2025年中考数学第二次模拟考试（江苏扬州卷）全解全析

2025年中考数学第二次模拟考试（扬州卷）

全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.-2025的绝对值是（）

A.2025B.-2025C.」一

20252025

【答案】A

【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键.根据绝对值的定义进行计算即可.

【详解】解：-2025的绝对值是卜2025|=2025,

故选：A.

2.下列运算结果正确的是（）

A.m2+m2=2m~B.m6-i-m2=m3

22463

C.m-m=2mD.（-加=mn

【答案】A

【分析】本题主要考查了同底数哥的乘除法，合并同类项以及幕的乘方，熟记募的运算法则是解答本题的

关键.分别根据幕的乘方运算法则，同底数幕的除法法则，合并同类项法则以及同底数幕的乘法法则逐一

判断即可.

【详解】解：A,m2+m2^2m2,故该选项正确，符合题意；

B.+加2=加4,故该选项不正确，不符合题意；

C.m2-m2=m4,故该选项不正确，不符合题意；

D.（-加2〃）3=一加6九3,故该选项不正确，不符合题意;

故选：A.

3.在我国古代建筑中经常使用棒卯构件，如图是某种柳卯构件的示意图，其中梯的俯视图是（）

桦卯

A.B.

111

111

111

【答案】D

【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上往下看到的图形是解题的关键.注意：可见部

分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分用虚线表示.根据俯视图的定义（从上面观察物

体所得到的视图是俯视图），即可得到答案.

【详解】解：根据主视图可以发现，梯的顶端是一个上宽下窄的梯形，

从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形，

即禅的俯视图如下：

11

11

11

故选：D.

4.演讲比赛中15名评委给比赛选手成绩打分，若“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，一定不会发生变

化的统计量是（）

A.平均数B.众数C.中位数D.极差

【答案】C

【分析】本题考查的是平均数，众数，中位数，极差的含义，掌握以上基本概念是解本题的关键.

根据平均数，众数，极差，中位数的概念可得：比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，不会影响中

间数排序的位置，从而可得中位数不会发生改变，而众数，平均数与极差都有可能变化，从而可得答案.

【详解】解：比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，

可得总分发生变化，数据的个数也发生变化，所以平均数也可能发生变化，

众数也可能发生变化，极差也可能发生变化，

而最高分与最低分去掉后，不会影响中间数排序的位置，所以不会发生变化的是中位数，

故选：C.

5.《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？其大意

是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各

多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（）

3x+2=y3（x-2）=y3（尤+2）=y3x-2=y

A.c.D.

2x+9-y2x+9=y2x-9=y2x-9-y

【答案】B

【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题

的关键.根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可得出关于

x,y的二元一次方程组，此题得解.

3（x-2）=y

【详解】解：根据题意，得

2x+9=y

故选：B.

6.如图，一条光线经平面镜的反射光线2C经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的

一个焦点片.已知光线N2的入射角为45。，反射光线8c与折射光线。的夹角488=155。，则光线CD与

光线48所夹的锐角为（）

C.35°D.25°

【答案】A

【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌

握三角形的相关性质成为解题的关键.

如图：延长45,DC相交于点E,由题意可得：AHBC=AABH=ACBG=AEBG=45°,由邻补角的定义可

得NBCE=25°,再根据三角形外角的性质可得ZBGE=70°,再最后根据三角形内角和定理求得NBEG即可.

【详解】解：如图：延长48DC相交于点E,

由题意可得：NHBC=NABH=NCBG=NEBG=450,

,/ZBCD=155°,

：.NBCE=180°-ZBCD=25°,

，ZJ3GE=ZBCE+ZCBG=70°,

,/NBGE+ZEBG+ZEBG=180°,

NBEG=180°-NBGE-NEBG=65°.

故选A.

7.物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大.小文

用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象.根据图象，两种液体的

密度与。2的大小关系为（）

D.px>p2

【答案】A

【分析】本题主要考查了函数图象和物理知识，正确从函数图象上获取所需信息成为解题的关键.

由图1可知液体1的压强大，然后根据在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液

体压强越大解答即可.

【详解】解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大，

:在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大，

Px>P1.

故选A.

8.已知抛物线>="2+6—2（awo）且Q,b都是常数，经点（2,-2）,且对于符合-1<%<0,3<马<4的任

意实数为户2,其对应的函数值月,刈始终满足.以%<0,则抛物线顶点的纵坐标为（）

2

AD.——

-4-I3

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能够理解题意，明确抛物线经过点

(-1,0)和(3,0)是解题的关键.抛物线经过点(2,-2)和(0,-2),则该抛物线的对称轴为直线x=l.根据题意

可知弘<0,%>0.抛物线经过点(-1,0)和(3,0),不妨设该抛物线的函数表达式为

2

y="(x+l)(x-3),代入(0,-2)求得进一步即可求得顶点的纵坐标.

【详解】解：在二次函数了="2+队-2(。/0)中，令x=0,得y=-2,

该抛物线经过点(2,-2)和(0,-2),

该抛物线的对称轴为直线x=1.

点(7,0)关于该对称轴对称的点的坐标是(3,0).

当。<0时，如图，

则乂<0,%<0，

，必”>0,不符合题意，舍去；

当a>0时，

对于符合T〈项<0,3<%<4的任意实数X],x2,其对应的函数值必，为始终满足必为<0，

如图,

•••抛物线交了轴的负半轴,

.,.必<0,y2>0.

该抛物线经过点(-1,0)和(3,0).

不妨设该抛物线的函数表达式为y=a(x+l)(x-3).

代入(0,-2),得-2=ox(0+l)x(0-3),

2

解得。=§，

2

>=3(x+l)(x-3),

9o

.•.当X=1时，^=-x(l+l)x(l-3)=--,

故选：A.

第n卷

二、填空题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)

9.在函数)中，自变量X的取值范围是__.

A/X-2025

【答案】x>2025

【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零是解答本题的关键.

根据被开方数是非负数且分母不等于零，即可求解.

【详解】解：由题意得：x-2025>0,

解得：x>2025,

故答案为：x>2025.

10.若a-b=2,贝!J/-/-46=.

【答案】4

【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握平方差公式进行分解因式是解题的关键.

利用平方差公式和已知条件代入计算即可.

【详解】解：；叱6=2,

/./-〃-46=（a+b）（°-6）-4b

=2（a+b）—4b

=2a+2b-4b

=2a-26

=2（a-6）

=2x2=4,

故答案为：4.

11.2025年中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》的收视情况非常出色，多项数据创下新高.截至1

月29日2时，总台春晚全媒体累计触达16800000000人次，将16800000000用科学记数法表示为：.

【答案】1.68xl（y。

【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为axlO”的形式，其中

1W忖＜1°，〃为整数即可求解，解题的关键要正确确定。的值以及〃的值.

【详解】解：16800000000=1.68x101°,

故答案为：1.68x101°.

12.已知扇形的圆心角为120。，面积为37tcm2,则该扇形的半径为cm.

【答案】3

【分析】本题考查了扇形的面积.根据扇形的面积公式直接进行计算.

【详解】解：设扇形的半径为Rem,

则毁三3万，

360

解得：R=3（负值舍去），

故答案为：3.

13.若关于尤的一元二次方程/+2x+c=0有两个相等的实数根，则实数。的值为.

【答案】1

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式求参数，理解一元二次方程两个相等的实数根的含义，掌握

根的判别式的计算是关键.

根据A=b2-4ac=0,方程有两个相等的实数根即可求解.

【详解】解：关于x的一元二次方程/+2x+c=0有两个相等的实数根，

，A=4-4c=0,

解得，c-\,

故答案为：1.

14.如图，在a/BC中，AB=AC,ZA=120°,分别以点A、C为圆心，大于工/C的长为半径作弧，两

2

弧相交于点P和点0,作直线尸。，分别交2C、/C于点。和点E.若CD=3,则2。的长为.

【分析】连接4D，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出N2=NC=30。，再由作法

得DE垂直平分/C,所以“1=。。=3,所以/£MC=/C=30。，从而得到乙相。=90。，然后根据含30度

角的直角三角形三边的关系求8。的长.

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线的性质和

等腰三角形的性质.

/B=NC=30°,

由作法得OE垂直平分NC,

DA=DC=3,

：.ZDAC=ZC=30°,

Z8AD=120°-30°=90°,

在中,

•・・25=30°,

BD=2AD=6.

故答案为：6.

15.如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“害U补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两

个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等.朱入与朱出的三角形全等，标上字母绘成图2所示，若记

朱方对应正方形GZV的边长为°,青方对应正方形N3C。的边长为6,已知6-°=3,a2+b2=29,则图2

中的阴影部分面积为

【答案】10

【分析】解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题.根据题意可得A0C也ASM可以求出

9

S&UC~S4KAM，即可得到图2中的阴影部分面积为邑GDC+，4BCM用a,6表示后计算即可.

【详解】解：：朱方对应正方形GZU”的边长为a,青方对应正方形N5CZ）的边长为6,

/.GD=GH=a,CD=BC=b,

•••朱入与朱出的三角形全等，

：.AFNK乌AGHI,

：.FN=GH=a,

•••两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，

：.FN=GH=a,

••S.uc=S：，BM=FN=a,

阴影部分面积为S四边形+S△KAM+SABCM

二S四边形GZVZ+SJJC+S^BCM

二S四边形GWZ+SNJC+S^BCM

=-DGCD+-BMBC

22

11

——ci7bH—ci7b

22

=ab,

\*b-a=3,a2+b2=29,

(-A

22

・・・阴影部分的面积为10.

故答案为：10.

16.如图，将绕斜边的中点。旋转一定角度得到RSE4E,已知4C=6,BC=3,则

cosZCAE=.

4

【答案】I

【分析】连接EC,作再说明点N,E,C,B,尸共圆，进而得出NE4C=,

ZAFE=ZACE,然后根据等腰三角形的性质得/E/C=/COM,接下来根据勾股定理求出N3,即可得

OC,再根据面积相等求出CH,结合题意说明四边形是矩形求出。M,最后根据

cosNE4c=cosZCOM=卷得出答案.

【详解】解：如图所示，连接EC,作分别交于CE,O8点M,H,

OA=OB=OC=OE=OF,

・••点4,E,C,B,尸共圆,

：.ZEAC=-ZEOCNAFE=NACE.

2f

•；OE=OC,OM【EC,

：./MOE=ZMOC,

：.ZEAC=ZEOM.

,:BC=3,AC=6,AACB=90°,

•**AB=,3、+6、=3V5，

.1_3V5

••L/C——JAD.D----•

22

CHLAB,

.…ACBC3x6675

..CH=---------=—==------

AB3755

由题意，/BAC=/F,

：.NBAC=NACE,

；・CE〃AB.

•：ZOMC=ZOHC=90°9

：.ZOMC=/CHO=/HOM=90°,

・・・四边形OMC"是矩形，

：・OM=CH=^~,

5

6V5

OM^74

cosAEAC=cosZCOM=-----=1=—.

OC巫5

F

4

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质和判定，矩

形的判定和性质，根据各点共圆得出圆周角相等是解题的关键.

17.如图，E、尸在双曲线＞="上，尸E交V轴于A点，AE=EF,轴于若凡“=2,则

X

k

【答案】-8

【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，连接尸。，根据邑=2,AE=EF,可知s“尸M=4,

根据RWLx轴于可得S/FM=S，OMF=4,根据三角形的面积公式可得NXM0=8,又因为反比例函

数的图象在第二象限，所以上=-8.

【详解】解：如下图所示，连接厂。，

・•.S.ME=2,AE=EF,

-v—4r

,•一乙Q4ME，

・.,FA/_Lx轴于河,

.・■口轴，

…•QV&AFM-=QQ&OMF=—4r，

即'FA/xMO=4,FMxMO=8，

2

又•・•点尸在双曲线夕=幺上，

x

:.k=—8.

故答案为：-8.

18.如图，在边长为6的等边△45。中，点P是△45。内一点，过点P作依，力3,PELBC,

PF1AC,垂足分别为。，E,F,连接/P,若PE'PDPF，则心的最小值为.

A

F

1

BE°

【答案】2百

【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，先判断出当/P18C

时，4P取得最小值，求出AE7AB—BE?=3日利用角平分线的性质得到尸尸=9，推出尸E=

谈PE=PD=x,贝|/尸=/月一尸£=3百一苫，证明A4DPSA/£2,贝g丝=空，得到土=拽二，求解即

BEAB36

可.

【详解】解：连接/£,则：AP>AE-PE,

二当4尸,£三点共线时4P=4E■-尸E,最小,

•••垂线段最短，

二当NE_LBC时，的取得最小值，如图，

,/△48C为等边三角形，

AB=AC=BC=6,

AE上BC,

：.BE=CE=-BC=3,/BAE=ZCAE,

2

***AE=NAB?-BE?=3A/3，

PD1AB,PFVAC,

：.PD=PF,

PE2=PDPF,

・•・PE2=PD2^

：.PE=PD,

设PE=PD=x,则=—P£=3G—x,

ZADP=AAEB=90°,/DAP=/EAB,

/.AADPSAAEB,

.PD_AP

••茄—I?'

.x_3A/3-x

••一=-----,

36

解得X-y/3>

:.AP=3亚-C=2拒,

故答案为：2百.

三、解答题(本大题共10个小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(8分)(1)计算(7i-l)°+4sin45。一瓜+卜3|.

..e/—4(21)

(2)化间：———十|-------

cr-a\aa-lJ

【答案】(1)4(2)a+2

【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，分式的混合运算:

(1)先化简各数，再进行加减运算即可；

(2)先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可.

【详解】解：(1)原式=1+4*也一2后+3=1+20—2亚+3=4；

2

(Q+2)(Q-2)2a—2—a

(2)原式=

Q(a-1)

(Q+2)(Q-2)-1)

a-2

=a+2.

3（x+2）>2x+5

20.（8分）解不等式组并把解集在数轴上表示：、3x+l、

2x----------<2

I2

【答案】-l<x<5,数轴表示见解析

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解

集进而求出不等式组的解集是解题的关键.先分别求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组

的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可.

3（x+2）>2x+5@

解不等式①得：x>-l,

解不等式②得：x<5,

不等式组的解集为：-l4x<5

在数轴上表示不等式组的解集为:

IIIIIl.lIIIIII»

-7-6-5-4-3-2-101234567

21.（8分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛.所有学生的成绩分为

优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分.现

分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图：

七年级学生得分情况八年级学生得分情况

两组样本数据的平均数、中位数、众数及优秀率如表所示:

年级平均数（分）中位数（分）众数（分）优秀率

七年级14.416b20%

八年级a121230%

根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述图表中。,b=；

(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由；

(3)若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数.

【答案】(1)14.4,16

(2)答案不唯一，见解析

(3)231人

【分析】本题考查中位数、众数、平均数、优秀率以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算

方法和意义是正确解答的关键.

(1)根据平均数、众数的计算方法进行计算即可；

(2)比较平均数、中位数、众数、优秀率得出答案；

(3)求出七年级不低于16分的人数所占的百分比即可解答.

【详解】(1)解：由扇形统计图可得。=8X10%+12X50%+16X10%+20X30%=14.4(分)，

由条形统计图知七年级16分出现的次数最多，

.,.6=16.

故答案为：14.4,16；

(2)解：七年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由如下：

因为两班平均数相同，而七年级的中位数和众数均高于八年级，

所以七年级学生的安全知识竞赛成绩更好；

或八年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由如下：

因为两班平均数相同，而八年级的优秀率高于七年级，

所以八年级学生的安全知识竞赛成绩更好；

7+4

(3)解：420x^-^231(人)，

答：估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数为231人.

22.(8分)2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物

质文化遗产手工艺品.以下是几种手工艺品的图片：A.潍坊风筝；B.东明粮画；C.青神竹编；D.延安

剪纸.

A.潍坊风筝B.东明粮画C.青神竹编D.延安剪纸

（1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C背神竹编”的概率是.

（2）小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方

法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率.

【答案】⑴:

【分析】本题考查了概率公式，用列表非或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“C背神竹编”的结果有1种，根据概率公式计算即

可；

（2）列表得出所有等可能的结果以及两人恰好选中同一幅图的结果数，再利用概率公式计算即可.

【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“C.背神竹编”的结果有1种，

•••小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“c.背神竹编”的概率是:；

（2）解：列表如下，

ABcD

A(4/)()⑻(40（4。）

B(瓦⑷（B,B）（8，C）(BQ)

C(")S)(c©(CQ)

D(")(D,B)(%)(D,D)

共有16种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有4种,

41

两人恰好选中同一幅图的概率为—

164

23.（10分）如图，在平行四边形48。中，边AB的垂直平分线交4D于点。，交C8的延长线于点E,

连接/E.

(1)求证：EB=BC.

(2)试判断四边形AEBD的形状，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)四边形/E8D是菱形，见解析

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、垂直平分线的性质、菱形的判定等知识，理解并掌握

平行四边形的判定与性质是解题关键.

(1)首先根据平行四边形的性质可得=进而可得/D4尸=4砥尸，再结合垂直平分线的

性质证明AF=FB,ZAFD=NBFE,可证明AADF咨ABEF(ASA),结合全等三角形的性质即可获得答案；

(2)首先证明四边形/EAD是平行四边形，再结合“邻边相等的平行四边形是菱形”，即可证明结论.

【详解】(1)证明：：四边形N5CD是平行四边形，

AD//BC,AD=BC,

ZDAF=ZEBF,

：DE是的垂直平分线，

/.AF=FB,ZAFD=ZBFE,

:.AADF知BEF(ASA),

：.AD=BE,

：.EB=BC；

(2)四边形/助。是菱形；理由如下：

•/AD//BC,AD=EB,

二四边形NEBO是平行四边形，

。石是的垂直平分线，

DA=DB,

二四边形是菱形.

24.(10分)随着科技与经济的发展，机器人自动化线的市场越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要

方式；某化工厂要在规定时间内搬运4800千克化工原料，现有4,3两种机器人可供选择，已知N型机器

人每小时完成的工作量是8型机器人的1.5倍,/型机器人单独完成所需的时间比8型机器人少10小时.求

两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？

【答案】A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料

【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键.

设3型机器人每小时搬运x千克化工原料，则/型机器人每小时搬运L5x千克化工原料.根据Z型机器人

单独完成所需的时间比8型机器人少10小时建立方程求解.

【详解】解：设8型机器人每小时搬运x千克化工原料，则/型机器人每小时搬运1.5x千克化工原料.

根据题意，得：^=--io

解之得：x=160

检验：当x=160时，L5xw0,且符合试题题意；

所以，原分式方程的解为x=160,

所以，160x1.5=240(千克)，

答：A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料.

25.(10分)如图，为。。的直径，NC为。。的弦，4D平分交0。于点。，DE1AC,交

/C的延长线于点E.

(1)求证：直线DE是。。的切线；

(2)若4E=8,。。的半径为5,求。E的长.

【答案】(1)见解析

(2)。£=4

【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，正确掌握相关

性质内容是解题的关键.

(1)先连接8,结合角平分线的定义以及等边对等角，得出£山|。。，再根据OE//C,即可作答.

(2)先作。尸_L4B,垂足为尸，运用AAS证明△胡。也△E4。，再运用勾股定理算出，即可作答.

【详解】(1)解：连接8,如图1所示:

AD平分2氏4。

•「OA=OD,

NODA=ZOAD,

/./ODA=ZEAD,

:.EA\\OD,

•「DELEA,

DELOD,

•・•点。在。。上，

・・•直线。石是。。的切线；

(2)解：作垂足为尸，如图2所示:

在AEAD和LFAD中,

ZDFA=ZDEA

<ZEAD=/FAD,

AD=AD

:AEAD%FAD（AAS）,

AF=AE=8,DF=DE,

OA=OD=5,

:.0F=3,

在尸中，DF=yj0D2-0F2=752-32=4，

DE=DF=4.

26.(10分)图①、图②、图③均是6x6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△NBC的顶点均在

格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.

(2)在图②中，在NC边上找到一点E,连接3E,使工被：S段废=2：3.

(3)在图③中，在边上找到一点尸，连接CF,使tanNNCP=；.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)取3c的中点。，连接即可.

(2)取格点N,使4M=2,CN=3,AM//CN,连接MV交/C于点£,则点E即为所求.

(3)取格点G,使4C=/G,ACLAG,取/G与网格线的交点4,连接CW交于点尸，则点尸即为

所求.

【详解】(1)解：如图①，NO即为所求.

图①

(2)解：如图②，取格点M,N,使/"=2,CN=3,AM//CN,连接MN交NC于点£,连接BE,

图②

则AAEMSKEN,

.4EAM_2

一~CE~~CN~3"

，"SA*BE•'ABCE=2,3,

则点E即为所求.

(3)解：如图③，取格点G,使/C=/G,ACLAG,取ZG与网格线的交点A,

AHAH1

即nn——=——=-

AGAC4

连接C"交45于点尸，

:.tanZACF=-,

4

则点尸即为所求.

【点睛】本题考查作图一应用与设计作图、三角形的中线、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知

识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键.

27.（12分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为2,则称该点为“基准偶和

点例如：（1,1）、（-2,4）、（6,-4）都是“基准偶和点”.

（1）下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是；（填序号）

21

①y=2x+l®y=一③＞=一%+1@y=x2+3x+6

X

（2）在反比例函数y=土上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数〉=-的解析式；

XX

（3）已知抛物线y=公+尔+〃（优、"均为常数）与直线y=x+4只有一个交点，且该点是“基准偶和点,,，

求抛物线的解析式；

（4）抛物线y=af+6x+3（a、6均为常数，。＞0）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令

w=b2-6b+4a,是否存在一个常数"使得当tVbV+1时，卬有最小值恰好等于T,若存在，求出/的值,

若不存在，请说明理由.

【答案】（1）①④

（2）y=：

（3）歹=+3]+5

（4）-1或1

【分析】（1）利用“基准偶和点”的概念作答即可；

k

（2）依题意得方程组/x只有一组解，继而推出必―2x+左=0有两个相等的实数根，利用根的判别

y=2-x

式即可得出答案；

（3）由题意得/+（加-1）%+"-4=0,得=4（〃一4）,由抛物线了=产+拓%+〃（加、〃均为常数）

与直线了=尤+4只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，列立方程组求解即可；

（4）抛物线y=a/+6x+3（a、b均为常数，。＞0）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，可得

2

A=（/,+l）-4fl=0,进而可得w="一66+40,再根据二次函数的性质即可求得答案.

【详解】（1）解：依据“基准偶和点”定义知：y=2-x,

y=2x+l

①联立得:

y=2-x

x=—

解得：

，直线y=2x+l只有一个，基准偶和点”;

_21

②联立得：卜”=工，

••x2—2x+21=0,

VA=(-2)2-4x1x21=-80<0,

方程/一2尤+21=0无实数I艮,

...此方程组无解；

[y=-x+1

③联立得：.c，

[y=2-x

此方程组无解；

y=f+3x+6

④联立得:

y=2r

解得:

函数图象上只有一个“基准偶和点”的是①④,

故答案为：①④；

(2)依据“基准偶和点”定义知：y=2-x,

_k

联立得：r，

k

-=2-x,即％2-2x+左=0,

.在反比例函数＞=&上的图象上有且只有一个“基准偶和点”,

A=(-2)2-4xlx)t=0,

...反比例函数的解析式为y=L

X

(3)依据“基准偶和点”定义知：y=2-x,

y=x+4

联立得:

y=2-x

x=-l

解得:

)二3

•・•抛物线歹=工2+3:+〃（加、〃均为常数）与直线V=x+4只有一个交点，且该点是“基准偶和点”,

3=(-l)2—m+n,即1一冽+〃=3,

:・〃二加+2,

y=x2+mx+(m+2),

y=x+4

联立得:

y=x2+mx+(<m+2y

x2+fflx+(m+2)=x+4,

gpx2+(m-l)x+(m-2)=0,

A=m—l)2—4(m—2)=0

解得：m1=m2=3,

I.〃=3+2=5,

・•・抛物线的解析式为歹=V++5；

（4）依据“基准偶和点”定义知：y=2-xf

y=ax2+for+3

联立得:

y=2-x

***ax2+bx+3=2—Xf即〃x?+(b+l)x+l=°,

...抛物线了="2+区+3（a、6均为常数，。＞0）的图象上有且只有一个“基准偶和点”,

.♦.△=(6+1)2—4a=0,即(6+l)2=4a,

・・.w=〃-6b+4Q=〃—6b+(b+l『=2/-4b+l=2(b-,

①当E+1V1时，即区0时，w在b=，+l时取得最小值,

Z.2(?+l-l)2-l=-Z

解得：/=-1或y;（舍去）；

②当"1W/+1,W在6=1时取得最小值，

—1=—tf即％=1;

③当此1时，W在6时取得最小值，

.-.2（f-l）2-1=-?,

解得:f=l或/==（舍去），

2

综上所述，，的值为-1或1.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次函数的最

值，新定义“基准偶和点”的理解和运用，能够根据题干当中的定义灵活运用二次函数的相关知识是解题的关

键.

28.（12分）如图，四边形4BCD,AB=AD=BC=DC,ZA=ZABC=NADC=NC,£、/分别为48、BC

上的动点.

⑵如图2,已知：AD=b,AE=BF；求：当