2025年中考数学三轮冲刺复习：四边形综合解答题 提分练习题（含答案解析）

2025年中考数学三轮冲刺：四边形综合解答题提分刷题练习题

i.给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边

形为勾股四边形.

%------

/

E

(1)在你学过的四边形中，写出一种勾股四边形的名称.

(2)如图,将448c绕顶点B按顺时针方向旋转60。得到△DBE,连接4。,DC,CE,已知NDCB=

30°.

①直接写出NBCE的度数是.

②判断四边形BDCE是否为勾股四边形，并说明理由.

2.如图，在边长为6的正方形2BCD中，点尸在上从A向8运动，连接DP交AC于点。.

(1)试证明：无论点P运动到4B上何处时，都有△力DQ三△4BQ；

⑵当的面积是正方形ABCD面积的;时，求DQ的长；

⑶若点尸从点A运动到点8,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中，当点P运动

到什么位置时，ANDQ恰为等腰三角形.

3.如图，在AABC中，AB=5,BC=11,AABC的面积为22,4E1BC于点E,动点P从

点4出发，沿折线48-8C向终点C运动，在48上的速度为每秒5个单位长度，在BC上的速

度为每秒2个单位长度，当点P出发后，且不与点E重合时，将点E绕P4的中点旋转180。得

到点F,连结AF、PF、PE.设点P的运动时间为t(秒)(t>0).

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F

⑵用含t的代数式表示四边形4FPE的面积S.

⑶当四边形力FPE被直线4c分得的两部分面积之比为1:3时，求t的值.

⑷当直线CF垂直于△力BC的一边所在的直线时，直接写出t的值.

4.如图1,在团ABCD中，。是对角线北的中点，过点。的直线EF分别与4。，BC交于点E,

F,将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形MNFE,点M在4D上方，MN交线段CD于点连

图I图2

(1)求证：EM=FC；

⑵求证：OH1EF；

(3)如图2,若MNJ.CD,Z.ABC=60°,BF=4+2百，FC=2,求OH的长.

5.如图，在四边形48CD中，点M、N分别在边CD、BC上.连接力M、AN.

(1)如图1,四边形4BCD为正方形时，连结MN,且NM4V=45°,

①已知CM=6,CN=8,求MN的长；

②已知DM:CM=3:2,求4B:BN的值；

⑵如图2,四边形力BCD为矩形，乙AMD=2乙BAN,点N为BC的中点，AN=6,AM=8,

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求Z0的长..

6.在团ABC。中，M,N分别是的中点，连接ZN,CM.

(1)如图①，求证：四边形4VCM是平行四边形；

(2)如图②，连接MN,DN,若4AND=9。。,求证：MN=NC；

⑶如图③，在(2)的条件下，过点C作CE1MN于点E,交DN于点P,EP=1,且41=N2,

求4N的长.

7.己知：如图,在四边形48CD中，2D||BC,ZD=90°,AD=9cm,BC=25cm,CD=12cm,

连接AC,点E从点8出发沿BC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时，点尸从点C出发沿C4方

向匀速运动，速度为3cm/s；过点E作EG14B交4B于点G,连接EF,当一点停止运动时，

另一点也停止运动，设运动时间为t(s)(O<t<4).

⑴当点F在线段EC的垂直平分线上时，求t的值；

(2)当四边形2GEF是矩形时，求t的值；

⑶设四边形2GEF的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式；

⑷取CD的中点Q,是否存在某一时刻t,使得点E、F、Q在同一条直线上？若存在，请求出

t的值；若不存在，请说明理由.

8.如图，在正方形4BCD中，4B=4cm,点。是对角线AC的中点，动点P、Q分别从点儿

B同时出发，点P以lcm/s的速度沿边力B向终点8匀速运动，点。以2cm/s的速度沿边BC向

终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接P。并延长交边CD于点连

接Q。并延长交边。力于点M连接PQ、QM、MN、NP,得到四边形PQMN,设点尸的运动

时间为x(s)(x>0),四边形PQMN的面积为y(cm2).

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(1)BP的长为cm,CM的长为cm；(用含x的代数式表示)

⑵求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

⑶当四边形PQMN是轴对称图形时，求出尤的值.

9.已知：如图1,矩形4BCD中4B=6,AD=12,。为边AD上的一点，以。为顶点作NEOF=

45。，点E在折线段A-B-C上，点F在折线段8-C-。上，点、E、尸之间的距离称为NEOF的

“截线长”.

(1)如图2,若点。与点力重合，点E与点B重合时，求NEOF的"截线长”；

(2)若点。与点4重合，点F与点C重合时，求此时NEOF的"截线长"；

(3)若点。为4D的中点，点E在线段上，当NEOF的"截线长”为5时，求4E的长度.

10.(1)问题发现.

如图1,在菱形力BCD中，AABC=120。，点E是对角线BD上一动点，连接力E,将E4绕点E顺

时针旋转60。得到EF,连接力F,DF.求N4DF的度数.

(2)问题探究.

如图2,在正方形48CD中，=6,点E是对角线BD上一动点，连接4E,将E2绕点E逆时

针旋转90。得到EF,连接力F,当BE=2ED时，求BF的长度；

(3)问题解决,

某科技公司现有一块形如矩形力BCD的研发基地，如图3,已知力B=200米，力。=200百米，

为了响应国家"科教兴国"战略，现需要扩大基地面积.扩建方案如下：点E是对角线BD上一

动点，以4E为边在4E右侧作直角三角形2EF,满足N4EF=90°,AFAE=60°,其中将△EDF

修建成新能源研发区，△2EF为试验区，为保证研发效果，要使研发区(即AEDF)的面积

最大，求此时试验区(即AAEF)的面积.

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11.【问题探究】

课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：

如图1,在矩形ABC。中，点E,尸分别是边DC,BC上的点，连接AE,DF,且4E1DF于点

G,若4B=6,BC=8,求f的值.

(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由.

【初步运用】

(2)如图2,在4ABC中，ABAC=90°,旭=三，点。为4c的中点，连接BD,过点力作4E1BD

AC4

于点E,交BC于点F,求黑的值.

BD

【灵活运用】

(3)如图3,在四边形48CD中，/.BAD=90°,—=AB=BC,4。=CD,点E,尸分

AD4

别在边AB,AD上，且DE1CF,垂足为G,则空=.

DE-

12.定义图形

如图1,在四边形中，M、N分别是边的中点，连接MN.若MN两侧的图形面

积相等，则称MN为四边形ABCO的〃对中平分线〃

/I\/\/\ErK)'T

/\/\：\7\

I11/Mrt1I1

BNCBNCBNC

I

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提出问题

有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢？

分析问题

（1）如图2,MN为四边形4BCD的"对中平分线"，连接AN,DN,由〃为力D的

中点，知A4MN与ADMN的面积相等，则AD,BC有怎样的位置关系呢?请说明理由.

（2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是（请把你认为假

命题的序号都填上）

①若MNII4B,则四边形4BCD是平行四边形；

②若MN=2B,则四边形48CD是菱形；

③若MN1BC,则四边形4BCD是矩形.

深入探究

如图3,四边形4BCD有两条对中平分线，分别是MN,EF,且相交于点。，若MN=EF.请

探索四边形ABCD的形状并说明理由.

13.综合与实践课上，同学们以"折纸中的角"为主题开展数学活动.

【操作判断】

（1）如图1,将边长为8cm的正方形4BCD对折，使点D与点、B重合，得到折痕AC.打

开后，再将正方形4BCD折叠，使得点。落在BC边上的点P处，得到折痕GH,折痕GH

与折痕2C交于点Q.打开铺平，连接PQ、PD、PH.若点P的位置恰好使得PHOTIC.

①4PDH=；

②求CQ的长；

【探究提炼】

（2）如图2,若（1）中的点P是BC上任意一点，求ADPQ的度数.

【理解应用】

（3）如图3,某广场上有一块边长为40m的菱形草坪48CD,其中ZBCD=60°.现打算在

草坪中修建步道力C和MN-ND-DM,使得点M在BC上，点N在力C上，且MN=ND.请问

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步道MN—ND—DM所围成的AMND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在,

请直接写出最小值；若不存在，说明理由.

14.某"数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的

兴趣，并尝试运用由"特殊到一般"的思想进行了探究：

如图1,正方形4BCD中，点E为4B边上一点，连接。E,过点E作EF1DE交BC边于点F,

将AADE沿直线DE折叠后，点4落在点4处，当NBEF=25。，则NFEA=

如图2,连接。F,当点&恰好落在DF上时，求证：AE=2A'F.

如图3,若把正方形2BCD改成矩形4BCD,且2D=mAB,其他条件不变，他们发现力E与AF

之间也存在着一定的数量关系，请直接写出4E与4F之间的数量关系式.

图3

15.（1）【问题情景】：如图1,正方形力BCD中，点E是BC边上一点（不与点B,C重合），连

接E4.将瓦4绕点E顺时针旋转90。得到EF,连接CF,求NFCD的度数.以下是两名同学通过

不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路：

①小聪：过点尸作BC的延长线的垂线；

②小明：在4B上截取BM,使得BM=BE；

请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程.

（2）【类比探究】如图2,点E是菱形4BCD的边BC上一点（不与点B,C重合），乙ABC=

a（a>90。），连接瓦4.将R4绕点E顺时针旋转a得到EF,连接CF,贝叱FCD的度数为

（用含a的代数式表示）；

（3）【学以致用工如图3,在（2）的条件下，连接力F,与CD相交于点G,当a=120。时，

<=?樽的值•

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图1图2图3

16.综合与实践

【提出问题】

由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形ABC。中，点E是边BC上的一个动点

（不与点B,C重合），过点E作EF1AE交正方形的外角NDCL的平分线于点F.求证：AE=

EF.

（1）如图1,当点E在边8C上时，小明的证明思路如下:

在84上截取8P=BE,连接EP.

贝IJ易得在AAPE和△ECF1中

-AP=EC

/.APE=乙ECF=135°

0AAPE=△ECF

团4E=EF

请补全小明的证明思路，横线处应填.

【深入探究】

（2）如图2,在（1）的基础上，过点尸作FGII4E交直线CD于点G.以CG为斜边向右作等

腰直角三角形HCG,点打在射线CF上.

①求证：FG=EF-,

②当48=5,CE=2时，请求出线段DG的长.

17.已知，团4BCD中，一动点P在边4。上，以每秒1cm的速度从点A向点O运动.

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（1）如图①，运动过程中，若CP平分ABCD,且满足CD=CP,求N&BC的度数；

⑵如图②，在（1）问的条件下，连接BP并延长，与CD的延长线交于点尸，连接ZF,若AB=2cm,

求AAPF的面积；

（3）如图③，另一动点。在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两

个点同时出发，当点尸到达点。时停止运动（同时Q点也停止），若4。=12cm,则时间为

何值时，以P,D,Q,8四点组成的四边形是平行四边形.

18.【提出问题】

如图，在人教版八年级下册数学教材第18章平行四边形的复习题中有这样一道题：

求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的一.（此空不填）

小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：

【探究问题】（1）①在正方形4BCD中，设其边长为m则对角线和。的数量关系有：

AC2+BD2=_；

②在菱形48CD中，设其边长为a,则对角线和。的数量关系有：AC2+BD2=_；

③在矩形4BCD中，设4B=a,BC=6,则对角线和a,b的数量关系有：AC2+

BD2=_；

【解决问题】（2）如图1,在国4BCD中，设4B=a,BC=b,猜想对角线4C,BD和a,b的

数量关系有：4C2+BD2一并证明你的结论；

【知识应用】（3）如图2,在四边形4BCD中，AB=5,BC=9,CD=8,AD=6,^ADC=90°,

点M为BC的中点，求AM的长.

图I

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19.综合与实践

BD

⑴【知识感知】如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的:

①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是(只填序号)；

(2)【概念理解】如图2,在四边形4BCD中，AB=AD,CB=CD,问四边形48CD是垂美四

边形吗？请说明理由；

⑶【性质探究】如图L垂美四边形4BCD的两对角线交于点0,试探究48,CD,BC,AD

之间有怎样的数量关系？写出你的猜想」

(4)【性质应用】如图3,分别以RS4BC的直角边4C和斜边4B为边向外作正方形4CFG和正

方形ABDE,连接CE,BG,GE已知力C=4,AB=5,贝ijGE长为

20.在平面直角坐标系中，。为原点，平行四边形48CD的顶点4(6,0),5(10,0),£>(0,6),

矩形。BEF的顶点尸(0,2夜).

图1图2图3

(1)如图1,EF^AD,BC交于点G,H.

①直接写出直线BC的解析式和点”的坐标；

②求证：四边形4BHG为菱形；

⑵如图2,将矩形。BEF沿水平方向向右平移，得到矩形。‘B'E，。.点。，B,E,尸的对应

点分别为。'，B',E',F'.设。O'=t(t>0),矩形。'夕？/与平行四边形4BCD重合部分图

形的周长为L.

①在平移过程中，当矩形。'夕与平行四边形力BCD重合部分为四边形时，直接用含有t的

式子表示3并直接写出t的取值范围；

②如图3,若F'。'的中点为M,矩形。'9对角线的交点为N,连接M4NB.在平移过

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程中，当MA+NB最小时，直接写出此时L的值.

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参考答案

1.(1)解：正方形、矩形、直角梯形均可，

故答案为：正方形、矩形、直角梯形均可；

(2)解：①由旋转的性质得，4ABe34DBE,

团=BE,

0ZCBE=60°,

团△BCE是等边三角形，

团乙BCE=60°,

故答案为：60。；

②国ABCE是等边三角形，

WC=CE,ABCE=60°,

0ZDCB=30°,

EIZDCF=90°,

在Rt△£)(?£•中，DC2+CE2=DE2,

即四边形BDCE是勾股四边形.

2.解：(1)

证明：在正方形4BCD中，AB=AD,ADAC=ABAC,

在△ADQ和AABQ中，

-AB=AD

Z.DAC=Z-BAC,

AQ=AQ

・•・△ADQ三△ZBQ(SAS)；

(2)

解：如图，过点Q作QE14D于E,

•■•AADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1:6,

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1In

SAADQ=~X6QE=-X6,

解得QE=2,

•••ADAC=-ABAD=45°,

2

・•・△4EQ是等腰直角三角形，

AE=EQ=2,

：.DE=AD-AE=6-24,

在RtADEQ中，DQ=JDE2+QE2=V42+22=2遮;

（3）当AADQ为等腰三角形时.

①如图,Q4=QD时，此时。为正方形4BCD的中心，

此时点尸与点B重合.

②如图,4Q=4D时,由等边对等角得:乙4DQ=乙4QD.

•••CQ=AC-AQ=6y/2-6

SAD||BC

回NCPQ=/-ADQ

回NCQP=/-AQD

回/CQP=乙CPQ

：.CP=CQ=642-6,

③如图,=DQ时，

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此时C、P、。三点重合.

综上所述：当尸运动到P,8重合处，或在BC上，且CP=6位-6处，或C,P重合处时，XADQ

为等腰三角形

3.（1）解：0BC=11,AABC的面积为22,AE1BC,S^ABC=^BC-AE

SAE=（22X2）+11=4,

故答案为4；

（2）SAE1BC,AB=5,AE=4,

^\BE—3,

团CE=BC-BE=ll-3=8,

SAC=-JAE2+EC2=V42+82=4V5,

回SAABE=-i4F=|x3x4=6,

回点P到达8点时间=|=1（秒），

点P到达E点时间=1+|=|（秒）

点P到达C点时间=1+3=£（秒）

①当P在4B上（不含点A、B）运动时，此时0<t<l,如图1一1,

图1-1

团将点E绕P力的中点旋转180。得到点F,

回。2=OP,OF=OE,

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团四边形ZEPF是平行四边形，

团FP=AE=4,FP||AE,

团NFPA=Z.BAE,

RFR

团sin4FPZ=sin^BAE=—=

AB5

^\AG-AP•sinzFPi4=5tx-=3t,

团SguEP尸=FP•AG=12t,

②当P在BE上(含点B)运动时，此时lWt<|,如图1一2,

图1-2

同理可得：四边形2EPF是平行四边形，

又EL4E1BE,

ElEMEPF是矩形，

SPE=3—2(t-1)=5—23

回S图AEPF=PE•AE=4(5—2t)=-8t+20,

③当P在EC■上(含点C)运动时，此时|<t<g如图1一3,

图1-3

同理可得：四边形ZEPr是平行四边形，

又团/E1BE,

团团AEPF是矩形，

0PE=2(t-l)-3=2t-5,

回S图ZEPF=PE•AE=4(2t-5)=8t—20,

12t(0<t<1)

-8t+20(1<t<j)

(8t-20((<t<y)

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(3)①当P在AB上(不含点A、B)运动时，此时0<t<l,如图2-1,延长C4交FP于

点。，过点A作G41FP,垂足为G,

F

图2-1

由（2）可得：AG=33

0PFIIAE,AE1BC,GA1FP,

回4G||BC,

=Z-GAP,Z-QAG=乙C,

Ap4AF41

团团tan/GAP=tanzB=——=tanZ-QAG=tanzC=—=-=

BE3yEC82

四边形4EPF是平行四边形，

413

团GP=AGXSL\XZ-PAG=3tx-=4t,QG=AG,tanZ_Q4G=3t,-=—t,

回FQ=FP-QG-PG=4-4t-|t=4-yt,

回S"FQ=|"SG=|・（4—£t>3t=|（4—£t）t

当四边形力尸PE被直线ac分得的两部分面积之比为1:3时，

艮RSAAFQ=-SaAEPF^ShAFQ--SBAEPF,

0—（4——t）t—~,12t或5（4——t）t=—,12t

解得：t=A（负值舍去），

②当P在BE上（含点8）运动时，直线AC不分割四边形4FPE；

③当P在EC上（含点C）运动时，此时|<tW蔡，如图2-2,

图2-2

回回力EPF是矩形,

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团AF=EP=2t-S,CP=11-2(t-1)=13-23

团PQ=PCtanzC=(13-2t)•|=

13—2t2t—5

国FQ=FP—PQ=4—,

x<22

团S"FQ=9QSP=5•亨.(2t-5)=；(2t-5)2

pZZZ4

当四边形ZFPE被直线4C分得的两部分面积之比为1:3时，

即

SAAFQ—~SBAEPF^,SAAFQ--S^AEPF,

卑(2t-5尸=i(8t-20)或：(2t-5/=|(8t—20),

解得：tl=£I2不合题意舍去)，「3=£(不合题意舍去)

综上所述：t=g或t=£四边形4FPE被直线AC分得的两部分面积之比为1:3.

(4)①当P在48上运动时，当CF148时，垂足为K,如图4—1所示，过点A作6M1FP,

垂足为G,

团AG=3t,GP=4t,

444

团KC=BC-sinzB=11x-=—,

55

312416

FK=PF•sin匕FPK=4x-=—,PK=PF•cos乙FPK=4x-=—

5555

团FG=4-43AK=PK-AP=Y-5t,

在RtUKC中，AK2+KC2=AC2,

0(y)2+(Y-5t)2=(4V5)2

解得：t[=亲t2=卷(AK小于0,不合题意舍去)，

②当P在BE上运动时，如图4-2,直线CF与4B、BC、4C所在直线的夹角不能为直角;

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图4-1

③当P在EC上运动时,此时|<tW葭，如图4-3,

图4-3

当CF1AB时，设4B与CF交于点M,ZM=90°,

333

™^BCcoszB=llx-=-,

AM=BM-AB^^--5=1,

回回4EPF是矩形，

0XFIIBC,AF=EP,

^\Z-MAF=Z.B,

AM8.38

SEP=AF

CQSZ-MAF5.53’

o17

团BP=BE+EP=3+]=F

17?3

配=1+上+2="

36

当CFIBC时，P点与C点重合，如图所示：此时t=T，

综上所述：当直线CF垂直于△ABC的一边所在的直线时，"卷或"g或t=f.

2562

4.(1)证明：•・•。是对角线AC的中点,

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OA=OC,

•・,四边形ABC。是平行四边形，

ADWBC,ABAD=/.BCD,

Z.EAO=Z.FCO,

在COF中，

\LEAO=乙FCO

OA=OC,

^AOE=Z.COF

••.△ZOE=△COF(ASA),

・•.AE=FC,

,・,将四边形ZBFE沿EF折叠得到四边形MNFE,

・•.EM=AE,

・•.EM=FC；

(2)证明：延长HM交FE的延长线于K,延长//。交石尸的延长线于3如图1,

•.•四边形4BCD是平行四边形,

•­•ADWBC,乙BAD=4BCD,

・•.Z.AEF=乙CFE,

,•・将四边形沿EF折叠得到四边形MNFE,

EM=AE,/.FEM=AAEF,乙BAD=LEMN,

・•・乙FEM=乙CFE,Z.EMN=乙BCD,

•••180°-/.FEM=180°-乙CFE,BPzMEK=乙CFL,

同理4EMK=Z.FCL,

•・•EM=FC,

/.AEMK=AFCL(ASA),

AEK=FL,乙K=^L,

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・•.HK=HL,

由(1)知：LAOECOF,

・•.OE=OF,

・•.OE+EK=OF+FL,即。K=03

•••OH1EF；

(3)解：如图2,过点H作“Q_LBC,交BC的延长线于Q,过点。作。T，BC于T,连接F”,

/-ABC=60°,

・•・乙N=60°,乙HCQ=60°,

•••MN1CD,

・•・乙CPF=乙NPH=30°,

・•・乙PFC=乙HCQ-乙CPF=30°,

•・•FC=2,

・•.FP=2V3,CP=2,

NF=BF=4+2V3,

.・.PN=NF—FP=4,

在Rt^PN”中，

•・•(NPH=30°,

i

NH=-PN=2,

2

PH=y/PN2-NH2=V42-22=2V3,

CH=CP+PH=2+2V3,

•••乙CHQ=90°-60°=30°,乙Q=90°,

CQ=,H=1+V3,

•••HQ=ylCH2-CQ2=J(2+2旧尸-(1+VI)2=75+3,

•.•FQ=FC+CQ=2+1+V3=V3+3,

第20页共53页

■-FQ=HQ,

••・△F”Q是等腰直角三角形,

乙HFQ=45°,FH=正HQ=V6+3vL

•••4BFN=180°-乙PFC=150°,

」EFN=「EFB=NBFN=7S。,

•••4HFO=4EFC-/-HFQ=180°-75°-45°=60°,

OH1EF,

：.AFOH=90°,4FHO=30°,

2(吟鸟亚竽但

•••OH=y/FH2-OF2=(V6+3V2)-2=

.­,OH的长为亚亨

5.(1)解：(1)①在正方力BCD中，ZC=90°,

在RtACMN中，ZC=90°,CM=6,CN=8,

•••MN=VCW2+CM2=V82+62=10,

即MN的长为10.

②如图，延长C8至点E,使=连接AE,

在正方形A8CD中，/.ABC=ZD=4BAD=90°,AB=AD,

在△ZBE和△ZDM中,

AB=AD

/.ABE=乙D,

、BE=DM

/.△ABE三△ADM(SAS),

・•.AE=AM,2BAE=匕DAM,

•・•乙MAN=45°,

・••乙BAN+Z-DAM=45°,

第21页共53页

・•・乙EAN=乙BAE+乙BAN=45°,即4EZN=乙MAN,

在AAEN和AAMN中，

'AE=AM

乙EAN=乙MAN，

、AN=AN

/.△AEN三△ZMN(SAS),

.・.EN=MN,

•・•DM-.CM=3:2,

设。M=3a,BN=b,贝!JCM=2a,AB=BC=5a,MN=EN=3a+b.

・•.CN=BC-BN=5a-b,

在RtZkCMN中，CN2+CM2=MN2,

(5a—b)2+(2a)2=(3a+6)2,

・••4a(5a—4b)=0,

aH0,

5a—4b=0,即川=4,

b

.•.AB:BN的值为4.

•••Z.E=/-BAN,

在^CEN和△BAN中，

(乙E=乙BAN

"NE=乙BNA,

(CN=BN

CEN三△BAN(AAS),

・•.EN=AN,

•••乙AMD=2(BAN=2zE,

第22页共53页

Z-AMD=Z-E+Z-MAE,

.•・乙E=/.MAE,

AM=EM,

vAN=6,AM=8,

.・.EN=AN=6,EM=AM=8,

设DM=%,则心=AM2-DM2=AE2-DE2,

即82—％2=122-(x+8)2,

解得：X=1,

AD=yjAM2-DM2=V82-l2=3«.

6.(1)证明：团四边形ZBCD是平行四边形，

团4。=BC.ADWBC,

团M,N分别是的中点，

团=CNfAM\\CN,

・•・四边形ANCM是平行四边形；

(2)证明：^AND=90°,M,N分别是的中点，

^IMN=-AD=MD,CN=-BC=-AD,MD=-AD=-BC

22222

回MD=CN,

团MN=NC；

(3)解：0M£)=\AD=^BC=CN,MDWCN

0四边形MNCD是平行四边形，

由(2)知MN=NC

回四边形MNCD是菱形，

0Z/VMC=乙DMC,DN1MC/DNM=乙DNC,

0Z1+乙DMC=Z1+4NMC=N2+乙ENC=90°,

0Z/VMC=乙MNC,

SMN=CN=MC,

回AMCN是等边三角形，

S^MND=N2=N1=30°,

在RtANEP中，

第23页共53页

HEP=1,

NP=2EP=2,

回NE=7NP2一EP2=V3,

•••MN=MC=2V3,

回四边形AMCN是平行四边形，

SAN=MC=2V3.

7.(1)解：过点尸作F”1BC于点“，如图,

BEHC--AD=90°,AD=9cm,CD=12cm,

•••AC=15cm,

•••ADWBC,

・•・乙CAD=乙FCH,

•・•Z.D=乙CHF=90°,

•••△ACD^△CFH,

日

A--D-=—AC，即n--9=—15，

CHCFCH3t

9

CH=^t,

当点尸在线段EC的垂直平分线上时，贝UCE=2CH,

即25-4t=2X/，

解得”~

3o

(2)解：当四边形2GEF是矩形时,则EFII2B,

CEF~△CBA,

-

/.—CF=—CE,即prt——3t=-25--4-t，

CACB1525

解得t=­

(3)解：AD=9cm,AC—15cm,BC=25cm,

.AD_CA_3

''AC-CB~

第24页共53页

•・•Z-CAD=乙BCA,

ACD-△CBA,

・•.Z.D=/LBAC=90°,

AB=<BC2-AC2=V252-152=20(cm),

EG1AB,

・•・EGWAC,

BGE〜△BAC,

BGEGBEBGEG

——=——=——,n即n——=——=4—t,

BACABC201525

・•.BG=yt(cm),EG=yt(cm),

FH=VCF2-CH2=J(3t)2_a)2=净，

S=S“BC-SABEG-SACEF=|XB■XC--FG-|CE-FW=IX20X15-IXyt-

yt-|(25-4t)--1|t2-30t+150,

即S=—1|产一30t+150(0<t<4).

(4)解:过Q点作PQII40,与AC交于点P,如图，则PQIIBC,

•••Q是CD的中点,

胫=丝=1,

PAQD

151Q

PC=PA=—cm,PQ=-AD=-cm,

2x22

.­.pp=CP-CF=—-3t,

2

当E、F、Q三点共线时，

vPQWBC,

PQF〜△CEF,

915

.•.吆=空,即3==，

CECF25-4t3t

整理得，8t2—791+125=0,

第25页共53页

解得t=型越空>4舍或t=生越竺，

1616

故存在某一时刻t=79-：步s时,使得点E、F、Q在同一条直线上.

16

8.(1)解：(1)由题意得，AP=xcm,BQ=2xcm,

^\AB=4cm,

团BP=AB-AP=(4—x)cm,

回四边形4BCD是正方形，

比48||CD,

回NMC。=Z.PAO,Z.CMO=/-APO,

团点。是对角线AC的中点，

团C。=A0,

在△MC。和△PA。中，

2MC。=^PAO

乙CMO=Z.APO,

CO=AO

0AMCO三△PZO(AAS),

团CM=AP=xcm,

故答案为：(4一%),%；

(2)根据题意，得：0<%<2,

团四边形ZBCO是正方形，

团4。||BC,

团NQC。=(NAO,乙CQO=乙ANO,

团点。是对角线AC的中点，

团C。=A0,

在aQC。和△NA。中，

第26页共53页

ZQCO=乙NAO

乙CQO=乙ANO,

CO=AO

回△QC。三△NAO(AAS),

团CQ=AN,

团四边形ZBCD是正方形，

团BC=AB=CD=AD=4cm,

团BQ=2%cm,

团CQ=BC-BQ=(4—2%)cm,

团4N=(4—2%)cm,

回OM=CD-CM=(4—x)cm,DN=AD-AN=2%cm,

团S—PN—|^4P•AN=~x(4—2%)=2x—x2；

22

S^CMQ=^CM-CQ=|x(4-2%)=2x-x；S^BPQ=^BP-BQ=|(4-x)-2x=4x-x；

S^DMN=|DM•DN=|(4—%)-2%=4%—x2,

22

团y=S正方形ZBCQ—APN~S&CMQ一S&BPQ—SADMN=4—2(2x—x)—

2(4x—%2)=4%2—12%+16,

综上，y=4产一12%+16(0<x<2)；

(3)0AMCO=△PAO,

回M。=PO,

[?]△QCO=△NAO,

团Q。=NO,

团四边形PQMN是平行四边形，

团四边形尸QMN是轴对称图形,

①当四边形PQMN是矩形时，如图，

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只需P。=Q。即可，

则此时只需PB=QB即可,

04—x=2x,

解得“=I；

②当四边形PQMN是菱形时，PQ=MQ,

团(4一x)2+(2%)2=%2+(4—2x)2,

解得%=0(舍去)；

综上，当四边形PQMN是轴对称图形时，久的值是土

9.解：(1)由题意可知，/.EOF=45°,0OEF=9O°,

瓯OEF为等腰直角三角形，

0£F=OE=AB=6；

即NEOF的“截线长”为6；

团aEMO为等腰直角三角形,

SEM=OM,

在R/HOBF中，AB=6,AD=12,

0OF=y/OB2+BF2=762+122=6函,

00£MF=aOBF=9Oo,团0户3为公共角，

第28页共53页

mEMF^OBF,

FMEM

回n一=—，

BFOB

设EM=OM=x,则MF=6A/5-x,

团-6-y/-5-X=X

126

解得，x=2^5,

0EM=OM=2V5,MF=4A/5,

在火烟EM/中，EM=2V5,MF=4A/5,

0EF=VFM2+MF2=J(2遮)2+(4遮7=10,

即NE。尸的〃截线长〃为10；

(3)如图，过点。作。G18C于点G,

团四边形A5G0是矩形，

团48=6,AD=12,点。为AD的中点，

回。4=A8=6,

团四边形ABGO是正方形，

^AO=GO=BG,^AOG=^\BGO=90°

在GC上截取GH=AE,

在回。4E和团OG"中，

OA=OG

△A=Z.OGH=90°,

AE=GH

^\OA^OGH9

^AOE=Z.GOH,OE=OH,

^AOG=90°,乙EOF=45°,

^AOE+Z.FOG=45°,

团匕GO”+Z■尸。G=45。，

第29页共53页

0ZFOH=45°；

0ZFOH=乙EOF=45°

在ElOEf1和回。”/中，

0E=0H

乙EQF=4HOF=45°，

.OF=OF

^EOEF^OHF,

SEF=FH=5,

国FH=FG+GH=FG+AE=5；

设AE=x,则3E=6-x,FG=5-x,BF=BG-FG=6-(5-x)=尤+1,

在R/EIBEF中，由勾股定理可得，EF2=BE2+BF2,

052=(6-X)2+(X+1)2,

解得x=2,

0AE=2.

10.解：(1)•.•四边形力BCD是菱形，ZXBC=120°,

AB=AD,/.BAD=乙ABD=60°,

由旋转可知：AE=AF,Z.EAF=60°,

•­•/.BAD=EAF,

.•.AABE=AXDF(SAS),

•••ZXDF=^ABD=60°；

(2)如图2,过点E作EG14。于G,

•••四边形4BCD是正方形，AB=6,BD是对角线,

BD=6vLZ.ADB=45°,AD=6,

又•••NDGE=90。，

.•.△DGE是等腰直角三角形,

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•••BD=6^2,BE=ZED,

DE=2V2,

DG=EG=2,

AG=6—2=4,

在Rt△AGE中，AE=>JAG2+EG2=V42+22=2后

区4绕点E逆时针旋转90。得到EF,

.•.△E4F是等腰直角三角形，

AF=42AE=2V10,

在RtAABF中，AB=6,AF=2V10,

BF=7AF?-AB2=J(2V10)2-62=2；

(3)如图3,过4作力MlBE于M,过点尸作FN1BD,交BD延长线于N,

/-AME=乙FNE=90°,

••,四边形48CD是矩形，AB=200米，AD=200百米,

Z.BAD=90°,

BD=2002+(200何2=400(米)，

BM=100(米)，

RtAAEF^,^AEF=90°,^FAE=60°,

•­•tan/FAE=—=tan60°=V3,AFAN+AAEM=90°,

AE

又NEAM+Z.AEM=90°,

•••AEAM=乙FEN,

又•••^AME=乙FNE=90°,

第31页共53页

•••△AMEENF,

.EN_FN_EF_pz

,,AM-EM=AE="VJ,

设EM=久米，贝！|FN=V^c米，

•••BD=400米,BM=100米，

•••ED=400-100-x=(300-x)米，

SAEDF=|EDxFN=|(300-x)V3x=—/(%—150)2+11250V3,

当尤=150时，△EOF面积最大，

此时EM=150米，AM=100百米，

AE=J1502+(100V3)2=50V21(米)，

•••EF=y/3AE=150V7(米)，

•­•SMEF=|aExEF=IX50Vnx150V7=26250V3(平方米)，

即研发区的面积最大时试验区的面积为26250百平方米.

11.