计)

(1)求缆索4所在抛物线的函数表达式;

⑵点E在缆索4上，EFLFF',且EF=2.6m,FO<OD,求尸O的长.

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3.如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物

线的一部分(如图②所示)，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线。4垂直，0c=9,点A在抛物线上，且点

A到对称轴的距离0A=3,点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1.

图①

⑴求抛物线的表达式;

(2)如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点尸，加装拉杆尸4尸2,同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找

到点尸的位置并求出坐标;

(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为＞=-/+2"+6一1(人＞0),当44xV6时，函数V的值总

大于等于9.求6的取值范围.

4.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以。为坐标原点，以0E所在直

线为无轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：OE=10m,该抛物线的顶点

P到0E的距离为9m.

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

⑵现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点48处分别安装照明灯.已知点到0E

的距离均为6m,求点A、B的坐标.

5.根据以下素材，探索完成任务.

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案?

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图1中有一座拱桥，图2是其抛物线

素形桥拱的示意图，某时测得水面宽

材20m,拱顶离水面5m.据调查，该河

1段水位在此基础上再涨1.8m达到最b---------与—―n

图1图2

高.

为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱

上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安

桥横

素全，灯笼底部距离水面不小于1m；为

材了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平安全距离，

2间距均为L6m；为了美观，要求在符

合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴图3

对称分布.

问题解决

任

务确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.

1

任

在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的

务探究悬挂范围

最小值和横坐标的取值范围.

2

任

给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，

务拟定设计方案

求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.

3

6.某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品.图①是某“实践小组”制作的桥梁模型，图②是该

模型简化后在平面直角坐标系（以。为原点，桥面AB,CD所在直线为x轴，上、下桥拱最高点E,尸所在直线为

y轴）中的截面示意图，下面是他们的设计方案：

①上桥拱AEB和下桥拱CTD均为抛物线型，其中上桥拱曲所在抛物线的函数表达式为必=上无2+20；

②上、下桥拱最高点E,尸之间的距离为10；

③上桥拱的点A,8到原点。的距离均为40,下桥拱的点C,。到原点。的距离均为15.

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图①

(1)求下桥拱CED所在抛物线的函数表达式;

(2)“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾跖VP。，并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”.已知点N(点

M在点N的左侧)均在直线y=10上，点P,。在上桥拱上(点P,。关于y轴对称，且P,。均在直线＞=1。

的上方)，若矩形尸。的周长为57.5,请求出点N的坐标.

7.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要

求给出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中如图所示.

方案二

其中点N在x轴上，PE±ON,OE=EN

方案二：抛物线型拱门的跨度ON'=8m,拱高PE'=6m,其中N'点在无轴上，P'EVON',OE'=E'N'.

要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)，方案一中，矩形框架ABCD的面积

记为匹，点A、。在抛物线上，边在ON上；方案二中，矩形框架、AB'C/y的面积记为$2，点A,川在抛物

2

线上，边3'C在ON'上，现知，小华已正确求出方案二中，当AB'=3m时，S2=1272m,请你根据以上提供的相

关信息，解答下列问题:

(1)求方案一中抛物线的函数表达式;

(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S一并比较耳，邑的大小.

8.综合与实践

问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历

史记忆和地域文化.图1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图2是某装修公司承揽窑洞装修任务后设计出的

窑洞内部墙面及顶部装修示意图.

数学建模:

如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽A3为4m,窑洞顶部最高

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点。离地面3.75m,点A离地面2.25m.

(1)在图3中画出以点。为原点，平行于的直线为x轴、竖直方向为＞轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函

数表达式.

问题解决：

(2)如图4,装修公司计划在窑洞两侧离地面3m的C,。处安装吊顶，若窑洞的深度为8m,求吊顶所需材料的

面积(结果精确到1m2,参考数据：夜名1.414);

(3)小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰.她计划从点A到点D,从点C到点B各拉一条彩带，并在C,。两

处悬挂彩灯CD,CM,DNCM,N在彩带上，CMLCD,DNLCD).试计算小红需要购买彩灯的总长度(结

果精确到。［m)).

9.根据以下素材，探索完成任务.

如图，某经济开发区计划在道路A3上方搭建一座抛物线桥拱形彩虹桥，已知道路

的宽为20m(路内侧两边各有2m宽的绿化带，其余路面正常通行)，桥面最高

材处与路面的距离为8m.

料M

桥拱1

A

4—20m-八B

任

以AB所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该

务

抛物线形彩虹桥的解析式.

1

任

按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路AB的正常通

务

行，求支撑柱的最小高度.

2

任若在该彩虹桥下方有一个限高5m的横杆，现要在横杆上方悬挂一个宽9m、高1m的

务横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂(不考虑横杆的宽度)？请通

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3过计算说明.

10.新中国成立以来，几代人逢山开路，遇水架桥，正在加快建设交通强国.如图1是某地高速公路上修建的两个

隧道，如图2是其横截面示意图.

图2

素材一：隧道4与4均呈抛物线型，已知陈道右底部C与隧道乙底部A相距2加，以直线AC为x轴，线段AC的

中垂线为y轴建立平面直角坐标系，点。、8都在x轴上.

素材二：4所在抛物线与人所在抛物线关于y轴对称，4底部宽A3为12m,4所在抛物线的最高点尸与路面A3的

距离为8m.

(1)求隧道右所在抛物线的表达式;

(2)现需在隧道4、工内壁上分别安装摄像头N、M,如图2所示，即N、M均在各自抛物线对称轴左侧的抛物线上，

己知点M、N到路面AC的竖直距离均为6m,求N两点间的距离.

11.某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示,桥拱的DGD部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米,它两侧AD

和AD是高为5.5米的支柱，Q4和OA为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段和C力’为两段对称的

上桥斜坡，其坡度(即垂直高度与水平宽度的比)为14.以CC'所在直线为x轴，横断面的对称轴为y轴建立平

面直角坐标系.

(1)求桥拱DG。所在抛物线的解析式及OC的长；

(2)BE和为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的和AE为两个方向的行人及非机动车通行区，直接写出

宽A3的长度；

(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米.今有一大型运货汽车，装载某大型

设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米.它能否从桥下区域安全通过？请说明理由.

12.学科实践

驱动任务：

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“天下九塞，雁门为首”，雁门关隧道是大同至运城高速公路的咽喉要道，它的开通是我国高速公路隧道建设史上的

壮举.某校数学研习小组就隧道通行情况展开探究.

研究步骤：

(1)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，雁门关隧道宽的=10m,隧道壁高AB=5m,隧道最高点C位于

AAj的中央且距地面6m.

(2)研习小组了解到为了防止碰撞，保障行车安全，隧道内路面两侧各预留1m的立道牙，该隧道为单向双车道.

问题解决：

(1)以线段AA所在直线为无轴，AA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物

线的表达式.

(2)交通部门要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有0.5m,求通过隧道的

车辆应限制高度为多少米？(结果精确到0.1m)

C

8f一二一:

13.学科实践

驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的商楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳.太原市某中学为了减缓同学

们的视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型(如图1所

示).数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作.

图1图2

研究步骤：1.如图2是花园大门的截面图，兴趣小组测得大门的宽MN=3米，AM,3N为大门两旁的立柱，其

高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为3.5米.

2.根据设计要求，要在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼.两个悬挂点到地面的距离相等.同时

做好花园大门的加固工作.

问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务：

(1)为了安全起见，工人师傅要给大门加固，如图3,线段AC,可看成是加固时所用的钢筋(不考虑接口处所

需钢筋长度)，则给大门加固需要的钢筋长度为米，若连接A3,则/。18=°；

(2)如图3,因为要悬挂灯笼，考虑到安全因素，工人师傅要用钢筋对大门进行二次加固，若保证二次加固的钢筋与

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第一次加固的钢筋垂直，即FPJ_AC于点尸，EQL2C于点。（EP,EQ为二次加固的钢筋）.请你通过计算，确

定二次加固时大门一侧所需钢筋的最大长度（不考虑其他因素，结果保留根号）.

14.某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习.

【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，

行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图.

【实践应用】已知隧道的路面宽为10m,隧道顶部最高处点P距地面6.25m,按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道

顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m.现有一辆宽3m、高3.5m的厢式货车计划从隧道驶过.

（1）求该抛物线的函数表达式.

（2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由.

【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题：

（3）如图2,在抛物线内作矩形ABCD,使顶点C,。落在抛物线上，顶点A,8落在x轴上.设矩形ABCZ）的周

长为/,求/的最大值.

（4）在（3）的条件下，如图3,在矩形周长最大时，将矩形ABCD绕点。逆时针旋转a（0°<tz<360°）,

当以点P,D,C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角。的度数.

15.白鹿原隧道被称为“中国最大断面黄土隧道”，它的截面近似看作抛物线，某数学课题学习小组，为了研究隧道

的截面，建立如图坐标系，已知隧道的净宽加约为18米，净高（即抛物线最高点到地面的距离）约为12米.在

隧道施工过程中，需要一个“凸”字形的支架支撑隧道的顶部，支架的下部分和上部分都分别由矩形ABC。和矩形

EFG”组成，已知下部分矩形的长8C=12米，上部分矩形的长宽比（即EH:GH=3:2）,点A,D,E,H都在抛

物线上.根据以上信息解决问题.

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(1)求隧道截面抛物线的解析式；

(2)请确定支撑点打的位置(即点”的坐标).

16.综合与实践

问题情境

如图1,窑洞是黄土高原独特的居住形式，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息.为响应国家乡村振兴战略，

协助当地村民改善居住环境，留住文化底蕴.当地政府计划将窑洞现有的纱布糊窗统一改为玻璃窗户，并将门上方

的窗户换为断桥窗户，进一步提升窑洞的采光和通风.

方案设计

小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形ABC3和抛物线组

成的封闭图形.已知AB=4米，BC=2米,窑洞口的最高点尸到地面的距离为4米，其中点H,G在上,

点E,尸在抛物线上.

图1

方案实施

在图2中，以A3所在的直线为x轴，以A3的垂直平分线为＞轴建立平面直角坐标系.请按照以上方法解决问题:

⑴请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式.

(2)当/G=2EF时，求斯和FG的长.

⑶如图3,在矩形EFG”两侧分别作两个正方形印和正方形L肱VG,其中，点J,M在抛物线上，点K,L在AB

上，点/，N分别在即和FG上.若将抛物线和A3构成的封闭区域内的线段定制为木质框架(不含抛物线和A3,

不考虑木质框架宽度)，当矩形瓦所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度.

参考答案

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1.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2,还要兼顾

美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直

角坐标系中，如图所示：

方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PELON,OE=EN.

方案二，抛物线型拱门的跨度ON'=8m,拱高PE'=6m其中，点N'在x轴上，P'E'±O'N',O'E'=E!N'.

要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)，方案一中，矩形框架的面积

记为跖，点A、。在抛物线上，边在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'O的面积记为$2,点A',。'在抛物线

2

上，边B'C'在ON'上，现知，小华已正确求出方案二中，当A?=3m时，S2=12V2m,请你根据以上提供的相关

(1)求方案一中抛物线的函数表达式；

(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积跖并比较％S2的大小.

14

【答案】⑴,土+0铲

2

(2)S1=18m,Sj>S2

【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式.

(1)由题意知抛物线的顶点尸(6,4),设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式;

(2)令y=3可得％=3或x=9,故BC=6m,S,=AB-BC=18m2；再比较品邑的大小即可.

【详解】(1)解：由题意知，PE=4m,OE=1c»N=|xl2=6m

二方案一中抛物线的顶点尸(6,4)

设抛物线的函数表达式为y=。(彳-6)2+4

把0(0,0)代入得，0=«(0-6)2+4

解得：g

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y=-—（X-6Y+4=-—x2+—x

9V793

•••方案一中抛物线的函数表达式为y=-1^°+京4；

14

（2）解：在y=—0+耳力中

14

令y=3得：3=--x2+~x<

解得x=3或x=9

3C=9—3=6m

=ABBC=3x6=18m2

Q18>12A/2

S]>邑.

2.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索。与缆索右均呈抛物线型，桥塔A0与桥塔BC均垂直于桥

面，如图所示，以。为原点，以直线FP为无轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

▲v/m

已知：缆索人所在抛物线与缆索4所在抛物线关于y轴对称，桥塔4。与桥塔8C之间的距离0C=100m,

AO=BC=Hm,缆索4的最低点尸到ET的距离尸D=2m（桥塔的粗细忽略不计）

（D求缆索右所在抛物线的函数表达式；

⑵点E在缆索4上，EF±FF',且EF=2.6m,FO<OD,求尸。的长.

【答案】⑴y=旃（x-50『+2；

（2）尸O的长为40m.

【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键.

（1）根据题意设缆索。所在抛物线的函数表达式为y=o（x-50）2+2,把（0,17）代入求解即可；

（2）根据轴对称的性质得到缆索A所在抛物线的函数表达式为y=薪（元+50）一+2,由斯=2.6m,把y=2.6代入

求得无1=-40,3=-60,据此求解即可.

【详解】（1）解：由题意得顶点尸的坐标为（50,2）,点A的坐标为（0,17）

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设缆索A所在抛物线的函数表达式为y=«(X-50)2+2

把(0/7)代入得17=a(0—50y+2

3

解得"就

缆索4所在抛物线的函数表达式为y=志(》-50)-+2；

(2)解：•••缆索人所在抛物线与缆索4所在抛物线关于y轴对称

・•・缆索L2所在抛物线的函数表达式为y=赤(％+50)2+2

9：EF=2.6

.•.把y=2.6代入得，2.6--(%+50)-+2

解得玉=-40,x2=-60

尸0=4001或尸0=60111

,/FO<OD

：.尸。的长为40m.

3.如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物

线的一部分(如图②所示)，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线Q4垂直，OC=9,点A在抛物线上，且点

⑴求抛物线的表达式；

(2)如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P,加装拉杆尸4网，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找

到点尸的位置并求出坐标;

⑶为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y=-Y+26x+b-1@>0),当4WxV6时，函数V的值总

大于等于9.求6的取值范围.

【答案】(l)y=-f+9

⑵点尸的坐标为(0,6)

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（3）*>—

13

【分析】（1）设抛物线的解析式为y=#+A,将C（0,9）,A（3,0）代入即可求解；

（2）点8关于y轴的对称点？，贝1]24+必=1+必七"'，求出直线A&与y轴的交点坐标即可;

（3）分0<645和6>5两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解.

【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合

•••设抛物线的解析式为y=ax2+k

OC=9,OA=3

C（0,9）,A（3,0）

将C（0,9）,4（3,0）代入尸加+左，得：

pt=9

[32.a+^=0

%=9

解得,

[a=-l

二抛物线的解析式为>=-必+9；

（2）解：抛物线的解析式为y=+9,点8到对称轴的距离是1

当x=]时，y=-1+9=8

8（1,8）

作点B关于>轴的对称点8,

则？（一1,8）,B'P=BP

PA+PB=PA+PB'>AB'

.,.当？，B,A共线时，拉杆长度之和最短

设直线AB'的解析式为y=mx+n

/、/、10=3m+n

将9（-1,8）,A（3,0）代入，得8=_租+〃

[m=-2

解得，

[九=6

直线AB'的解析式为y=-2x+6

当x=0时，y=6

，点P的坐标为（0,6）,位置如下图所示:

第13页共39页

..・抛物线开口向下

当0<645时

在4<xW6范围内,当x=6时，y取最小值，最小值为：一6?+2x66+6-1=136-37

则13b—3729

解得心二46

：.—<b<5；

13

当b>5时

在4WxW6范围内,当x=4时，y取最小值，最小值为：4+2x46+6-1=96-17

贝I」96-1729

解得此个

b>5；

46

综上可知，—<b<5^b>5

••.b的取值-范围E为,6喑46.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值,

抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论.

4.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以。为坐标原点，以0E所在直

线为无轴，以过点。垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：OE=lOm,该抛物线的顶点

P到0E的距离为9m.

第14页共39页

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

⑵现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点42处分别安装照明灯.已知点42到0E

的距离均为6m,求点A、B的坐标.

O

【答案】(i)y=-石(彳一5)2+9

(2)A(5-,6),8(5+,6)

【分析】(1)根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9,再代入(0,0),求出a的值即可；

(2)根据题意知，A,B两点的纵坐标为6,代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题.

【详解】(1)依题意，顶点尸(5,9)

设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9

a

将(。,0)代入，得0=a(0-5y+9.解之，得

Q

...抛物线的函数表达式为y=-—(X-5)2+9.

9

(2)令y=6,if#-—(X-5)2+9=6.

解之,Wx]=~~+5,x2=-~~+5•

•••A(5一¥，6),B(5+¥，6).

【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次

函数的解析式是关键.

5.根据以下素材，探索完成任务.

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案?

第15页共39页

图1中有一座拱桥，图2是其抛物线

素形桥拱的示意图，某时测得水面宽

材20m,拱顶离水面5m.据调查，该河

1段水位在此基础上再涨1.8m达到最

图1图2

高.

为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱

上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安

桥横

素全，灯笼底部距离水面不小于1m；为

材了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平安全距离，

2间距均为L6m；为了美观，要求在符

合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴图3

对称分布.

问题解决

任

务确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.

1

任

在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的

务探究悬挂范围

最小值和横坐标的取值范围.

2

任

给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，

务拟定设计方案

求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.

3

【答案】任务一：见解析，＞=一5尤2；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是T.8;-64x46；任务三：两种方案，

见解析

【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；

任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标y2-5+L8+l+0.4=-1.8,进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；

任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案

二：如图3,从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m,根据题意求得任意一种方案即可

第16页共39页

求解.

【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系

图1

则顶点为(0,0),且经过点(10,-5).

设该抛物线函数表达式为y=ax\aR0)

则-5=100。

._1

・・a=-----

20

该抛物线的函数表达式是y=.

任务二：：水位再上涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m,灯笼长0.4m

.•.悬挂点的纵坐标丫2-5+1.8+1+0.4=-1.8

悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8.

当y=-1.8时，-1.8=-，/，解得工=6或x2=-6

..•悬挂点的横坐标的取值范围是-64x46.

任务三：有两种设计方案

方案一：如图2(坐标系的横轴，图3同)，从顶点处开始悬挂灯笼.

-6-4.806

图2

•：-6<x<6,相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m

若顶点一侧挂4盏灯笼，则1.6x4>6

若顶点一侧挂3盏灯笼，贝i]L6x3<6

顶点一侧最多可挂3盏灯笼.

\•挂满灯笼后成轴对称分布

共可挂7盏灯笼.

•••最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-4.8.

第17页共39页

方案二：如图3,从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m

▲.▲♦--------▲・-------24♦▲♦▲A

-6016

图3

•••若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8+1.6x(5-l)>6

若顶点一侧挂4盏灯笼，贝10.8+1.6义(4-1)<6

顶点一侧最多可挂4盏灯笼.

•••挂满灯笼后成轴对称分布

共可挂8盏灯笼.

/.最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-5.6.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键.

6.某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品.图①是某“实践小组”制作的桥梁模型，图②是该

模型简化后在平面直角坐标系(以。为原点，桥面A3,所在直线为x轴，上、下桥拱最高点E,尸所在直线为

y轴)中的截面示意图，下面是他们的设计方案：

①上桥拱和下桥拱CTD均为抛物线型，其中上桥拱所在抛物线的函数表达式为弘=上尤?+20；

80

②上、下桥拱最高点E,尸之间的距离为10；

③上桥拱的点A,B到原点O的距离均为40,下桥拱的点C,D到原点0的距离均为15.

图①

(1)求下桥拱CED所在抛物线的函数表达式；

(2)“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾“NPQ,并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”.己知点M,N(点

〃在点N的左侧)均在直线y=10上，点P,。在上桥拱AEB上(点P,。关于y轴对称，且P,。均在直线>=1。

的上方)，若矩形MNP。的周长为57.5,请求出点N的坐标.

【答案】(()=_/无2+10

45

⑵点"的坐标为(-10,10)，点N的坐标为(10,10)

【分析】本题考查二次函数的应用.得到二次函数中几个关键点的坐标并选择合适的函数解析式代入计算是解决本

题的关键.

第18页共39页

（1）由H=-上尤2+20得尸的坐标，从而得出点C、点£＞的坐标，设下桥拱CFD在平面直角坐标系中的函数关系

表达式为丫="2+10,再运用待定系数法求解即可;

（2）先画出图形，设点N的坐标为（加,10）,得点"的坐标为（-犯10）.点尸的坐标为m,---m2+20可得

80

QP=MN=2m,QM=PN=~m2+10,由矩形MNP。的周长为57.5可得方程，解方程求出机的值可得结论.

【详解】（1）解：由题意，得E（0,20）,EF=10.

:.OE=20,OF=OE-EF=20-10=10

.-.F（0,10）.

:下桥拱的点C,。到原点。的距离均为15.

OC=OD=\5

.-.C（-15,0）,D（15,0）.

设下桥拱CRD在平面直角坐标系中的函数关系表达式为y=依?+10

由图象经过点0（15,0）,可得4x152+10=0,解方程，得”-京.

•••下桥拱CFD在平面直角坐标系中的函数关系表达式为y=--x2+10；

45

N（点M在点N的左侧）均在直线y=10上

,设点N的坐标为（旭,10）,则点M的坐标为（-加,10）.

由矩形MVPQ,得小〃了轴

点P的坐标为］m，-+20

Io（J

:.QP=MN=2m,QM=PN=—^m2+10

由矩形MVPQ的周长为57.5,得21*/+10+2m]=57.5

解得：mt=10,m2=150（不合题意，舍去）

点M的坐标为（-10,10），点N的坐标为（10,10）.

7.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要

第19页共39页

求给出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中如图所示.

方案一

方案一：抛物线型拱门的跨度ON=10m,拱高PE=4m,其中点N在x轴上，PELON,OE=EN

方案二：抛物线型拱门的跨度=8m,拱高PE'=6m,其中N'点在无轴上，PE'±ON',OE'=E'N'.

要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架ABCD的面积

记为H，点A、。在抛物线上，边2C在ON上；方案二中，矩形框架、AZ'C'D的面积记为S2,点A,%在抛物

2

线上，边？C'在ON'上，现知，小华已正确求出方案二中，当A2'=3m时，S2=12>/2m,请你根据以上提供的相

关信息，解答下列问题：

（1）求方案一中抛物线的函数表达式；

⑵在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCZ）的面积跖，并比较跖，S2的大小.

4r

【答案】（l）y=-毛（工-5）-+4

⑵s—z

【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式.

（1）由题意知抛物线的顶点尸（5,4）,设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式；

(2)令＞=3可得占=7.5,无2=2.5,故BC=5m,=AB-BC=l5m2■再比较%S2的大小即可.

【详解】（1）解：解：由题意得，方案一中抛物线的顶点尸（5,4）

设抛物线的函数表达式为y=a（x-5『+4

把。（0,0）代入得0=4（0—5）一+4,解得：a=--

二「如一5）?+4

492

，方案一中抛物线的函数表达式为：J=-^（X-5）+4;

（2）解：在了=_£（尤_5）2+4中，令y=3得：3=—（（无一5）2+4

=

解得，石=7.5,x22.5.

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/.BC=7.5—2.5=5m

S[=AB,BC=3x5=15m2,

15=^/225<-s/288=12忘

,Sj<S2.

8.综合与实践

问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历

史记忆和地域文化.图1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图2是某装修公司承揽窑洞装修任务后设计出的

窑洞内部墙面及顶部装修示意图.

数学建模:

如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为4m,窑洞顶部最高

点0离地面3.75m,点A离地面2.25m.

(1)在图3中画出以点。为原点，平行于4B的直线为x轴、竖直方向为＞轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函

数表达式.

问题解决:

(2)如图4,装修公司计划在窑洞两侧离地面3m的C,。处安装吊顶，若窑洞的深度为8m,求吊顶所需材料的

面积(结果精确到In?,参考数据：72®1.414);

(3)小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰.她计划从点A到点O,从点C到点8各拉一条彩带，并在C,。两

处悬挂彩灯CO,CM,DN(M,N在彩带上，CMLCD,DN,CD).试计算小红需要购买彩灯的总长度(结

果精确到。」m)).

图

地面

■03"

图1图2

3

【答案】(1)了=-?/(2)吊顶所需材料的面积约为23m2(3)小红需要购买彩灯的总长度约为41m

O

【分析】本题考查二次函数的应用：用到的知识点为：待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程

的关系.理解题意选择恰当的方法是正确解答此题的关键.

(1)根据题意画出平面直角坐标系，找到点A的坐标为(-2,T.5),点5的坐标为(2,-1.5).设抛物线的函数表达式

为丁=办2.代入坐标即可求解;

第21页共39页

(2)根据题意求得点C的坐标为卜3,-0.75),点。的坐标为(挺，-0.75).进而可求8=2应.即可求出吊顶所需

材料的面积；

(3)过点A作A。，。，交QC的延长线于点Q.由题意，得AQ=0.75,QD=2+^2.证明△DCMsAOQA.得

DCCM〜

了g=求得CNQO.62.进而可求答案.

【详解】解：(1)建立如图1所示的平面直角坐标系.

；窑洞顶部最高点。离地面3.75m,点A离地面2.25m

3.75-2.25=1.5.

点A,8的纵坐标为-1.5.

•/AB=4

/.点A的坐标为(-2,-1.5),点B的坐标为(2,-1.5).

\•点。为抛物线的顶点

•••设抛物线的函数表达式为y=ax2.

：A(-2,-1.5)在抛物线〉=加上

••一1.5—4a.

3

解得。=-7

O

•••抛物线的函数表达式为y=-?d.

O

(2)：CD离地面3m

3.75-3=0.75.

，点C,。的纵坐标为-0.75.

:点C,。在抛物线丁=-弓尤2上

O

22

・,・将y=。.75代入y=—x9得—x=-0.75.

88

解得玉=—\/2,x2=5/2.

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•••点C的坐标为卜垃,-0.75）,点D的坐标为-0.75卜

,CD=2亚.

/.吊顶所需材料的面积为8乂20=16夜。23（!112）.

答：吊顶所需材料的面积约为23m2.

（3）如图2,过点A作42,。，交。C的延长线于点Q.

由题意，得AQ=0.75,QD=2+0.

AQLCD,CMLCD

：.CM//AQ.

：.ADCMsADQA.

.DCCMM||2A/2CM

DQ-QA'刻元

：.CM0.62.

CM+£>N+C£>=0.62x2+20=1.24