2025年中考数学考前复习：锐角三角函数（含解析）

2025年中考数学考前复习专题15：锐角三角函数

一、单选题

1.如图，滑雪道AC的长为320m,则滑雪道的竖直高度A3的长为()

320

A.320cosa(m)B.320sina(m)C.320tana(m)D.(m)

2.如图，沿A3方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从A3上的一点C,

取NACD=146。，CD=500m,ZD=56°.要使点A、C、E在同一条直线上，那么开挖点E离点。的

距离是()

A.500mB.500sin56°mC.500cos56°mD.500tan56°m

3.在VABC中，若NC=90。，BC=6辨,AC=3,贝UtanA的值估计在()

A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间

4.如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若AB=1,则尸G=()

KL

ED

125布口

412564N32A/3

64642727

5.如图在咫ABC中，ZB=90°,ZACB=60°,在AC上取一点£,使EC=3AE,。为AB中点，EB

与OC交于点/，若DB=25ZADE^30°,则3尸的长度是()

D

A.也「8手D.孚

B.2币

27

6.如图，在RtAABC中，，C=90。，­4=30。，AB=6,BD平分/ABC,分别以A。为圆心,

大于口。的长为半径画弧，两弧交于点RG,作直线FG交4c于点E.连接见则BE的长为（）

6C.6y/3D.V21

7.如图，ABCD的对角线AC、3。交于点E以AB为直径的半圆0经过点E,若ABC。的周长为

24,AC=6A/3,则图中阴影部分的面积为（

r3n9也D.3

+9A/3Vz.----1-----

222

8.在等腰Rt^ABC中，NA=90。，点。在上，点E在AC上且AD=CE=』AC,连接E。，将

4

沿£»翻折到Rt^ABC的内部，得到A'ED-连接AB.则tanNA'3D=（）

ADB

AB

-11-1c-nD.5

二、填空题

4

9.如图，在菱形ABC。中，点P、。分别是"、3c的中点，连接。尸、"2若sin/PDQ=l，。。=10,

10.如图，在矩形A3CD中项=2">=2,以点A为圆心，AD的长为半径作圆，交A3于点E,过

点8作1A的切线BG交CD于点G,切点为点R则图中阴影部分的面积为.

11.如图，在VABC中，AB^AC=12,3c=10,点。为BC中点，点尸以每秒1个单位的速度从B

出发沿BfAfC运动.当△月□?为等腰三角形时，f的值为.

12.如图，在菱形ABC。中，AB=4,ZABC=60°,点E为边上一动点，点尸为AE中点，点G

为OE上一点，满足EF=FG,连接CG,则CG的最小值为.

13.如图，在矩形A3c。中，BC=12,DC=9,M为矩形内一点，连接9、CM、DM,

ZABM=ZBCM，贝ijsin/CDM的最大值为.

BC

14.如图，平行四边形ABC。，NB=45。,AB=8,AD=10,G为边BC上一点，连接AG,将ABG

沿AG翻折，点B的对应点为？，E为中点，F为边C。上一点，连接斯，将1)£户沿防翻折，

点。的对应点恰巧也为3',则。/=____.

三、解答题

16.图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图.支撑杆A3垂直于地/,活

动杆CD固定在支撑杆上的点E处，若/AEC=132。，BE=110cm,DE=80cm,

/AD

BF

(1)过。作。尸垂直于地/,求NED尸的度数.

(2)求活动杆端点。离地面的高度。下.(结果精确到1cm,参考数据:

sin48°«0.74,cos48°»0.67,tan48°»l.ll)

17.如图，在ABCD中，E,尸是对角线8。上的两点(点E在点/左侧)，且/AEB=NCFD=90。.

(1)求证：四边形AECP是平行四边形；

3

(2)当A5=5,tanZABE=-,=/时，求斯的长.

18.如图，VABC内接于IO,^ABC=45°,过点C作《。的切线交54的延长线于E,连接Q4交3c

于点。，连接AC,OC.

E

⑴求证NACE=/ABC；

(2)探究AC,3c与CD的数量关系，并说明理由;

⑶若tan/OCO=；,CE=6,求。的半径.

19.实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口

略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已

知试管AB=24cm,BE=|AB,试管倾斜角ZABG为12。.

（1）试管口B与铁杆OE的水平距离BG的长度为cm（结果用含非特殊角的三角函数表示）

（2）实验时，导气管紧靠水槽臂延长8M交CN的延长线于点/，且于点N（点

C,D,N,尸在一条直线上），测得：DE=28cm,MV=8cm,=147°,求线段ON的长度.（结果精

确到0.1cm）（参考数据：sinl20=0.21,cosl2°=0.98,tanl2°=0.21）

20.如图1,在矩形ABCD中，垂直对角线AC于点E,交2C于点死M是M的中点，连接CM

并延长，交AD于点N,NHLAC于点、H,连接

图1图2

⑴求证：HM=DM.

Q)若AN=CD,求tan/AAC的值.

(3)如图2,若尸是3c的中点，BC=4,求AE的长.

《2025年中考数学考前复习专题15：锐角三角函数》参考答案

题号12345678

答案BCCDCDCC

1.B

【分析】根据正弦函数的定义解答即可.

本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握定义是解题的关键.

An

【详解】解：根据题意，得sinc=m1,AC的长为320m,

AC

故AB=ACsina=320sin(z(m),

故选：B.

2.C

【分析】本题考查了三角形的外角性质及解直角三角形，解题的关键是判断出一CDE是直角三角形.根

据三角形的外角性质求出皿C=9O。，然后判断出CDE是直角三角形，利用解直角三角形即可求解.

【详解】解：ZACD=146°,ZD=56°

ZDEC=146°-ZZ)=146°-56°=90°,

是直角三角形，

•••开挖点E离点。的距离：DE=CDcosZD=500cos56°m,

故选：C.

3.C

【分析】本题考查正切的定义，二次根式的估值，熟练掌握正切的定义和二次根式的估值方法是解题

的关键.先利用正切的定义求出tanA,再利用二次根式的估值方法估值即可.

【详解】解：：/C=90。，BC=6A/5,AC=3,

••皿4嘿=竽=2日廊,

V16<20<25,

4<咽<5,

tanA在4到5之间，

故选：C.

4.D

【分析】本题主要考查锐角三角函数的应用、含30。直角三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的

性质成为解题的关键.

先求解==誓=30。，可得丝=丝=2£==cos30°=^,

12OBOCOD2

器=器=*==sin30°=1,然后解直角三角形可得。6=喈，最后根据含30。直角三角形的

性质即可解答.

【详解】解：：12个相似的直角三角形,

360°“°ABBCCD.“01

：./BOA=/BOC==------=30,-----=-----=-----==sm30=一,

12OBOCOD2

OAOBPC_

=cos30°=,

而一无一五一2

AB=1,

：.OB=2AB=2,QA=O3COS30O=5

OB2473

,OC=

•垂＞百3

22

4后81673

OC亍8OE=^=3_1673-_32

OD=月一9

拒6""3'V39，

222222

32

OFV64G

6627

~T

•「F1nr32rz

227

故选D.

5.C

【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，结合题意得到=BC=4,AC=8,如图所示，

过点石作于点G,EG=^~AG=叵又AE=2EG=2=DE,CE=2AE=6f如图

33

所示，过点石作石"AD,交C。于点”，可证qC£〃S/、c4P,EH=­再证

2f

FF3

得到——=—,设跖=3羽5b=4%,BE=EF+BF=3x+4x=7x,在吊BEG中,运用勾股定理得到

BF4

x=巫,由此即可求解.

7

【详解】解：在mABC中，ZB=90°,ZACB=60°,

.'•NA=30。，

ZA=ZADE=30°,

：.AE=DE,

•・•点。是AB中点，BD=25

:.AD=BD=ZAAB=2BD=A6

tanZA=tan30°=，

AB3

・・.BC=—=—x4V3=4,

33

・•・AC=2BC=8,

如图所示，过点石作£G_LAZ)于点G,

AG=DG=-AD=-x2y/3=y[3f

22

tanNA=tan30°=，

AG3

EG=—AG=—x^=l,

33

・•・AE=2EG=2=DE,

：.CE=2AE=6,

如图所示，过点石作E"AD,交CO于点”,

:・CEHs3CAD,

.CEEH

*'CA-

・口口_CE_6/r-_3A/3

••EH—,AZ)——x2,3-------,

CA82

EHAD,即即BD,

・•・^EFH^BFD,

T7TJZ7Z73,\/3

,即三3,

BDBF而=而」

设EF=3x,BF=4x,

BE=EF+BF=3x+4x=7x,

在RfBEG中，EG=1,BG=BD+DG=2&6=36，

BE=y]EG2+BG2=+@4)2=2币,

lx=2币,

解得，％=----，

7

._2币_8币

••BF-A-X—4x-------------,

77

故选：C.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数

值的计算，相似三角形的判定和性质，掌握特殊角的三角函数的计算，相似三角形的判定和性质是解

题的关键.

6.D

【分析】利用直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的

平分线的意义解答即可.

【详解】解：C=90。，­4=30。，AB=6,

ZABC=60°,BC=1AB=3,AC=^AB2-BC2=3A/3>

：3。平分/ABC,

NCBD=30°,

CD=BCtanNCBD=出,

AD=AC-CD=26

根据基本作图，得斯垂直平分线段AD,

/.DE=-AD=y/3,

2

CE=CD+DE=2y/3,

BE=yJCE2+BC2=V21.

故选：D.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，

角的平分线的意义，熟练掌握性质是解题的关键.

7.C

【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，扇形面积公式，解直角三角形，掌握知识点的

应用是解题的关键.

连接OE,证明四边形ABCZ）是菱形，再求出AE=EC=gAC=3/，AB=6,又

AE36

cosABAC=则ABAC=30°,最后由S阴影=S扇形AOE—SAOE+SBEC—（S扇形BOE—SBOE）即

可求解.

【详解】解：连接0E,

：为直径的半圆0直径,

，ZAEB=90°,

：.BDYAC,

•/四边形ABC。是平行四边形，

四边形A3C。是菱形，

,*•A_E=EC=-AC=3y/3,^/\AOE~S^BOE，S△曲E=S^BCE，

ABCD的周长为24,

・•・AB=6,

：.BO=OE=3,

・・・cosNBAC=^^=乎=#,BE=ylAB2-AE2=^62-（373）2=3,

・・・NB4C=30。，

・•・ZBOE=60°,

：.NAOE=120。，

S阴影=S扇形AOE-SAOE+SBEC一（s扇形BQE-SBOE

=

S扇形AOE-SAOE+SBEC—S扇形BOE+SBOE

=S扇形AOE+SBEC—S扇形BOE

120x^-x3260x^-x32

+-X3X3A/3-

3602360

=3兀+也工

22

工+喧

22

故选：C.

8.C

【分析】本题考查了等腰三角形的定义、折叠的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握折

叠的性质和解直角三角形的方法是解题关键.设AS=AC=44（a>0）,则AD=CE=°,AE=BD=3a,

利用勾股定理可得。E=Wa,再连接A'A，交DE于点、F,过点A作A'G,AB于点G,根据折叠的

性质可得。E垂直平分A'A,AD=AD=a,利用三角形的面积公式可得AF的长，从而可得A'A的长，

利用勾股定理可得DF的长，然后利用三角形的面积公式可得AG的长，利用勾股定理可得OG的长，

从而可得BG的长，最后根据正切的定义计算即可得.

【详解】解：：在等腰中，ZA=90°,

AB=AC,

设A5=AC=4a(a>0),

AD=CE=-AC,

4

AD=CE=a,

AAE=AC-CE=3a,BD=AB-AD=3a,

DE=VAD2+AE2=VlOa>

如图，连接A'A，交DE于点、F,过点A作A'GLAB于点G,

由折叠的性质得：DE垂直平分A'A，ArD=AD=a,

：.ArA=2AF,

•：S=-DEAF=-ADAE,

"ADF22

.yADAEa-3a3亚。

DE10

.•.A，A=①，DF=MD2_AF2=®,

510

又sA皿=,

3回a回a

AG=44C=5.10=现，

ADa5

Z)G='A》—AG?=£,

BG=BD-DG=——

5

3Q

AI「-Q

/.在Rt^A'BG中，tanAA'BD=-----=--y—=—,

BGHa11

故选：c.

o2厢

y.-------

3

【分析】解直角三角形求出产G=8,ZX；=6进而证明△DCQ四△HBQ,得"Q=OQ=10,CD=BH

所以AD=AB=9,GH=GQ+HQ=14,然后由勾股定理求出?”=2体，结合点尸是AJ3的中点，

即可解决问题.

【详解】如图，过点尸作PG，。。于点G,分别延长。。、AB,交于点

则ZPGD=ZPGH=90°,

4PG

sinZPDG=-=——,0P=10,

5DP

:.PG=8,

:.DG=^DP2-PG2=V102-42=6,

在菱形ABC。中，AB=BC=CD=AD,ZA=ZC,

・・,点P、。分别是AB、5C的中点，

CQ=^BC,AP=BP=^AB

：.CQ=AP,

：.ADCQ^ADAP,

DQ=DP=10,

GQ=DQ-DG=4,

CD//AB,

:.NC=NHBC,

在_QC。和"Q中

ZC=ZHBC

CQ=BQ

ZBQH=ZCQD

:./\DCQ^AHBQ,

DQ=HQ=\O,CD=BH,

,-.AB=AD=CD=BH,GH=GQ+HQ=4+10=14,

:.PH=^PG2+GH2=V82+142=2病，

PH=PB+BH=-AB+AB,

2

返,

3

23

故答案为：交.

3

【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及勾股定理。解题关键是

通过作辅助线，利用三角函数求出相关线段长度，借助菱形性质证明三角形全等，进而结合勾股定理

建立线段关系求解.

10.2--7I--

42

【分析】本题主要考查矩形的性质、切线的性质、三角函数及扇形面积，熟练掌握矩形的性质、切线

的性质、三角函数及扇形面积公式是解题的关键；连接AF,由题意易得

AB=DC=2,BC=AD=1,DC//AB,ZDAB=ZC=90°,AFLBG,AF=AD=1,然后可得

ZA5G=30°,进而根据三角函数及割补法可进行求解.

【详解】解：连接AF,如图所示：

,••四边形A8C。是矩形，AB=2AD^2,

：.AB=DC=2,BC=AD=1,DC//AB,ZDAB=ZC=90°,

:过点B作A的切线BG交CO于点G,切点为点F,

AF_LBG,AF=AD=1,

••sinNABG=----=一,

AB2

：.ZABG=30°f

•:DC//AB,

：.ZCGB=ZABG=30°,

BC

CG=

tan30°

,,S阴影=S矩形A5CD-S扇形D3-SBCG

=1X2-2^.1X^X1

3602

。1A/3

42

故答案为：2—工兀一-.

42

11.225或18或19或1匕19

66

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形应用等知识，分点尸在上和AC上讨论,

然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形的应用求解即可.

【详解】解：连接AZ),

AAD1BC,BD=CD=5,

①当点尸在54上时，ZPDC>ZADC=90°,

/.APCD为等腰三角形时，只有PD=CD,

PD=BD,

过。作。Q,3尸于°,

贝I］族=230,

VcosB=^=^

BDAB

.BQ=±

"5"12

・•・阳哈

・•.哈

25125

t=-4-1=——；

66

②当点尸在AC上时,

V△产口）为等腰三角形,

?.CD=CP或DP=CP或CD=DP,

当CD=CP=5时，如图,

£=(12x2-5)+1=19；

当r)p=cp时,如图，过尸作尸。，。于0,

贝l]CQ=；CD=g,

•…卫一

ACCP

5

12CP

解得CP=6,

.•"=（2x12-6）+1=18；

当CD=DP时，如图，过。作OQ_LC尸于。

A

则CP=2CQ,

•.•…旦生,

ACCD

.^_CQ

••一，

125

解得cQ=fj

2xl2-y

25119

综上，才的值为胃或18或19或中,

66

12.2百-2/-2+26

【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，圆周角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造动点G的轨迹来解决问题.

连接AG,根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得推得AF=FG=E7"则

ZAGE=ZAGD=9Q°,根据圆周角定理可知：点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点。，当

O,G,C三点共线时，CG的值最小，由此可解答.

【详解】解：如图，连接AG,

尸是AE的中点,

：.-AE=AF=EF,

2

EF=FG,

AF=FG=EF,

/.乙FAG=NFGA,ZFGE=NFEG,

•：ZFAG+ZFGA+NFGE+NFEG=2(ZFG4+ZFGE)=180。,

ZFGA+ZFGE=90°=ZAGE,

ZAGE=ZAGD=90°,

.・•点G在以A£＞为直径的圆上运动，取A£）的中点。，连接OG,如图:

G,C三点共线时，CG的值最小,

四边形ABC。是菱形，AB=4,ZABC=6O°,

ZADC=60°,AD=CD=AB=4,

OD=OG=—AD=2,

2

VcosZADC=-,—

2CD2

：.ZCOD=90°

OC=yJCD2-OD2=2A/3,

CG的最小值为-2.

故答案为：26-2.

13.”

13

【分析】先根据题意判断出点M在以BC为直径的圆上，要想使sin/CDM的取最大值，此题中其实

就是要NCD必越大就可以，根据图形可知当DM与：，E相切时，NCDM的最大，如图此时算出CG

的长度即可解决问题；

【详解】解：在矩形ABC。中，ZABC=ZDCB=90°,

：.ZABM+ZMBC=90°,

ZABM=NBCM,

：./BCM+ZMBC=90°,

=90°,

所以点”在以3c为直径的圆上，

如图，作以2C为直径的E,要使sin/CDM取最大值，即当DM与IE相切时，连接

BM,ME,MC,DE,

'：ZDCB=90°,

0c是CE的切线，

・・・DM与I石相切，DC=9

DM=DC=9

TE为3C中点，BC=12

：.EC=6,

,,DE=+92=3^13

•：ME=EC,DM=DC,

・•・OE垂直平分MC,

：.MC=2FC,NCFD=90。,

:.Z\CDFs公EDC,

CD?=DF•DE,

即81=0尸・3万，

V1313

CF=VDC2-DF2=，

••.g皿，

13

过点C作CGJ.DM于G,

：.--MCDF=-CGMD

22f

即LMC•。齐

22

皿」x9CG

213132

ino

解得：CG=^

在RtCGD中,

108

sinZCDM=——

CD913

12

故答案为：—

【点睛】本题主要考查了圆的综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质和解直角三角形等知识点,

解决此题的关键是要找到点"的位置.

14.巫

7

【分析】本题考查平行四边形的性质，其中涉及勾股定理与折叠问题以及解直角三角形相关，考查学

生的综合应用能力，有一定难度.本题先连接DM,延长E尸交于点H,得出NAB'D=90。和

AB=AB'=8,由勾股定理得出3月=斯=3,同时过尸作FMJ_DE，交。E于点M,结合平行四边

FM15

形的性质以及3〃由=署—,列方程得出。加二株=一,进一步即可得出DF.

【详解】解：连接DT,延长E尸交T于点

E为中点,

*'-EA=ED,

JJEF沿EF翻折得到_3'砂，

EB'=ED=EA,

ZAB'。=90°,

ABG沿AG翻折得到△AB'G,AB=8,AD=10,

AB=AB'=8f

在RtAAB'D中，由勾股定理可得：B'D=-JAD2-AB'2=6>

EB'=ED,ZDEF=NB'EF,

B'H=DH=3,EH±B'D,

过下作FMJLDE,交DE于点M,

四边形ABC。是平行四边形，ZS=45°,

ZADC=ZB=45°,

在RtADE"中，由勾股定理可得：EH=y/ED2-DH2=4.

DHFM3r4

设施=%，由tanNOEH=——=——，可得一=—,^EM=-x,

EHEM4EM3

在RtMMF中，ZADC=45。,则有==

由ED=,可得％+g■兀=5,解得工二亍，BPDM=FM=—,

「.DF=y/2DM=.

7

故答案为：”也.

7

15.1

【分析】本题考实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先进行特殊角的三角函数的值，负整

数指数幕，去绝对值和零指数幕的运算，再进行加减运算即可.

【详解】解：原式=2x—2x2+3+l=l-4+3+1=1.

2

16.(1)48°

(2)164cm

【分析】(1)先根据邻补角互补求出NAED=48。，结合两直线平行，内错角相等得

ZEDF=ZAED=48°,即可作答.

(2)过点石作石尸，易得四边形防尸M是矩形，即板=6E=110cm,再通过解直角三角形可

得DM=DE・cosNEDM,即可求解.

本题考查解直角三角形的实际应用，平行线的性质与判定，矩形的性质与判定，做出合适的辅助线构

造直角三角形是解题的关键.

【详解】(1)解：・・・NAEC=132。，

・•・ZAED=1800-ZAEC=180°-132°=48°,

ZABF=ZDFB=90°f

・•・ZABF+ZDFB=180°,

・•・AB//DF,

：.ZEDF=ZAED=48°；

(2)解：过点E作成f_L。尸，

•；EM±DF,ABYBF,DF±BF,

：.ZEMF=ZEBF=ZMFB=90°,

，四边形是矩形，

：.MF^BE^lWcm,

由(1)得/EDM=NAED=48。，

DM=DEcosAEDM-80x0.67=53.6cm,

DF=DM+MF^164cm.

17.(1)见解析

(2)EF=V13-2

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数

定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

(1)证AE〃b,运用平行四边形的性质得A3〃CE),再证ABEWCDF(AAS),^AE=CF,即可

得出结论；

(2)由锐角三角函数定义和勾股定理求出AE=3,BE=4,再证血用二/四八贝八曲/匿-3/反:尸,

rpFF.—

得三=经，求出石尸=2,进而得出答案•

BFCF

【详解】(1)证明：ZAEB=ZCFD=90°f

.\AE.LBD,CFLBD,

.'.AE//CF,

四边形ABC。是平行四边形，

:.AB=CD,AB//CD,

.\ZABE=ZCDF,

在,和VCD厂中，

ZAEB=ZCFD

</ABE=/CDF,

AB=CD

AABE^ACDF(AAS),

.'.AE=CF,

二•四边形A£C歹是平行四边形；

3AF

(2)解：在RtzMBE中，tanZABE=-=—,

4BE

设AE=3a,则BE=4a,

222

由勾股定理得：(3a)+(4a)=5f

解得：々=1或々=—1(舍去),

/.AE=3,BE=4,

由(1)得：四边形A£C厂是平行四边形,

:.ZEAF=ZECF,CF=AE=3,

ZCBE=ZEAF,

:.ZECF=ACBE,

tanNCBE=tanZJECF,

.CFEF

,,一,

BFCF

.\CF2=EFxBF,

设EF=x,贝尸=%+4,

/.32=x(x+4),

解得：x=-J13-2^x=-A/13-2,(舍去),

18.(1)详见解析

(2)AC2=BCCD

(3)4

【分析】(1)先证明ZAOC=2ZABC=90°,结合等腰三角形的性质与切线的性质可得ZACE=ZABC；

Ar

(2)先证明△ABCs.C,可得T}=右，再变形即可；

ACCD

(3)过点E作EH_LAC于点目，证明C//=E〃=Y^CE=3VI,再证明NAEH=NDCO,结合

2

tanZAEH=tanZDCO=1,再进一步求解即可；

【详解】(1)解：如图①，ZABC=45°,

:.ZACO=45°.

CE为切线,

ZOCE=90°,ZACE=45°.

:.ZACE=ZABC.

（2）解：AC2=BCCD,理由见解析：

由（1）得NC4D=90。—ZACO=45。，

:.ZABC=ZCADf

又ZACB=/DCA,

.BCAC

'~\C~~CD'

AC2=BC-CD.

（3）解：如图②，过点E作于点H,

CH=EH=—CE=3。2.

2

ZCDO=ZCAD+ZACB=^50+ZACB,

ZEAH=ZABC+/AC5=45。+/AC6,

:.ZCDO=ZEAHf

又ZAHE=ZDOC=9。。,

：.ZAEH=ZDCO,

AEH=tan/DCO=—

3

.AH1

•••

EH3

AH=LEH=e.

3

:.AC=AH+CH=442.

V2

OC=—AC=4.

2

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的

应用，作出合适的辅助线，熟练的利用相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的应用是解本题的

关键.

19.(I)8cosl2°

(2)26.2cm

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

(1)根据cosl2。，得出8G的长度；

(2)延长GB,NM交于点H,得出四边形DNHG是矩形，通过计算得出GH的长度，从而得出DN

的长度.

【详解】(1)解：：AB=24cm,BE=^AB,

BE=gx24=8(cm),

,：cosZABG=—,即cosl2°=—

BE8

BG=8cosl2°(cm),

故答案为：8cosl20；

(2)解：BG=8cosl2°=7.84cm,

FGFG

,.・sin/ABG=——，即sinl2°=——

BE8

.•.石G=8sinl20=1.68cm,

延长GBNM交于点、H,则四边形DV"G是矩形,

NH=DG=DE-EG=28-1.68=26.32(cm),

:.HM=NH-MN=26.32-8=18.3