2025年中考数学三轮高频考点：二次函数中的线段最值与面积最值问题 冲刺练习

2025年中考数学三轮高频考点

二次函数中的线段最值与面积最值问题冲刺练习

考点一：二次函数与线段最值问题

1.已知抛物线＞=12,直线＞=辰+1交抛物线于A,B两点，设

如果是定值则求出该值;

（2）设直线与〉轴交于F点，求抛物线上的任意一点以工,%）到点F的最小距离;

（3）向+向是否为定值，如果是定值则求出该值；

⑷证明以线段旗为直径的圆与直线y=-i相切.

2.如图，P（2,"）是抛物线y=-；/+x+2上一点.

⑵直线k3X+,”与y轴左侧的抛物线交于A、3两点（点A在点8的右侧），PA、PB分别交y轴于点c、D,M

是抛物线与y轴的交点.

①求线段AB的取值范围;

②试问MC+MD的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.

3.如图，二次函数，=-如2+2如+3的图象与X轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C,顶点

为D其对称轴与线段8c交于点E,与X轴交于点凡连接AC,BD,已知cotZACO=3.

⑴求m的值;

（2）求“或＞的正切值;

(3)若点尸在线段BD上，S.ZFPB=ZCAB,请直接写出点尸的坐标.

4.如图，抛物线Z：y=V(x-")(x-〃+3)(常数">0)与x轴从左到右的交点为B.A,过线段0A的中点M作“户_Lx轴,

交双曲线>=：(左>0，x>0)于点P,且O4Mr=6.

(2)试探寻线段AB的长与"的关系；

(3)当"=2时，求直线MP与L对称轴之间的距离；

(4)把Z在直线UP左侧部分的图像(含与直线的交点)记为G,用"表示图像G最高点的坐标；

5.已知抛物线y=/2+云+C与X轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与>轴交于点C,直线y=-x-6经过点A与

(2)点P在线段AC下方的抛物线上，过点P作BC的平行线交线段AC于点D,交>轴于点E.

①如果C、F两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF,当DF_LCF时，求NPDF的正切值；

②如果PD：QE=3：5,求点P的坐标.

6.如图，已知二次函数产次+&+C的图像与X轴相交于A(-LO),B(3,0)两点，与y轴相交于点C(o,3)

(1)求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；

(2)若p是第一象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点H,与交于点M,连接PC.设点P的横

坐标为r.

①求线段P”的最大值；

②&网：5人"=1：2时，求r值；

7.如图，抛物线>=--2仙-3与X轴交于4、B两点(4在B的左边)，与y轴交于C点，且。C=OB.

试卷第2页，共6页

匕匕匕

。BxQ染x\OBx

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图2,在线段BC下方的抛物线上存在一点。使产=2,AD与BC交于点E,求喘的值；

ED

(3)如图3,在抛物线下方存在一点Fqw，连接FC、FB分别与抛物线交于点M、N,求直线与直线AC相交

所形成夹角中锐角的正切值.

考点二：二次函数与面积最值问题

8.如图1,在平面直角坐标系中，直线，=-,+//0)与抛物线尸加(。>0)交于点A,B.

0O

图1图2

(1)若点A的坐标为(-3,9),求a,b的值；

(2)如图2,在(1)的条件下，若C是直线AB下方抛物线上一动点，求VABC的面积最大时点C的坐标；

(3)在第二象限内有一点D(T2),连接AD并延长交抛物线y="2(a>0)于点E,连接BD并延长交抛物线于点F,

连接EF.若对于任意b值020且6,)，总有抽〃£尸，求。的值.

9.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/+〃x+c的对称轴是y轴，且经过(0.0)和(L2)这两个点.直线

尸狂-4("<0)与该抛物线交于A、8两点(点A在点B的左侧)，且与x轴、y轴分别交于C、。两点.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若AC=2CD,连接0AOB,求AAB。的面积；

(3)在y轴上是否存在点P,使得当上取某值时，AABP是等边三角形.若存在，请求出此时人的值；若不存在,

请说明理由.

10.抛物线产扣2+(2,+3)工+产+3—4］与工轴交于4B两点(点B在点A左侧)，与＞轴负半轴交于点C.

(1)如图1,当"0时，连接AC,BC,试判断VMC的形状，并求VABC的面积;

(2)如图2,当时，点M为B,C间抛物线上任意一点(点Af不与B,c重合)，直线分别交y轴

于E,F两点，点M在运动过程中，是否存在固定的值，使CF=4CE成立，若存在求出，值，若不存在，请说

明理由.

H.抛物线，=烬+(2,+3)工+,+3-4］与工轴交于A,B两点(点B在点A左侧)，与丫轴负半轴交于点C.

图1图2

(1)如图1,当r=0时，连接AC,BC,试判断VMC的形状，并求VMC的面积；

⑵在(1)的条件下，。为抛物线上一点(点。不与A,B,C三点重合)，且加2=2/ABC,求点2的坐标；

(3)如图2,当时，点M为B,C之间抛物线上任意一点(点”不与B,C重合)，直线A«,MB分别交y轴

于E,F两点，点M在运动过程中，是否存在固定的/值，使CF=4CE成立，若存在求出/值，若不存在，请说

明理由.

12.如图，抛物线＞=a+i)2+方与x轴相交于A、B两点，与＞轴相交于点c(o，-3).

(1)求抛物线的对称轴及方值；

(2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得厚+PC的值最小，求此时点户的坐标；

(3)点”是抛物线上一动点，且在第三象限，当M点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形丽B

的最大面积.

13.如图1,在平面直角坐标系中，直线＞=1与抛物线＞=底相交于A,B两点(点B在第一象限)，点C在AB

的延长线上.且BCi-AB("为正整数).过点B,C的抛物线3其顶点M在x轴上.

试卷第4页，共6页

(1)求A8的长；

(2)①当”=1时，抛物线L的函数表达式为二

②当”=2时.求抛物线Z.的函数表达式_；

(3)如图2,抛物线E：y=a>/+3+j经过8、C两点，顶点为P.且。、B、P三点在同一直线上，

①求。，与〃的关系式；

②当"=%时，设四边形的面积既，当，e时，设四边形B4VC的面积s,(A,f为正整数，l<k<6,1<?<6),

若&=4S,,请直接写出%y值.

14.如图，抛物线丫=加+法过A(4,0),B(1,3)两点，点C、8关于抛物线的对称轴对称，过点B作

直线轴，交x轴于点

(1)求抛物线的表达式；

(2)直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；

(3)若点M在直线8月上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角

形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.

15.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线y=-x+4与X轴交于点A,过点A的抛物线y=o?+fcx与直线

(2)如图1,。为抛物线上位于直线旗上方的一动点(不与B、A重合)，过。作2PU轴，交X轴于P,连接A2,

M为A。中点，连接过M作脑交直线AB于N,若点P的横坐标为，，点N的横坐标为0,求枕与r的

函数关系式；在此条件下，如图2,连接QV并延长，交y轴于E,连接AE,求f为何值时，MNHAE.

（3）如图3,将直线的绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C,点T为线段0A上的一动点（不与0、

A重合），以点。为圆心、以。7为半径的圆弧与线段。c交于点。，以点A为圆心、以AT为半径的圆弧与线段AC

交于点F,连接。尸.在点7运动的过程中，四边形。的面积有最大值还是有最小值？请求出该值.

试卷第6页，共6页

《2025年中考数学三轮高频考点二次函数中的线段最值与面积最值问题冲刺练习》参考答案

L(1)是定值，V2=~4,

(2)1

(3)是定值，1

(4)见详解

【分析】(1)联立函数解析式，得到一元二次方程，根据根与系数的关系进行求解即可；

(2)根据两点间的距离公式求出尸尸，利用二次函数求值即可；

(3)求出|臂=乂+1，]跖屋+1,推出向+点,结合⑴中结论，进行求解即可；

(4)中点坐标公式得到圆心的坐标E傻,进而得到圆心到直线y=-l的距离d为丛产+1,求出线段AB

的长，判断"与竽的关系，即可得证.

【详解】(1)解：是定值.

联立：尸/，则h+l=%2,化简得/_4丘-4=0,

y=Ax+l

...％+/=4女,xxx2—-4,

••.%%=卜;卜[3卜如%)2=i，

/.XjX2=-4,y%=1;

(2)解：•・•直线》=履+1与y轴交于尸点,

尸(o,i),

*.*抛物线上的任意一点尸(%，%)

••%=W

则P尸=(0+%)2+(1-%)2

224

=x0+l-ix0+^x0

,1214

=1+/+记X。

令十="(a20),贝UPF，=1+：。+]/=[("+4)22^x4°=1,

抛物线上的任意一点Pa，%)到点F的最小距离为1;

(3)解：是定值，

Vb(0,1),且y=%2,

，|叫=J%：+(1_yJ=J4yJ+0_yj2=%+i,

同理：忸刊=旧+y)2=网；+0_%『=%+1,

.二-+'=，+，

**\AF\\BF\%+1y2+l

；%+1+。+1

(%+1)(%+1)

=%+。+2

%+1+%+%%'

答案第1页，共28页

由(1)知："2=1,

•.・原式=共1"

•••山+看是定值，定值为1;

(4)解：•••线段AB为直径，

•••圆心的坐标为：(七三，"&),

圆心到直线y=-i的距离/为且产+1,

%+%=：#+：其=：［(为+三)~-2占三］=：(16〃+8)=4/+2,

.・.d=%；以2.+1=2白+2,

AB=J(4一乂)2+(二一石)2,

由(1)知：芯+%2=4氏，%%2=—4,

（%2_玉）2=（玉+%2）2-4芯％2=16左2+16,

（为一%）2=（；考—=^（玉+”2）2（%一电）？=\X16女2*（16左之+16）=42x（16出之+16）,

AB=«2X（16〃+16）+（16左2+16）=J16,2+1）2=4（左2+1）,

・/AB

・,d=~2'

・••圆心到直线的距离等于半径，

・・・以线段融为直径的圆与直线尸-1相切.

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及一元二次方程根与系数的关系，中点坐标公式，勾股定理，切

线的判定等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的计算，是解题的关键.

2.(1)2

(2)①0<AB<4而；②是，4

【分析】(1)直接把P(2,0)代入抛物线y=［x2+x+2即可得到答案；

(2)①由直线y=3x+",与y轴左侧的抛物线交于A、8两点，当x=o时，>=(可得”>2,联立解析式可得

x2+4x+2m-4=0,此时方程有两个不相等的实数根，求解，”<4,可得2<加<4,解方程可得从卜2+J8-2,",9-6+348-2,”),

B卜2-g疝.-6-3反赤)，再进一步结合勾股定理可得答案；

②设直线以为k。+九求解直线尸A解析式为：产"plEx+g履直线网解析式为：>=2±摩空工_@而，

可得点々0,际而)，点D(OL用砺)，进一步可得答案.

【详解】(1)解:把点P(2,")代入y=-；*+x+2,

得R=—白2?+2+2=2

(2)解：①；抛物线y=-g/+x+2与y轴的交点为“(0,2)

且直线y=3x+，相与y轴左侧的抛物线交于A、B两点，当x=o时，"明

:.m>2,

答案第2页，共28页

y=3x+m

由y=-—x2+x+2f

12

整理得：x2+4x+2wi-4=0,

此时方程有两个不相等的实数根,

，A=42-4（2W-4）>0,

解得：m<4,

2<m<4,

=

X|=—2+，8—2mJ%2-2-，8-2m

・•・解方程得：

%=m-6+3\/S—2ni'Iy2=m—6-3j8-2祖

•・•点A在点8的右侧

A（-2+J8-6+3>/8-2m）,5（—2—>/8—2m,m—6—3,8—2m）

AB=J（2>/8-2w）2+（6V8-2»z）2=4,20-5加,

.-.0<AB<4^0

②由①知直线y=3%+也与y轴左侧的抛物线y=-；%2+%+2交于AJ+A/T亏，帆-6+3场F）,

B^—2—y]8—2tn,m—6—3y/S—2m）两点

又・.・点尸（2,2）,

设直线以为丁=勿十九

'2e+f=2

12+J8-2m）e+f=~-6+3J8-2m

2—\[S—2m

e=----------

解得:2

f=>JS-2m

，直线丛解析式为：y=士警Lx+用茄,,

同理可得：直线网解析式为：、=2+亭赤.昕总

同理可得：点C（0,痒石），点D（0.-斥诉）,

又•抛物线产」/+x+2与>轴的交点”（0,2）

.•.MC+MD=（2-J8-2勿）+（2+j8-2司=4为定值.

【点睛】本题考查的是二次函数的性质，一元二次方程的解法以及根的判别式的应用，勾股定理的应用，求

解一次函数的解析式，本题的计算量大，细心的计算是解本题的关键.

3.（1）^=1

（2）tanZCBD=i

（3）呜4

【分析】（1）由题意易得点C（0,3）,则有。A，OC=1,即A（-LO）,然后代入函数解析式进行求解即可；

（2）连接8,由（1）可知二次函数解析式为y=-f+2x+3,则有B（3,0）,D（l,4）,然后可得BC=3在€»="8。=2布,

进而问题可求解；

（3）分别过点尸作PG_LOB于点G,过点F作FHLPB于点H,由（1）（2）可知DF=4,BF=2,BD=26,tan/CAB=^=3,

答案第3页，共28页

然后可得sinNFBD=/=竺.tanNFBD=1^=2,FH=空弃=挈，进而根据解直角三角形可进行求解.

BD5BFBD5

【详解】（1）解：由题意可令x=0,代入二次函数y=T研,+2如+3得：产3,

C（0,3）,

nr

cotZACO=3,BPcotZACO==3,

OA=-OC=1,

3

.・.A（-1,O）,

/,—2m+3=0,

解得：m=l,

由（1）可知二次函数解析式为"-炉+2%+3=-（%-1）2+4,

.・・顶点。（1,4）,

当>=。时，则-%2+2%+3=0,

解得：=-l,x2=3,

区（3，。），

C（0,3）,

BC=-J（3-0）2+（0-3）2=3>/2,BD=,J（3-1）2+（0-4）2=2>/5,CD=^（l-O）2+（4-3）2=>/2,

222

BC+CD=20=BDf

：.△友力是直角三角形，即48=90。,

tanZCBD=—=-•

BC3'

（3）解：分别过点尸作PG_LO3于点G,过点/作FH_LPB于点H,如图所示:

由（1）（2）可知=4,5尸=2,50=2百，tanZC4B=—=3,

・■/口尸_2如*/mn_DF“BFDF_4下

・・sinNFBD=-----=------,tunNFBD=-----=2,FH=-----------=------,

BD5BFBD5

*.*ZFPB=NCAB,

答案第4页，共28页

tanZFPB=tanZ.CAB=3,

:.PH=FH=迫网=FH=撞

tanZFPB15tanZFBP5

BP=BH+PH=—,

3

PG=BPsinZFBD=-,BG=———=-,

3tanZFBD3

7

I.OG=OB-BG=-f

【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合及解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解题

的关键.

4.⑴左=3

(2)线段的长与"无关，为定值3

(3)|

(2〃-36n—n2

(4)图像G的最iWi点为(2句或1万，8

【分析】(1)设点P(£y),只要求出孙即可解决问题;

(2)先求出A、B坐标，利用A、B坐标求出AB的长即可；

(3)把”=2代入抛物线解析式，求出点A、B的坐标，然后求出抛物线的对称轴为直线x=匚/三，点M的坐

标为。，0),即可求出结果；

(4)根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线“P左侧，L的顶点就是最高点，当对称轴在"P右侧，L

与“户的父点就是最局点.

【详解】(1)解：设点P(x，y),则MP=y,由0A的中点为M可知OA=2x,代入0AMp=6,

得到2">=6,即到=3,

.•.女=孙=3；

(2)解：把"。代入y=(尤-〃)(%-八+3)得：

0=——(^x——n,

解得：石=〃，x2=n-3f

・・・"0,A在点3的右侧，

・••点A的坐标为：(4。)，点8的坐标为：(«-3,0),

AB=〃—(％—3)=3,

；•线段AB的长与"无关，为定值3;

(3)解：当九=2时，令y=。，。=-3(尢-2)(%-2+3),

解得：％=2或％=-1,

•・•点3在点A左边，

AB(-l,0),A(2,0),

•・Z是对称轴为直线％=与号，且M为(1,0),

答案第5页，共28页

MP与L对称轴的距离为l—g=g；

（4）解：根据解析（2）可知，点A的坐标为：（〃,0）,点3的坐标为：（，-3,0）,

・•・£的对称轴为直线>纪尸=手，叱可，

把尤=^^代入>=一；（％一〃）（％一〃+3）得：y=|

ZZo

・••抛物线的顶点坐标为：（等，]，

把尤=2代入产一；（'一"）（'一"+3）得：y=，2，

ZZo

抛物线与破的交点坐标为：

当笄美，即“V3时，对称轴在直线MP左侧，抛物线的顶点坐标仔展号为图像G最高点;

ZZIN，

当2"3>5,即〃>3时，对称轴在直线“尸右侧，乙与MP的交点（日，生就是G的最高点；

ZZIZoI

综上分析可知，图像G的最高点为

【点睛】本题主要考查二次函数综合题、待定系数法，解题的关键是理解题意，学会利用图形信息解决问题,

学会用方程的思想思考问题，考虑问题要全面，属于中考常考题型.

5.（l）y=^x2+2x-6

（2）①（②卜吟）

【分析】（1）先由一次函数求出A（FO）,C（FO）,再运用待定系数法求二次函数解析式，即可作答.

（2）①依题意，得DF_LCF,PE||BC,ZPDF=ZACB,根据角的等量代换，即=先求出点8的坐标.NPDF

的正切值等于

（JC63

②先表达出d*p2-p-6）,尸+石N=[p2-；p,EM=-3p再根据相似三角形

的性质与判定，列式化简计算，即可作答.

【详解】（1）解：：直线产T-6经过点A与点C

贝!J当％=0，y=；y=o，x=-6

A（-6,0）,C（-6,0）

.卜=-6,

*'[0=18-6^+c,

解得仁6

12

y=-x+2%—6•

2，

（2）解：①如图:

*/A（-6,0）,C（-6,0）,且C、夕两点关于抛物线y=g%2+2%—6的对称轴对称，

__b____2___2

X

yF=yc=-^,~2a~2xl-

2

则%F=-4

答案第6页，共28页

DF.LCF

：.0尸〃y轴

则NFDC=NOC4

:过点尸作的平行线交线段AC于点D,交>轴于点E.

PE\\BC,/PDF=ZACB

贝（jN尸DF=NOC5

・・・丁=白2+2%―6无轴交于43两点（点A在点B的左侧）,

I.0=-X2+2X-6

2

・,・％=—6,x=2

B（2,0）

NPDF=NOCB

则4DF的正切值等于tan“CB=M='；；

OCo3

②设户（。1/+2。-6）,BC的解析式为y=，"x+〃

.•.把C（0,-6）,2（20）代入y=™:+”

得II

‘寸［0=2m+n

解得｛n=-6

m=3

•・•过点p作5c的平行线交线段AC于点，交y轴于点E

・••设依的解析式为y=3x+b

把《，,，2+2。-6］代入"3%+方

得6=gp2_p_6

y=3x+-^p2—p—6

令元=0,y=gp2_p_6

即E（0,1-p-6］

y=-x-6

y=3x+^p2—p—6

解得X=-1p2+；P

O4

贝!J把x=_*2+；p代入y=3x+1p2_p_6

o4Z

y=＞p_6

得o一；4

答案第7页，共28页

・/1211211

­•Dl-8P+了"/-/刃

:过点尸作P"Lv轴，过点。作ON_Ly轴,

△EDNSAEPM

.EN_DE

•'~EM~~EP

*.*PD:DE=3:5

EN：EM=5X

*.*E(0,gp2_p_6),0(_：p2+；p,：p2_：p_6),尸(p,gp2+2p—6)

EN=gp2-p-6-[p2-；p-6)=|p2_：p,EM=^p2-p-6-^p2+2p-6^=-3p

33

：,-p2--p^-3p=5：S

解得Pi=O'Pi=-3

・・•点尸在线段AC下方的抛物线上，

AA=O(舍去)

P=-3.

把〃=-3代入V=1+2〃一6

,点尸的坐标13,同

【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性

强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

6.(1»=-炉+2]+3,顶点坐标为(1,4)

(2)①(；②；

【分析】(1)将A、B、。三点的坐标代入丁=湛+"+。中得一个三元一次方程组，解这个方程组求出〃、b、c

的值即可得二次函数的表达式，再将一般式化成顶点式，即可求得顶点坐标.

(2)①设直线5。的表达式为y=s+"Swo),将3、。两点的坐标代入"如+"中求得相、〃的值，即可知5。的

表达式.由尸点的横坐标为可得P点的坐标为(-*+2.+3),M点的坐标为QT+3),用含有/的代数式表示

出尸M的长，再求出最大值即可.

②用含有/的代数式表示出和PM的长，由△心”和等高，且％PBM：%MHB=1：2,可得=即可求出

力的值.

【详解】(1)(1)将4-1,0),5(3,0),。(0,3)代入丁=加+云+°,得：

答案第8页，共28页

a-b+c=O

<9。+3b+c=0,

c=3

a=­\

解得:'b=2，

c=3

二次函数的表达式为k*+2x+3.

•/y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

二次函数图像的顶点坐标为(1,4).

(2)①设直线BC的表达式为y=m+"g*o),

将B(3,O),C(O,3)代入>=皿+",得:

[3m+n=0

[n=39

解得:t1-

・•・直线BC的表达式为y=-%+3.

・・•点尸的横坐标为《0々<3),

:.点P的坐标为(£,-产+2/+3)，点M的坐标为CT+3),

.•.9=一产+2，+3-(一/+3)=-*+3/=-,一|)+(,

线段尸M的最大值为1.

②;点尸的坐标为-产+2%+3),点M的坐标为(兀T+3),

・••点”的坐标为G。)，

PM=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,MH=-t+3.

■:小PBM不口公MHB9S^PBMS/^MHB=1：2,

:.MH=2PM,即一方+3=—2/+6,，

解得：4=；以=3(不合题意，舍去)，

二当5—：显由=1：2时，r的值为已

【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数及几何图形的综合运用，综合性较强，难度较大.熟练掌握用

待定系数法求函数表达式及数形结合法是解题的关键.

7.(l)y=x2-2x-3

(2)2

⑶2

【分析】(1)根据。B=OC,得到B点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；

(2)过点B作MBIIAD交y轴于点V,设直线AD表达式中的表达式为>=辰+&,求得/W的表达式为y=4+1),表

示出点以。㈤，同理得到点跖。「3储根据产=2,解出鼠进而求出D,E的坐标，即可得到答案；

°AADC

(3)求出c尸表达式，从而得到V、N点坐标求出直线表达式，过点C作CD〃MV,交工轴于点。，过点A作

答案第9页，共28页

AHVCD,ZACH即为两条直线的夹角，求出直线8的解析式，进而得到。点坐标，等积法求出4/的长，勾股

定理得到S的长，利用正切的定义，进行求解即可.

【详解】⑴解:由抛物线的表达式知，OC=3=OB,即点B（3,0）,

将点B的坐标代入抛物线表达式得：0=9a-6a-3,

解得a=l，

二抛物线的表达式为>=/-次-3;

（2）解：Vy=x2-2x-3,当产0时，X2-2X-3=0,解得：4=3,受=-1,

A（-1,O）,

设某直线的表达式为y=h+",直线上两点坐标为：&，%），（%，%）,

则吐〉整理得:心号①，

该直线的表达式我们也可表示为：尸②.

过点B作交丫轴于点M,设直线AD交丫轴于点H,

设直线AD表达式中的表达式为尸丘+心

由②知，AD的表达式为广总+1）,则点切。阳，

同理，直线3M的表达式为，=小-3）,则点M（0,-3Q,

s

•.•△ABD和AADC是同底均为AD,且p迺=2,

MH=2CH,即-3左-左=2（左+3）,解得左=—1,

故直线AD的表达式为尸《+1）=-%-1,

由点C、3的坐标得，直线的表达式为丁=%-3,

联立上述两式得：x-3=-x-\,解得％=1,

当％=1时，y=x-3=-2,

即点*2）；

联立直线短和抛物线的解析式，得：｛；:；二：_3,解得：｛[I或

AD（2,-3）;

AE=7（1+1）2+22=2y/2,DE=^/（2-1）2+（3-2）2=>/2,

・AE25/2

..DE五7=^=2;

（3）解：•.・点以3,0）、尸（|,«）,

答案第10页，共28页

n2n

则由①知，该直线的左值=七~7,

2

由②知，直线班的表达式为…（%-3）=-,+2〃③,

同理可得，直线b的表达式为产竽④，

由（1）知抛物线的表达式为y=--勿-3⑤,

x=-i(2«+3)

联立③⑤并解得,3，即点N的坐标为♦第，"招,

y=-(4/+24〃)

联立③⑤，同理可得，点M的坐标为（誓，“/+%+电）;

设直线”、N的表达式为产sx+，,

An2+24〃4n2+36〃+45i./2鹿+32〃+12、,

由①得：§=（：-)-(-----------)=1,

99

2〃+124n2+36〃+454n2+30〃+9

由②知，直线"N的表达式为y=%----------------=x+---------------

99

过点。作CD〃脑V,交％轴于点。，则直线CD的解析式为y=x-3,

当y=o时，％=3,

0(3,0),

CD=V32+32=3>/2,A£)=4,AC=Vl2+32=>/10

过点A作AH_LCD,

s“A8rn=2-ADOC=2-CDAH,

4x3=3"4H，

AH=242，

••CH=VAC2—AH2=5/2,

/.tanZACH=9=半=2,

CHV2

即：直线MN与直线AC相交所形成夹角中锐角的正切值为2.

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了一次函数二次函数的基础知识，平行线的性质，解直角三角

形，处理复杂数据是本题解题的关键.

8.（1）«=1,噢

（2）面积最大时点。卜；：

⑶

【分析】（1）将点A坐标分别代入直线与抛物线方程求得未知数即可;

答案第11页，共28页

（2）联立直线方程与抛物线方程，求得点8,当点C到直线度距离最大时，三角形ABC的面积取得最大值，

将直线AB向下平移得到的解析式为广-9+9+〃，与抛物线方程联立，令A=0,解得k-霍，则平移得到的解

析式为尸即可求得面积最大时点C坐标为「，专）；

（3）根据题意直接取6=0,此时直线AB的表达式为：尸-氐，将直线AB与抛物线进行联立求得点8坐标，求

得直线助表达式为：产-2x,进一步求得点尸坐标为（子,北，同理，求得直线.表达式为：＞=（-2-冷）X-京，

\UCljI4a-乙）4。—Z

（"；）,将直线的与抛物线联立，求得点E坐标为：[品].产”],结合题意可得比例系数相等即可求得。.

【详解】⑴解：将点4（-3,9）,代入直线＞=（*0）,得〃=与，

将点A（-3,9）代入丁=加（〃＞0）,得”=1,

故a=l,=y;

15

（2）解：联立直线方程与抛物线方程，即，二一5»万，

解得另一交点8的坐标为：仁昌，

当点C到直线的度距离最大时，三角形ABC的面积取得最大值，

将直线AB向下平移得到的解析式为》=-?+：+力，

15

与抛物线方程联立得工三,+了，则/+白一3-/,=0,

i22

△=/_4ac=（g）-4xlx,£—"=0,解得力=_詈，

则平移得到的解析式为尸-9+片-[=-9-J，

2216216

此时，交点C即为面积最大，点C坐标为

a

（3）解：对于任意b值（/0且总有钻〃EF,

则直接取。=0,

此时直线AB的表达式为：y=-1x,

将直线AB与抛物线进行联立，即尸弓。设点A在点8左侧，

[y=ax2

解得：A点坐标为（-三，圭），点3坐标为（。,0）,

设直线BD表达式为：y=mx+nf

将3,。两点分别代入求得仁武〃，解得仁;

直线BD表达式为：＞=-2x,

将直线BD与抛物线联立，

即忆:，解得点尸坐标为信3），

同理，设直线AD为，=必+",将A,。两点分别代入求得,

直线AD表达式为：y=12-击〉-高，（。弓），

答案第12页，共28页

将直线AO与抛物线联立，即'=(-2-力口一石三,

y=ax1

可化为.ax2+\2+---\x+---=0

」也"(4a-2)4a-2'

由一元二次方程的求根公式可得，该方程组的解为:

2a

经化简可得点£坐标为:

设直线石尸方程为：将石，尸两点坐标代入得,

-74+16。-4(-7a+2)(a-2)-7a+2

直线用的比例系数为:

2a之—5a+2(2a-l)(a-2)2a-1

.AB//EF,

，直线AB与直线匹比例系数相等，即壬=[,解得。=：；且满足上述成立.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数与一次函数围成面积最大、

一次函数的平移、判别式在函数中的意义、一次函数和二次函数交点的意义以及直线平行对应的比例系数相

等，此题计算量较大，对计算的准确性考验较高.尤其是第三小问考虑取特殊值和比例系数相等求解.

9.⑴y=2£

⑵2

(3)存在，*=

【分析】(1)结合抛物线y=&+及+C的对称轴是y轴，且经过(0,0)和(1,2)这两个点.得出-1=0,b=o,c=0,a=2,

即可作答.

(2)根据一次函数的性质，得出。(0,-4),eg,0),结合反比例函数的图象性质，得出A(而例-4),B®,g-4),

证明W/sQ。，因为AC=2CD,贝^=3*9，即中|，0),A(-2,4),建立方程组进行计算，然后运用割补法

歹!|式“IB。的面积=£板,,进行作答即可.

(3)设AB的交点为M,过点M作ME_Ly轴，过点4作AF_L"E,联立抛物线和直线得到2f-h+4=0,然后求出

/k-y/k2-32k2-ky/k2-32fk+yJk2-32k2+ky/k2-32kk2心u土山”/女八一

A—4—，——4----------，—D4—，——4---------------，小”9力+%=5-8,然后求出加叮彳-4}表示

出AF=,然后根据等边三角形的性质得到sin4PM=鬻=与然后证明出.AFM^MEP，得到黑=芸=。,

4PM3MEPM3

代入求解即可.

【详解】(1)解：：已知抛物线."江+"+c的对称轴是y轴，且经过(0.0)和(1,2)这两个点.

b

...-----=0,b=0,c=0

2a

y=ax2

把0,2)代入y

・・2=izxI2

・・Q=2

该抛物线的函数表达式y=2/.

答案第13页，共28页

（2）解：・・•直线产丘-4（左<o）与该抛物线交于A、5两点（点A在点3的左侧），且与1轴、y轴分别交于C、

。两点.

.・.当％=。时，则y=-4

.・.0(0,-4)

・,•当>=。时，则0=丘-4

,_4

**X~~k

则喉,0

设A&,g一4),B(X2,AXJ-4)

如图：过点A作AH_Ly轴，连接AO,BO

,/AHLy,/COD=90。

...AH\\CO

I.^ADH^^CDO

,CDCO

…~DA~~AH

VAC=2CD

,CDCO\

',~DA~^H~3

VC（:可，，（与何-9

.2412

..三=3"石=不

itx--4=8

k

JAA

k

把《葭，8）代入

y=2x\解得女=-6（正值已舍去）

,A(-2,8)

y=-6x-4

y=2x2

解出％i=-2,x2=-l

5(-1,2)

VD(0,-4),A(—2,8),

AAB。的面积=S*-S,\BOD-S^O=\AHXDH-^OD^-^OH^AH

答案第14页，共28页

（3）解：如图所示，设的中点为过点M作轴，过点人作■,腔

抛物线y=2/和直线y=kx-^k<0)

；・联立得，

Iy=o-4

整理得，2x2-H+4=0

解得XJ士护电

4

._k->Jk2-32_k+y/k2-32

・・4=-，A=-

代入产h-4得，〃=三_4,%=正孚HH_4

./k-y/k2-32k2-ky]k2-32(k+ylk2-32k2+k-Jk2-32

-4>A

,-kk

••XA+XB=

.k2

••力+%=5-4+/-4=^(xA+xs)-8=--8

•・•点W为AB的中点

2

.A.(kk八

F=e-k4^_je_y-k^iME」

4(4J44

・・屋钻尸是等边三角形，点M为A3的中点

/.AB±PM,ZAPM=ZBPM=|ZAPB=30°

sinZAPM=—=—

PM3

ZF=ZAMP=90°

ZFAM+ZAMF=ZPME+ZAMF=90°

ZFAM=ZPME

又,:NF=ZMEP=90。

△AFMS£J^EP

・AFAM_>J3

**PM-V

-kJ/_32

•4_G

n~=~

4

答案第15页，共28页

解得k=±粤

Vk<0

:.k-叵.

3

【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，等边三角形的性质，解直角三角函数，

相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

10.(l)VMC是直角三角形，5^=5

(2)存在固定的f值，「=0,使CF=4CE成立.理由见解析

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、二次函数图象上点的坐标特征等知识.

(1)当时，首先可得出点A,8C的坐标，利用勾股定理逆定理可得出VMC的形状；

(2)首先求得点A,B,C的坐标，设直线AM的解析式为>=幻+4,直线的解析式为尸质x+用，可得

CEW-g,+3-4),CF=；(产+3—4)f,将直线解析式代入抛物线解析式得出关于X的一元二次方程，利用根与系

数的关系可得4%=(产+3”4)-为①，/如=仔+3”4)-24②，结合B=4CE,可得出关于看的方程，解答即可得出结

论.

【详解】⑴当，=。时，抛物线解析式为y=*+3l),

令y=°,即有；(*+3x-4)=0,解得否=-4,%=1,

:点B在点A左侧，

令％=0,则有产-2,

.•.C(0-2).,

.•..=1一(y)=5.OC=2,AC?=仔+22=5,BO?=42+23=20,

.•.S=J_ABOC=4X5X2=5.

"8C22'

AB2=52=25,AC2+BC2=(l2+22)+(42+22)=25,

：.AB2=AC2+BC2,

「.△ABC直角三角形；

(2)存在固定的方值，使