2025年中考数学考点过关练：解直角三角形

第18关解直角三角形

基础练

考点1锐角三角函数

“2024云南］如图在△ABC中，若NB=90o,AB=3,BC=4,则tanA=()

2.[2024重庆江北区一模]如图，在RtAABC中,NC=90。若tanB=提则sinA的值为（）

3.[2024天津红桥区三模]ttan45°+2sin30°的值为()

A.lB.V3C.2D.2V2

4.[2024河北张家口一模]一架梯子（长度不变）一端放在水平地面上，梯子跟地面所成的锐角为/A,下列关于/

A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间关系的叙述，正确的是（）

A.sinA的值越大梯子越陡

B.cosA的值越大梯子越陡

C.tanA的值越小才弟子越陡

D梯子的倾斜程度与NA的三角函数值无关

5.[2024广东广州二模]在正方形网格中,NAOB如图放置，则cos/AOB的值为（）

A宿B.『C.iD,2

6.[2024江苏常州一模]在RSABC中,NC=90。，sin/=刍则tanA二.

考点2解直角三角形

7.[2024甘肃临夏州]如图，在△ABC中,AB=AC=5,sinB=:则BC的长是

A.3B.6C.8D.9

BC

8.[2024吉林长春]2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.

当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为0,则此时火箭距海平

面的高度AL为（）

A.asinO千米•千米

siny

C.acosO千米Z）.—千米

cost/

9.[2024宁夏]如图1是三星堆遗址出土的陶本侬），图2是其示意图.已知管状短流AB=2cm,四边形BCDE是器

身,BE〃CD,BC=DE=11cm,/ABE=12（F,NCBE=80。.器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶番管状短流口A

距地面的高度约为cm（结果精确到0.1cm）.（参考数据：sin80°«0.9848,cos80°«0.1736,tan80°~5.6713,V3

-1.732）

10.[2024四川眉山]如图，斜坡CD的坡度i=l:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的

夹角为60。时，大树在斜坡上的影子BE长为10米、则大树AB的高为米.

11.如图，在△ABC中,AD_LBC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,ianNACB=l.

⑴求BC的长；

⑵求sinZDAE的值.

12.2024黑龙江大庆］如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路1上由北向南行驶，在A处测

得桥头C在南偏东30。方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60。方向上，桥头D在南偏东

45。方向上，求大桥CD的长度.（结果精确到1米，参考数据：V3x1.73）

13.［2024甘肃兰州］单摆是一种能够产生往复摆动的装置、某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探

究，并撰写实验报告如下.

实验主题探究摆球运动过程中高度的变化

实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等

如图1,在支架的横杆点0处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始

往复运动.（摆线的长度变化忽略不计）

如图2,摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处,BD±OA.ZBO

实验说明A=64°,BD=20.5cm;当摆球运动至点C时,NCOA=37o,CE，OA（点O,A,B,C,D,E在同一平

面内）

0

区仔

实验图示

图1图2

解决问题：根据以上信息，求ED的长.（结果精确到0.1cm）

参考数据：sin37。加.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75,sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan64°=2.05.

提升练

14.[2024江苏常州模拟]将RtAABC的各边长都扩大至原来的2倍，则cosA的值（)

A不变B.变大

C.变小D.无法判断

15.[2024广东梅州一模必ABC中,NA,/B都是锐角，且sinX=芋,cosB=抑必ABC的形状是（）

A.直角三角形

B.钝角三角形

C.锐角三角形

D.锐角三角形或钝角三角形

16.[2024广东深圳二模]如图是某滑雪场一段雪道的示意图，该雪道的平均坡角约为20。,在此雪道向下滑行1

00米，高度大约下降了（）

CB

4工米8卫工米

sin20cos20

C.lOOsin20。米D.100cos20。米

17J2024湖南]如图，左图为《天工开物》记载的用于春（ch6ng）捣谷物的工具——“碓（dui）”的结构简图，右图为

其平面示意图.已知ABLCD于点B,AB与水平线1相交于点OQELL若BC=4分米,OB=12分米/BOE=60。厕点

C到水平线1的距离CF为分米（结果用含根号的式子表示）.

18.[2024山东泰安]在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧

的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50。，

测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°,已知瞭望台BC高12米（图中点A,B,C,P在同一平面内）.那么大汶河此河段的

宽AB为米.（参考数据：sin40"«|,sin63.6°«巳tan500仪|,tan63.6°«2）

5017X63.6°

AB

第18题图第19题图

19.[2024河南南阳校级模拟]如图，在边长相同的小正方形网格中，点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点

上，AB与CD相交于点P,则tan/APD的值为.

20.[2024江西]将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD,连接AC,则tan/CAB=

B

图2

21.[2024江苏南京校级模拟]如图，在直角三角形ABC中,/C=9（T,BC=3,AC=4,点D是线段AC上的动点，设/

BDC=%/BAC=|3,有以下结论：

①0°<P<a<90°,且tana>tan。；

②0°<P<a<90°,且cosa>cos[3;

③当D为AC中点时，sin^DBA=要；

65

④当BD平分NCBA时,tan|3=2tana.其中，正确的是.（填序号）

CDA

22.[2024内蒙古通辽]在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图，从C点测得杨树底端B

点的仰角是30。，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°,求杨树AB的高度（精

确至U01米,AB,BC,CD在同一平面内，点C、D在同一水平线上，参考数据：V3〜1.73）.

23.[2024山东荷泽校级模拟]已知△ABC的三个内角NA,NB,NC的对边分别为a,b,c.

观察若/A=35o,/B=45。,

则有sin245°+COS245°=1,

a_b_c

sin35°sin45°sinlOO。'

sinlOO0=sin(35°+45°)=sin35°cos45°+

sin45°cos35°,SA?iBC=-ac-sinB.

模仿：已知乙4=60°,c=|a.

⑴求sinC的直

⑵若a=7,求SAABC.

24.[2024重庆A卷]如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B,D两港运送物资，最后到达A港正东

方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60。方向航行一定距离

到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60。方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30。方向航行一定距离到达C港.

惨考数据：V2~1.41,73«1.73,76«2.45)

(1)求A,C两港之间的距离(结果保留小数点后一位).

(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B,D两港的时间相同)，哪艘货轮先到达C港?请通过计算说明.

25.[2024安徽]科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验.如图，光线自点B处发出，经水面点E折射

到池底点A处.已知BE与水平线的夹角a=36.9。,点B到水面的距离BC=1.20m,点A处水深为1.20m,到池壁的水

平距离AD=2.50m.点B,C,D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为P，折射角为丫，求型的

siny

值（精确到0.1）.

参考数据：sin36.9°~0.60,cos36.9°~0.80,tan36.9°«0.75.

26.[2024贵州]综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习.

【实验操作】

第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内

壁AC的夹角为NA；

第二步：向水槽注水,水面上升到AC的中点E处时，停止注水直线NN为法线，AO为入射光线，OD

为折射光线）

【测量数据】

如图点A,B,C,D,E,F,O,N,N在同一平面内,测得AC=20cm,/A=45。折射角/DON=32。.

【问题解决】

根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：

⑴求BC的长：

⑵求B,D之间的距离（结果精确到0.1cm）.（参考数据:sin32°«0.52,cos32°=0.84,tan32°=0.62）

27J2024广东］中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电

需求，某小区增设了充电站，下图是矩形充电站PQMN的平面示意图、矩形ABCD是其中一个停车位、经测量、

ZABQ=60°,AB=5,4m,CE=1,6m,GH±CD,GH是另一个车位的宽，所有车位的长、宽分别相同，按图示并列划定.

根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1m,参考数据：V3X1.73)

⑴求PQ的长；

(2)该充电站有20个停车位，求PN的长

28J2024江苏连云港］图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也

类比进行了如下探究：如图2,正八边形游乐城A】A?A3A4A5A6A7A8的边长为jkm,南门O设立在AeA,边

的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM,A6A7在BM上(门宽及门与道路间距离忽略不计)，东侧有一

条南北走向的道路BC,C处有一座雕塑.在A1处测得雕塑在北偏东45。方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59。方

向上.

(1)4。4遇2=-<^-CA2AI—_°;

(2)求点A1到道路BC的距离；

(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会

受到游乐城的影响.

（结果精确到0.1km,参考数据：V2~1.41,sin76°~0.97,tan76°«4.00,sin59°«0.86,tan59°~1.66）

|C

北

第18关解直角三角形

1.c解析:因为在AABC中/B=90*AB=3,BC=4,所以tanA=箓=*

2.B解析:在RfABC中,•.NC=90。，.•.tanB=*=之

BC3

设AC=4x,BC=3x,

由勾股定理得AB=7(4x)2+(3x)2=5x,sinA==|^=|.

3.C4.A5.A

6.±

3

解析：由sinA=g/C=90。,可设BC=4x厕AB=5x,在RtAABC中,由勾股定理得AC=3xtan/=^|=

4x_4

3x3，

7.B解析:过点A作BC的垂线，垂足为M,

在RbABM中.sinB=%=:

AB5

AM=5X=4,BM=V52-42=3.

又•.AB=AC/.BC=2BM=6.

8.A解析:在Rt^ALR中,AR=a/ARL=6,sin0=

，AL=AR-sine=asine千米.

9.34.1

解析：如图，过点C作CF,BE,垂足为F,过点A作AG，EB交EB的延长线于点G,

•.zABE=120°,

..NABG=180°-NABE=60°,

在RtAABG中,AB=2cm,

•••AG=AB-sin60°=2xf=V3(cm),

在RtABCF中,NEBC=80°,BC=11cm,

CF=BC-sin80°~llx0.9848=10.8328(cm),

1.器身底部CD距地面的高度为21.5cm,

，该陶吞管状短流DA距地面的高度=V3+10.8328+21.5«34.1(cm),

,该陶吞管状短流口A距地面的高度约为34.1cm.

10.(4V15-2V5

解析：如图，过点E作AB的垂线，交AB的延长线于点H,

易知EHIICF,

贝UNBEH=NDCF,

在RbBEH中,tar)NBEH=tariNBCF=

设BH=x米厕EH=2x米

BE=y/EH2+BH2=国米=10米，

;.x=2V5

BH=2V5米EH=4V5米，

•.zEAH=180o-60o-90o=30o,

.-.AH=V3EH=4同米,

ABAH-BH=(4V15-2西)米.

，大树AB的高为(4V15-2遥)米.

11.(1)14⑵唱

解析:(l)；AD，BC,AB=10,AD=6,

BD='AB?-AD2=V102-62=8.

•.tanzACB=l,/.CD=AD=6,

BC=BD+CD=8+6=14.

(2)/AE是BC边上的中线，

•••CE=-BC=7,

2，

DE=CE-CD=7-6=1,

-.AD±BC,

•••AE=y/AD2+DE2=V62+l2=V37,

DF

•••sin^DAE=—1V37

AE-V37-37'

12.548米

解析：分别过点C和点D作AB的垂线,垂足分别为M,N,

在Rt^CBM中，tan/CBM=需=tan60°=V3

所以CM=V3BM,

在RbACM中，tanX=^=tan30°=^

V3BM

因为AM=AB+BM,AB=1500米，所以=与则BM=750米

1500+BM

所以CM=750旧米，

所以DN=CM=750VI米.

在RbDBN中，tan/DBN=器=tan45°=1,

所以BN=DN=750百米，所以MN=BN—=（7508—750）米，贝!]CD=MN=750遮-750*548（米）,

故大桥CD的长度为548米.

13.8.2cm

解析:在RtAOBD中/ODB=90°,zBOA=64°,BD=20.5cm,tan^BOA=—,smzBOA=—,

ODOB

r20.520.5

，2Q.0n5«——，0n.9n0n«——,

ODOB

.-.OD=10cm,OB~22.78cm,在RbCOE中,OC=OB=22.78cm/COA=37°,

・•・cosHM吟，即0.80«

.QE=18.224（cm）,

ED=OE-OD~8.2cm.

14.A

15.C解析：sinX=~,cosB=

..NA=45°/B=60°,..NC=75°,

."ABC的形状是锐角三角形.

16.C解析:由题意得AB，BC,在RtMBC中,NACB=20°,.•在此雪道向下滑行100米，高度大约下降了100si

n20°米

17.(6-2V3

解析:延长DC交I于点H,连接OC,在RbOBH中/BOH=90°-60°=30°,OB=12,

..BH=12xtan30°=4V3,OH=8V3

S&OBH=S40cH+S4OBC，

■■-lOB-BH=lOH-CF+lOB.BC.

即jxl2x4V3=|x8V3CF+|x12x4./.CF=(6-2何分米

18.74

解析:如图，过点P作PE±AB于点E.过点C作CF±PE于点F,

贝［|NNPC=NPCF=63.6。，

zMPA=zBAP=50°,BC=EF=12米PE=60米

.•.PF=PE-EF=48米，

在RtWFC在tan63.6°=«2,

,■,CF=24米,.BE=24米,

在Rt^APE中,tan50°=第嗔

.-.AE=50米,..AB=AE+BE=74米.

19.2

解析：如图，连接BE,

B

•.四边形BCED是正方形，

-11

DF=CF=：CD,BF=；BE,CD=BE,BE_LCD,BF=CF,

根据题意得ACIIBD,

.'.△ACP--ABDP,

，DP:CP=BD:AC=1:3,

.­.DP:DF=1:2,

11

DP=PF=-CF=-BF,

22

在RtWBF中，tan/BPF=祭=2,

,.-zAPD=zBPF,.,.tanzAPD=2.

20.-

2

解析：设AC与BD交于点。,由七巧板可知AABD和ABCD是全等的等腰直角三角形，

..AB=BD=CD/ABD=NBDC=90°,

/.ABIICD,

.・四边形ABCD是平行四边形，

11

OB=-BD=-AB,

22

tan/CAB=tan^OAB=—=

AB2

21.①

解析:〔2BDC是ABAD的外角,

.,.zBDC=zA+zABD.

.'.ZBDC>ZAK即a>0,又,.NC=90。，

...0°<B<a<90°,且tana>tanp,cosa<cosps

故①正确，②错误；

•.NC=9(T,BC=3、AC=4,

AB=>JAC2+BC2=V42+32=5,过点D作DE_LAB,垂足为E,当D为AC中点时，CD=4。=|71C=2,

BD=y/BC2+CD2—V32+22=V13,

•••^^ABC-S^BCD+SABD”

・•・^AC-BC=^CD-BC+^AB-DE,即3x4=2x3+5DE/.*.DE=|

在Rt^BDE中.sin/DBA=需=言=嚼故③错误；

当BD平分NCBA0f--DE±AB,DC±BC,

，DC=DE,

^LABC=S2CD+S^BDA，

/.-AC,BC=LDC,BC+-AB•DE,

222

.•.3x4=3DC+5DE/.8DC=12z

・•.DC==

2，

在RSBCD中，tanNBDC=tana=~=4=2,

2

在RtABCA中,tan^BAC-tan夕=^|=|,

，tanBH2tana,故④错误.

综上，正确的是①.

!2.6.2米

解析:延长AB交DC于H,则NAHD=90。，

.2BCH=3(r,BC=6米，

...B"=(BC=3米，CH=^-BC=V33米，

•.zADC=45°,

.-.AH=DH=CD+CH=(4+3㈣米，

AB=4"-=4+3旧-3=1+3百=6.2(米).

答：杨树AB的高度约为6.2米.

23.(l)sinC=^(2)SAylBC=6V3

解析：(1)由观察可知，-、=吃=/=三，二sinC=当.

s\nAs\nBsinC里smC14

2

(2)va=7,•••c=|a=3,

由观察得sin2c+cos2c=1,

2z->.7c169

••・cosc=1—sin^c=——，

196

c13

，COSL=——,

14’

又由观察可得sin/B=sin(A+C)=sinAcosC+cos4sinC=yx||+jx^=S^ABC---SINB=6

24.(1)A,C两港之间的距离约为77.2海

里(2)甲货轮先到达；理由见解析

解析：(1)过点B作BE_LAC,垂足为E.

在RMAEB中/BAE=45°,AB=40,

.•.AE=BE=40sin45°=20V2

在RbEBC中/EBC=60°,

EC=E5tan60°=V3EB=20限

：.ACAE+EC=20>/2+20V6-77.2.

答：A,C两港之间的距离约为77.2海里.

(2)在RbEBC中/EBC=60°,EB=20V2

CB=2EB=40V2.

•.•甲货轮的航线为A-B-C,

•••AB+BC=40+40V2«96.4

,「乙货轮沿A港的北偏东60。方向航行一定距离到达D港，C港在D港的南偏东30。方向，

.•.zADC=90°.

在RSADC中,NDAC=30)AC=20V2+20历

CD=|XC=10V2+10V6,AD=XCcos30°=—AC=10V6+30V2.

,「乙货轮的航线为A-D-C,

•••AD+DC=10V6+30V2+10V2+10V6=20V6+40V2«105.4.

1•两艘货轮的航行速度相等，目96.4<105.4,.•.甲货轮先到达C港.

25.1.3

解析:过点E作EH，AD,垂足为点H,由题意可知/CEB=a=36.9°,EH=1.20,=焉5"耗=1.60,

AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90,

故.AE=7AH2+EH?=V0.902+1.202=1.50.

于是siny=—=-=0.60.

rAE1.50

又sin£=sin^CBE=—=cos^CEB=

BE

cos36.9%0.80,故陋=照〜1.3.

siny0.60

26.(l)20cm(2)3.8cm

解析：(1)在RfABC中/A=45°.

，NABC=45°.，BC=AC=20cm.

(2)由题意可知ON=EC=|XC=10cm,

/.NB=ON=10cm,

•.zDON=32°,

.■.DN=ON-tanzDON