2025年中考数学总复习《图形与二次函数》专项测试卷（带答案）

2025年中考数学总复习《图形与二次函数》专项测试卷（带答案）

学校:班级：姓名：考号：

1.如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m.栅栏在安装过

程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m）,与墙平行的一边长为y（单位：m）,面积为

S（单位:m2）.

H-----------42m-----------H

墙「

x实验田x

y

⑴直接写出y与尤，S与X之间的函数解析式（不要求写X的取值范围）；

⑵矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求尤的值；如果不能，请说明理由.

⑶当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

2.【问题提出】

在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如

图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案.

说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面.喷洒覆盖率s为待喷洒区域面积，上为待喷洒

这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.

【探索发现】

（1）如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率。=

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9

（2）如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为彳m的自动喷洒装置；如图4,设计安装9个喷洒半径均为3m

2

的自动喷洒装置；……，以此类推，如图5,设计安装/个喷洒半径均为29m的自动喷洒装置.与（1）中的方案

n

相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由.

（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率。=1.已知

正方形ABCD各边上依次取点孔G,H,E,4吏得AE=BF=CG=DH,设AE=Mm）,。。1的面积为乂!!？），求

y关于X的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值.

【问题解决】

（4）该公司现有喷洒半径为30m的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率

P=1?（直接写出结果即可）

3.学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42m,篱笆长80m.设垂直于墙的边A3

长为尤米，平行于墙的边为＞米，围成的矩形面积为Sn?.

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AD

⑴求y与与x的关系式.

(2)围成的矩形花圃面积能否为750m2,若能，求出X的值.

(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值.

4.工匠师傅准备从六边形的铁皮A3CDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经测量，AB//DE,与

DE之间的距离为2米，AB=3米，AF=BC=1米，ZA=ZB=90°,ZC=ZF=135°.MH,HG,GN是工匠师

傅画出的裁剪虚线.当的长度为多少时，矩形铁皮MNG”的面积最大，最大面积是多少？

5.某建筑物的窗户如图所示，上半部分VA3C是等腰三角形，AB=AC,AF:班'=3:4,点G、H、歹分别是边

AB.AC.的中点；下半部分四边形3CDE是矩形，BE//IJ//MN//CD,制造窗户框的材料总长为16米(图

中所有黑线的长度和)，设=x米，班=＞米.

A

(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量尤的取值范围；

(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多(窗户的面积最大)，并计算窗户的最大面积.

6.如图，正方形纸片ABCD的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x,

四边形EFGH的面积为

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AHD

⑴求y关于x的函数表达式；

⑵当AE取何值时，四边形EFG”的面积为10?

(3)四边形EFG8的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

7.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆

把花园分为A,2两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米.

〃〃/(〃〃〃/(〃〃/<//

AB

(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

(2)在花园面积最大的条件下，A,2两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药

每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

8.如图，VABC是边长为4的等边三角形，点。，E,尸分别在边AB,BC,C4上运动，满足AD=3E=CF.

(2)设AD的长为x,△/)所的面积为》求y关于x的函数解析式；

(3)结合(2)所得的函数，描述ADEF的面积随AD的增大如何变化.

9.如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD,铁丝恰好全部用完.

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AB

（1）若所围成矩形框架ABC。的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？

（2）矩形框架ABCD面积最大值为平方厘米.

10.某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成.已知墙长25m,木栅栏长47m,在与

墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）.求鸡场面积的最大值.

//[///J/////////////

出入口

11.小明爸爸打算用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四

角各裁掉一个正方形（厚度不计）.

（1）请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为12dm2时，裁掉的

正方形边长是多少分米？

（2）若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25

元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？

12.九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米栅栏（安

装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同

学们进行劳动实践.设矩形菜地垂直于墙的栅栏边长为x米，面积为S平方米.

/////////>/////////////

ADDdDDDDDD

DDdDDDdD

_____1I___________1I____

B1111C

⑴直接写出S与x间的函数解析式（不要求写尤的取值范围）；

⑵围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由.

（3）当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？

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13.如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为38m.栅栏在安装过

程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为无（单位：m）,与墙平行的一边长为y（单位：m）,面积

为S（单位：m2）.

■<38ma

墙

X实验田X

y

⑴直接写出y与尤，S与x之间的函数解析式（不要求写尤的取值范围）；

（2）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

14.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形

花园ABCD（篱笆只围AB、3c两边），设=x米.

（1）求花园的面积S与x的函数关系式；

（2）在P处有一棵树与墙8、AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内；（含边界，不考虑树的粗细）

①若花园的面积为192m"求x的值；

②求花园面积S的最大值.

15.如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m

的不锈钢栅栏围成.左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.另外，在距离后墙8m外，还规

划有机动车停车位.

机动车停车位

（1）若设车棚宽度AB为AHI,则车棚长度BC为m；

⑵设自行车车棚面积为S（m2）,车棚宽度AB为x（m）,求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围;

（3）学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建.在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面

积不小于405m,是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位E尸向外最多移动2m,如有必要，请

给出具体方案；如无必要，请说明理由.

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16.工人师傅要将如图所示的矩形ABCD分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品.已知AS=2BC=40m,

点E,尸分别在AD和CO上，AE>DE,且力尸=2DE.设AE=xm.

（1）设甲、乙两块材料的面积之和为S,求S与x之间的函数解析式；

⑵当AE取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为325m②？

（3）丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

17.如图，用总长为48的篱笆，围成一块一边靠墙的矩形花圃一道垂直于墙的篱笆跖将矩形ABCD分成

两个矩形®E和EFCD.墙的最大可用长度为21m.篱笆在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形花圃与墙垂直的

2

一边长为x（单位：m）,与墙平行的一边长为（单位：m）,面积为S（单位：m）.

<-----------21m--------------->

AED

Br

⑴直接写出y与x,s与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；

（2）矩形花圃的面积S能达至IJl80m2吗？如果能，求2C的长；如果不能，请说明理由;

（3）当x的值是多少时，矩形花圃的面积S最大？最大面积是多少？

参考答案

1.如图，某校劳动实践基地用总长为80nl的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m.栅栏在安装过

程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为无（单位：m）,与墙平行的一边长为y（单位：m）,面积为

S（单位：m2）.

H-----------42m------------H

墙

x实验田x

y

（1）直接写出y与x,S与尤之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；

⑵矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.

⑶当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

【答案】⑴y=80-2x,S=-2/+80x

(2)x=25

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(3)当x=20时，实验田的面积S最大，最大面积是800n?

【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算工的取值范围是解题的关键.

(1)根据2x+y=80,求出，与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式；

(2)先求出x的取值范围，再将S=750代入函数中，求出x的值；

(3)将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值.

【详解】(1)解：・•・2x+y=80

.\j=—2x+80

S=xy

S-x(-2x+80)=-2x2+80x；

(2)vy<42

二.—2%+80442

.\x>19

:.19<x<40

当S=750时，-2尤2+80元=750

x2-40x+375=0

(%-25)(%-15)=0

/.x=25

.•.当x=25m时，矩形实验田的面积S能达到750m2；

(3)S=-2x2+80x=-2(/-40x)=-2(x2-40x+400-400)=-2(x-20)2+800

.•.当x=20m时，S有最大值800m2.

2.【问题提出】

在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪(如

图1)中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案.

说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r(m)的圆面.喷洒覆盖率s为待喷洒区域面积，人为待喷洒

S

【数学建模】

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这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.

【探索发现】

（1）如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率Q=

9

（2）如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4,设计安装9个喷洒半径均为3m

的自动喷洒装置；……，以此类推，如图5,设计安装/个喷洒半径均为'm的自动喷洒装置.与（1）中的方案

n

相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由.

（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率0=1.已知

正方形ABCD各边上依次取点RG,H,E,使得AE=BF=CG=DH,设AE=x（m）,0Q的面积为y（n?）,求

y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时「的值.

图6

【问题解决】

（4）该公司现有喷洒半径为3点m的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率

2=1?（直接写出结果即可）

【答案】（1）£;（2）不能，理由见解析；（3）y=g（尤-9）?+竺；当y取得最小值时厂=2也；（4）9

4222

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【分析】(1)根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；

(2)根据(1)的方法求得喷洒覆盖率即可求解；

(3)根据勾股定理求得羽厂的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解；

(4)根据(3)的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为30m的圆的内接正方形的边长为6,

进而将草坪分为9个正方形，即可求解.

【详解】(1)当喷洒半径为9m时，喷洒的圆面积5=下/=TTX92=8brm2.

22

正方形草坪的面积S=a=18=324m2.

故喷洒覆盖率2="=?=「.

s3244

(2)对于任意的“，喷洒面积⑥="乃(2)2=81^2,而草坪面积始终为324m2.

n

因此，无论“取何值，喷洒覆盖率始终为9.

这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用.

(3)如图所示，连接所

图6

k

要使喷洒覆盖率。=1,即要求乙=1,其中S为草坪面积，左为喷洒面积.

...0Q,002，oo3,0。4都经过正方形的中心点。

在RaA£F中，EF=2r,AE=x

'：AE=BF=CG=DH

AF=18-x

在RIAAEF中，AE2+AF2=£F2

4产=必+(18-尤y

.2d+(18-x)2

••y=Ttr=---------------7i

4

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兀/八\28171

=-(x-9)+--

2V72

・••当x=9时，y取得最小值，此时4/=9?+9?

解得：厂=述

2

(4)由(3)可得，当0。1的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆

则当r=3V5m时，圆的内接正方形的边长为比x2x30=6m

2

1Q_

而草坪的边长为18m,二=3,即将草坪分为9个正方形,将半径为30m的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，

6

此时所用装置个数最少

.,•至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率0=1

【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然后通过调

整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积和喷洒半径之间的

函数关系.解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算

和函数求解问题.同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，

以及函数解析式求解等.最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案.

3.学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42m,篱笆长80m.设垂直于墙的边A3

长为尤米，平行于墙的边为丁米，围成的矩形面积为Sn?.

⑴求，与无,S与x的关系式.

⑵围成的矩形花圃面积能否为750m2,若能，求出尤的值.

(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值.

【答案】⑴y=80-2X(194X<40)；S="+80元

⑵能，x=25

(3)S的最大值为800,此时x=20

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：

(1)根据AB+BC+CD=80可求出》与尤之间的关系，根据墙的长度可确定x的范围；根据面积公式可确立二次函

数关系式；

(2)令5=750,得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可；

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(3)根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可.

【详解】(1)解：,・•篱笆长80m

，AB+5C+CD=80

・.,AB=CD=x9BC=y9

:.%+y+%=80,

y=80-2x

•・•墙长42m

・・・0v80—2元<42

解得，19<x<40

y=80—2x(l9<x<40)；

又矩形面积S=3。AB

二y.无

=(80-2x)x

=—2x2+80x；

(2)解：45=750,贝!J—2炉+80%=750

整理得：X2-40X+375-0

此时，A=Z?2-4ac=(-40)2-4x375=1600-1500=100>0

所以，一元二次方程/-40尤+375=o有两个不相等的实数根

围成的矩形花圃面积能为750m2；

._-(-40)±7100

"%=2'

..%=25,x?—15,

V19<%<40

x=25；

(3)解：S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800

V-2<0,

，S有最大值

又19Vx<40

...当x=20时，S取得最大值，此时5=800

即当x=20时，S的最大值为800

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4.工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经测量，AB//DE,与

DE之间的距离为2米，AB=3米，AF=BC=1米，NA=N3=90。，ZC=ZF=135°.MH,HG,GN是工匠师

傅画出的裁剪虚线.当的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？

【答案】当的长度为15米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是2胃5平方米

48

［分析］连接CF,分别交M7于点尸，交GN于点。，先判断出四边形ABCF是矩形,从而可得ZEFC=ZDCF=45°,

再判断出四边形AMPF和四边形BCQN都是矩形，从而可得PM=AF=BC=QN=l米,

AM=PF,BN=CQ,MHYCF,GN±CF,然后设矩形MVGH的面积为了平方米，MH=GN=x米,贝!］

4〃=叨="一1)米，3N=GQ=(x-1)米，利用矩形的面积公式可得)关于x的二次函数，最后利用二次函数的

性质求解即可得.

【详解】解：如图，连接CP,分别交于点P,交GN于点。

/.AF||BC

・.・AF=5C=1米

二四边形ABCF是平行四边形

又•.•ZA=4=90°

二四边形ABCF是矩形

ZAFC=ZBCF=90°,CF//AB

■：ZBCD=ZAFE=135°

:.ZEFC=ZDCF=45°

四边形MNG"是矩形

MH±AB,GN±AB,GN=MH

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二四边形4WPF和四边形BCQN都是矩形

:.PM=AF=BC=QN=1^,AM=PF,BN=CQ,MH±CF,GN±CF

和RtAQCG都是等腰直角三角形

:.PH=PF,GQ=CQ

:.AM=PH,BN=GQ

设矩形A£VG”的面积为y平方米，MH=GN=x米,则4W=PH=（x—l）米，3N=Gg=（尤一1）米

AB=3米

:.MN=AB-AM-BN=（5-2x）^z

:.y=MH-MN=x（5-2x）=-2^x-^+y

又AB与。E之间的距离为2米，AF=BC=1米

/.l<x<2

由二次函数的性质可知，当14x43时，y随X的增大而增大；当?<x42时，y随X的增大而减小

44

则当时5，y取得最大值，最大值为2三5

48

525

答：当出的长度为了米时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是七平方米.

48

【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

5.某建筑物的窗户如图所示，上半部分VABC是等腰三角形，AB^AC,AF:BF^3A,点G、H、尸分别是边

AB.AC.BC的中点；下半部分四边形3CDE是矩形，BE//IJ//MN//CD,制造窗户框的材料总长为16米（图

中所有黑线的长度和），设=x米，8E=y米.

（1）求y与尤之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围;

（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积.

【答案】（i）y="g[o<x<Fj

（2）当x=q时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为三.

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【分析】（1）由可表示出〃,MN,CD的长，由AF=无，A尸尸=3:4可表示出3C,AF,AB,AC,FG,

的长，进而可求出》与X之间的函数关系式;

（2）根据（1）中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答.

【详解】（1）:四边形5CDE是矩形

BC//DE

丁BE//IJ//MN//CD

：.BE=IJ=MN=CD=y.

9：AB=AC,/是边的中点

ABC=DE=2x,AFIBC

*.*AF:BF=3:4

AF^—

4

AB=AC=y]BF2+AF2=—

4

・・,点G、H、尸分别是边A3、AC的中点

1

FG=FH=-AB=—

28

4）；=16-2xx2-—x2-—x2--

844

,・4y=16———

.417X

..y=4-------

8

L17x八

4------->0

,・18

x>0

A0<x<—

17

（2）设面积为S

ricc（41_3x

贝IjS=2x14——l+—x2xx—

=8x--x2

2

:•当x=9时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为

【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键.

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6.如图，正方形纸片ABCD的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x,

四边形ERG”的面积为九

BFC

⑴求y关于尤的函数表达式；

⑵当AE取何值时，四边形EFG”的面积为10?

(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=2x2-8x+16(0Wx44)

⑵当AE取1或3时，四边形EFG”的面积为10；

⑶存在，最小值为8.

【分析】(1)先证出四边形瓦为正方形，用未知数x表示其任一边长，根据正方形面积公式即可解决问题;

(2)代入y值，解一元二次方程即可；

(3)把二次函数配方化为顶点式，结合其性质即可求出最小值.

【详解】(1)解：,•・在正方形纸片ABCD上剪去4个全等的直角三角形

:.ZAHE=ZDGH,NDGH+NDHG=90。,HG=HE,

QZEHG=180°-ZAHE-ZDHG

NEHG=90°,四边形EFG”为正方形

在△AEH中，AE=x,AH=BE=AB-AE=4-x,ZA=90°

HE2=AE2+AH2=x2+(4-尤了=2x2-8x+16

正方形EFGH的面积y=HE-=2x2-8x+16；

QAE,不能为负

.-.0<x<4

故，关于无的函数表达式为y=2Y-8x+16(0Wx44)

(2)解：令y=10,得2f_8x+16=10

整理，得/-4元+3=0

解得％=1,x2=3

第16页共29页

故当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10；

(3)解：存在.

正方形EFGH的面积y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8(0<x<4)；

.•.当x=2时，y有最小值8,即四边形EFGH的面积最小为8.

【点睛】本题考查二次函数的应用.解题的关键是找准数量关系，对于第三问，只需把二次函数表达式配方化为顶

点式，即可求解.

7.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆

把花园分为43两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米.

〃〃/(〃〃〃/(〃〃/4//

AB

(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

(2)在花园面积最大的条件下，A,8两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药

每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

【答案】(1)长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米

⑵最多可以购买1400株牡丹

【分析】(1)设长为X米，面积为y平方米，则宽为汽三米，可以得到y与X的函数关系式，配成顶点式求出函

数的最大值即可；

(2)设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为(1200-a)平方米，由题意列出不等式求得种植牡丹面积

的最大值，即可解答.

【详解】(1)解：设长为X米，面积为>平方米，则宽为汽三米

y=xxI』；"=_g炉+40%=_g(1_60)2+1200

・••当x=60时，y有最大值是1200

此时，宽为17上0—产r=20(米)

答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米.

(2)解：设种植牡丹的面积为。平方米，则种植芍药的面积为(1200-a)平方米

由题意可得25x2a+15x2(1200-a)V50000

解得：a<700

第17页共29页

即牡丹最多种植700平方米

700x2=1400（株）

答：最多可以购买1400株牡丹.

【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

8.如图，VABC是边长为4的等边三角形，点。，E,尸分别在边AB,BC,C4上运动，满足AD=BE=CF.

（2）设4）的长为x,ADEF的面积为》求y关于x的函数解析式；

（3）结合（2）所得的函数，描述ADEF的面积随AD的增大如何变化.

【答案】（1）见详解

（2）y=3fI-3君*+4/

（3）当2Vx<4时，ADEF的面积随AD的增大而增大，当0<x<2时，ADEF的面积随AD的增大而减小

【分析】（1）由题意易得=ZA=ZS=60°,然后根据“SAS”可进行求证；

（2）分别过点C、尸作FGJ.AB,垂足分别为点H、G,根据题意可得鼠既=4豆，AF=4-x,然后

可得PG=3（4-X）,由（1）易得AADF%BE*ACFE,则有SA〃=SBEO=SCFE=3X（4-X），进而问题可求

2\/△/\Ur4b匕DACFC41

解；

（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解.

【详解】（1）证明：・・・VABC是边长为4的等边三角形

AZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=4

■:AD=BE=CF

:.AF=BD=CE

在AADF和ABED中

AF=BD

<ZA=ZB

AD=BE

；・AADF均BED（SAS）；

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(2)解：分别过点C、尸作8,AB,FGJ.AB,垂足分别为点X、G,如图所示:

在等边VA3C中，ZA=ZB=ZACB=60°,AB=BC=AC=4

C/7=AC-sin60°=25/3

S=-AB-CH^4y/3

△ADRCr2

设AD的长为x,则AD=3E=CF=x,AF=4-x

/?

/•FG=AF-sin60°=^-(4-x)

i巧

AZ)FG=X4-X

S.ADF=274T()

同理(1)可知AADF咨ABED^ACFE

S

^ADF=S、BED=S、CFE=~^~X(4~X)

AD£F的面积为y

SS2

y=AABC~^^ADF=4A/3-^^-X(4-X)=^^-X-3A^X+4A/3；

(3)解：由(2)可知：>=转炉-3氐+4月

-4

T同__3\/3_

.••4=2”>0,对称轴为直线"=—一访=/

42x空

4

...当x>2时，y随x的增大而增大，当尤<2时，y随x的增大而减小；

即当2<x<4时，△/)砂的面积随的增大而增大，当0<x<2时，ADE尸的面积随AD的增大而减小.

【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的

综合及等边三角形的性质是解题的关键.

9.如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD铁丝恰好全部用完.

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AB

D'------------------lC

（1）若所围成矩形框架ABC。的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？

（2）矩形框架ABCD面积最大值为平方厘米.

【答案】（1）42的长为8厘米或12厘米.

（2）150

【分析】（1）设A3的长为x厘米，则有"》=巴产厘米，然后根据题意可得方程巴安・尤=144,进而求解即可；

（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S,则有S=若空•尤=-|（尤-10『+150,然后根据二次函数的性质可

进行求解.

【详解】（1）解：设的长为x厘米，则有4。=色9厘米，由题意得：

整理得：炉―20%+96=0

解得：石=8,%=12

0<x<20

答：A8的长为8厘米或12厘米.

（2）解：由（1）可设矩形框架ABC。的面积为S平方厘米，则有:

„60-3%32”3/>,2

S=----------x=—x+30尤=—(x-10)+150

222、,

3

—<0,且0<%<20

2

...当x=10时，S有最大值，即为S=150；

故答案为：150.

【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系.

10.某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成.已知墙长25m,木栅栏长47m,在与

墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）.求鸡场面积的最大值.

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出入口

【答案】288m2

【分析】设与墙平行的一边为xm（立25）,则与墙垂直的一边长为47-2r+%1,设鸡场面积为加化根据矩形面积公

式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可.

【详解】解：设与墙平行的一边为xm（超25）,则与墙垂直的一边长4为7—匕r-山I-1m,设鸡场面积为yn?

t22

根据题意，得y=2+1=-^x+24x=-；（x-24）+288

当后24时，y有最大值为288

，鸡场面积的最大值为288m2.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式.

11.小明爸爸打算用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四

角各裁掉一个正方形（厚度不计）.

图①图②

（1）请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为12dm2时，裁掉的

正方形边长是多少分米？

（2）若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25

元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？

【答案】（1）裁掉的正方形的边长为2dm；

（2）裁掉的正方形边长为2.5dm时，总费用最低，最低费用为12.5元.

【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关

键.

（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm,则题意可列出方程，可求得答案；

（2）由条件可求得x的取值范围，用x表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案.

【详解】（1）解：如图所示：

L_l___________________U

II

II

II

II

II

hI-------------------Id

第21页共29页

设裁掉的正方形的边长为xdm,由题意可得:

（10-2x）（6-2x）=12

解得：x=2或x=6（舍去）.

答：裁掉的正方形的边长为2dm；

（2）解：设总费用为y元

则y=（10-2尤）（6-2尤）+0.25x[2x（10-2x）+2x（6-2x）]

=2X2-24X+60

=2（X-6）2-12.

XV10-2x<5（6-2x）

x<2.5.

'：a=2>0

...当x<6时，y随x的增大而减小

...当x=2.5时，y取得最小值，最小值为12.5.

答：裁掉的正方形边长为2.5dm时，总费用最低，最低费用为12.5元.

12.九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米栅栏（安

装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同

学们进行劳动实践.设矩形菜地垂直于墙的栅栏边长为x米，面积为S平方米.

/////////>/////////////

ADDdDDDdDD

DDDDDDdD

________ii___________________ii________

⑴直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；

⑵围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由.

（3）当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？

【答案】（1）S=-3£+36X

⑵能，x=9

（3）元=7时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米

【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；

（1）由题意易得该图形的长为（34+2-3x）米，然后根据面积公式可进行求解；

（2）由题意易得-3/+36x=81,然后进行求解方程即可；

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(3)由题意易得7〈x<12,然后根据二次函数的性质可进行求解.

【详解】(1)解：由题意得：S=x(34+2—3x)=-3炉+36尤；

(2)解：依题意得：-3炉+36元=81,整理得：尤2-12尤+27=0

解得：%=3,%=9；

当x=3时，36-3x=27>15,不符合题意，舍去；

当x=9时，36-3x=9<15,符合题意

.•.当x=9时，围成的菜地面积为81平方米.

(3)解：：墙的最大可用长度为15米

.-.0<BC<15,BP0<36-3x<15

解得74x<12

根据题意得：S=-3x2+36x=-3(x-6)2+108

V-3<0

.•.当x=7时，S有最大值，最大值为105

.•.尤=7时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米.

13.如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为38m.栅栏在安装过

程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为无(单位：m),与墙平行的一边长为y(单位：m),面积

为S(单位：m2).

«38ma

墙

X实验田X

y

⑴直接写出y与尤，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；

(2)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

【答案】(l)y=-2x+80,S=-2X2+80X

(2)当x=21m时，S有最大值798m2

【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围是解题的关键.

(1)根据2x+y=80,求出V与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式；

(2)将S与x的函数配成顶点式，先求出尤的取值范围，再根据二次函数的性质求出S的最大值.

【详解】(1)解：由题意得：2x+y=80

.♦.y=—2x+80

S=xy

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/.S=x（-2x+80）=-2x2