2025年中考数学复习：隐圆专项练习（含答案）

2025年中考数学复习：隐圆专项练习

1.在平行四边形48CD中，已知/N=45。，ADA.BD,点E为线段8c上的一点，连接以线段DE为直

角边构造等腰放DEF,环交线段N8于点G,连接/尸、DG.

(1)如图1,若48=12&，BE=5,则。E的长为多少？

(2)如图2,若点H,K分别为线段BG,OE的中点，连接"K,求证：AG=2HK；

(3)如图3,在(2)的条件下，若BE=2,BG=2母,以点G为圆心，4G为半径作OG,点M为。G上一

点，连接MK,取"K的中点尸，连接4尸，请直接写出线段4尸的取值范围.

2.如图，四边形ABCD是正方形，AABE是等边三角形，”为对角线BD(不含B点)上任意一点，将绕点B逆

时针旋转60。得到珈，连接EN、AM^CM.

(1)求证：AAMB=kENB；

(2)①当"点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，3+BM+CM的值最小，并说明理由；

(3)当期+BM+CM的最小值为6+1时，求正方形的边长.

答案第1页，共40页

3.如图，正方形ABCD中，AB=2百，。是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE,将线

段DE绕点D逆时针旋转90。得DF,连接AE,CF.

(备用图)

(1)求证：AE=CF；

(2)若A,E,。三点共线，连接OF,求线段OF的长.

(3)求线段OF长的最小值.

4.如图，在矩形中，AB=6,点、E,尸分别是边CD,8c上的动点，且//在=90。

(1)证明：AABPsAFCE；

(2)当。E取何值时，NAED最大.

5.如图，在等边VABC中，点。在AC边上,点E为BO延长线上一点，连接CE,过点C作CF〃班)交4E延长线于

点F.

答案第2页，共40页

(1)如图1,若NBAF=90。，tanZA£B=pAB=8,求EF的长；

(2)如图2,若NCBE=45。,点F在CE的垂直平分线上，点G在EC边上，连接AG交BE于点H,且NBHG=60。，

求证：AG+AE+ED=>/2AB;

(3)如图3,若NC5E=45。，tan/5CE=3,BC=4,点K、M、N分别是BC石三边上的动点，当周长取得最

小值时，取线段BK的中点/,点7为平面内一点，且N£77=45。，连接BT、CT，请直接写出竺)尹的最大值.

6.如图，已知正方形月8co的边长为4、点尸是48边上的一个动点，连接CP,过点P作尸。的垂线交ND

于点E,以尸E为边作正方形PE尸G、顶点G在线段尸。上，对角线EG、尸尸相交于点0.

(1)若4尸=1,plljAE=_；

(2)①点。与△NPE的位置关系是,并说明理由；

②当点P从点/运动到点8时，点。也随之运动，求点。经过的路径长；

(3)在点尸从点4到点B的运动过程中，线段/E的大小也在改变,当AP=_,NE达到最大值,最大值是—.

7.如图①，在等腰RrABC和等腰RrBDE中，NBAC=NBDE=90。,AB=AC,BD=DE,E为BC的中点，F为CE的中

点，连接”，DF,AD.

答案第3页，共40页

c

⑴若AB=4,求A。的长度;

⑵若将VBDE绕点B旋转到如图②所示的位置，请证明AF=DF,AF±DF-

(3)如图③，在VBDE绕点B旋转的过程中，再将AACF绕点A逆时针旋转60。到ACF',连接BF，，若AB=4,请直

接写出的最大值.

8.在VABC中，ZACB=90。，CA=2CB.将线段a绕点C旋转得到线段CD

(1)如图1,当点。落在N8的延长线上时,过点。作DE1AD交NC的延长线于点E,若8c=2,求。E的长;

(2)如图2,当点。落在C2的延长线上时,连接4D,过点C作。尸，48于点凡延长。尸交4D于点E,连接

BE,求证：AB=CE+BE-

(3)如图3,在(2)的条件下，将AACF沿/C翻折得到△ACF,V为直线上一个动点.连接8M,将BDM沿

3河翻折得到△出加.当D尸最小时，直接写出詈的值.

答案第4页，共40页

9.如图，等边三角形/8C内接于半径长为2的O。，点尸在圆弧43上以2倍速度从8向N运动，点。在圆

弧8C上以1倍速度从。向8运动，当点尸，O,。三点处于同一条直线时，停止运动.

(1)求点。的运动总长度；

⑵若〃■为弦依的中点，求运动过程中CM的最大值.

10.如图，在△4BC和△£)£•尸中，ZBAC=ZEDF=90,AB=AC,D£=DF,BC、EF交于点M,且点M为8C、

E尸的中点，将△。跖绕点M旋转.

(1)如图1,当/旋转至点Z在阳延长线上时，若BC=3后，AF”,tan/BAF=2,求线段5尸的长；

⑵如图2,当尸旋转至点力在Q延长线上，求证：6AF=GBE+EF；

⑶如图3,在ADEF旋转过程中，直线4D与直线CF交于点N,连接3N,尸为3N的中点，连接4P,若的=60,

请直接写出线段N尸的最大值.

11.如图，四边形ABCZ"和EFGB均为正方形，将EFGB绕点B旋转;

答案第5页，共40页

(1)如图①，连接CE、AG,判断直线AG、CE的位置关系并说明理由;

(2)如图②，连接若NDFC=135。，探索并证明线段BF、CF、DF的数量关系;

(3)如图③，若正方形ABCD、EFGB边长分别为4、2,EFGB绕点B旋转一周，直线4G与CE相交于点H,直接写线

段OH的最小值及点H运动轨迹的长度.

12.如图1,在VABC中，^ACB=90\AC=BC=y/5,以点8为圆心，以0为半径作圆.

⑴设点尸为B上的一个动点，线段。绕着点C顺时针旋转90。，得到线段8,连接DA,DB,PB,如图2,求

证：AD=BP-

(2)在(1)的条件下，若NCPB=135。，求的长；

(3)在(1)的条件下，当4BC=。时，有最大值，且最大值为;当々BC=。时，BD有最小

值，且最小值为.

13.如图，圆。为R3ABC的外接圆，/ACB=90°,BC=473,AC=4,点。是圆。上的动点，且点C、。分别位于

AB的两侧.

答案第6页，共40页

(1)求圆。的半径；

⑵当C£>=4四时，求ZA。的度数;

(3)设AO的中点为M,在点。的运动过程中，线段C”的最大值为

14.定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1,在R3ABC中，ZA=90%M=AC,点D、E分别

在边AB、AC上，AD=AE,连接。E、DC,点M、/>、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、PN.

图1图2

(1)观察猜想

线段P"与PN填(“是”或“不是”)“等垂线段”.

⑵V4DE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接CE,试判断P"与PN是否为“等垂线段”，并说

明理由.

(3)拓展延伸

把VADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=2,BC=4,请直接写出PM与PN的积的最大值.

15.如图，在正方形ABCD中，点E在直线AD右侧，且AE=1,以DE为边作正方形OEFG,射线DF与边BC交于

点、M,连接ME、MG.

答案第7页，共40页

G

⑴如图1,求证：ME=MG.

(2)若正方形MCD的边长为4,

①如图2,当G、C、"三点共线时，设EF与BC交于点N,求零的值;

②如图3,取中点尸，连接尸尸，求尸尸长度的最大值.

答案第8页，共40页

《2025年中考数学复习：隐圆专项练习》参考答案

1.(1)DE=13；(2)见解析；(3)屈-2也SAPSa+2及

【分析】(1)借助三角形全等，求线段的长度.

(2)借助模型“对边平行+中点”构造全等三角形.将4G转化为GM；

(3)主动点M在圆上运动，从动点尸也在圆上运动，利用中位线找到。的运动轨迹.

【详解】解：(1)・.・N/=45。，且

图1

ZADB=90°f

・・・△45。为等腰直角三角形,

又;AB=12。

：・BD=12,

・・•四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//BCf

：.ZDBE=ZADB=90°f

在出△5£。中，BD=\2,BE=5,NDBE=9。。,

:.DE=y/BD2+BE2=A/122+52=13;

(2)如图2,

连接GK,BK,延长8K交/。于M,连接GW,

图2

-JAD//BC,

：.ZEBK=ZDMKfNKEB=/MDK,

又DK=KE,

:ABEK经4MDK(AAS)f

:・DK=KE,

又,：BH=GH,

：.KH//^GM,

•：△OE尸是等腰直角三角形，

答案第9页，共40页

:・/EDF=NADB=90。,DE=DF,/DFE=/DEF=45。,

：.ZEDB+ZBDF=/FDA+/BDF,

/.ZEDB=ZFDAf

VZADB=90%/BAD=45。,

：.ZABD=90°-/BAD=45。,

ZABD=ZBAD,

:・DB=DA,

MADFm4BDE(SAS)f

ZDAF=ZDBE=90°,AF=BE

ZDAG=ZDFG=45°,

・•・/、F、G、。四点共圆，

ZDGE=N。/尸=90。，

在•△OGE中，K是。E的中点，

:・GK=gDE,

在RtADKE中，

同理可得：KB=3DE,

:・GK=KB,

又*：BH=GH,

:・KHLBG,

,:KH//MG,

:・MG_LAB,

：.ZAGM=90°f

・・・ZBAD=45°f

：.NAMG=NBAD=45。,

:・AG=GM,

：.KH=\GM=^AG,

(3)作ENL4B于N,

在RtABEN中,NEBN=180。-NABC=45。,BE=2,

:・EN=BN=4i,

在放△GEN中，GN=GB+BN=3®,EN=母,

:.GE=2下，

:・DE=V2GE=25,

在RtADBE中,BE=2,DE=2回,

答案第io页，共40页

:・BD=6,

^.AB=yfiBD=6及,

：.AG=AB-BG=4母

连接MG,取GK的中点/,作/Q_L45于0,

图3

•・•尸是的中点，

：.PI=^MC=242,

二点尸在以/为圆心，半径为23的。/上运动

由（2）知：KH="G=2也,

是△KG"的中位线，

：.lQ=\KH=4i,

在RtAAIQ中，AQ=AG+GQ=A4I+^-=^Y，1Q=\KH=^,

:.AI=M,

：.AI-PI<AP<AI+PI,

/.a-275s4尸W屈+2Q.

【点睛】本题主要考查等腰三角形与直角三角形、圆的有关概念及性质、三角形的全等和圆的综合运用，解

题关键是确定尸点的轨迹并且要灵活运用转化思想、推理能力、模型思想和创新意识.

2.（1）见解析；（2）①当M点落在8。的中点时；②当M点位于AD与CE的交点处时，的

值最小，理由见解析；（3）近

【分析】（1）由题意得出=g，/ABN=15。,所以ZEBN=45。，容易证出AAMBwAENB；

（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当“点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；

②根据“两点之间线段最短”，当M点位于与CE的交点处时，AM+BM+GW的值最小，即等于EC的长（如图）；

（3）作辅助线，过E点作EF1BC交CB的延长线于F,由题意求出ZEBF=30。，设正方形的边长为工，在RtAEFC中，

根据勾股定理求得正方形的边长为及.

【详解】解：（1）证明：…是等边三角形，

;.BA=BE,ZABE=60°.

'：4MBN=60°,

:./MBN—ZABN=ZABE—ZABN.

§]]ZMBA=ZNBE,

又,/MB=NB,

答案第11页，共40页

=M：NB(SAS).

(2)解：①当"点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小.②如图，连接CE,当M点位

于BD与CE的交点处时，

AM+BM+CM的值最小，

理由如下：连接MN,由(1)知，MMB-AE7VB,

：.AM=EN,

,：NMBN=60°,MB=NB,

.•.ABMN是等边三角形.

：.BM=MN.

:.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、/、C在同一条直线上时，EN+MV+CM取得最小值，最小值为EC.

在^ABM和ACBM中，

[AB=CB

\ZABM=ZCBM,

[BM=BM

AABM=ACBM(SAS),

:.ZBAM=ZBCM,

:"BCM=NBEN,

EB=CB,

■■若连接EC,则NBEC=ZBCE,

,NBCM=NBCE,/BEN=/BEC,

-M,N可以同时在直线EC上.

;当M点位于BD与CE的交点处时，W+ffiW+CM的值最小，即等于EC的长.

(3)解：过E点作EnBC交CB的延长线于F,

ZEBF=ZABF-ZABE=90°-60°=30°.

设正方形的边长为£,则BF=^x,EFj.

在R/中,

222

-EF+FC=ECf

(~)2+(~x+x)2=+1)2.

解得石=后，%2=-6(舍去负值).

二正方形的边长为加.

ADAD

FBCBC

【点睛】本题考查轴对称的性质和正方形的性质，三角形全等的判定、等腰三角形的性质、勾股定理，解题

答案第12页，共40页

的关键是掌握以上知识点，添加适当辅助线，灵活运用.

3.(1)证明见解析；(2)V26;(3)572-2

【分析】(1)根据旋转的性质，对应线段、对应角相等，可证明△ADEgaCDF,即可得到AE=CF；

(2)先利用=ACDP,求得C5长，再利用AABOSACM,求得CP=2PF,然后设PF=X利用勾股定理求得X

的值，即可求得OF的长；

(3)本题考查了利用三角形全等转化的思想解决问题.

【详解】(1)证明：如图1,由旋转得：NEDF=90。，ED=DF,

四边形ABCD是正方形，

.♦./ADC=90。，AD=CD,

.-.^ADC=^EDF,

即/ADE+NEDC=NEDC+/CDF,

••.NADE=/CDF,

在AADE和ACDF中，

AD=CD

-ZADE=NCDF,

DE=DF

.-.AADE^ACDF,

.•.AE=CF；

(2)解：如图2,过f作oc的垂线，交BC的延长线于p,

。是BC的中点，且AB=BC=26，

.A,E,。三点共线，

OB=y/5,

由勾股定理得：AO=5,

OE=2,

/.AE=5-2=3,

由(1)知：AADE=ACDF,

.•."AE="CF,CF=AE=3,

"AD="CP,

.•./OAB=4CF,

・.・/ABO=/=90。,

.-.AABO^ACPF,

ABCP26r

…==~/="=2,

OBPF6

.-.CP=2PF,

设PF=x,则CP=2x,

答案第13页，共40页

由勾股定理得：32=X2+（2X）2,

x=苧或考（舍）,

0P=&牛=器，

由勾股定理得：OF=j¥：+［竽j=而，

（3）解：如图3,由于OE=2,所以E点可以看作是以。为圆心，2为半径的半圆上运动,

延长BA到P点，使得AP=OC,连接PE,

,AE=CF,4AE=NOCF,

.-.APAE^AOCF,

.-.PE=OF,

当PE最小时，为0、E、P三点共线，

OP=JOB2+PB2“（用+（3布j=5五,

.•.PE=OF=OP-OE=5及-2,

二•OF的最小值是5a-2.

【点睛】本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的相关知识，解题关键

是注意构造辅助线进行解答.

4.（1）见解析；（2）y

【分析】（1）根据题意可得/5=/C=90。，ZAFB=ZFEC,即可得出结论；

（2）取/E的中点。，连接。D、OF,根据NNFE=/NDE=90。，得出4D、E、尸四点共圆，当（3。与

相切时，/4阳的值最大，根据相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：（1）证明：：四边形N8CD是矩形，

ZB=ZC=90°,

,：ZAFE=90°,

：.ZAFB+ZEFC=90°,:ZEFC+ZFEC=90°,

ZAFB=ZFEC,

:.△ABFS^FCE.

（2）取4E的中点O,连接。。、OF.

答案第14页，共40页

•・・/AFE=ZADE=90°f

：.OA=OD=OE=OFf

・・・4、D、E、尸四点共圆，

・・・ZAED=ZAFDf

・・・当。。与3C相切时，NZED的值最大，

:・BF=CF=4,

•・・AABFSAFCE,

,ABBF

**~FC~~EC'

・6_4

・,]_EC，

EC=-

3f，

/.DE=DC-CE=6一一=—,

33'

.,.当DE号时,ZAEO的值最大.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据题意得出0。与8c相切时，阳的值最

大是解题的关键.

5.(1)45/3-3；(2)见解析；(3)!

【分析】⑴过点D作。GL4B于G,则"〃DG,得到NGDB=/4EB,由tan/AEB=嗡=[AB=8,得到

tanZGDB=^|=iAE=6,则BG=：DG,再由含30度角的直角三角形的性质得到BG=华AG,由AG+BG=AB=8,

L)(jJJ3

可得AG=®学，AO=2AG=更与生，再证明得到笠=笔，则6笔户8,由此求解即可；

(2)过点C作CM_L/尸于M,CNLBE于N,过点B作8K_L4B交NG延长线于K,在EF上取点P使得EP=ED,

连接CP，先证明△(;〃£■乌△(7%£1得到CAf=CN,从而可证用得到NC4M=/C5E=45。，从

而推出/CE3=NFEC=60。，由N4BK=90。，/BAK=45。,得到4B=5K=ZC,/K=/BAK=45°,/KBG=30。,

则AK=jAB"KjAB,证明△(?%名△«>£■得到再证明gABGK得到4P=GK,则

AG+AE+ED=AG+AE+PE=AG+AP=AG+GK=AK=42AB',

(3)先证明当△KAW周长最短时，BKLCE,即/BKC=/BKE=90。,由NE77=45。，可知T点在以£7为弦，

圆周角/E77=45。的圆上运动，又NBKI=9Q°,则T在以K为圆心，以A7的长为半径的圆上运动，，在3K上

取一点。使得白=黑"，可证△TKQsABKT,得至I」盖=等=务=J,则①当"，故要想"-犯拙—

DAKJZDKKIDlZZEKEK

最大，则;"-CT的值要最大，即T2-CT的值要最大，则当八C、。三点共线时，T0-CT有最大值，最大值为

答案第15页，共40页

C。，由此求解即可.

【详解】解：（1）如图所示，过点。作。G,45于G,

ZDGB=ZBAF=ZDGA=90°,

：.AF//DGf

：./GDB=/AEB,

VtanZAEB=-^=—,AB=S,

AE3

A

tanZ.GDB==—,AE=6,

DG3'

4

/.BG=-DG,

3

・・・△45。是等边三角形，

ZDAG=60°fAC=AB=S,

：.ZADG=30°f

AD=2AG,

DG=y/AD2-AG2=6AG,

BG=­AG,

3

AG+BG=AB=S,

AG+—AG=8,

3

・“326-24

；.32AG=64痒48

13

9

：DE//CFf

：.AADESLACF,

,AEAD

**AF-AC'

645/3-48

；・613,

AF8

AF=4>/3+3,

EF=AF-AE=4A/3-3；

图1

(2)如图所示，过点。作/于CNIBE”,过点5作5KL48交ZG延长线于K,在跖上取

点P使得EP=ED,连接。尸，

:./CME=/CNE=9。。,

•・,/在线段EC的垂直平分线上,

答案第16页，共40页

:・FE=FC,

：.ZFEC=ZFCE,

,:BE〃CF,

：./BEC=/FCE,

：.NCEM=/CEN,

,:CE=CE,

:・/\CME乌ACNE(AAS)f

:・CM=CN,

•••△/5C是等边三角形，

:・BC=AC,

:・Rt/\CMA沿RtACNB(HL),

：・NCAM=NCBE=45。,

VZCBA=60°fNCBE=45。,

：.ZABH=15°f

：.NHAB=/BHG-NABH=45。,

：.ZCAG=ZCAB-ZHAB=\5°f

：.NEAH=60。,

又•・•ZEHA=ZBHG=60°,

・・・NAEH=60。,

：.ZCEB=ZFEC=60°f

VZABK=90°fNB4K=45。,

：・AB=BK=AC,ZK=ZBAK=4509/KBG=30。,

AK=\lAB2+BK2=y/2AB,

•：PE=DE,NPEC=NDEC,CE=CE,

・•・△CPEmdCDE(SAS)f

:・/CPE=/CDE,

ZCDE=ZADB=180°-AABD-ZCAB=105°,

AZCPE=105°,

・・・ZBGK=180°-ZK-ZKBG=105°,

NBGK=/CR4,

在和△6GK中，

NCPA=/BGK

</PAC=/GKB,

BK=CA

答案第17页，共40页

:ACPA义ABGK(44S),

：.AP=GK,

AG+AE+ED=AG+AE+PE=AG+AP=AG+GK=AK=>/2AB;

(3)如图1所述，在锐角三角形/5C中，。是5。上一确定点，分别作。关于45的对称点。/,关于力。的

对称点。2,连接分别与4SAC,交于点、E,点、F,连接AD,AD19AD2fDE,DF,

由轴对称的性质~PS^DE+EF+DF=D,E+EF+D2F=DR,AR=AD2=AD,

ZDiAB=ZDAB,ZD2AC=ZDAC,

・・・要想△。跖的周长最小，即要最小，ZZ),AD2=2ZBAC,AZ)也是等腰三角形

・・・要想A2要最小，即AD产AZ)2=AQ最小，

・••当4D_L5c时,40最小,

图1

如图2所示：在锐角三角形45。中，AD工BC,分别作。关于45的对称点G,关于4C的对称点X,连接

DG交4B于I,DH交AC于J,连接〃，连接G8分别与AC,交于点E,点、F,连接。E,DF,CE,

•：DI_LAB,DJ_LAC,

：.ZAID=ZAJD=90°f

：.A,Z,D,/四点共圆，

・・・ZAIJ=ZADJ

•：AD_LBCf

：.ZADC=ZDJA=90°f

：.ZACD+ADAC=ZADJ+ZDAJ=90°,

・・・/ACD=/ADJ,

：./ACD=NAIJ,

由轴对称的性质可知/,1/分别为。G,皿/的中点，

・・・〃是△QG”的中位线，

：・IJ〃GH,

：./AEF=/AU=/GEI,

答案第18页，共40页

/ACD=/AIJ=NGEI,

又•：/GEI=/DEI,

：.ZACD=ZDEIf

•・•/AED+/DEI=180。,

：.N/CQ+N/EZM80。，

・・・4、E、D、。四点共圆，

・・・ZAEC=ZADC=90°f

・・・CE是45的垂线，

同理可以证明5方是4。垂线，

・・・可知在锐角三角形45。中，当取三边的垂足所形成的三角形为周长最短的三角形;

图2

・••当周长最短时，BKLCE,即N5KC=N5AE=90。,

RK

/.tanZBCE=——=3,

CK

BK=3KC,

222

*：BK+CK=BCf

22

/.10CK=BC=16f

•CK2晒

•・CK=——，

•RK-6回

,?ZETI=45°,

7点在以£7为弦，圆周角NE77=45。的圆上运动，

又：ZBKE=90°,

.•.T在以K为圆心，以A7的长为半径的圆上运动，

:/是5K的中点，

KI=BI=KT=EK=-BK=^^~,

如图2所示，在8K上取一点。使得白=黑弓,

oAKJZ

答案第19页，共40页

•m-3版

"KQ=^

■:/TKQ=/BKT,装=詈，

:.ATKQsABKT,

.TKKQTQ

.•诙_而一而―/，

：.TQ=^BT,

二要想丝匚红=2料二£最大，贝畤Br-cr的值要最大，即ro-cr的值要最大,

EKEK2

・••当八C、0三点共线时，TQ-CT有最大值，最大值为CQ,

在直角三角形CKQ中CQ=lCK、KQW呼,

BT-2CT_VW_5

EK~3V103.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定,

圆的综合等等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识.

6.(1)|；(2)①点。在尸E的外接圆上，见解析；②2夜；(3)2,1

【详解】解：(1)・・•四边形/5CZX四边形PMG是正方形，

AZA=ZB=ZEPG=90°,PF工EG,AB=BC=4,ZOEP=45°,

：.ZAEP+ZAPE=90°fZBPC+ZAPE=90°f

：.ZAEP=/BPC,

：.△APEsgCP,

.AE_APBnA£_1

*9~BP=~BCf即Q

解得：

故答案为：I；

(2)①点O在△4产£的外接圆上，理由是:

证明：如图1,

取尸£的中点。，连接4。，

图1

•・・NP0E=9。。,

答案第20页，共40页

：.OQ=\PE,

•..△NPE是直角三角形，

/.点。是mA4PE外接圆的圆心，

:.AQ=gPE,

：.OQ=AQ=EQ=PQ,

二。在以。为圆心，以。。为半径的圆上，

即点。在的外接圆上；(到圆心的距离等于半径的点必在此圆上),

故答案为：点。在△4PE的外接圆上；

②连接。4、AC,如图2所示，

・・,四边形/5C。是正方形，

-90。，ZBAC=45°f

图2

・・・/、P、0、£四点共圆，

：.ZOAP=ZOEP=45°f

・,•点。在4C上，

当尸运动到点8时，。为NC的中点，OA="C=26,

即点。经过的路径长为20；

(3)设4尸=羽则8P=4-x,

由(1)得：△APESLBCP,

.AE_AP

**~BP~~BC'

.AE_x

••~~79

4一14

：.AE=^(x-2)2+l,

；.x=2时，NE的最大值为1,

即当/尸=2时，NE的最大值为1.

故答案为：2,1.

7.⑴

(2)见解析

⑶2百+0+2

【分析】(1)在等腰直角三角形ABC中求出班的长，在等腰直角三角形也汨中求出再利用勾股定理求出AQ

即可;

答案第21页，共40页

(2)延长"至G,使FG=AF,连接EG,DG,AD,先证明△ACF之△GEJ从而证得△A3。物GED,进一步命

题得证；

(3)取3C的中点/,连接F/,AI,将旬逆时针旋转60。至AO,连接0斤，可证得F'AO^FAI,进而得出点P在

以。为圆心，血为半径的圆上运动，连接2。并延长交。于G,当F在点G时，3尸最大，然后解M0印和放OBH,

进而求得结果.

【详解】(1)解：在等腰及ABC中，ZBAC=90°,AB=4,AB=AC,

/.BC=4V2,ZABC=45。，

点E为BC的中点，

:.BE=20

在等腰吊班)£中，BDE=90°fBE=2叵,BD=DEf

BD=DE=2,

在用5ZM中，?ABD90?,AB=4,BD=2,

:.AD=y/AB2+BD2=V16+4=25/5;

图1

延长AT至G,使FG=AF,连接EG,DG,AD,

,点尸是废的中点，

:.EF=CFf

在AACF和/\GEF中,

CF=EF

<ZAFC=NEFG,

AF=FG

.•.△AC/&GEF(SAS),

AC=FG,ZACF=ZFEG,

AC//EG,

ABLAC,

EGLAB,

ZEDB=90°,

:.ZDEG=ZABD,

AC=ABf

答案第22页，共40页

/.EG=AB,

在△板)和GED中，

AB=EG

<ZABD=ZGED,

BD=DE

ABDgGED(SAS),

・•.AD=DG,ZADB=ZEDGf

ZADB-ZBDG=ZEDG-ZBDG,

:.ZADG=ZBDE=90°,

加G是等腰直角三角形，

AF=FG,

:.DF1AF,DF-AF--AG•

'2'

图2

取3c的中点/,连接F/,AZ,将A/逆时针旋转60。至AO,连接OF,

,AB=4f

：.BC=6AB=40,

:.BE=-BC=2y/2,

2

点尸是位的中点，

：.FI=-BE=4I,

2

.ZFAF'=ZIAO=6Q°,

ZFAFf-ZOAF=ZIAO-ZOAF,

.•.々AO=NE4Z,

AF=AF',AI=AO,

F'AO^FAI(SAS),

..OF'=FI=>/2,

二•点F在以。为圆心，近为半径的圆上运动，

连接50并延长交。于G,当F在点G时，BF，最大,

作OHJ.BC于H,

答案第23页，共40页

在放Om中,ZOIH=ZAIH-ZAIO=90°-60o=3Q°,01=AI=2板,

:.OH=^OI=y/2fIH=^-OI=>/6,

:.OB=>]OH2+BH2=7(272+V6)2+(V2)2=2心+1),

BG=BO+OG=2y/3+y/2+2.

即5尸的最大值26+收+2.

【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形中位线性质，确定圆的条件等知识，

解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形.

8.⑴牛

(2)见解析

(3)病巧

【分析】(1)根据已知条件，先求出tanA=[,再由ZADE=90。，AC=CD,求得CE=CD=CA=4,AE=AC+CE=8,

最后在RACE中，求得。E的长.

(2)过。作。GJ_CZ)交CE延长线于点G,先证aACB当CDG,再证BEDmGED,最后通过AB=CG,BE^EG,

进行等量代换，得到结论.

(3)过尸作尸KLBC交BC延长线于点K,以B为圆心，BC长为半径画圆.摆在以B为圆心，BC长为半径的圆上

运动，当尸’，出B三点共线且川在尸B之间时，OF最小.设虚=1,通过解直角三角形，运用翻折性质，求得

小的值•

【详解】(1)解：・：CA=2CB,BC=2,

：.CA=4f

ZACB=90°,

/.tanA=-.

2

・・•将线段CA绕点。旋转得到线段CD,

AC=CDf

/.ZC4D=ZADC,

•.*DE±AD,

...ZADE=90°,

/.ZCAD+ZE=ZADC+ZCDE=90°,

ZC4D=ZADC,

ZE=ZCDEf

/.CE=CD=CA=4f

AE=AC+CE=S,

VC4=4,BC=2fZACB=90。

AB=7G42+CB2=2V5,

答案第24页，共40页

・・sinA==—产=—,

AB2小5

•/AE=8,

・八万.44万8小

・・DE=smAxAE=.

5

(2)证明：过。作。GLC。交CE延长线于点G,

•・•线段CA绕点。旋转得到线段CD,加=90。,

・・・CD=CA,ACD是等腰直角三角形.

•:CA=2CB,

：.CD=2CB,即C5=5D

•：CF.LABf

ZAFC=90°,

...ZCAF+ZACF=90°,

*.*ZFCB+ZACF=90°f

：.NCAF=/FCB.

在△AC3与CDG中，

ZCAB=ZGCD

lAC=CD,

ZACB=ZCDG

：.AACBCDG(ASA).

CB=DG,

•・,CB=BD,

/.BD=DG.

•：DG_LCD,

：.ZCDG=90°,

・・・A。是等腰直角三角形，

/.ZCZ)A=45°,

/.ZEDG=ZEDB=45°.

在BED与GEZ)中，

BD=GD

•:;NBDE=/GDE,

ED=ED

：.BEDmGED(SAS).

...BE=EG,

/.CE+BE=CE+EG=CG.

VAACBCDG,

/.AB=CG,

答案第25页，共40页

AB=CE+BE.

（3）如图，过F作尸K_LBC交BC延长线于点K,以B为圆心，3C长为半径画圆,

由题意得，以在以8为圆心，长为半径的圆上运动，当F,乂8三点共线且以在尸5之间时，。尸最小.

设8=1,

*/CA=2CB,

...CA=2.

VZACB=90°,C8=l,CA=2,

••AB=ylCA^+CB2=-\/5,sinZ.CAB=.

*：CFA_AB,ZACB=90°,

/.S&ACB=-xABxCF=^xACxBC,ZCAB+ZACF=ZACF+ZFCB=90°,

/.NCAB=/FCB.

VCB=1,CA=2,AB=45,

•・・将AACF沿4c翻折得到△ACT,

/.CF'=CF=竿,NFCK=ZFCB,

•/ZCAB=ZFCB,

/.NF'CK=NCAB,

VsinZCAB=^~,

sinZFClC=—.

5

在用FKC中，

sin/FCK=与,CF'=当,

24

・・・FK=(,CK=^,

,:CB=lf

49

.・.KB=KC+CB=-+1=-,

55

在改方践中，

]'1"+必=乎,

F'D'=F'B-D'B=--1=^^.

55

答案第26页，共40页

将△ACF沿AC翻折得到△ACT,

2KC=FF'f

•.•Keg

二"'1，

...FD'=屈;5,

・F'D'5/85-5

**FF7--~8・

【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质运用，以及翻折的性

质，综合运用以上性质，合理作相应辅助线是解题的关键.

2

9.⑴

⑵近+1.

【分析】(1)如图，设？。。。％结合题意可得：？BOP%，结合正三角形的性质求解"=60?,再利用弧长公式

进行计算即可；

(2)解：如图，取OB的中点N,连接7W,NC,MC,过N作NK_LBC于K,过。作。E_LBC于E,证明M在

以N为圆心，半径为1的圆N上运动，可得当C,N,M三点共线时，CM最大，从而可得答案.

【详解】(1)解：如图，设？C。。明结合题意可得：？BOP2«,

(/j.MC为等边三角形，

360°

\?BOC------=120?,

3

\?BOQ120?a,

而尸，。，。三点共线，

\?BOQ180?2a,

\120?a=180?2a,

解得：a=60°,

运动的总长度为：若=冬・

loUJ

(2)解：如图，取。B的中点N,连接7W,NC,MC,过N作NK_LBC于K,过。作OE_LBC于E,

在以N为圆心，半径为1的圆N上运动,

答案第27页，共40页

・••当C,N,M三点共线时，CM最大，

Q?BOC120?,OBOC,

\?OBC30?,

i1pi

\NK=-BN=-,BK=—,

222

同理可得：BE=®则3。=2点

\CK=卓2巫,

22

、gfTTs

\CM=CN+NM=-Jl+l.

的最大值为：V7+1.

【点睛】本题考查的是弧长的计算，弧与圆心角的关系，圆的基本性质，正多边形的性质，勾股定理的应用，

熟练的构造辅助圆，再求解线段的最大值是解本题的关键.

10.（1）3.

（2）见解析.

⑶3屈+3女

【分析】（1）根据tan/BAF=2,过8作/尸垂线，构造直角三角形，理由勾股定理求解；

（2）连接CF,根据易知条件得凡ABEM必CFM,再利用等腰直角三角形边的关系得到证

明；

（3）首先根据“手拉手”全等得到N点轨迹，根据“瓜豆原理”得到尸点轨迹为圆弧，点与弧上一点最大距离为

通过圆心的一条线段，利用勾股定理求解即可.

【详解】（1）解：如图，过8作尸于

在中,tanZBAH=2=^~,

AH

设则M7=2x,由勾股定理得：4/+/=482

又△NBC为等腰直角三角形，BC=3也

：.AB=AC=^BC=3

：.4x2+x2=9

解得：AH=x=^~,877=半

.・.A6F4=-5---

5

:.FH=^

5

在班△毋H中，BF=^BH2+FH2+

答案第28页，共40页

(2)

如图，连接。尸

・・・〃时5C中点，"是区心中点

:・EM=MF,BM=CM

•・,ZBME=ZCMF

：.ABEM^ACFM

：.BE=CFfZEBM=ZMCF

C.BE//CF

YB、E、。共线，4、D、尸共线

：.BD//CF

：.ZAFC=ZBDA=90°

•：AB=AC,ZCAF+ZBAD=ZBAD+ZABD=90°

AZC4F=ZBAD

・・・AABD^ACAF

：.CF=AD

：.CF=AD=BE

：.AF=AD+DF=BE+坐EF

2

・・・6AFfBE+EF.

(3)

连接。“，AM,延长交C尸于N

・・・M是等腰直角三角形。跖和45C斜边的中点

:•△DMF,均为等腰直角三角形

：.DM=MF,AM=CM,ZAMD=ZCM