2025年中考数学复习：圆（二）方法研究-解答题（含答案）

板块二十三圆（二）方法研究——解答题

方法研究1圆与勾股（一）单勾股

典例精讲

技巧一作垂径构直角三角形

【例】（2023武汉中考）如图,OA,OB,OC都是。。的半径/ACB=2NBAC.

⑴求证:NAOB=2NBOC;

⑵若AB=4,BC=有，求。0的半径.

典题精练

技巧二连直径所对的圆周角构直角三角形

1.（2024江岸区）如图，在AABC中,AB=AC,以AC为直径作。O交BC于点D,过点D作。O的切线，交AB

于点E,延长BA交。O于点F.

（1）求证:DE^AB;

（2）若AF=6,tanB=*求。。的直径.

技巧三连弧的中点与圆心构直角三角形

2.（2024研口区）如图，在。。中，通=发=朝,，连接AC,BD,过点B作BE||相交DC的延长线于点E.

Q）求证：ND=NE；

⑵若CD=2V5,BE=8,求。。的半径.----、

方法研究2圆与勾股（二）双勾股

典例精讲

技巧一连弧的中点与圆心构直角三角形

【例】（2023武汉四调）如图,AB是半圆O的直径,C是.彷的中点，过点C作弦BD的垂线,垂足为E.

（1）求证:CE=DE;

(2)若AD=DE=1,求AB的长.

典题精练

技巧二连直径所对的圆周角构直角三角形

1.如图，在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的。O交BC于点D,交CA的延长线于点E.

（1）求证:BD=CD;

⑵连接ED,若AC=5,ED=4,求AE的长

O

DC

技巧三连过切点的半径构直角三角形

2.（2023武昌区）如图，在Rt△ABC中，NC=90。,点。在AC边上，以OA为半径的半圆。交AB于点D,

交AC于点E,在BC边上取一点F,连接FD,使得DF=BF.

（1）求证:DF为。O的切线；

（2）若AAC=6,BC=4,CF=1,求。0的半径.

方法研究3圆与相似（一）构"A型"相似

典例精讲

【例】（2024武昌区）如图,AB为。O的直径，过。O上点C的切线交AB的延长线于点E,AD±EC于点D,

交。O于点F,连接BC,CF.

(1)求证:BC=CF;

(2)若AD=3,DE=4,求BE的长.

典题精练

技巧一连圆心与切点构"A型"相似

1.（2023研口区）如图，以AABC的边AB为直径作。O交AC于点D,且D为AC的中点，作DG^BC于点G

交BA的延长线于点H.

⑴求证:HG是。。的切线；

⑵若HA=2,HD=4,求CG的长

技巧二连弧的中点与圆心构"A型"相似

2.如图,AB为。0的直径，弦DC的延长线交AB的延长线于点E,zBDC+2zABD=900.

⑴求证:AD=CD-

⑵若AC=4V2,tan^4F£>=号求BE的长.

方法研究4圆与相似（二）构"X型"相似

典例精讲

【例】（2024江汉区）如图,AB为。0的直径,P为BA延长线上一点，点C在。。上，连接PC,D为半径OA

上一点,PD=PC,连接CD并延长交。。于点E,且E是.通的中点.

（1）求证:PC是。。的切线；

⑵若AB=10,5CD=4DE,求AC的长

E

典题精练

技巧一连弧的中点与圆心构"X型"相似

1.(2023江岸区)如图,AB是。O的直径,C是.血的中点，连接AC并延长至点D,使(CD=AC,E是OB上

一点，且=f,CE的延长线交DB的延长线于点F,AF交。。于点H,连接BH.

BE3

(1)求证:BD是。0的切线;

(2)当AB=8时，求BH的长.

技巧二作垂线构"X型"相似

2.如图,AB是。。的直径XB=2V10„OO的弦CD^AB于点E,CD=6过点C作。0的切线，交AB的延

长线于点F,连接BC.

(1)求证:CB平分NDCF;

⑵G为冠上一点，连接CG交AB于点H若CH=3GH“求BH的长

方法研究5圆与相似(三)构"射影型"相似

典例精讲

类型一连直径所对的圆周角构"射影型"相似

【例】(2020武汉中考)如图，在RtMBC中/ABC=90°,以AB为直径的。。交AC于点D,AE与过点D

的切线互相垂直，垂足为E.

(1)求证:AD平分NBAE;

(2)若CD=DE,求sinzBAC的值.

典题精练

类型二连圆心与切点构"射影型"相似

1.(2024宿迁)如图，在。O中,AB是直径,CD是弦，且AB_LCD,垂足为E,AB=20,CD=12,在BA的延长线上

取一点F,连接CB,CF,使NFCD=2NB.

(1)求证:CF是。O的切线；

(2)求EF的长.

Z7

类型三作垂线构"射影型"相似

2.（2024湖北模拟）如图,AB是。O的直径，弦CD交AB于点F,BE^CD,,垂足为E,AC=5,BC=10.

(1)求证:ADBE-AABC;

(2)若AC=CF,求AF和ED的长.

方法研究6圆与相似（四）构其他相似

典例精讲

类型一构"仿A"型相似

【例】（2024通辽）如图，在MBC中/ACB=90。,。为AC边上一点，以点O为圆心,OC为半径作圆与AB相切

于点D,连接CD.

(1)求证:NABC=2NACD;

⑵若AC=8,BC=6,求。O的半径

典题精练

类型二构"旋转"型相似

1.（2023成都）如图以&ABC的边AC为直径作。O,交BC边于点D,过点C作（CE||4B交。O于点E,连接A

D,DE,且NB=NADE.

(1)求证:AC=BC;

(2)若tanB=2,CD=3,求AB和DE的长.

类型三构"仿射影"型相似

2.(2024罗湖区)如图,AB为。。的直径,C为。。上一点,D为AC的中点，过点C作O0的切线，交0D的延

长线于E,交AB的延长线于F,连接EA.

⑴求证:EA与。0相切；

⑵若CE=3,CF=2,求。0的半径0/

方法研究7圆与三角函数(一)用直角

典例精讲

技巧一定义+勾股

【例】(2023东西湖区)如图，在AABC中,AB=AC,AC是。0的弦,D为AC的中点，连接OD,OA,分别交CB

于点E,F,且OE=OF.

(1)求证:AB是。0的切线；/一、

(2)若。E=3,sin44OD=三,求BF的长.(/)

AB

典题精练

技巧二勾股+三角函数

1.（2024东湖高新区）如图，在RfABC中/ACB=90。,点D在AC边上，以AD为直径作。。交BD的延长线

于点E,且CE=BC.

（1）求证:CE是。。的切线；

⑵若。O的半径为3,tan/DBC=/求AB的长.

技巧三相似+三角函数

2.（2024湖北模拟）如图,AB为。。的直径,C为。。上一点，连接AC,BC,过点C作。。的切线，交AB的延长

线于点D,OF±BC于点E,交CD于点F.

(1)求证:NBCD=NBOE;

(2)若sin/CAB=~,AB=10,求BD的长.

方法研究8圆与三角函数(二)构直角

典例精讲

技巧一连过切点的半径构直角三角形

【例】(2024江岸区)如图,AB为。O的直径,C为。O上一点连接BC,取丽的中点D,过点D作。。的

切线，交AB的延长线于点E,连接AD,CD,CD与AB交于点F.

(1)求证:NABC=2NOAD;

⑵当sin£=：时，求知勺值.

典题精练

技巧二作垂线构直角三角形

1.如图在。。中，弦AB的长为8,点C在BO延长线上，且cos^4BC=i,OC=

(1)求。0的半径；

(2)求NBAC的正切值.

技巧三连弧的中点与圆心构直角三角形

2.(2023江汉区)如图，在。。中,AB为直径,EF为弦，连接AF,BE交于点P,且F为屋的中点

(1)求证：AFBPAFAB;

⑵若tan/BEF=|,求sinzABE的值.

B

方法研究9圆与三角函数(三)转直角

典例精讲

技巧一圆外角转圆心角

[例1](2024武汉中考)如图,AABC为等腰三角形Q是底边BC的中点，腰AC与半圆。相切于点D,底边

BC与半圆O交于E,F两点.

(1)求证:AB与半圆O相切；

(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sinzOAC的值.

技巧二弦切角转圆外角

【例2】(2024孝感)如图,AB为。O的直径,C为。。外一点，AC=BC,,连接OC,DF是AC的垂直平分线,

垂足为E,交0C于点F,连接AD,CD,且ZDCA=Z0CA.

(1)求证:AD是。0的切线；

⑵若CD=5,OF=3,求coszDAC的值.

A\B

O

技巧三圆外角转圆周角

[例3](2024甘肃)如图,AB是。O的直径，BC=皿点E在AD的延长线上，且zADC=zAEB.

(1)求证:BE是。O的切线；

(2)当。。的半径为2,BC=3时，求tan/AEB的值.

典题精练

技巧四圆周角转圆周角

1.(2024武昌区)如图,AABC内接于。O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D.

(1)求证:AO平分NBAC;

(2)若BC=12,sm^BAC=|,求AC和CD的长.

技巧五圆周角转圆心角

2.(2024广西)如图，已知。0是AABC的外接圆,力B=".D,E分别是BC,AC的中点，连接DE并延长至点

F,使EF=DE,连接AF.

(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；

(2)求证:AF与。0相切；

(3)若tan^BAC=-,BC=12,求。O的半径.

4

技巧六弦切角转圆心角

3.(2023江岸区)如图,。0与矩形ABCD的BC边相切于点M,且经过CD边上的点N,CM=CN.

(1)求证:CD与。。相切；

(2)00与AB交于点E,连接EM.若tan/EMB=/。。的半径为5,求AD的长.

方法研究10求与圆相关的阴影面积

典例精讲

技巧一和差法求阴影面积

【例】(2024武汉三调)如图,AB是半圆0的直径,D是.段中点，过点D作AC的垂线，垂足为E,交AB

的延长线于点F.

(1)求证:EF是半圆。的切线；

⑵若BF=2/F=30°,求阴影部分的面积.

典题精练

技巧二等积转化求阴影面积

1.(2024黄石)如图,AB是。。的直径,C,D是。。上AB同侧的两点，DE回8c交BC的延长线于点E,且BD

平分NABE.

(1)求证:DE是。O的切线；

⑵若NABC=60*AB=6,求图中阴影部分的面积

技巧三割补法求阴影面积

2.如图，将。O沿弦AB折叠，而恰经过圆心O.

(1)求证:NABO=30°;

⑵若AB=2b,求阴影部分的面积.

板块二十三圆（二）方法研究-----解答题

方法研究1圆与勾股（一）单勾股——2023武汉中考热点典例精讲

技巧一作垂径构直角三角形

【例】（2023武汉中考）如图,OA,OB,OC者B是。O的半径NACB=2/BAC.

⑴求证:NAOB=2NBOC;

⑵若AB=4,BC=遮，求。O的半径.

解:（（1）乙ACB==三乙BOC/ACB=2ABAC,•••^AOB=2乙BOC

⑵过点O作半径OD_LAB于点E,连接BD.，AE=BE.：NAOB=2/BOC,|ZDOB=ZAOB,AZDOB=ZB

OC,BD=BC.AB=4,BC=V5,.\BE=2,DB=有.在R3BDE中，4DEB=90。,：.DE=yjBD2-BE2=1.在RtA

BOE中,NOEB=90。，OB2=(OB-l)2+22,解得OB=*即。0的半径是|

典题精练

技巧二连直径所对的圆周角构直角三角形

1.（2024江岸区）如图，在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作。。交BC于点D,过点D作。O的切线，交AB于

点E,延长BA交。O于点F.

⑴求证:DE_LAB;

（2）若AF=6,tanB=也求。O的直径.

解:⑴连接OD,则OD=OC,.\ZODC=ZC,VAB=AC,.\ZB=ZC,.\ZB=ZODC,.\AB〃OD,：DE与。O相切

于点D,.\DE±OD,.\ZBED=ZODE=90°,DE±AB;

⑵连接CF//AC是。。的直径,.NF=90。,.•・宾=tanB=f,

BF2

•••AF=6,.-.CF=^BF=|(T1B+6)=|(AC+6),vAF2+CF2=AC2

2

62+[|(AC+6)]=AC?,解得AC=10或AC=-6(不符合题意.舍去),OO的直径为10.

技巧三连弧的中点与圆心构直角三角形

2.(2024研口区)如图，在。0中，而=比=我连接AC,BD过点B作BE〃AC交DC的延长线于点E.

⑴求证:ND=NE;

⑵若CD=2V5,BE=8,求。O的半径.

解:(1)；BE〃AC,二ZE=ZACD,VAD=BC,；.ZACD=ZD,.\ZD=ZE;

(2)由(1)知,/E=/BDC,；.BD=BE=8,连接OC交BD于点H,连接OD,

•••BC=CD,：.OC1BD,DH=”D=4在RtACHD中,(CD=2亚,

：.CH=yJCD2-DH2=2,,设OD=OC=i•，在RtAOHD中,由勾股定理，得(OH?+DH2=OD2,(r-2)2+

42=产解得r=5,即。O的半径为5.

方法研究2圆与勾股(二)双勾股

典例精讲

技巧一连弧的中点与圆心构直角三角形

【例】(2023武汉四调)如图,AB是半圆O的直径C是.-4B的中点，过点C作弦BD的垂线，垂足为E.

⑴求证:CE=DE;„

⑵若AD=DE=1,求AB的长.J--------产T

AOB

解:⑴连接。c,CD.：C是屈的中点,AB是直径.・•/BOC=90：./CDB=2。C=45。又..。皿口，NC

ED=90°,；.ZCDE=ZDCE=45°,.\CE=DE;

(2)连接BC,设BE=x.：AB是直径,；.NADB=90。,在RtAABD中，AB2=AD2+BD2.

•••AD=DE=1,.-.AB2=1+(1+x)2.在RtACEB中，BC2=CE2+BE2.---CE=DE=I,/.BC2=l+x2.

-：AB=20B=五BC,：.1+(1+x)2=2(1+/),解得=2,小=。(舍去)，；•AB=+(1+2尸=V10.

典题精练

技巧二连直径所对的圆周角构直角三角形

1.如图在^ABC中,AB=AC以AB为直径的。0交BC于点D,交CA的延长线于点E.

E

⑴求证:BD=CD;

⑵连接ED,若AC=5,ED=4,求AE的长.

解:⑴连接AD.AB为直径,；.ZADB=90°,VAB=AC,；.BD=DC;

(2)连接BE,贝!!/AEB=9。。.^.^BD=CD,.^.BC=2ED=8.设AE=x,贝[]CE=x+5,在Rt△ABE和RtACBE中,。.AB2-A

E2=BE2=BC2-CE2,：.52-x2=82-(x+5)2，:x=(即AE的长为!

技巧三连过切点的半径构直角三角形

2.(2023武昌区)如图在RtAABC中,NC=90。,点O在AC边上以OA为半径的半圆O交AB声点交AC

于点E,在BC边上取一点F,连接FD,使得DF=BF.

AOEC

(1)求证:DF为。O的切线；

⑵若AC=6,BC=4,CF=1,求。O的半径.

解:⑴连接OD,贝!]OD=OA,；.ZODA=ZA.VDF=BF,AZFDB=ZB.VZC=90°,.\NODA+NFDB=/A+/B=90。,

Z.ZODF=180°-(ZODA+ZFDB)=90°,DF±OD.•/OD是OO的半径,，DF是。O的切线；

(2)连接OF,设半圆O的半径为r.•/AC=6,BC=4,CF=1,Z.DF=BF=BC-CF=4-1=3,OC=AC-0A=6-r.■：4ODF=

2222222

ZC=90°,OD+DF=OC+CF=OF,r+3=(6-r)2-y,解得r=的半径是|

方法研究3圆与相似(一)构“A型”相似

典例精讲

【例】（2024武昌区）如图.AB为。。的直径.过。O上点C的切线交AB的延长线于点E,AD，EC于点D,

交0O于点F,连接BC,CF.

(1)求证:BC=CF;

⑵若AD=3,DE=4,求BE的长.

解:⑴连接OC,BF,BF交OC于点H.

EDWOO于点C,CO_LED,；AD±EC,CO〃AD.

VAB为。O的直径.,.NAFB=/OHB=90°,

OHJ_BF,；.BC=CF,BC=CF;

(2)在RSADE中,：AD=3,DE=4,根据勾股定理得AE=5.

,?CO//AD,?.AEOCAEAD，,EC=OCD,设。O的半径为r,.*.OE=5-r,

典题精练

技巧一连圆心与切点构“A型”相似

1.(2023研口区)如图以△ABC的边AB为直径作0O交AC于点D,且D为AC的中点作DGLBC于点G,

交BA的延长线于点H.

(1)求证:HG是。O的切线;

⑵若HA=2,HD=4,求CG的长

解:⑴连接OD.：AD=DC,AO=OB,；.OD是4ABC的中位线,，OD〃BC,OD=扫C.：DG_LBC,，OD_LHG.：O

D是。O的半径直线HG是0O的切线；

(2)设OA=OD=i•，则OH=r+2在RtAHOD中,/ODH=90。,由勾股定理，得OD2+DH2=OH2,，r2+42=(r+2)2,解得r=3,

OA=OD=3,OH=5,BH=8.VOD=OA,ZODA=ZOAD.VOD//BC,ZODA=ZC=ZOAD,.\BC=BA=6.VOD//

BC,

HO.3-5.：BG=?-4.：CG=6--246

BGll51

技巧二连弧的中点与圆心构“A型”相似

2.如图,AB为。O的直径,弦DC的延长线交AB的延长线于点E,/BDC+2/ABD=90。.

⑴求证：AD=CD;

(2)若AC=4a,tanzABO=产,求BE的长.

解:⑴连接OD交AC于点H,则NAOD=2/ABD,

ZAOD+ZBDC=2ZABD+ZBDC=90°.

ZBDC=ZBAC,.\ZAOD+ZBAC=90°,

.•.OD_LAC,；.AD=CD;

(2)连接BC,贝！1/人©3=9。。,；.0口〃8(2.由(1)知ODSAC.AH=CH=1XC=242.vtan^ABD=tan/ACD=

詈=y,/.DH*CH=2.设OA=OD=i•则0H=r-2,.,.在RtAAOH中,((2A/2)2+(r-2)2=产，即|=黑iBE

=6.

方法研究4圆与相似(二)构“X型”相似

典例精讲

【例】(2024江汉区)如图,AB为OO的直径,P为BA延长线上一点，点C在。O上，连接PC,D为半径OA

上一点,PD=PC,连接CD并延长交。O于点E,且E是油的中点.”仁7、

(1)求证:PC是。O的切线;

(2)若AB=10,5CD=4DE,求AC的长.

解：(1)连接OE.：OC=OE,；./CEO=/OCE.：E是通的中点，.♦.荏=BE,；./AOE=ZBOE=90°,AZCEO+

ZODE=90°.>/PC=PD,.\ZPCD=ZPDC,VZPDC=ZODE,.\ZPCD=ZODE,.\ZPCD+ZOCD=ZODE+ZE=

90o,.\OC±PC,VOC是。O的半径,；.PC是。O的切线；

(2)过点C作CH_LAB于点H.：OE_LAB,；./CHD=NEOD=90。.

OFDF444

•・•乙CDH=乙EDO,・•・△CDH△EDO,.•・空=丝，•・•ZB=10,5CD=4DE,・•.OE=5,CD=-DE,.CH=-0E=-x

CHCD'''5'55

5=4,OH=VOC2-CW2=3,.-.AH=2,：.AC=VXH2+CH2=275.

典题精练

技巧一连弧的中点与圆心构“X型”相似

1.(2023江岸区)如图,AB是。O的直径,C是.的中点，连接AC并延长至点D,使CD=AC,E是OB

上一点，且g=|,CE的延长线交DB的延长线于点F,AF交。。于点H,连接BH.

(1)求证:BD是。O的切线；

⑵当AB=8时.求BH的长.(/*

解:⑴连接OC.YAB是。O的直径,C是通的中点,•••/AOC=90。.\

,.,OA=OB,CD=AC,.\OC是4ABD是中位线,，OC〃BD,

AZABD=ZAOC=90°,/.AB±BD.,/OB是半径,；.BD是0O的切线；

AOC=OB=4,V—=BF=6.在RtAABF中,^ABF=90。,根据勾股定理，得AF=10.

EB3BF3

11

VSAABF=-ABBF=-AFBH,AABBF=AFBH,8x6=10BH,ABH=4.8.

22，

技巧二作垂线构“X型”相似

2.如图,AB是。0的直径，AB=2V10„OO的弦CDLAB于点E,CD=6过点C作。0的切线，交AB的延长

线于点F,连接BC.

(1)求证:CB平分NDCF;

(2)G为而上一点，连接CG交AB于点H.若CH=3GH,求BH的长

解:⑴略；

(2)连接OCQG,过点G作GM_LAB于点M.VCD±AB,.*.CE=|CZ)=3,0C=OG=VlO,.-.OE=1.证△GM

H^ACEH,—=—=CH=3GH,.•一=2=理，；.GM=1设MH=x,则HE=3x,.,.OH=3x-1,OM

5CHCEHEf33HE''''

2

=4x一1.在RtAOGM中,0M2+GM2=OG2,：.(4x-l)2+lz=(V10)，解得x=l(负值舍去)，BH=OH+OB

=2+VTU.方法研究5圆与相似(三)构“射影型”相似

典例精讲

类型一连直径所对的圆周角构“射影型”相似

【例】(2020武汉中考)如图，在RtAABC中,NABC=90。以AB为直径的。O交AC于点D,AE与过点D

的切线互相垂直，垂足为E.

(1)求证:AD平分/BAE;

⑵若CD=DE,求sinZBAC的值.

解：(1)连接OD,即可证得结论；

c

(2)连接BD.易证RtAADE^RtABCD,；.AD=BC.设AD=BC=a,CD=x,!U!jAC=AD+C^g+^liERtABCD-Rt

AACB,；.BC2=CD-AC,即a2=x(a+x),x2+ax-a2=0,解得x=在二a(负值已舍占奈6斗越二a,

台「2V72

aV5-1

si.PBCAC"=si.nzCcScDn=-CD~^~—

典题精练

类型二连圆心与切点构“射影型”相似

1.（2024宿迁）如图，在。O中,AB是直径,CD是弦,且人8，©口,垂足为£48=20《口=12在BA的延长线上取一

点F,连接CB,CF,使NFCD=2NB.

⑴求证:CF是。0的切线；

⑵求EF的长.乂一^

解:⑴连接0C.证明略；

(2)•••AB1CD,：.CE=Q=6/：AB=20,OC=10,OE=VOC2-C£2=8.VZOCF=ZOEC=90°,ZCO

E=ZFOC,.\AOCE^AOFC,.,.OF=OC,OF=£F=OF-OE=8=

OF10222

类型三作垂线构“射影型”相似

2.(2024湖北模拟)如图,AB是。O的直径弦CD交AB于点F,BE，CD,垂足为E,AC=5,BC=10.

(1)求证:△DBE^AABC;

⑵若AC=CF,求AF和ED的长.庆，

解:⑴略；

⑵过点C作CG_LAB,垂足为G.VZACB=90°,AC=5,BC=10,、JD

.\AB=^AC2+BC2=V52+102=5V5.VCG±AB,AZAGC=ZACB=90°,

XZA=ZA,△ACG^△ABC,AC=4GAC,BPAC2=AG-AB,：.AG=V5.

：AC=CF,；.FG=AG=V5,ZCAF=ZCFA,AF=2V5.VZCFA=ZBFD,

V5-2V5=3V5ZCAF=ZBDF,ZCAF=ZCFA=ZBFD=ZBDF,/.BD=BF=AB-AF=5

"?ADBE^AABC,BDB=DEAC,SP熊=ED=3.

方法研究6圆与相似(四)构其他相似

典例精讲

类型一构“仿A”型相似

【例】(2024通辽)如图，在△ABC中,/ACB=90。,。为AC边上一点，以点O为圆心,OC为半径作圆与AB相

切于点D,连接CD.

(1)求证:/ABC=2/ACD;/------Xc

⑵若AC=8,BC=6,求。O的半径//\

ADB

解：(1)连接OD.：AB为＜30的切线,.*.OD_LAB,；.NODA=/ODB=9。。.

ZACB=90°,AZABC+ZCOD=180°,VZAOD+ZCOD=180°,

・•・ZABC=ZAOD.VZAOD=2ZACD,.\ZABC=2ZACD;

(2)设。O的半径为r,则OD=OC=r,OA=8-r,在RtAACB中，AB=V62+82=10.VZOAD=ZBAC,ZADO=Z

ACB,A△AOD^△ABC,ODC=AD,BP-=匕魂牟得『3,即。O的半径为3.

610一

典题精练

类型二构“旋转”型相似

1.(2023成都)如图以△ABC的边AC为直径作。O,交BC边于点D,过点C作CE〃AB交。。于点E,连接A

D,DE,且/B=/ADE.

⑴求证:AC=BC;

⑵若tanB=2,CD=3,求AB和DE的长.

解:⑴略；

⑵连接AE.,/ZADE=ZB,ZAED=ZACB,/.AADE^AABC,.\ADB=DE.

VAC为。O的直径,，ZADB^ZADC=90°,AtanB=ADD=2,AD=2BD.

,/CD=3,AC=BC=BD+CD=BD+3.：AD2+CD2=AC2,(2BD)2+32=(BD+3)2,

解得BD=2或BD=0(舍去),，AD=2BD=4,AB=y/AD2+BD2=V42+22=2V5,BC=2+3=5.

ADDE4DEn„„/p

­=——F=—,-*­DE=2V5.

ABBC2V55

类型三构“仿射影”型相似

2.(2024罗湖区)如图,AB为。。的直径,C为。。上一点,D为AC的中点，过点C作。O的切线，交OD的延长

线于E,交AB的延长线于F,连接EA.

(1)求证:EA与。O相切；

⑵若CE=3,CF=2,求0O的半径.

解:⑴连接OC.VEF为切线,.IZOCE=90°,VD为AC的中点,，OE，AC,

EC=EA,ZECA=ZEAC.VOA=OC,.\ZOCA=ZOAC,

.•./OAC+NEAC=NOCA+/ECA=90。,即NEAO=90o,；.EA与。O相切；

⑵连接BC.VAB为直径,ZBCA=90°,.\ZCAB+ZCBA=90°.

VEF为切线,ZBCF+ZBCO=90°.HZBCO=ZCBA,.\NBCF=NCAF,

:BCFACAF,：­—=M由⑴知EA为。O切线，则EA=EC=3,EF=EC+FC=5,在RtAAEF中,可求得AF=

AFCF

4,.-.|=奈解得BF=1,AB=AF-BF=3,©O的半径为

422

方法研究7圆与三角函数(一)用直角

典例精讲

技巧一定义+勾股

【例】(2023东西湖区)如图，在△ABC中,AB=AC,AC是。O的弦,D为AC的中点，连接ODQA,分别交CB于

点E,F,且OE=OF.

(1)求证:AB是。O的切线；

(2)若0E=3,sin^AOD=|,求BF的长.(/)

解:⑴略；'B

⑵在RtAAOD中，sin乙400=券=|,设AD=3x,则OA=5x,；.OD=

VOA2-AD2=V(5x)2-(3x)2=4x.,/OE=OF=3,DE=4x-3,AF=5x-3.VAC=2AD=6x,

AB=6x,t•,Z.C=Z.B,tanC=tanB,解得x=l,.\AF=2,AB=6,

CDAB3x6x

.•.在RtAABF中，BF=<AF2+AB2=V22+62=2V10.

典题精练

技巧二勾股十三角函数

1.(2024东湖高新区)如图，在RtAABC中,/ACB=90。,点D在AC边上，以AD为直径作。。交BD的延长线

于点E,且CE=BC.f\/

⑴求证:CE是。O的切线；\

(2)若。。的半径为3,tanzDBC=/求AB的长.

解：(1)连接OE,VOD=OE..\ZODE=ZOED=ZBDC,VCE=CB,/.ZCED=ZCBD,VZACB=90°,.\ZCBD+ZB

DC=90o,；./OED+/DEC=/OEC=90。,即OE_LEC,且点E在圆上,；.CE是。O的切线；

(2)•••tanzDBC=案=点设CD=x，则BC=2x,CE=BC=2x,

•••OC2=OE2+£C2,BP((3+%)2=32+(2x)2,；.%=2,X=。不合题意舍去),(

/.AC=3+3+2=8,BC=CE=4,AB=A/AC2+BC2=4V5

技巧三相似十三角函数

2.（2024湖北模拟）如图,AB为。O的直径,C为。O上一点，连接AC,BC.过点C作0O的切线，交AB的延长线

于点D,OFJ_BC于点E,交CD于点F.

⑴求证:/BCD=/BOE;

⑵若sinzCXB=|,2B=10,求BD的长.

解：(1)连接OC.YCD是。。的切线,，ZBCD+ZOCB=ZOCD=90°,VOF±BC,AZBOE+ZOBC=90°,VOC=OB,

ZOCB=ZOBC,.\ZBCD=ZBOE;

(2)VAB为。O的直径，；.乙ACB=90°,•；sinN)4B=9=/力B=10,BC=6,4C=VlO?-a=8.设BD

AB5

=*厕AD=10+x,由(1)得/BCD=NCAD,又ND-DmBCDsZ^CADIBCCDuCD：器即，=患=言整理得9

（10+x）=16x,解得X=y,BD的长为y.

方法研究8圆与三角函数（二）构直角

典例精讲

技巧一连过切点的半径构直角三角形

【例】（2024江岸区）如图,AB为。O的直径,C为。O上一点，连接BC,取标的中点D,过点D作。。的切

线，交AB的延长线于点E,连接AD,CD,CD与AB交于点F.

(l)^<ilE：ZABC=2ZOAD;

⑵当sinE=争寸，求刑勺值.

解：(1)连接AC,连接DO并延长交AC于点H,证DH〃BC,

ZABC=ZBOD=2ZOAD;

⑵设OA=OB=OD=r,：DE是。O的切线,/ODE=90。，

sinE=OE=—=3r,由勾股定理，得DE=y/OE2-OD2=证AC〃DE,

/BAC=/E,在RtAABC中，AB=2r,sm^BAC=—=BC=-AB=%,根据勾股定理，得

AB333

J"

1---------r

AC=VAB2-BCf==r.：AC//DE,：.AAFCs/\EFD.二"=g\.

3EFDE2-Jlr3

典题精练

技巧二作垂线构直角三角形

1.如图在。。中，弦AB的长为8,点C在B0延长线上且COSNABC=Rb

⑴求OO的半径;

(2)求/BAC的正切值.

解:⑴过点0作ODLAB于点DGO的半径为5;(解答过程略)

(2)过点C作CE_LAB,垂足为EOC=\0B,OB=5,BC=|0B=7.5.:OD^AB,.-.。叫旧夕笔宗］景

-=BE=6=6=2.在RtABCE中，CE=^BC2-BE2=V7.52-62=45:.在RtAACEtanzBX

3BE\y

二)、---------/

CE_4.5_9

AE~2~4

技巧三连弧的中点与圆心构直角三角形

2.(2023江汉区)如图，在。。中,AB为直径,EF为弦，连接AF,BE交于点P,且F为.防的中点

(1)求证:△FBP^AFAB;

⑵若tanNBEF=|,求sinZABE的值.

解:⑴略；

(3)连接OF,交EB于点M.：EF=BF,，EF=BF,NFBM=NA,，OF_LBE.：AB是直径，/.AFB=90°,tanzX

=tanzFEF=处=三.设BF=3a厕AF=4a,由勾股定理，得AB=y/BF2+AF2=5a,OF=OB=-AB=9a在R3B

AF422

FM中，/.FBM=/.A,•••sinzFBM=—=sinzXFM=-BF=-a,：.OM=OF-FM=二在RtABMO中,

BF55510a

CR"7cc5.4cLOM7

OM=—a,OB=-a,・••smZ-ABE=—=—.

102OB25

方法研究9圆与三角函数(三)转直角

技巧一圆外角转圆心角

【例1】(2024武汉中考)如图,△ABC为等腰三角形,0是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D,底

边BC与半圆。交于E,F两点.

(1)求证:AB与半圆O相切；

(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sinZOAC的值.

解:⑴连接OA,OD,过点0作ONLAB于点N.

「△ABC为等腰三角形,0是底边BC的中点,，人。平分NBAC.

VAC与半圆0相切于点D,；.OD_LAC.

；ON_LAB,二ON=OD,二AB与半圆O相切;

(2)由(1)可知AO±BC,OD±AC,.\ZAOC=ZODC=90°,

ZOAC+ZOCA=180°-ZAOC=90°,ZCOD+Z