2025年中考数学总复习《相交线与平行线相关问题》专项测试卷（附答案）

2025年中考数学总复习《相交线与平行线相关问题》专项测

试卷（附答案）

学校:姓名：班级：考号：

1.已知M,N分别在AB,CD上，点E在直线AB与直线CO之间.

（2汝口图2,若/在4民CD之间，NEMF=5NBMF,NF平■分ZEND,若N1=N2,求NE与

的数量关系.

2.已知AB〃CD,点E在A3上，点厂在DC上，点G为射线E尸上一点.

（1）【基础问题】如图1,试说明：NAGE>=NA+/D.（完成图中的填空部分）

图1

证明：过点G作直线MN〃AB,

:.MN\\CD()

Z__________=ZMG4.

■：MN//CD,

:.ZD=()

ZAGD=ZAGM+ZDGM=ZA+ZD.

(2)【类比探究】如图2,当点G在线段所延长线上时，请写出/AG。、NA、一。三者之间

的数量关系，并说明理由.

图2

(3)【应用拓展】如图3,AN平分NGAE,DH交AH于点H,且ZGDH=2ZHDF,NHDF=a,

乙H=/3,直接写出NOG4的度数为(用含外"的式子表示).

图3

3.如图，直线AB、CD相交于点0,过点。作射线OFLCD,作射线OE平分NC0W.

⑴若ZAOC=30。，求/BOE的度数；

⑵若NBOE的度数比ZAOC的度数大85。，求ZBOE的度数.

4.如图，AB//CD,定点E,尸分别在直线AB,CD上，在平行线48,C。之间有一动

点尸，满足0。＜/£?尸＜180。.

EBEBEB

FDCF

CF

图2图3

（1）试问/4£P,ZEPF,/PfC满足怎样的数量关系？

解：由于点P是平行线AB,CZ）之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如

图1,当P点在所的左侧时，ZAEP,AEPF,NPPC满足数量关系为

,如图2,当尸点在跖的右侧时，ZAEP,ZEPF,/PfC满足

数量关系为.

⑵如图3,QE,。/分别平分/FEB和NPED,且点尸在所左侧.

①猜想/瓦/与NEQF的数量关系，并说明理由；

②如图4,若NBEQ与ZDFQ的角平分线交于点0,ZBEQ｝与ZDFQt的角平分线交于点Q2,

/BE。。与ZDFQ2的角平分线交于点2;此次类推，则ZEPF与NEQM满足怎样的数量

关系？（直接写出结果）

5.如图，在平面直角坐标系中，点A(a,O),B也b),C(0,6),且满足(“+8丫+屈Z=0,

尸点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点。从点。出发沿y轴负方

向以每秒1个单位长度匀速运动.

(1)点A的坐标是,点B的坐标是,点C的坐标是.

(2)在点P,。运动的过程中，连接尸8,QB,使三角形加的面积是三角形Q8C面积的4

倍，求出点尸的坐标；

⑶在点P,。运动的过程中，当NC仅2=30。时，请探究NOPQ和NPQB的数量关系，并说

明理由.

6.如图，直线PQ〃相V,一副三角尺VABC,ADEF中,ZEDF=90°,AABC=ABAC=45°,

/D砂=60°,NDFE=30°.

图1图2图3

（1）若将三角尺ADEF如图①摆放，当ED平分NPEF时，贝！］/DRW=.

⑵若将三角尺ADEF和三角尺VABC如图②摆放，△/）所的顶点。恰好落在直线尸。上，三

角尺VABC的一边在直线上，且边防与边AC在同一直线上，作NQQF和的平

分线交于点H,求NDHF的度数.

（3）若图③中三角尺AEDF固定，将三角尺VABC绕点A顺时针方向旋转（如图③），旋转到

AC边与直线⑷V首次重合时停止旋转，在这旋转的过程中，当边BC与三角尺必跖的一

边平行时，请直接写出NBAN的度数.

7.【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化.

例如：如图1,直线AB〃CD,求证：ZB+ND=ZBED

（1）把下面的解答过程补充完整，并填到相应的序号内.

解：过点E作直线E尸〃8,

.-.Z2=®,

■.■AB//CD（已知），EF//CD,

②,

:.ZB=®,

■.■Z1+Z2=ZBED,

:.ZB+ND=NBED.

(2)如图2,直线AB〃CD,若NBEP=160°,/PFD=120°,圃/EPF=.

【方法运用】

(3)如图3,直线AB〃CD,点尸在AB的上方，ZPEA,ZPFC,NEPR之间有何数量关

系？请说明理由.

【联想拓展】

(4)如图4,己知/稗产=力，NPE4的平分线和/P尸C的平分线交于点G,请你用含有月

的式子表示NG的度数，直接写出结果.

8.图形变换可以帮助我们认识图形.

(1)把图①中等腰三角形纸片沿着顶角平分线折叠得到图②，由与AACD重合，可知:

ZB=Z___________,BD=；

(2)如图③，将VABC沿边AB的垂直平分线翻折得到ABAD,点A对应点B,点、C对应点D,

再将绕点B逆时针旋转得到A&VD,当点4恰好落在AC的延长线上时，判断3D与

AC的数量关系和位置关系，并说明理由.

(3)如图④，VABC中，ZBAC=90°,N3=a。，点。在A3上，过点。作的〃BC交AC于

点E,将所截VADE沿过点A的某射线AF翻折得到△AD'E'.直接写出当的某一

边与2C平行时乙&4尸的大小.(只写出/胡尸为锐角时的大小即可，结果用含用a的代数

式表示）

9.经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路.

图1图2图3

⑴如图1.AB//CD，NBEP=25°,ZPFD=30°,则ZEPF=:

⑵如图2.点尸在直线上方（NA£P>/CFP）,探究NBEP、NPFD、NEPF

的数量关系，并证明.

⑶如图3.AB〃CD,点P在直线上方，的角平分线初/所在的直线和的

角平分线FN所在的直线交于点G（点G在直线CD的下方）.请写出/EPF和—EGF之间

的数量关系.并证明.

10.如图，己知AB〃CD,E、歹分别在AB、CD上，点G在AB、C。之间，连接GE、GF.

⑴当NBEG=40。,EP平分NBEG,即平分NDFG时：

①如图1,若EG_LfU,则尸G的度数为,则上尸的度数为二

②如图2,在。的下方有一点Q,EG平分NBEQ,即平分/GF0,求/Q+/G的度数；

(2)如图3,在AB的上方有一点0,若F0平分/GFC.线段GE的延长线平分NOEA,则当

/EOF+ZEGF=100°时，请直接写出ZOEA与ZOFC的数量关系.

(1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放(两条直角边在同一条直线上)

①联结AD,测得4=45。，则N2的度数是多少？

②将三角尺尸CD绕点P以每秒3。的速度逆时针旋转，当三角尺尸CD的边尸。与射线尸3重合

时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？

(2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放(两条斜边在同一条直线上).三角尺PCD

绕点尸以每秒2。的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒3。的速度顺时针旋转，当三角

尺R4B的边尸3与射线PN重合时两块三角尺都停止运动，运动秒，使得其中一块三

角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案）

12.如图，现将一块含30。的三角板£FG按如图1放置，ZG=90°,ZEFG=30°,

使点E、F分别在直线C。、AB±,^ZGFB=a（00<a<90°）.

⑴求“EG+NGEB的度数;

（2）如果/C斯的角平分线E"交直线于点如图2.

①当硝〃尸G时，求a的度数;

②在①的条件下，如果点P是射线EC上的一点，将三角板EFG绕着点E以每秒1。的速度进

行顺时针旋转，同时射线PC绕着点尸以每秒4。的速度进行顺时针旋转，射线PC旋转一周

后停止转动，同时三角板EFG也停止转动.当旋转多少时间时，CP与AEFG的一边平行?

参考答案

L(1)见解析

⑵4=120。-；/

【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算：

⑴过点E作射线EF平行于直线,可得跖||8,从而得到Zl=NMEF,Z2=ZNEF,

即可求证；

(2)由(1)得，NE=11+Z2=24,ZFZBMF+ZDNF,再由,

可得/2〃/=30。-工/1,然后根据N/平分ZEVD,可得/£＞八/=90。-工/2,即可求解.

62

【详解】(1)证明：如图，过点E作射线斯平行于直线48,

因为A8||C£),AB||£F,

所以EF||C，

所以Nl=NMEF,Z2=ZNEF,

所以/MEV=/1+N2.

(2)解：由(1)得，ZE=Z1+Z2,ZF^ZBMF+ZDNF,

因为N1=N2,

所以2E=/+N2=2/l,

因为NEMF=5N3MF,

所以NBMF=180°-ZAME-ZEMF=180°-Zl-5BMF,

所以22〃？=30。-工/1,

6

因为NF平货ZEND,

所以/£)柄=；/£>7\«=:(180。-/2)=90。-：/2.

1121

所以/尸b+/。册=30。—―/1+90。—―/2=120。——11=120。——NE.

6233

所以，-E与NF的数量关系是：^F=12O°-^E.

2.(1)平行于同一条的直线的两条直线平行；A；NMGD；两直线平行，内错角相等

(2)ZAGD=ZA-ZD,见解析

(3)2(3-a

【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是关键.

(1)根据平行线的判定和性质证明即可；

(2)如图所示，过点G作直线则NA=NAG”,ZD=NDGH,由

ZAGD=ZAGH-NDGH=/A—ND即可求解；

(3)如图所示，过点G作直线GP||A3,设AH,8交于点。，根据平行线的性质，三角形

外角的性质得到NBAH=ZCQH=a+/3,Z.GAE=2NBAH=2(a+/3),

ZAGP=i80°-ZGAE=180°-2(a+j3),根据题意/GD尸=3(z,贝U

ZDGP=180°-ZGDF=180°-3a,由〃G4=〃GP—/AGP即可求解.

【详解】(1)证明：过点G作直线MN〃A3,

又•.•TW||CD,

■.MN\\CD(平行于同一条的直线的两条直线平行)，

:.ZA=ZMGA,

-,-MN//CD,

:.ND=NMGD(两直线平行，内错角相等)

ZAGD=ZAGM+ZDGM=ZA+ZD.

故答案为：平行于同一条的直线的两条直线平行；A；ZMGD；两直线平行，内错角相

等

(2)解：ZAGD=ZA-ZD

如图所示，过点G作直线GK||AB,

•：AB\\CD,

：.GK\\AB\\CD,

：.ZA=ZAGK,ND=NDGK,

'：ZAGD=ZAGH-ZDGH=ZA—/D；

(3)解：如图所示，过点G作直线GP||4B,设AH,CD交于点Q,

GH

D

AEB

,：ZCQH=ZQDH+ZQHD=a+/3,CD\\AB,

：.ZBAH=ZCQH=a+/3,

:AH平分/G4E,

/./GAE=2/BAH=2(a+0),

•：GP\\AB,AB\\CD,

：.GP\\AB\\CD,

/.ZAGP=180°-ZG4£=180°-2(a+/7),

ZGDH=2NHDF,ZHDF=a,

NGDF=3a,

：.ZDGP=180°-ZGDF=180°-3a,

ZDGA=Z.DGP-ZAGP

=180°-3iz-[180o-2(a+/?)]

=1(3—a,

故答案为：2/3-a.

3.(1)105°

(2)25°

【分析】本题主要考查角平分线的定义，垂直定义，角的和差计算，掌握以上知识，数形结

合分析是关键.

⑴根据垂直的定义得到/COP=90。，由角平分线的定义得到/COE=gNE"=45。,

根据平角的计算得到NBOE=180°-ZAOC-ZCOE=105°,由此即可求解;

（2）根据题意得到4OE=NAOC+85。，根据平角得到2/4。。+130。=180。，由此即可求

解.

【详解】(1).OFLCD,

.-.ZCOF=90°,

•;OE平分NCOF,

/COE=L/EOF=45°,

2

ZAOC=30°,

ZBOE=180°-ZAOC-ZCOE=105°；

(2)解：•.•N3OE的度数比ZAOC的度数大85。，

../BOE=ZAOC+85°,

V由(1)得NCOE=45。，

ZAOC+NCOE+ZBOE=ZAOC+45°+ZAOC+85。=2ZAOC+130°=180°,

ZAOC=25°.

4.(1)ZEPF=AEP+ZPFC；ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°

2026

(2)①ZEPF+2ZEQF=180°；②ZEPF+2Z£Q2025F=360°.

[分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义,找出角度之间的数量关系是解题关键.

(1)过点尸作PQ〃48,根据平行线的性质分别求解即可；

(2)①根据角平分线的定义设ZPEQ=NBEQ=",ZPFQ=ZDFQ=,再结合(1)所得数

量关系求解即可；

②同①可得NEQL=g(a+〃)，=1(£+£)=131(«+/?),

/EQ尸=g(a+£)=]11(a+〃)，……从而推出夕+尸=22必/石。皿5尸，即可得到答案.

【详解】(1)解：如图1,当尸点在跖的左侧时，过点尸作PQ〃4B,

图1

\AB//PQ//CD,

:.ZAEP=ZEPQfZFPQ=ZPFC,

/.ZEPF=ZEPQ+ZFPQ=AEP+ZPFC；

如图2,当尸点在斯的右侧时，

ZAEP+ZEPQ=180°,ZFPQ+ZPFC=180°,

,ZAEP+ZEPQ+ZFPQ+ZPFC=360°,

，ZAEP+ZEPF+ZPFC=360。；

(2)解：@\'QE,QF分别平分ZREB和NPFD,

，设ZPEQ=ZBEQ=a,ZPFQ=ZDFQ=0,

.•.ZAEP=180。—22,NPFC=180°-2^,

由(1)可知，/EPF=AEP+/PFC,ZAEQ+ZEQF+ZQFC=360°f

「.ZEP尸=180。一2。+180。-2分=360。-2(。+，)，N180。—二+/石。尸+/180。一万=360。,

/./EQF=a+。，

ZEPF=360°-2NEQF,

ZEPF+2ZEQF=180°；

②NBEQ与NDFQ的角平分线交于点Qt,

•••NBEQI=ZQEQ=；a,ZDFQ=ZQFQ=^,

NEQF=：(£+/),

同理可得,NE&F=；(&+£)=[<](a+£),NEQ尸=+(£+£),..

则NEQ“尸=0(〃+£),

门、2025

・••NEQ2025尸=[)(a+£)，

2O25

:.a+j3=2ZEQ2O25F,

.•.ZEPF=360°-2(a+/7),

2026

NEPF+2ZEQ2a25F=360°.

5.(i)(-8,o),(yy),(0,-4)

⑵点尸的坐标为或(8,0)

(3)NPQB=ZOPQ+30°或ZPQB+ZOPQ=150°,见解析

【分析】本题考查了三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定

理.

(1)根据非负数的性质分别求出。、b,即可得点A、B、C的坐标；

(2)过点B作3ELQ4于点E,分两种情况讨论：①如图，当点。在点C上方时；②如图，

当点。在点C下方时；分别根据三角形的面积公式求出AP,得到点尸的坐标；

(3)分点Q在点C的上方、点。在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可.

【详解】(1)解：：(。+8)2+屈Z=0,

••.々+8=0,〃+4=0,

解得，〃=-8,b=—4,

则A(—8,0),B(T,T),C(OT),

故答案为：(-8,0),(TT),(0,-4)；

(2)解：如图1,过点8作3EJLQ4于点E,

设时间经过/秒，三角形上钻的面积是三角形28c面积的4倍，则AP=2f,f,BE=4,

BC=4,

三角形的面积是：^xAPxBE=^x2tx4=4t,

分以下两种情况：

①如图，当点。在点C上方时，

AEP

BC

，三角形BC。的面积是：-xCexBC=-x(4-r)x4=8-2z

.•.4r=4x(8-2r),

解得/=|,

Q

:.OP=OA-AP=~,

3

二点尸的坐标为卜*。

解得，=8,

:.AP=2t=16,

:.OP=OA-AP=8,

•・•点P的坐标为（8,0）,

综上所述，点尸的坐标为［-|，。］或（8,0）；

（3）解：/尸。8=/0蛇+30。或/?05+/80=150。.理由如下:

过点。作QH〃8C,

ZHQB=ZCBQ=30°,

vBC//OA,QH//BC,

\QH〃OA,

分以下两种情况讨论：

①如图，当点。在点C上方时，

/.ZPQB=ZOPQ+CBQ=ZPQH+ZBQH=ZOPQ+30°；

有ZA尸Q+NPQ"=180。，

ZOPQ+ZPQB+ZBQH=ZOPQ+ZPQB+30。=180°,

/.ZOPQ-^-ZPQB=150°f

综上所述，NP少=/。P。+30。或/打25+/"。=150。.

6.(1)30°

(2)67.5。

(3)150。或90。或60。.

【分析】(1)根据得ED平分NPEF得NP£F=120。，再根据尸。〃肱V得NMFE=60。，然

后根据ZDFE=30°即可求解；

(2)过点H作〃尺〃尸。交。尸于R,过点、F作FL〃MN,设NQDH=a,ZHFL=/?,由

角平分线性质得NQDH=NEOH=。，ZQDF=2ZQDH=2a,证明PQ〃印?〃FL〃肱V,

则ZDHR=NQD"=a,ZRHF=ZHFL=J3,ALFA=ABAC=45°,^QDF+ZDFL=180°,

进而得/HE4=£+45。，ADHF=a+p,再根据角平分线性质得NWH=NHE4,则

ZDFL=ZDFH+ZHFL=2/7+45°,由此得2a+2,+45。=180。，结合/DHF=a+0,由

此可得到答案；

(3)根据题意分三种情况讨论，分别根据平行线的性质求解即可.

【详解】(1)解：•・•ED平分NPEF,ZDEF=60°

:.ZPED=ZDEF=60°

ZPEF=APED+NDEF=600+60°=120°

・・・PQ//MN

ZMFE=180°-NPEF=180°-120°=60°

=30°

:"DFM=ZEFM-ZDFE=30°；

(2)解：过点、H作HR〃PQ交DF于R,过点尸作FL〃脑V,如图2所示:

图2

设=/HFL=0

・IDH平分NQDF

:.ZQDH=ZFDH=afZQDF=2ZQDH=2a

vPQ//MN,HR//PQ,FL//MN

:.PQ//HR//FL//MN,

:./DHR=/QDH=a,ZRHF=ZHFL=J3,ZLFA=ZBAC=45°fZQDF+ZDFL=180°

ZHFA=ZHFL+ALFA=，+45。

.•./DHF=ZDHR+ZRHF=a+p

•・・M平分NDE4

/.ZDFH=NHFA=0+45。

ZDFL=ZDFH+ZHFL=/7+45。+/?=2/7+45。

/.2cr+2/?+45°=180°

:.a+f3=67.5°

/./DHF=a+0=675。、

(3)解：分三种情况：

当5C〃O石时，如图,

D

pQ

E

C

M---------------------------

AN

此时

:.ZCAE=ZDFE=30°f

,：ZEAM=ZCAB=45°

：.ZBAM=CAE=30°

：.ZBAN=18。。—/BAM=150。；

②当3C〃£F时，如图，

ZBAN=1800-ZBAE-ZEAM=90°；

③当3C〃O尸时，如图，

延长BC交MN于K,延长。方交MN于A,

•/ZDRM=ZEAM+ZDFE=450+30°=75°,

・•.NBKA=NDRM=75Q,

：.ZBAN=180°-ZB-ZBKA=60°；

综上所述，NR4N的度数为150。或90。或60。.

【点睛】本题考查了图形的旋转变换及其性质，平行线的性质，三角形内角和定理，理解图

形的旋转变换及其性质，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分

类讨论是解决问题的难点，也是易错点.

7.（1）见解析（2）80°（3）ZPFC=Z.PEA+ZFPE,理由见详解（4）ZG=180°-1^

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.

（1）根据平行线的判定与性质求解即可；

（2）根据平行线的判定与性质求解即可；

（3）根据平行线的判定与性质求解即可；

（4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可.

【详解】（1）解：过点E作直线所〃CD,

:.N2=ZD,

•；AB//CD（已知），EF//CD,

AB//EF,

-.■Z1+Z2=ZBED,

:.ZB+ND=NBED.

（2）如图2,过点2作9〃9，

AEB

图2

:.AB//CD//PM,

:./BEP+/MPE=180°,

ZPFD+ZFPM=180°,

Z.BEP=160°,/PFD=120°,

ZMPE+ZFPM=360°-160°-120°=80°,

,-.Z£PF=80°,

故答案为：80°

(3)ZPFC=APEA+ZFPE,

理由如下：如图，过P点作

A7EBPN||CD||AB,

CFD

:.ZPEA=ZNPE,ZFPN=Z.PFC,

•.・ZFPN=ZNPE+AEPF,

/.ZFPN=ZPEA+ZEPF,

ZPFC=ZPEA+ZEPF；

(4)如图所示，

由(2)知，ZPEA-^ZPFC-^ZEPF=360°,

•・•ZEPF=p,

/.ZPEA+ZPFC=360°-(3,

•/ZPEA的平分线和ZPFC的平分线交于点G,

?./AEG=-ZPEA,/CFG=-ZPFC,

22

ZAEG+/CFG=1(ZP£A+NPFC)=180。一：4，

由(1)知：ZG=ZAEG+ZCFG=180°.

8.(1)C；CD

(2)&y=AC,//AC,理由见解析；

⑶WT。或(90-0。或&。或他/)。或”

【分析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，直角三角形的性质及平行线的性质、三角形

内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

(1)根据折叠的性质即可求解；

(2)结合题意画出图形，根据折叠的性质、旋转的性质即可得出边、角之间的关系，根据

平行线的判定定理可得答案；

(3)分三种情况：①当AE'〃3C时，②当时，③当AO〃3C时，结合题意画

出图形，根据折叠的性质、旋转的性质逐一求解即可.

【详解】(1)解:由折叠的性质可得：ZB=NC,BD=CD；

故答案为：C；CD；

(2)解：BD'=AC,BD'//AC,

理由：•.•将VA3C沿边AB的垂直平分线翻折得到A&ID,点A对应点B,点C对应点£),

.-.Z1=Z2,BD=AC,

V将ABW绕点8逆时针旋转得到ABAU,

.-.Z1=Z4,BD=BD',AB=AB,

BD'=AC,

当点A'恰好落在AC的延长线上时，是等腰三角形,

:.Z3=Z2,

.-.Z3=Z4,

:.BD'//AC；

A'

B；A

图③

・.・N5+N84产+N6=90。，ZBAF=Z6,

ZBAF=1（90o-a°）=^45-^0；

②I当D'E〃3C时，如图：

此时D、D、E、£共线，

:.ZB=N8,由折叠可得NBAF=N7,Z8=Z9,

•.•△ADD中，ZBAF+Z8+Z7+Z9=180°,

:.ZBAF+Z8=90°,

:.ZBAF=90°-Z8=（90-«）°；

II当。的〃BC时,如图：

ABAC=90°,NB=a°,ZB=Z8=ZD',

ZC=Z10=90°-<z°,

ABAD'=2ABAF=ABAC+Z10=180°-a°,

ZBAF=|^90-16/^°,

II当时，如图：

:.ZBAF=-a°,

2

综上所述，当△AD'E'的某一边与BC平行时ZBAF的大小为

145一力。或（90—0。或e。或190或”

9.(1)55°

Q)NEPF=NPFD-NBEP,见解析

(3)Z£PF+2ZEGF=180°,见解析

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识.熟练掌握平行线的判定与性质，

明确角度之间的数量关系是解题的关键.

(1)如图1,过户作则/EPH=/BEP=25。,由AB〃CD,可得「〃〃CD,则

NFPH=NPFD=30。,根据NEPF=NEPH+NFPH,计算求解即可；

(2)如图2,过P作PH〃AB,则NEPH=NBEP,同理可得，ZFPH=ZPFD,贝!)

NEPF=ZFPH—ZEPH=NPFD—ZBEP,即可作答.

(3)由平分NA£P,FN平分NDFP,可得=NPFN=ZDFN,设

ZAEM=/PEM=/I,/PFN=NDFN=Z2,则NAEP=2N1,NDFP=2Z2,

ZCFP=180°-2Z2,如图3,过尸作尸”〃AB,过G作KL〃AB,由(2)可知，

ZEPF=ZAEP-ZCFP=2(Z1+Z2)-18O°,由KL〃AB,可得NKGE=/AEM=N1,同理

(1)可得NLGN=NDFN=N2,则NEG/=180。一/KGE-NLGN=18(r-(Zl+N2),由

180°-2[180°-(Zl+Z2)]=2(Zl+Z2)-180°,可得180。-2NEGF=NEPF,整理作答即可；

【详解】(1)解：如图1,过户作PH〃AB,

4EB

:.NEPH=/BEP=25。,

'：AB//CD,PH//AB,

：.PH//CD,

:.NFPH=ZPFD=30。，

：.NEPF=NEPH+NFPH=55°,

故答案为:55°；

(2)解：NEPF=NPFD-NBEP；证明如下;

如图2,过P作尸

图2

・•・ZEPH=ZBEP,

'：AB//CD,

：.PH//CD,

:.ZFPH=/PFD,

:.ZEPF=ZFPH-ZEPH=ZPFD-ZBEP,

(3)解：/EPF+2/EGF=180。,证明如下；

〈EM平分NA£P,FN平分/DFP,

：.ZAEM=ZPEM,ZPFN=ZDFN,

^ZAEM=ZPEM=Z1,ZPFN=ZDFN=Z2,则NA£P=2N1,ZDFP=2Z2,

NCFP=180。—2N2,

如图3,过P作尸H〃AB,过G作XL〃M,

图3

由(2)可知，ZEPF=ZPFD-Z.BEP

=180°-ZCFP-(180°-ZAEP)

=ZAEP-ZCFP

=2Z1-(18O°-2Z2)

=2(Z1+Z2)-18O°,

KL//AB,

：.ZKGE=ZAEM=Zlf

■:AB//CD,

:.KL//CD,

:.ZLGN=ZDFN=Z2,

/EGF=180°-NKGE-NLGN=18O°-（Z1+Z2）,

•.•18O°-2[18O°-（Z1+Z2）]=2（Z1+Z2）-18O°,

A180°-2ZEGF=ZEPF,

，/EPF+2/EGF=180°；

10.⑴①50°；45°；②120°；

（2）ZOEA+2ZOFC=160°

【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关

键.

（1）①如图，分别过点G、尸作GN〃A3,PM〃A5,根据平行线的性质、角平分线的定义

求解即可；②如图，过点。作。火〃8,根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；

（2）如图，过点。作OT〃AB,则OT〃CD,设乙OFC=NOFG=。,ZOEH=ZHEA=a^i

得/EOF=0-2a,进而说明/G=a+180。—2£,根据平行线的性质求得a+尸=80。，进

而根据NOE4=20,NO尸C=方得到NOE4+2/OFC=160。.

【详解】（1）解：①如图，分别过点G、尸作

■.■AB//CD,

：.NG//CD

:.ZNGF=ZGFD,

ZEGF=ZBEG+ZGFD,

同理可得：ZEPF=ZBEP+APFD,

EG1FG,

：.ZEGF=90°,

：.ZNGF=90°-40°=50°=ZGFD,

：EP平分NBEG,尸产平分NDFG；

ZBEP=-/BEG,ZPFD=-ZGFD,

22

・・・ZEPF=g(/BEG+ZGFD)=gZEGF=45°.

②如图，过点。作。尺〃

图2

・・・EG平分/BEQ,FD平分ZGFQ,

ZGEQ=ZBEG=40°,ZGFD=ZQFDf

设？GFD2QFDa,

•JQR//CD,AB//CD,

：.AB//CD//QR,

ZEQR=180。—ZQEB=180。—2ZQEG=100°,

・.・QR//CD,

:.ZDFQ+ZFQR=180°f

:.a+ZFQR=180°,

.•.Q+ZFQ£=80。，

/.ZFQE=80°-a,

由(1)可知NG=ZB£G+NGFD=40o+a,

.・・ZFQE+NG=80。一a+40。+a=120。.

(2)解：如图，在AB的上方有一点O,R9平分/G”,线段G£的延长线平分NOE4,

设”为线段G£的延长线上一点，则NOPC=NO尸G,ZOEH=ZHEA,

设/OFC=4OFG=(3,ZOEH=ZHEA=a9,

如图，过点。作则OT〃CD,

ZTOF=/OFC=/3,ZTOE=ZOEA=ZOEH+ZAEH=2a,

ZEOF=ZTOF-ZTOE=/3-2a,

ZBEG=NHEA=«,NGFD=180°-NOFC-ZOFG=180°—2月

由（1）可知：ZG=Z.BEG+ZGFD=cr+180°-2/7,

•/ZEOF+ZEGF^100°,

尸一2e+a+180。-2尸=100。，即a+#=80。，

/.2«+2^=160°,

VZ.OEA^2a,NOFC=0,

：.ZOEA+2ZOFC=160°.

11.（l）®60°；②10秒或15秒

（2）6或9或42或45

【分析】（1）①先由平角的意义求出NAPD,再对△"口由三角形内角和定理即可求解；

②分两种情况讨论：当PD〃9和O'C〃AP,作出图形，根据旋转的性质以及平行线的性

质进行角度和差计算求出旋转角NDPU即可；

（2）设旋转时间为/秒，由题意得，ZMPA=3t,ZNPD=2t,然后分四种情况讨论，当当

PA〃C。时，得到NMPk+NAPC+NDPC+dPDnlgO。；当AB〃PD时，得到

ZMPA+ZAPB+ZDPB+ZNPD=180°；当C£>〃AP时，得至UZAffi4+Z2VP£）-ZAP£）=180。；

当AB〃尸£>时，得到//以力+4?0-//4/>0=180。，分别建立起关于时间/的方程求解即

可.

【详解】（1）解：①：NBP4=45。，ZCPD=60°,

ZAPD=180°-ZBPA-ZCPD=75°,

Z2=180°-Zl-ZAPD=180o-45o-75o=60°；

②当PD'〃AB时，

则ZZXPC=N3=90°,

・•・ZDrPD=Z.DPC-ZDPC=90°-60°=30°,

・・・，=30+3=10（秒）；

当。C〃”时，

VZC=90°,ZCPD=60°

：.ZD=180°-ZC-ZCPD=30°,

・・,旋转，

ND=0=30。

DfC//AP

：.NAP。'=ND=30。，

・•・ZDPDr=ZAPD-ZAPD,=75°-30°=45°

・