2025年中考数学总复习《图形变换》专项检测卷及答案

2025年中考数学总复习《图形变换》专项检测卷及答案

学校:姓名：班级：考号：

1.如图1,将两个完全相同的透明直角三角板放置在一起，点C,尸重合，点A在所的延

长线上，点。在CB的延长线上，AB与DE交于点G.ZACB=ZDFE=90°,ZA=ZD=30°.

图1

(l)NAGE的度数是一。;

⑵将图1中的VABC绕点C以每秒10。的速度按逆时针方向旋转，旋转180。后停止运动，设

旋转时间为r秒.

①当f=3时，判断边AC与边DE的位置关系，并说明理由;

②在旋转的过程中，VABC恰有一边与边OE平行，求f的值.

2.如图1,。的半径。4=3,弦=直线与，。相切于点C,MN〃OA.点

P为弦A3的中点，连接BC.

图1图2

(D如图1,求—ABC大小及线段OP的长度；

⑵若弦A8以圆心0为旋转中心，逆时针旋转到A'B'，B'C时停止，如图2所示，求点尸走

过的路线长.

3.如图1,在R/VABC中，NB=90,BC=2AB=12,点O,E分别是边3C,AC的中点，

连接DE.将△即C绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.

【问题发现】①当a=0°时，;②当夕=180。时，=___________；

BDBD

Ap

【拓展探究】试判断：当04a<360时，怒的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证

DB

明.

【问题解决】当△即C旋转至AD,E三点共线时，直接写出线段80的长.

4.在VA3C中，ZACB=90°,将VABC绕点A旋转得到VADE,连接对应点8£>,CE.

(1)如图1,求证：ACEsABD.

(2)当CE经过AB的中点尸时.

①如图2,若AC=6,BC=8,求线段CE的长；

②如图3,延长。E交48于点G,当BG=2尸G时，判断线段CE,8。的数量关系，并说

明理由.

5.如图，在VABC中，CA=CB,。是VABC内一点，连接C。，将线段CO绕点C逆时针

旋转到CE,使/£)CE=NAC8,连接A£),。及BE.

⑴求证：CAD^,CBE.

⑵当NC4B=60。时，求/C3E与4AD的度数和.

6.已知正方形ABCD,点E是8C边上一点（不与点8,C重合），将线段3E绕点8顺时

针旋转式45。</<90。）得到线段加，作射线Ab,将射线AF绕点A逆时针旋转45。得到

射线A/Z,过点。作。欣〃3b交4产于点连接

（1）求NMDC的大小（用含a的式子表示）；

（2）用等式表示线段2户,MEDW的数量关系，并证明.

7.【知识技能】（1）如图1,在VABC中，AB=AC,ABAC=90°,点。为平面内一点（点

A,B,。三点不共线），AE为的中线，延长4E至点M,使得=连接DM.求

证：ZMZM+ZZMS=180°.

【数学理解】（2）如图2,在VABC中，AB=AC,ABAC=90°,点。为平面内一点（点

A,B,。三点不共线），AE为△ABD的中线，将AD绕点A按顺时针方向旋转90。得到AF,

连接CP.求证：AE=|CF.

【拓展探索】（3）如图3,在（2）的条件下，点。在以点A为圆心，AD的长为半径的圆

上运动（AD>AB）,直线AE与直线CP交于点G,连接3G,在点。的运动过程中，BG的

长度存在最大值.若AB=4,求3G的长度的最大值.

8.如图，点。和点O'分别是正方形ABCD和正方形ABC'。'对角线的交点，边且

过点。，与边BC交于点E,40与边。C交于点凡连接OO'.已知AB=8,

AO=EB'=a[a>0).

⑴求证：重叠部分的四边形A'FCE是矩形；

⑵若tan/O'QB'=3.求。的值；

(3)若正方形ABC。和正方形AB'CD'分别绕点0和点O'顺时针旋转相同的角度后，重叠部

分的四边形恰好为正方形，且00，=而，求重叠部分正方形的边长.

9.如图，在VABC和.CDE中，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,CD=CE,且点A在CD

上，连接AE、BD.

⑴求证：AE=BD；

(2)已知AB=CD,将VABC绕点C按逆时针方向旋转一周，当以A、B、C、。为顶点的四

边形是平行四边形时，写出旋转角的度数.

10.如图，反比例函数尸?相片0)过点4(1,3).

⑴求反比例函数的表达式；

⑵若点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE,把线段AE绕点A顺时针旋转90。,

点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标.

11.如图①.点E为正方形A2CZ）内一点.ZAEB=90°,将RtA4BE绕点B按顺时针方向

旋转90。,得到△CBE（点A的对应点为点C）.延长AE交CE'于点尺连接DE.

猜想证明：

（1）试判断四边形的形状.并说明理由；

（2）如图②.若八4=小.请猜想线段CF与总的数量关系并加以证明；

解决问题：

（3）如图①，若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长.

⑴如图1,N是延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM=BN；

（2）如图2,过点B作族，AW,P为垂足，连接CP并延长交A8于点Q,求证：

CPBQ=BMPQ.

（3）如图3,将（1）中的馍可以点8为中心逆时针旋转得BC'N',C,N对应点分别是C',N',

3

E为C'N'上任意一点，。为的中点，连接。E,若BC=6,tcmNBCN=二,最大值

4

为m,最小值为"，求场的值.

n

13.综合与实践:

如图1,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵

爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2,在VA2C中，

ZA=90,将线段BC绕点8顺时针旋转90。得到线段80,作交AB的延长线于点

⑴【观察感知】

如图2,通过观察，线段与的数量关系是；

⑵【问题解决】

如图3,连接C。并延长交A3的延长线于点/，若AB=1,AC=3.

①求线段所的长；

②连接CE文BD于点、N,则黑BN的值为_______.

BC

(3)【拓展应用】

3

如图3,若AB=2,AC=6,在直线A5上找点P,使tanNBC尸=：,请直接写出线段AP的

4

长度.

14.在综合实践课上，同学们探究三角形旋转和平移的问题：

问题提出：

如图①，已知VABC是等边三角形，点E在边上，以线段AE为边作等边VADE,将VADE

绕顶点A逆时针旋转a°(OWcW6O),如图②，再将线段AO沿AC方向平移，使点A与点C

重合，得到线段CF.

猜想探究：

(1)如图②，与N54E相等吗？请说明理由;

(2)如图③，连接BE,BF,EF,请直接判断△3EF是哪种特殊的三角形：_____三角形.

探究迁移：

(3)如图④，若VABC和都是等腰直角三角形，且AB=5C,AD=AE,点E在AB

边上，将VADE绕顶点A逆时针旋转a°(OWa<45),如图⑤，再将线段AD沿AC方向平移，

使点A与点C重合，得到线段CF,连接BE,BF,EF,则△3EF是什么特殊的三角形？

请证明你的结论.

15.已知正方形ABCD,将边绕点A顺时针旋转a至线段AE,的角平分线所在

直线与直线仍相交于点

【探索发现】

(1)如图1,当。为锐角时，请先用“尺规作图“作出”4E的角平分线(保留作图痕迹，

不写作法)，再依题意补全图形，求证：EF=DF；

【深入探究】

(2)在(1)的条件下，

①ZDEB的度数为；

②连接CP,证明后CF=2E；

【拓展思考】

(3)如图2,若正方形的边长AB=4,当以点GF,D,E为顶点的四边形是平行四边形

时，请直接写出线段班的长度.

1.(1)30

(2)®AC±DE,理由见解答；②/的值是3或12或15

【分析】(1)根据直角三角形的两锐角互余和三角形外角的性质即可解答；

(2)①如图2,根据三角形的内角和定理可得=90。，即可得结论；

②分三种情况：i)如图2,BC//DE,z7)如图3,AC//DE,iiO如图4,AB//DE,延

长交OE于点G,根据平行线的性质即可解答.

【详解】(1)解：如图1,；NDFE=90°,ZD=30°.

图1

ZDEF=90°-30°=60°,

/A=30。，

ZAGE=ZDEF-ZA=60°-30o=30°,

故答案为：30；

(2)①当r=3时，边AC与边DE的位置关系是：AC1DE,理由如下:

如图2,当/=3时，ZACE=30°,

：.ZC77E=180o-30°-60°=90°,

ACIDE；

②分三种情况：

z)如图2,由①可得NCHE=9(r=NACB,

・・・BC//DE,

此时t=3；

iD如图3,AC//DE,

・・・10-30+90,

iii）如图4,AB//DE,延长BC交。E于点G,

・•・ZB=ZBGE=60°,

•・•"=30。，

ZDCG=60o-30o=30°,

ZACB=90°,

JZACD=180o-90°-30o=60°,

A10/=60+90,

Ar=15；

综上，，的值是3或12或15.

【点睛】此题是三角形的综合题，考查了平行线的性质，旋转的性质，三角形内角和，三角

形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.

3

2.（1）ZABC=45°,OP=|

3

⑵丁

【分析】（1）连接OC,OP,由切线得到OCLMN,求出NAOC=90。，然后利用圆周角

定理求出/ABC=45。；由垂径定理得到AP,然后利用勾股定理求解即可；

（2）连接OC,求出AC为直径，点。在线段AC上，然后求出旋转角为90。，然后利用弧

长公式求解即可.

【详解】（1）解：连接OC,OP,

：.OCLMN,

,OA//MN

:.OC±OA,ZAOC=90°

:.ZABC=-ZAOC=45°

2

:点P为弦AB的中点

O尸垂直平分AB

...AP=-AB=—

22

：.OP=>JOA2-AP2=-；

2

AB'±B'C,

...AC为直径，点。在线段AC上.

AW与圆相切，

:.ACrMN.

又，OA//MN,

ZAOA=90°,即旋转角为90。.

3

，点尸走过的路线长为90无；_3.

--------=-71

1804

【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，求弧长等知识，解题的关键是掌握

以上知识点.

3.［问题发现］①近；②@；［拓展探究］的大小无变化；见解析；［问题解决］

22DB

-18石

或——

5

【分析】［问题发现］先利用勾股定理求得AC,再利用中点的意义分别求得AE与30,然后

求出它们的比；

［拓展探究］先证明"CEs△BCD,再求出AE与80,然后得出结论；

［问题解决］分“点。在线段AE上”、“点E在线段上”两种情形，分别证明“。历-△/CD,

列出比例求出BD.

【详解】解：［问题发现］

①当夕=0。时，如图b

:在放VABC中，15=90,BC=2AB=12,

AC=^AB2+BC2=V62+122=6A/5，

；点、D,E分别是边BC,AC的中点，

/.AE=-AC=3y［5,BD=-BC=6,

22

.AE_3A/5_75

"BD~62

故答案为：立；

2

②当a=180。时，如图,

A

由旋转的性质可知：CE=-AC=3y/5,CD^-BC=6,

22

/.AE=AC+CE=6亚+3非=9非,

B£>=BC+C£>=12+6=18,

.AE9A/5^5

"BD-IF-V

故答案为：好；

2

［拓展探究］

无变化.

理由：如图1中，TOE是VABC的中位线，

.CECD

…演一拓’

如图2中，・・・CDE在旋转过程中形状大小不变,

.CECD

’.演=葭仍然成山

又；ZACE=ZBCD=a,

：.AACE^ABCD,

.AEAC6x/5A/5

"BD~BC~12-2'

•••笈AF的大小无变化.

DD

［问题解决］

当点。在线段AE上时，如图,

与［拓展探究］同理可证AACEsABCD,

.AE75

''BD~2，

/CDE=90。,

：.ZCDA=90°

VAC=6A/5,CD=6,

AO=VAC2-CD2=J(6肩-62=12,

AE=AD+OE=15,

,解得：BD=65/5;

BD2

当点E在线段上时，如图，

同理可证△ACEs△geo,

.AE_小

,•80・2，

VZCZM=90°,AC=6-y/5,CD=6,

，AD=4AC1-CD1=J(6扃—6?=12,

AE=AD—DE=12—3=9,

:.—=JL,解得：BD=身叵，

BD25

综上所述，BD=6#或空.

【点睛】本题考查了利用旋转的性质求线段的长，相似三角形的判定与性质，中位线定理等

知识，解题关键是利用相似三角形的判定证明三角形相似，并列出比例求出待线段的长.

4.⑴详见解析

⑵①¥；②里=在，详见解析

5BD4

【分析】（1）根据旋转的性质可得=AC=AE,AB=AD,即可得出

ACAF

NBAD=NCAE,七=不；，根据相似三角形的判定定理即可证明ACE^ABD.

（2）①勾股定理求出AB=10,根据直角三角形的性质得出B==3/=5,即可得

ZACE=ZFAC,结合AC=AE,得出/ACE=/AEC,即可得/E4C=NAEC,证明

ACFs,EC4,根据相似三角形的性质即可求解.

②设FG=a,根据BG=2FG,CF=AF=BF,得出AF=CF=3P=3a,AD=AB=6a,

3927

AG=4〃.证明VFEOVADG,得出跖=—〃，CE』,由①知，AC2=ECCF=—a2.即

222

可得人。=神〃.根据一ACEs/钻。，即可求解.

2

【详解】（1）证明：・・,将VABC绕点A旋转得到VAD£,

；・NBAC=NDAE,AC=AEfAB=AD.

：.ZBAD=ZCAE,—.

ABAD

：..ACEsABD.

（2）解：①•・•NACS=90。，AC=6,BC=8,

・•・AB=7AC2+BC2=V62+82=10•

•・•点/是"的中点，

・•・CF=AF=BF=5.

：.ZACE=ZFAC.

,:AC=AE,

：.ZACE=ZAEC.

：.ZFAC=ZAEC.

•・•ZACF=ZACE,

：.ACF^,ECA.

.ACCF

即AC?=ECCF.

*EC-AC

AC26236

EC=

CF55

②空=逅

BD4

设方G=a.

：BG=2FG,CF=AF=BF,

•・AF=CF=BF=3a,AD=AB=6a,AG=4a.

:NBAC=NDAE,NFAC=NAEC,

9.ZDAE=ZAEC.

：.AD//CE.

：.NFEG^NADG.

.EFFG

**AD-AG-4e

13

EF=-AD=-a.

42

9

CE=EF+CF=-a.

2

97

由①知，AC2=ECCF=­a2.

2

.•AC------Q.

2

ACEsdABD,

376

ACEAC_~Ya_V6.

BDAB6a4

【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判

定，直角三角形的性质，旋转的性质等知识点.解题的关键是证明三角形相似.

5.(1)见解析

(2)60°

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质：

(1)利用SAS证明CAD^CBE即可；

(2)证明VABC为等边三角形，进而得到44c=60。，利用全等三角形的对应角相等，结

合角的和差关系即可得出结果.

【详解】(1)解：:.旋转，

:.CD=CE,

9：ZDCE=ZACB,

：.ZDCE-ZDCB=ZACB-ZDCB,

JZACD=ZECB,

,:CA=CB,

：..C4Z径CBE；

(2)VC4=CB,NC4B=60。，

・・・VABC为等边三角形，

Z^4C=60°,

ZCAD+ZBAD=60°f

由(1)知：CAD^CBE,

：./CBE=/CAD,

：./CBE+/BAD=60。.

6.(l)^MDC=90°-a

=BF2+DM\见解析

【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理

解题意，构造全等三角形，作出辅助线是解题关键.

(1)延长交的延长线于点尸，根据平行线的性质得出b+/MR4=180。，确定

ZMPA=90°-a,再由各角之间的等量代换即可得出结果；

(2)过点人作曲^”且AK=AF,连接根据全等三角形的判定和性质得出

,ABF^ADK(SAS),BF=DK,ZABF=ZADK=9G0+a,确定/KDM=90。，继续利

用全等三角形的判定和性质证明二川呼冬AAMK(SAS),结合图形利用勾股定理即可得出结

果.

【详解】(1)解：延长交班的延长线于点尸，如图所示:

°：DM〃BF,

：.ZABF+ZMPA=\^°,

根据题意得：/EBF=a,

：.ZABF=900+a,

：.ZMPA=90°-a,

・・,正方形ABC。，

：.^ADC=^DAP=90°,

；.NMDC+ZADP=90°,ZADP+NAPD=90°,

・•・ZMDC=ZDPA=90°-a；

(2)过点A作AK_LAF且AK=AF,连接M0,DK,如图所示:

：.ZFAK=ZDAB=90°,

：.ZDAK+NDAF=ZDAF+ZFAB=90°,

:・NDAK=NFAB,

,:DA=AB,

：...ABF^,AOK(SAS),

:・BF=DK,NABF=NADK=90。+a,

由（1）得〃®C=90。—。，

ZKDM=360。-NADK-NMDC=90°,

・•,将射线AF绕点A逆时针旋转45。得到射线AH,AK±AF,

：.NHAF=ZHAK=45°,

AK=AF,AM=AM,

：.AMF^AMK（SAS）,

:.MF=MK,

在RtDKW中，KM2=DK2+DM2^

FM2=BF2+DM2.

7.（1）见解析；（2）见解析；（3）275+2

【分析】（1）先证明一ABE四一MDE（SAS）,由全等三角形的性质得出ZS4E=ZDME,最后

根据平行线的性质即可得出ZMDA+ZDAB=180°.

（2）延长AE至点使得ME=AE,连接DM.由旋转的性质可知，

AF^AD,/DLF=90。.证明，ACF^DMA（SAS）,由全等三角形的性质进一步即可证明.

（3）延长AE至点使EM=AE,连接先证明ADE^MB£（SAS）,再证明

ABM9C4F（SAS）,根据得出点G在以AC为直径的。上运动，当且仅当8O,G三

点共线时，BG的长度取得最大值，此时BG=O8+OG.然后利用勾股定理以及直角三角

形斜线的中线等于斜边的一半求解即可.

【详解】解：（1）证明：AE为的中线，

/.BE=DE.

在人45石和一中，

BE=DE,

<ZAEB=/MED,

AF=ME,

ABE”.MDE（SAS）.

:.ZBAE=ZDME.

AB//DM.

ZMDA-^-ZDAB=180°.

(2)证明：如答题图，延长AE至点使得=连接DM.

由旋转的性质可知，AF=AD,ZDAF=90°.

ABAC=90°,ZDAF+ZBAC+ZDAB+ZCAF=360°,

/.ZZMfi+ZC4F=180°.

由（1）得ZMZM+/ZM5=180,DM=AB=AC,

.\ZCAF=ZMDA.

在△ACF和SMA中，

AF=DA,

<ZCAF=ZMDA,

AC=DM,

ACF^DM4（SAS）.

:.CF=MA.

AE=-MA

2f

/.AE=-CF.

2

（3）解：如答题图，延长AE至点M,使=连接

AE=ME,

<NAED=ZMEB,

DE=BE,

ADE组MBE（SAS）.

:.AD=BM,ZDAE=ZM.

AD//BM.

:.ZDAB^-ZABM=180°.

ZZMF+ZBAC=180°,

.•.NZMB+NC4r=180。.

:.ZABM=ZCAF.

AF=AD,

.\AF=MB.

在一和VC4F中，

AB=CA

<ZABM=NCAF,

BM=AF,

ABM^..C4F（SAS）.

:.ZBAM=ZACF.

ABAC=9Q0,

.•.NBAM+NC4G=90。.

:.ZACF+ZCAG=9Q°.

:.ZAGC=90°.

二.点G在以AC为直径的。上运动，当且仅当5,O,G三点共线时，3G的长度取得最大

值，此时BG=OB+OG.

O为AC的中点，AB=AC,

:.OA=-AC=-AB=2.

22

在中，由勾股定理，得OB=JAB2+OR?=正+22=26.

在RtACG中，。为斜边AC的中点，

/.OG=-AC=2.

2

二•BG的长度的最大值为2A/5+2.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合问题，直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定

理等知识.掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

8.⑴见解析

⑵a=g；

(3)7一叵

2

【分析】(1)证明NCE4'=NC=NE4'E=90。，即可得到四边形AFCE是矩形；

(2)作O7f_LOE于点证明率CO£SAC4B,求得OE=4,证明,求

得OH=OE=2,再利用三角函数的定义即可求解；

(3)重叠部分的四边形恰好为正方形，则正方形ABCD和正方形AB'C'D'的对角线重合，

得到点AA'、O、O'、C、C'共线，结合(2)的结论，求解即可.

【详解】(1)证明：：正方形ABCD和正方形AB'C'D',

：.ZB=NC=NFA'E=90。,

AB'//AB,

：.ZCEA=9Q°,

：.NCEA'=NC=ZFAE=90°,

•••四边形AFCE是矩形；

(2)解：连接O'A、O'B\O'E,作O'〃_LOE于点H,

.,点。是正方形ABC。对角线的交点，且OEL3C,

,.OE//AB,

\COEjCAB,

.OEPC1

'AB~CA~2'

\0E=-AB=4,

2

••点O'是正方形AB'C'D'对角线的交点，

\O'A'=OB',ZO'AO=AO'B'E=45°,AH=OH,

A'O=EB',

O'A'O与OBE(SAS),

0'0=OE,

*O'H±OE,

.OH=OE=~OE=2,

2

*tanZOW=-,

4

O'H_5

'~OH~4，

.O'H=-,

2

.a=A'O=A'H-OH=O'H-OH=-；

2

(3)解：作O7/J_OE于点H,

由（2）知O/7=OE=2,

•/OO'=岳,

O'H=doo'?-OH。=3，

:点O'是正方形AB'C'D'对角线的交点，

/.正方形AB'C'D'的边长为6,

：.O'A=1=-x6A/2=3V2,

22

•；AB=8,

:•AC=8拒,OC=|AC=4A/2,

、•重叠部分的四边形恰好为正方形，

•••正方形ABC。和正方形AB'CD'的对角线重合，

.,.点A、A、O、。、C、。共线，

如图，重叠部分的四边形AEB的对角线为AC,

A

/.A'O=O'A-OO'=3垃-岳,

/.AfC=A,O+OC=372-713+472=772-V13,

，重叠部分的四边形AECF的边长CF=ACsin45。=7-叵.

2

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形

的判定和性质，二次根式的混合运算.正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

9.(1)见解析

(2)45°或225°或315。

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，利

用分类讨论思想是解题的关键.

(1)根据SAS,可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得对应角相等；

(2)分类讨论，根据平行四边形的性质即可解答，可得答案.

【详解】(1)证明：在△ACE和△BCD中，

CE=CD

<NACE=ZDCB=90°

AC=CB

AACE^ABCD(SAS)

AE=BD；

(2)解：分情况讨论，设VABC旋转后，A,8的对应点为A,

当CO为边时有两种情况，

当DC在AF上方时，以A'、B'、C、。为顶点的四边形是平行四边形时如图，

E

/〃ZA'CB，=90°,CA'=CB',

.-.ZCA/Br=45°,

四边形ZM'B'C为平行四边形，

:.ZDCA'^ZCA'B'^45°,即旋转45。；

当。C在A一下方时，以A'、B'、C、。为顶点的四边形是平行四边形时如图,

NAC4'=180°—NA'=135°,

旋转的角度为360°-135。=225。；

当CD为对角线时，以A、B'、C、。为顶点的四边形是平行四边形时如图,

四边形ADB'C为正方形,

:.ZACA'=45°,

•••旋转的角度为360。-45。=315。.

综上，旋转角度为45。或225。或315。，以AB、C、。为顶点的四边形是平行四边形.

3

10.⑴y=—

X

⑵明

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)如图2,过A点作x轴的平行线C。，作bCLCD于C,ED,CD于。，设＞1),

证明出ACF^EDA(AAS),得到一2,4-4，然后得到-a)=3求解即可.

【详解】(1)解：点4(1,3)在反比例函数产：(〃-0)上，

.\m=lx3,

.,.m=3,

a

二反比例函数为y=±；

X

(2)如图2,过A点作x轴的平行线C。，作产CLCD于C,ED1.CD于D,

A(l,3),

..3

AD=a—1,DE=3—,

a

把线段绕点A顺时针旋转90。，点七的对应点为产，恰好也落在这个反比例函数的图

象上，

：.ZEAF=90°,AE=AF,

:.ZEAD+ZCAF=90°,

ZEAD+ZAED=900,

.\ZCAF=ZAED,

在△ACF和..£ZM中,

ZCAF=/AED

<ZACF=ZEDA=90°f

AF=EA

ACF^EZM（AAS）,

3

.\CF=AD=a—1,AC=DE=3—,

a

:.F^--2,4~a^,

?恰好也落在这个反比例函数的图象上,

1：-2）（4一"）=3,

解得（7=6或0=1（舍去）

【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，解一

元二次方程等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形.

11.（1）正方形，理由见解析；（2）CF=EF,证明见解析；（3）3折

【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质

与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键.

（1）由旋转的性质可得/A£B=NCEZ=9O。，BE=BE-NEBE'=90。,由正方形的判定

可证四边形期叩E’是正方形；

（2）过点D作。于“，由等腰三角形的性质可得AH=JAE,DH1AE,由“AAS”

可得△ADH冬△%,可得Aa=3E=gAE,由旋转的性质可得AE=CE',可得结论；

（3）作DGL/于G,根据勾股定理求出CE',再根据勾股定理求出AG,进而求出GE,

根据勾股定理计算。E的长.

【详解】解：（1）四边形3EFE'是正方形，理由如下：

由旋转的性质可得〃EB=NCE3=9O。，BE=BE',NEBE'=90。

又,?Z.BEF=180°-ZAEB=90°

，四边形3EFE'是矩形

又；BE=BE',

.,•四边形3EFE'是正方形；

(2)CF=EF,证明如下：

如图②所示，过点D作。垂足为H

贝ljNDH4=90。，

ZDAH+ZADH=90°,

VDA=DE,DH1AE,

：.AH=-AE,

2

:四边形A3CD是正方形，

AAB=AD,ZDAB=90°,

：.ZDAH+ZBAE^90°,

：.ZBAE=ZADH,

在4AEB和中，

'NAEB=NDHA

<NBAE=NADH,

AB=DA

：.AEB^DHA(AAS),

：.AH=BE,

由(1)知四边形3EFE是正方形,

BE=E'F,

-AH=E'F<

由旋转的性质可得：CE'=AE,

：.FE'=-CE',

2

CF=FE',

：.CF=FE；

(3)如图①所示，作£>G_LAE于G,

,/四边形BEFE'是正方形

/.BE=BE'=EF,

在RtCBE'中，由勾股定理得：CE'2+BE'2=BC2,

：.CE'2+(CE,-3)2=BC2,

CE'=12或CE'=-9(舍去)，

/.AE=CE'=12,EF'=BE=9,

由(2)可知：AEB0DGA,

：.AG=BE=9,

：.GE=AE-AG=3,

在Rt^DGE中，由勾股定理得：DE=ylDG2+GE2=V122+32=3717-

12.(1)见解析

(2)见解析

⑶星

9

【分析】(1)证明"BM会△CBN,从而得出结论；

⑵作CD_L3c交3尸的延长线于。，证明一CPDsQP3及，3(24,四河，二者结合可

证明结论；

(3)点C运动轨迹是以B为圆心，3C为半径的圆，设CN上的高是8尸，垂足为尸，则尸的

轨迹是以3为圆心，跖为半径的圆，CN运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环，结合图形

找出点DE的最大值，然后根据垂线段最短可求出OE的最小值，从而确定俄和〃的比值，

进一步得出结果.

【详解】(1)证明：如图1,设AM的延长线交CN于。，

N

CNVAM,ZABC=90%

图1

:.ZABC=ZADC=90°9

,ZAMB=ZCMD,

:.ZBAM=ZBCNf

在和/\CBN中,

ZBAM=ZBCN

<AB=BC,

ZABC=ZCBN=90°

ABM^CBN(ASA),

(2)证明：如图2,

作CD,交成的延长线于。，

/.ZBCD+ZABC=90°+90°=180°,

ACD//AB.

:、CPDsQPB,

CPCD

'~PQ~~BQf

BP工AM,

.\ZBPM=90°f

:.ZDBC+ZAMB=90°,

ZBAC=9Q°,

ZBAM+ZAMB=90°9

:"DBC=/BAM,

在△区CD和.ABM中，

'ZDBC=ZBAM

<BC=AB,

ZBCD=ZABC=90°

，BCDWABM(ASA),

:.CD=BQ,

CPBM

'~PQ~~BQ'

...CPBQ=BMPQ;

「点。运动轨迹是以5为圆心，5c为半径的圆,

设CN上的高是3尸，垂足为尸，则尸的轨迹是以5为圆心，5尸为半径的圆,

.•.CN运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环，

当E在CB的延长线上时，DE最大,

3

ZBCN=90°,tanABCN=~,AB=BC=6,

4

39

/.BM=BN=BCtan/BCN=6x—=—

42

。为BM的中点，

19

BD=-BM=-

24

933

:.m=BD+BE=BD+BC=—+6=——，

44

9

BN=—,BC=6

2

CN=y/BN2+BC2=—

2

根据三角形面积可得［BNXBCMINCXBF,

22

2x6

kBNXBC218

CN155

~2

18927

n=DEf=BEf-BD=BF-BD=--------=——

5420

33

m_4_55

20

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一点到圆上的距离的最值问题，相似三角形

的判定和性质，解直角三角形,解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形.

13.(1)DE=AB

9

⑵①2；②为

(3)2或1

【分析】(1)根据旋转的性质可得NCBD=90,CB=BD,进而证明.ABC四。£DB(AAS),

即可求解；

(2)①证明AABC^EDB(AAS),得出DE=AB=1,BE=AC=3,根据tan/^=匹=生，

EFAF

13

得出户=7F，求出结果即可；

EF4+EF

②过点N作尸于点Af,证明，ABCs,MVB得出肱V=，证明EMN^^ECA,

27

设=则=3M=3-无，代入比例式，得出了=后，进而即可求解；

(3)当P在B点的左侧时，过点P作PQLBC于点。，当尸在8点的右侧时，过点P作

PT_LBC交CB的延长线于点T,分别解直角三角形，即可求解.

【详解】(1)解：：将线段BC绕点B顺时针旋转90。得到线段30,作交A5的延

长线于点E.

,ZCBD=90°,

\?ABC?DBE90?,

VZA=90°,

.*.ZABC+ZACB=90,

:.ZDBE=ZACB,

又二ZA=ZDEB=90。且CB=BD,

/.ABC^EDB(AAS),

/.DE=AB；

(2)解：①・.,NCa)=90。，

JZABC+NDBE=90。,

VZA=90°,

・•・ZABC+ZACB=90。,

ZDBE=ZACB,

又「NA=ND£B=90。且CB=BD,

：._ABC-EDB(AA^,

：.DE=AB=1,BE=AC=3,

：.AE=AB-^BE=l+3=4,

9：ZDEF=ZA=90°,

tan八区AC

EF-AF

13

£F-4+EF

EF=2；

②如图所示，过点N作NM_LAF于点M,

■:ZA=NBMN=90。，ZACB=90。一ZABC=ZNBM,

：.ABCsMNB,

.BN_BM_MN

**BC-~\C~AB，

BNBM_MN口L

BaPn—=—,^MN=-1BM

BC13

VAC1AF,NM1AF,

：.MN±ACf

:.一EMNsEAC,

.ME_MN

••一，

AEAC

^BM=x,则=3M=3—x,

1

O-x

3r二3

4-3

27

解得：*=

27

・・.BNBM这9；

^C~~AC~~3~V3

（3）解：如图所示，当尸在8点的左侧时，过点尸作PQL3C于点。,

XVAC=6,AB=2,ABAC=90°,

A。6______

・・・tan/A3C="^=7=3,BC=《展+6?=2丽,

AD2

.♦.tan/PBQ=黑=3,

.**BQ=jPQ=a,

BC=CQ+BQ=4Q+a=5a,

/.5a=2A/10,

解得：。二亚,

5

在RtAPBQ中，PQ=3a,BQ=a,

PB=JPQ2+BQ2=回。=回义^^~=4,

・・・AP=PB-AB=4-2=2；

如图所示，当尸在3点的右侧时，过点尸作PT_LBC交CB的延长线于点T,

ZABC=ZPBT,ZA=ZT=90°,

:.ZBPT=ZACB

Afi1

VtanZACB=——

AC3

tanZBPT=—=tanZACB=-

PT3

设BT=b,则PT=3b,BP=Mb,

PT3

VtanZBCP=——=—,

CT4

,3b

*b+2M4

解得：人=冬叵，

3

.••即=灿=亚亚=型,

33

26

AP^AB+BP=2+—^

3T

综上所述，AP=2或胃.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形,

旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

14.(1)ZBCF=ZBAE,理由见解析；(2)等边；(3)△3EF是等腰直角三角形，证明见

解析；

【分析】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰

三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先由等边三角形的性质得NZM£=N54C=NBC4=60。，运用平移性质得AD〃CF,

则/R4C+/ACR=180。，则代入NZMB=N5AC—NA4E=60O—NBAE,化简得出

ZBCF:ZBAE,即可作答.

（2）与（1）同理得NBCF=N84E=。。，再证明BAE^BCF（SAS）,

BE=BF,NFBC=NEBA,然后根据有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形，即可作答.

（3）与（2）同理证明BAE空BCF（SAS）,得BE=BF,ZABE=/CBF,故ZABC=NEBF,

因为VABC为等腰直角三角形，AB=BC,所以NABC=90。，即可作答.

【详解】解：（1）NBCF=NBAE,

理由ADE和NABC为等边三角形，

ZDAE=ZBAC=ZBCA=60°f

/.ZDAB=ZBAC-ZBAE=600-ZBAE,

平移，

:.ADCF,

.•.NZMC+ZAC尸=180。，

/.NDAB+ABAC+ZBCA+NBCF=180°,

.•.60。—ZBAE+60°+60°+ZBCF=180。，

:.ZBCF=ZBAE；

（2）△5EF是等边三角形，过程如下：

ADE和NABC为等边三角形，

/.ZDAE=ABAC=ZBCA=60°,AB=BC,AD=AEf

/DAB=NBAC—NBAE=60°-ZBAE=60°-tz°,

平移，

/.ADCF,AD=CF,

.•.ND4C+NAC尸=180。，AE=CF,

/.ZDAB+ABAC+ZBCA+ZBCF=180°,

/.60°-ZBAE+60°+60°+ZBCF=180。，

.\ZBCF=ZBAE=a°；

VAE=CF,AB=BC,

：.BCF（SAS）；

・・・BE=BFfZFBC=ZEBA,

ZABC=ZEBC+ZEBA=60°,

・•・ZEBF=NEBC+ZFBC=60°,

*.*BE=BF,

・・・△区FE是等边三角形；

（3）ABEF是等腰直角三角形，理由：

由（2）知々A£*=N3CF,

平移，

/.CF=AD,

又AD=AE,

.\CF=AE,

VAB=BC,ZBAE=ZBCF,AE=CF,

：.BCF（SAS）；

:.BE=BF,ZABE=/CBF,

/.ZABE+NEBC=ZCBF+NEBC,

即ZABC=/EBF,

ABC为等腰直角三角形，AB=BCf

.\ZABC=90°,

:./EB