2025年中考数学复习：抛物线形问题

抛物线形问题1路径变轨分析

典例精讲

【例】(2024武汉中考)我国发明了一种新式火箭"火龙出水"，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径

形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术

模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别

得到抛物线y=ax2+x和直线y=-jx+h其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级.

(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km,

①直接写出a,b的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km,求这两个位置之间的距离.

(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.

典题精练

(2024武汉模拟)纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目.纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其

中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线,滑行的路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响(若

纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为n米，则滑行比为1:n).如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛

点的高度为1.9m,当纸飞机的最大高度达到2.8m时，它飞行的水平距离为3m.

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)小明的前方有一堵2.5m高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁?(不考虑墙壁的厚度)

(3)小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1:2.5(受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超

过1.4m),纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离为10米?

抛物线形问题2运动落点求参

典例精讲

【例】（2024青山区）海豚表演是武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一.在进行跳水训练时，海豚身体（看

成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分.如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚

落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，海豚离水面的高度y（单位：m）与距离

起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y=ax2+2x,海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）

饲养员放在空中的离O点水平距离为3m,离水面高度为4.5m的小球.

（1）求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m?

（2）求当海豚离水面的高度是费a时，距起跳点O的水平距离是多少m?

（3）在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD=6m,高DE=4m的长方体泡沫箱，若海豚能够顺利跳

过泡沫箱（不碰到），求点D的横坐标n的取值范围.

FE

CDx/m

图1图2

典题精练

（2024汉阳区）某班在元旦联欢会上进行投掷小球游戏.通过实验收集了小明同学抛出的小球高度h（单位:m）、

距离起点的水平距离x（单位：m）随运动时间t（单位：s）变化的数据如表：

运动时间t（s）00.51

水平距离x（m）012

高度h（m）1.62.22.4

其中h是关于x的二次函数，x是关于t的一次函数，建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）直接写出h关于x的函数解析式和x关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）

（2）求小球被抛出后到达的最大高度以及所需要的时间；

⑶如图所示，水平放置纵截面为矩形ABCD的纸箱，（。4=5m,AB=0.5m,AD=0.6m.当小明抛出小球的

同时，小亮沿着射线BA的方向以v（单位：爪/s）的速度移动该纸箱，若小球落在移动的CD上（不包括端点C,

抛物线形问题3实物距离计算

典例精讲

【例】如图1,有两根相距10m且等长的立柱AB,CD垂直立于水平地面上，在AB,CD间拉起一根晾衣

绳，其形状可近似看成抛物线y=^-x2+bx+c,已知绳子最低点距离地面:以点B为坐标原点，直线BD为

X轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系.

(1)求立柱AB的长度；

(2)一段时间后，绳子被神长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4m的地方加

上一根立柱MN撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线.6的最低点相对点A下降了1m，距立柱MN也是1m，如

图2所示求MN的长.

典题精练

(2024洪山区)一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)，点E是抛物线的顶点,

碗底高EF=lcm,碗底宽AB=2百cm,当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD=8bcm,,此时面汤最大深度EG=6c

m.以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.

(1)直接写出图2中抛物线的解析式为；

(2)倒出部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段MN处，试求此时液面MN的宽度；

(3)将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3,当NABK=30。时停止，此时液面CH的宽度为c

m;碗内面汤的最大深度是cm.

图】图3

抛物线形问题4双抛物线形路径求参

典例精讲

【例】(2024江汉区)有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2,发球机出口P到桌

面MN的距离MP=a.现以点M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x(dm)表示球与点M之间

的水平距离，y(dm)表示球到桌面的高度.在“直发式"和"间发式"两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线,

"直发式"模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为y=-高(久-10)2+6；"间发式"模式下，球从

P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处.两种模式皆在同一高度发球，PB段抛物线可以看作

是由PA段抛物线向左平移得到.

⑴当a=4时.

①求b的值;②求点A,B之间的距离；

已知段抛物线的最大高度为且它的形状与段抛物线相同.若落点恰好与落点重合，求

(2)BCb/2,PACA

a的值.

典题精练

(2024武昌区)甲，乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动.如图为从侧面看乒乓球台的视图，

MN为球台，EF为球网，点E为MN的中点，MN=274cm,EF=15.25cm,甲从M正上方的A处击中球完成

发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P,乙再接球.以M为原点,MN

所在直线为x轴，MA所在直线为y轴，1cm为单位长度建立平面直角坐标系，将乒乓球看成点，两次弹起的路

径均为抛物线且形状不变，BC段抛物线的解析式为月=-击(x-机)0-爪-120),CP段的解析式为y2=a(x

-k)+k.

(1)当球在球网左侧距球网17cm时达到最高点，求力的解析式；为

(2)若球从B处弹起至最高点后的下落过程中，球刚好擦过球网EF,视为网球重发，求m的值；

(3)若球第二次的落点C在球网右侧53cm处，球再次弹起最高为12.5cm,乙的球拍(看作线段GH)在N

的正上方8cm处，GH=15cm..若将球拍向前水平推出n(cm)可接住球(不包括球刚好碰到边沿点G,H),求出n

的取值范围.

v/cm

MBECNx/cm

抛物线形问题5路径距离分析

典例精讲

【例】（2024湖北模拟）某次军训I中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小华在教官的指导下用手榴弹（模拟

手榴弹）进行一次试投：如图所示，把小华投出的手榴弹的运行路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手

榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡OA的坡度为1:5,坡顶A处的水平距离

OB为30米

（1）求这条抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）小华投出的手榴弹能否越过坡顶A?请说明理由；

（3）若AC=10米，斜坡AC上趴着几位“敌军"同学，手榴弹落地后会爆炸，爆炸后距落地点1.5米范围内会

受波及，问手榴弹落地爆炸后是否会波及斜坡AC?请说明理由.

典题精练

（2023江岸区）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测

画面（如图1）和截面示意图（如图2）,攻方球员位于点O,守门员位于点A,OA的延长线与球门线交于点B,且点

A,B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知（OB=28m,AB=8m,足球飞行的水平速度为

15m/s,水平距离S（水平距离=水平速度x时间）与离地高度h的鹰眼数据如表：

s/m912151821

h/m4.24.854.84.2

（1）假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，S=_m;

（2）求h关于s的函数解析式；

（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大

防守高度视为防守成功.已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m,若守门员背对足球向球门前

进并成功防守，求此过程守门员的最小速度.

图1图2

抛物线形问题6路径高度分析

典例精讲

【例】（2023武汉中考）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机,通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞

行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表.

（1）【探究发现】x与t,y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出x关于t的函数解析

式和y关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）

飞行时间t/s02468

飞行水平距离x/m010203040

飞行高度y/m022405464

（2）【问题解决】如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据

上面的探究发现解决下列问题.

①若发射平台相对于安全线的高度为0m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

②在安全线上设置回收区域MN,AM=125m,MN=5m.若飞机落到MN内（不包括端点M,N）,求发射平

台相对于安全线的高度的变化范围.

水平安全线

AMN

典题精练

(2023东湖高新区)如图1,BC为地面,AB,AC为一个小山坡，它的高度OA为10米，坡比都为1:2,在坡顶有

一个自动浇灌装置(其高度忽略不计)，它喷出的水柱呈抛物线形状，现只考虑右侧山坡，建立如图2所示的平面直

角坐标系，已知水柱在与OA的水平距离为6米处达到最高，且距地面的最高距离为13米.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求水柱浇灌的最远点G离地面的高度；

(3)如果给浇灌装置安装一个支架，则可以使水柱覆盖整个山坡，问浇灌装置还要升高多少米，才能使水柱覆盖

整个山坡？

抛物线形问题7运动建模

典例精讲

【例】（2022武汉中考）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球

在黑球前面70cm处.小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位:

（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式；

（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；

（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球?请说明理由.

黑球白球

OO

A

典题精练

（2024东西湖区）如图1,一名轮滑选手从加速坡道的A处下滑至点B处获得最大速度，然后沿水平滑道BC

滑行直至停止.该选手在水平滑道BC上滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）满足二次函数关系，测得相关

数据如下表所示：

滑行时间X/S01234

滑行距离y/m019.53855.572

Q）求水平滑道上的滑行距离y与x满足的二次函数解析式；

（2）该选手在水平滑道BC上滑行多远才停止？

（3）如图2,为控制选手滑行距离，现在水平滑道上设置了护栏DE,DE^\BC,BD=72私为安全起见，选手必

须从点B开始使用鞋后跟的刹车进行制动，刹车制动能力为每秒减少滑行距离n（单位：m）,请直接写出n的取值

范围.

抛物线形问题1路径变轨分析

典例精讲

【例】(2024武汉中考)我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如

抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟

火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得

到抛物线y=a/+"口直线y--|x+b.其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级.

(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km,

①直接写出a,b的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低L35km,求这两个位置之间的距离.

(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.

解:⑴①由81a+9=3.6,解得a=一卷.由3.6=后x9+瓦解得b=8.1;

②由①得y=~^+x=+^(0<%<9),.\火箭运行的最高点是?km.

1515\Z/44

由-1.35=一+/+x.解得上1=12>9(舍去),x2=3.

由2.4=-3x+8.1,解彳导x=11.4.11.4-3=8.4

答：这两个位置之间的距离为8.4km；

⑵当x=9时,y=81a+9把(9,81a+9)代入y=—"+b得x9+b=81a+9,

b=81a+y,.,.y=—1%+81a+孑，当x=15时,y=6+81a>0,解得a>

一5<a<0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.

典题精练

（2024武汉模拟）纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中

纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的路径是一条线段,滑行距离受纸飞机滑行比的影响（若纸

飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为n米，则滑行比为1：n）如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点的

高度为1.9m,当纸飞机的最大高度达到2.8m时，它飞行的水平距离为3m.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）小明的前方有一堵2.5m高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁?（不考虑墙壁的厚度）

⑶小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1:2.5（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超

过1.4m）,纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离为10米？

\y

解：⑴丫=一20—3尸+2.8;_

（2）令y=2.5,则一白（%—3尸+2.8=2.5,_____________,

10O\JV

%1=3+V3,x2=3—V3.

...小明至少距离墙壁（（3-百）米时，纸飞机才会顺利飞过墙壁；

（3）设纸飞机开始滑行时的高度为h米时，水平飞行距离为10米，则滑行的水平距离为2.5h米，故飞机开始

滑行时的拐点坐标为（10-2.5h,h）,将其代入抛物线解析式，

彳导——（10—2.5/i—3尸+2.8=h,

整理得25h2-100h+84=0,.\h=2,8或h=1.2,

Vh<1.4,.\h=1.2米

答：纸飞机开始滑行时的高度为L2米时纸飞机的飞行距离为10米.

抛物线形问题2运动落点求参

典例精讲

【例】（2024青山区）海豚表演是武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一.在进行跳水训练时，海豚身体（看

成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分.如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚

落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，海豚离水面的高度y（单位：m）与距离

起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y=a/+2居海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）

饲养员放在空中的离O点水平距离为3m,离水面高度为4.5m的小球.

⑴求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m?

⑵求当海豚离水面的高度是gm时，距起跳点O的水平距离是多少m?

（3）在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD=6m,高DE=4m的长方体泡沫箱，若海豚能够顺利跳过

泡沫箱(不碰到)，求点D的横坐标n的取值范围.

2

解:⑴把(3,4.5)代入y=ax+2xf

得4.5=9a+2x3.解得a=-1,

•••y=_：汽2+2%=—1(%—6)2+6,

ffll图2

•••海豚此次训练中离水面的最大高度是6m；

2

（2）由—，（久—6）+6=号解得Xj=8,%2=4.

答：此时海豚距起跳点0的水平距离是8m或4m；

⑶若海豚恰好接触到泡沫箱边缘，则点F或点E在抛物线上，

2

令y=4,贝!]--x+2x=4魂牟得％i=6—2V3,X2=6+2y/3.

当点F在抛物线上时，D点的横坐标n为12-2百;当点E在抛物线上时，D点的横坐标n为（6+2次.

/.n的取值范围是12—2^3<71<6+2A/3.

典题精练

（2024汉阳区）某班在元旦联欢会上进行投掷小球游戏.通过实验，收集了小明同学抛出的小球高度h（单位：m）、

距离起点的水平距离x（单位：m）随运动时间t（单位：s）变化的数据如表：

运动时间t（s）00.51

水平距离X（m）012

高度h（m）1.62.22.4

其中h是关于x的二次函数，x是关于t的一次函数，建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）直接写出h关于x的函数解析式和x关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）

（2）求小球被抛出后到达的最大高度以及所需要的时间；

⑶如图所示，水平放置纵截面为矩形ABCD的纸箱，（。4=3m,AB=O.Sm,AD=0.6m.当小明抛出小球的

同时，小亮沿着射线BA的方向以v（单位：m/s）的速度移动该纸箱，若小球落在移动的CD上（不包括端点C,D）,

直接写出v的取值范围.

解：（1）由题意，设二次函数为h=ax2+bx+c,又结合表格数据可得,

fc=l.6,a=-0.2,

■\a+b+c=2.2,

<b=0.8,：.h=-0.2X2+0.8X+1.6.

[4a+2b+c=2.4[c=l.6,

又设一次函数为x=kt+n,

.6=0，.\k=2,

U0.5*+n=l/,U=0；/.一次函数解析式为X=2t；

(2)由题意，:h=-0.2x2+0.8x+1.6=-0.2(x-2)2+2.4,

又-0.2<0,当x=2时,h的最大值为2.4m.

将x=2代入x=2厂得t=l.・・・小球被抛出后1s达到最高点,且最大高度为2.4m;

(3)由题意,0.6=-0.2%2+0.8%+16解得x=5或x=-l(舍去).

VOA=5,此时小球刚好落在CD上.又x=2t,:.2t=5.At=2.5.

，・,小球落在移动的CD上,，移动的距离<AB=0.5,・••移动的最大速度v=AB：2.5=0.2(m/s).

0<v<0.2m/s.

抛物线形问题3实物距离计算

典例精讲

【例】如图1,有两根相距10m且等长的立柱AB,CD垂直立于水平地面上，在AB,CD间拉起一根晾衣

绳，其形状可近似看成抛物线y=^-x2+bx+c,已知绳子最低点距离地面:皿以点B为坐标原点，直线BD为

NU4

X轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系.

⑴求立柱AB的长度；

⑵一段时间后，绳子被神长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4m的地方加

上一根立柱MN撑起绳子这时立柱左侧的抛物线Fi也是1m，如图2

所示，求MN的长.Dx

解:(1)由题意，得y=/0-5)2+：=如2一1+3,令x=0得至I」y=3,.1.AB=3m;

(2)设抛物线Fi的解析式为y=a(x—3)2+2很3=a(0—3)2+2,解得a=*

[y=[(x-3尸+2,当x=4时,y=-^-,MN=£m.

典题精练

(2024洪山区)一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计),点E是抛物线的顶点,

碗底高EF=lcm,碗底宽AB=2百m,当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD=8V5cm,此时面汤最大深度EG=6cm以F

为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.

(1)直接写出图2中抛物线的解析式为y=：/+1；

(2)倒出部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段MN处，试求此时液面MN的宽度；

(3)将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3,当/ABK=30。时停止，此时液面CH的宽度为|—

_2_cm；碗内面汤的最大深度是______1_____________________________________Lcm.

DGC

AFBAF\B

图1图2图3

解:⑴由题意知:F(0,0),E(0,l),C(4V3,7),D(-4V3,7),

・••可设抛物线的解析式为y=a/+1,则7=a(4g)2+1,解得。="抛物线的解析式为y=*+1;

(2)，・,液面下降了1.5cm,・••此时液面距碗底距离为7-1.5=5.5(cm),BPy=5.5,当y=5.5时+1=5.5,解得=

O

~6,X2=6,...液面MN的宽度为12cm;y]

⑶如图，以F为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，设CH与y轴交于点s,则KS

=CK-tan30°=4V3X—=4,；.S(0,3),，可求得直线CH的解析式为y=—x+3,-x2+1x

+3,由CH=2.设P/+1)为CH下方抛物线上一

点过点P作PMLCH于点M,PQ〃y轴交CH于点Q则Qt+3),PQ=果+3-对一i=一如+f匕

\3/3oo3

+2,

2

由SAPHC=Ex*PM=X4,+W)・(—争+2)得PM=—W)+手S竽,二碗内面汤的

最大深度为竽on.

抛物线形问题4双抛物线形路径求参

典例精讲

【例】(2024江汉区)有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2,发球机出口P到桌面

MN的距离MP=a.现以点M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x(dm)表示球与点M之间的水

平距离，y(dm)表示球到桌面的高度.在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”

模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为y=-^(x-10)2+6;“间发式”模式下，球从P处发出，

先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处.两种模式皆在同一高度发球，PB段抛物线可以看作是由PA段抛

物线向左平移得到.

⑴当a=4时.

①求b的值;②求点A,B之间的距离：

⑵已知BC段抛物线的最大高度为M,且它的形状与PA段抛物线相同.若落点C恰好与落点A重合，求

a的值.

解:⑴①由题意，知P(0,4),4=-蒙0-10)2+瓦解得b=6;

②由o二一表-io)2+6,解得%=10+10由(舍负),4(10+10V3-0).

又由题意可得“间发式”模式的解析式为y=-^(%-10+m)2+

该抛物线经过P(0,4),4=-2(0-10+小产+6.解得m=20.

答:点A,B之间的距离为20dm;

(2)：抛物线y=—表。—10)2+b的对称轴是直线x=10.

.•.点P(0,a)关于对称轴对称的点为Q(20,a).AAB=PQ=20.

设C(m,0),贝UBC段抛物线的解析式为y=-^(x-m+10)2+

0=-^(m-m+10)2+多解得b=4把P(O,a)代入y=-^(x-10)2+4,

得u=-----(0-10)2+4—2,a—2.

典题精练

（2024武昌区）甲，乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动.如图为从侧面看乒乓球台的视图，M

N为球台，EF为球网，点E为MN的中点，MN=274cm,EF=15.25c犯甲从M正上方的A处击中球完成发

球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P,乙再接球.以M为原点,MN所

在直线为x轴，MA所在直线为y轴，1cm为单位长度建立平面直角坐标系，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均

为抛物线且形状不变，BC段抛物线的解析式为为=-击（久-m）（x-m-120）,CP段的解析式为％=膜”

—+k.

（1）当球在球网左侧距球网17cm时达到最高点，求yi的解析式；

⑵若球从B处弹起至最高点后的下落过程中，球刚好擦过球网EF,视为网球重发，求m的值；

⑶若球第二次的落点C在球网右侧53cm处，球再次弹起最高为12.5cm,乙的球拍（看作线段GH）在N的正

上方8cm处，GH=15cm.若将球拍向前水平推出n（cm）可接住球（不包括球刚好碰到边沿点G,H）,求出n的取值范

围.

y/cm

A

甲乙

尸1、一

MBECN.Vcin

解:(1)令=(X得x1—m,x2=m+120,

m+60=137-17=120,,解得m=60,

;为=一嘉("-60)(久-180);

(2)由题意，得一白(137—小)x(17-m)=15.25,解得=77—5422,m2=77+5V22,Vm+60<137,gPm

<77,：.m=77-5V22;

(3)由题意可知，CP段抛物线的解析式为%=一击0-八尸+12.5,HC(190,0),

.一肃X(190-h)2+12.5=0,解得h=140(舍去)或h=240,

由—肃(“-240)2+12.5=8,解得%!=210,K2=270,

/.n的最小值为274-270=4(cm),n的最大值为274-210=64(cm),；.4<n<64.

抛物线形问题5路径距离分析

典例精讲

【例】（2024湖北模拟）某次军训I中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小华在教官的指导下用手榴弹（模拟手

榴弹）进行一次试投：如图所示，把小华投出的手榴弹的运行路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴

弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡OA的坡度为1：5,坡顶A处的水平距离OB

为30米.

⑴求这条抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）小华投出的手榴弹能否越过坡顶A?请说明理由；

⑶若AC=10米,斜坡AC上趴着几位“敌军”同学，手榴弹落地后会爆炸，爆炸后距落地点1.5米范围内会受波

及，问手榴弹落地爆炸后是否会波及斜坡AC?请说明理由.

解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-20）2+10；

把（0。）代入得（0=a（0-20）2+io,解得a=—表

,抛物线的解析式为y=-去（久一20尸+10=—2,+x；

4U4U

（2）小华投出的手榴弹能越过坡顶A.理由：

当x=30时,y=x900+30=7.5.

:山坡OA的坡度为1:5,OB=30米,，AB=6米，

V7.5>6，，小华投出的手榴弹能越过坡顶A；

(3)手榴弹落地爆炸后不会波及斜坡AC.理由：由-去久2+x=0,解得勺=0,犯=40.

4U

VAB=6米,AC=10米，:BC=>JAC2-AB2=8(米),.•.OC=OB+BC=38(米).

：40-1.5=38.5>38,...手榴弹落地爆炸后不会波及斜坡AC.

典题精练

(2023江岸区)鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画

面(如图1)和截面示意图(如图2)，攻方球员位于点O,守门员位于点A,OA的延长线与球门线交于点B,且点A,

B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知OB=28m,AB=8m,足球飞行的水平速度为15m/s,

水平距离s(水平距离=水平速度x时间)与离地高度h的鹰眼数据如表：

s/m912151821

h/m4.24.854.84.2

(1)假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，S=_30m;

(2)求h关于s的函数解析式；

(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大

防守高度视为防守成功.已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m,若守门员背对足球向球门前

进并成功防守，求此过程守门员的最小速度.

OAB

图1图2

解：(1)由表格可知，抛物线关于s=15对称，：当s=0时h=0,；.s=30时,h=0;

(2)由⑴知抛物线关于s=15对称，设h=a(s—15)2+5,把(12,4.8)代入得a(12-15)2+5=4.8,解得a=

-----,h=-----(s—]5)2+5;

4545、'

(3)若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为vm/s,且ts时，足球位于守门员正上方，则有

15t=28-(8-vt),

解得t=谷,s=15•苔=普，代入上述解析式，

可得h=（黑;-15）+5=1.8解得v=器或v=-85（舍）.

，此过程守门员的最小速度为^m/s.

抛物线形问题6路径高度分析

典例精讲

【例】（2023武汉中考）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞

行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表.

（1）【探究发现】x与t,y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出x关于t的函数解析式

和y关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）

飞行时间t/s02468

飞行水平距离x/m010203040

飞行高度y/m022405464

（2）【问题解决】如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据

上面的探究发现解决下列问题.

①若发射平台相对于安全线的高度为0m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

②在安全线上设置回收区域MN,AM=125m,MN=5m.若飞机落到MN内（不包括端点M,N）,求发射平台相

对于安全线的高度的变化范围.

解：（l）x==-号/+"力

2

（2）①依题意彳导-jt+12t=0,解得h=0（舍），t2=24,当t=24时,x=12/7

水平安全线

AMN

答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m；

②设发射平台相对于安全线的高度为nm,则飞机相对于安全线的飞行高度V=-卜2+i2t+n>

V125<x<130,A125<5t<130,25<t<26.

在yz=—|t2+12t+n中，当t=25,y'=0时,n=12.5;当t=26,y'=0时,n=26,12,5<n<26.

答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m.

典题精练

(2023东湖高新区)如图1,BC为地面,AB,AC为一个小山坡，它的高度OA为10米，坡比都为1：2，在坡顶有一

个自动浇灌装置(其高度忽略不计)，它喷出的水柱呈抛物线形状，现只考虑右侧山坡，建立如图2所示的平面直角

坐标系，已知水柱在与OA的水平距离为6米处达到最高，且距地面的最高距离为13米.

⑴求抛物线的解析式；

(2)求水柱浇灌的最远点G离地面的高度；

⑶如果给浇灌装置安装一个支架，则可以使水柱覆盖整个山坡，问浇灌装置还要升高多少米，才能使水柱覆盖

整个山坡？

解：⑴根据题意知抛物线的顶点坐标为(6,13)，，可设抛物线的解析式为y=a(x-6¥+13把A(0,10)代入

得36a+13=l。,解得a=

抛物线的解析式为y=-行(久一6尸+13;

⑵：坡比为1:2,OB=2OA=20,/.B(20,0),

设直线AB的解析式为内+m厕加鼠鼠解得上谕

1y~-----(%—6)+13,丫=n丫=1a