2025中考数学热点题型专练：概率与统计综合（原卷版+解析）

专题05概率与统计综合

目录

热点题型归纳.............................................................................................1

题型01数据的收集与整理（统计与统计图（表））..........................................................1

题型02数据分析（数据的集中趋势与波动程度）............................................................6

题型03概率的计算.......................................................................................14

中考练场.................................................................................................19

题型01数据的收集与整理（统计与统计图（表））

01题型综述________________________________________

数据的收集与整理（统计与统计图（表））是初中数学统计与概率板块的重要内容，它主要围绕如何收集数据、整

理数据以及通过图表直观呈现数据信息展开，在中考数学中分值占比约5%-10%o

1.考查重点：重点考查数据收集方法的选择，以及对各类统计图表（如条形图、折线图、扇形图、频数分布直方图等）

特征和数据的解读。

2.能力要求：要求学生具备数据处理能力，能从图表中准确提取关键信息，进行合理的计算与推理，同时具备数据分

析观念和统计意识。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.调查数据的方法与过程:

①问卷调查法----收集数据；②列统计表一--整理数据；③画统计图--描述数据。

2.全面调查与抽样调查：

①全面调查：调查全体对象。②抽样调查：调查部分对象。

3.总体、个体、样本以及样本容量：

①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体;

③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；

④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量。

4.用样本估计总体：

①样本平均数：即抽出的样本中所有个体的平均数。②总体平均数：总体中所有个体的平均数。

通常情况下用一个具有代表性的样本的平均数估算总体平均数。

5.数据描述的方法：

条形统计图，折线统计图，扇形统计图以及直方图。

6.频数与频率：

①频数：落在每一个小组的数据个数叫做每一组的频数。②频率：频数与总数的比值叫做频率。

7.相关计算：

①各部分具体数量等于总体数量乘以各部分所占百分比。

②各部分在扇形中所占圆心角度数等于360。乘以百分比。

8.画直方图的步骤：

第一步：计算数据的极差。即一组数据中的最大值减去最小值。

总数

第二步:决定组数与组距。①组数：通常自己决定，合理组数即可。②组距：组距巳

第三步：决定分组分点。第四步：画频数分布表。第五步：画频数分布直方图。

【典例分析】

例1.（2024•山东德州•中考真题）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计

(2)«=___________

(3)已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数；

(4)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同.将其与之前的数据合并后,

发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为.

例2.(2024・江苏宿迁・中考真题)某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项

目：A篮球，B足球，C排球，。羽毛球，E乒乓球.为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进

(1)本次调查的样本容量是,扇形统计图中C对应圆心角的度数为

(2)请补全条形统计图;

(3)若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数.

例3.(2024・湖南长沙•中考真题)中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃

料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9

年位居全球第一.在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动

(每人限选其中一种类型)，并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图

人百分

类型

数比

纯电m54%

混动na%

氢燃

3Z?%

料

油车5C%

(D本次调查活动随机抽取了____人；表中"，b=；

(2)请补全条形统计图；

(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；

(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人?

【变式演练】

1.(2025•山东青岛•模拟预测)设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85<x4100为A级,

75Vx<85为8级，60<xW75为C级，x<60为。级.现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如图

所示的两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题:

综合评定成绩条形统计图综合评定成绩扇形统计图

,C级对应的扇形的圆心角为

度;

(2)这组数据的中位数所在的等级是

(3)若该校共有3000名学生，请你估计该校综合评定成绩为。级的学生有多少名？

2.(2025・河南开封•一模)某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A.篮

球，B.足球，C.排球，D.羽毛球，E.乒乓球.为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生

进行调查(每位学生仅选一种)，并绘制了统计图.某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问

题.

学生最喜欢球类运动情况条形统计图

学生最喜欢球类运动情况扇形统计图

学生最喜欢球类运动情况

扇形统计图

(1)本次调查的样本容量是，并补全条形统计图.

(2)扇形统计图中8所对应的圆心角的度数为.

(3)若该校共有1500名学生，请你估计该校最喜欢“A.篮球”的学生人数.

3.(2025•陕西西安•二模)为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，我校现对八年级部分学生每天完成作

业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息完成下列问题:

调查部分学生每天完成作业所用时间的统计图

(1)本次共调查了名学生，并补全上面条形统计图；

(2)本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为小时；众数为小时；

(3)我校八年级有900名学生，请你估计八年级学生中，每天完成作业所用时间为1.5小时的学生有多少人？

4.(2025•黑龙江哈尔滨•一模)某数学小组将课外书大概分四类：“文学名著”“科普”“人文社科”和“猎奇类”，在校内对

你喜欢读的一类书进行调查，随机调查了若干人(每名学生必选一种且只能从这四项中选择一项)，并将调查结果绘

制成如下不完整的统计图.

(1)求本次共抽查了多少名学生；

(2)请补全条形统计图；

(3)若该学校共有2000名学生，请你估计最喜欢读“猎奇类”书的学生有多少名？

5.(2025・山东济南•一模)某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试,

并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：

a学生成绩的统计图如图(数据分为五组：50Vx<60,60Vx<70,70Vx<80,80Vx<90,90<A;<100)

6.在80sx<90这一组成绩的是80808081818283848485858788898989

c.成绩不低于90分为优秀

抽取学生成绩的扇形统计图

⑴本次调查采用的方式是一(选填“全面调查”或“抽样调查”)，样本容量是二

(2)70〈尤<80这组有一名同学，80Vx<90这组学生人数所占的百分比为二

(3)补全频数分布直方图;

(4)若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数.

题型02数据分析(数据的集中趋势与波动程度)

01题型综述

数据分析（数据的集中趋势与波动程度）是初中数学统计与概率领域的核心内容，旨在通过对数据的深入剖析，揭

示数据分布的特征，在中考数学中分值占比通常在5%-8%。

1.考查重点：重点考查对平均数、中位数、众数等反映数据集中趋势的统计量，以及方差、标准差等体现数据波动程

度指标的理解与计算。

2.高频题型：高频题型包括根据给定数据计算集中趋势和波动程度的统计量;依据统计量对数据特征进行描述与分析;

通过比较不同数据组的统计量作出合理决策。

3.高频考点：考点聚焦于平均数（算术平均数、加权平均数）、中位数、众数的计算与应用，方差、标准差的概念及

计算，以及利用这些统计量解决实际问题。

4.能力要求：要求学生具备较强的运算能力，能够准确计算各类统计量；具备数据分析和逻辑推理能力，能依据统计

量对数据进行合理评价与解读。

5.易错点：易错点在于加权平均数中权重的确定失误；计算中位数时数据排序错误；对众数可能不唯一的情况考虑不

周全；计算方差时公式运用出错，以及在利用统计量进行决策时，忽略实际背景导致错误判断。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.平均数:

-1

①算术平均数：对于九个数X],巧，与…，X”，则X=—（X1+X2+X3+…+X”）表示这一组数据的平均数。

n

②加权平均数：对于几个数X],巧，为…，同的权重分别是“，W2,%,…，Wn,则

一1

x=—储明+工2匹2+与啊+-”+马得）表示这一组数数据的加权平均数。权重的表示一般用比的形式或者百分比

n

占比的形式。

2.中位数：

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这

组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.众数：

一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的平均数。

4.极差：

一组数据的最大值减去最小值。

5.方差：

若一组数是占，x2,与…，与，他们的平均数是I,则这组数据的方差为：

?=-七-X+%2-X+...+Xn-X0方差表示这组数据的波动情况，方差越大，数据越波动，方差越

n\J\JIJ

小，数据越稳定。

6.根据已知数据的平均数与方差求关联数据的平均数与方差：

若一组数据和X2>…，X”的平均数是%，方差是$2。则：

①数据。叫，ax2,ax3,...,的平均数为ax,方差为as?。

②数据x2+b,x3+b,...,+6的平均数为x+。，方差为S2。

③数据axi+6,ax2+b,ax3+b,...,+6的平均数为ax+。，方差为as?。

7.标准差：

一组数均的方差的算术平方根就是这组数据的标准差。即s。

【典例分析】

例1.（2024.湖北・中考真题）为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动.为了解学生引体向上的训练成

果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了ABCZ）四组，制成了不完整的统计图.分组：0WA<5,5<B<10,

10<C<15,15<D<20.

每分钟引体向上个数条形统计图每分钟引体向上

个数扇形统计图

(1)A组的人数为

⑵七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人?

(3)从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义.

例2.(2024•山东潍坊・中考真题)在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速

度”“快递服务”等方面给予商家分值评价(分值为1分、2分、3分、4分和5分).该平台上甲、乙两个商家以相同价

格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部

分“商家服务”的评价分值进行统计分析.

【数据描述】

下图是根据样本数据制作的不完整的统计图,请回答问题(1)(2).

“商家服务”评价分值的条形统计图“商家服务”评价分值的扇形统计图

(1)平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图;

(2)求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角a的度数.

【分析与应用】

样本数据的统计量如下表，请回答问题(3)(4).

统计量

商家

中位众平均方

数数数差

甲商

a33.51.05

家

乙商

4bX1.24

家

(3)直接写出表中。和6的值，并求了的值；

(4)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款7恤衫.你认为小亮应该选择哪一家？说明你

的观点.

例3.(2024・河南・中考真题)为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在

八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结

果如下.

比赛得分统计图

甲乙

得分小

35

30

25

20

15

10

5

0

技术统计表

队平均每场得平均每场篮平均每场失

员分板误

甲26.582

乙26103

根据以上信息，回答1卜列问题.

(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是(填“甲''或"乙”)；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中

位数为分.

(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好.

(3)规定“综合得分”为：平均每场得分xl+平均每场篮板X1.5+平均每场失误且综合得分越高表现越好.请利用这

种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.

【变式演练】

1.（2025・河北唐山•一模）某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试

（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2）,已知图2中得28分的人数

所对圆心角为90。，回答下列问题:

测试成绩的扇形统计图

（1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数;

（2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩.

2.（2025・广东清远•一模）某校七年级在体育运动周的花样跳绳比赛中，25名参赛选手的初赛成绩如下:

（1）学校要求取前7名参加决赛，小芳同学的成绩为6.5分，她分析初赛成绩统计图，认为自己一定会落选.你认为小

芳同学的分析正确吗？并说明理由.

（2）评委发现成绩第7名有王丽和李英两人，提出让这两名同学进行加赛来决定由哪位同学进入决赛，下表是五位评委

对两名同学加赛的打分情况及分析后的数据：

评委1评委2评委3评委4评委5平均分众数中位数方差

王丽48878788m

李英76.9777.177n0.004

①表格中"7=,几=;

②根据表中数据，你认为选择哪位同学参加决赛更合适？

3.（2025・陕西咸阳•一模）某中学在“世界读书日”知识竞赛活动中，七年级800名学生全部参赛，从中随机抽取〃名学

生的竞赛成绩按以下五组进行整理（每名学生的得分为x）：

A.50Vx<60；B.60Vx<70；C.70Vx<80；D.80Vx<90；E.90<x<100.

并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，如图.

七年级竞赛成绩频数分布直方图

频数

6

4

A12

10

8

6

4

2

0

成绩/分

已知C组的全部数据为：71,72,70,75,74,78,76,77,76,77,79.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）«=，抽取的〃名学生竞赛成绩的中位数是；

（2）C组学生竞赛成绩的平均分是；

（3）学校将对80分以上（含80分）的学生授予“读书新星”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“读书新星

称号的学生人数.

4.（2025•山东泰安•模拟预测）自2024年1月1日起，《未成年人网络保护条例》正式施行，这是我国出台的第一部

专门性的未成年人网络保护综合立法.某校政教处组织七、八年级学生学习《未成年人网络保护条例》，并进行了相

关知识测试.从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（满分：100分.成绩用尤表示，共分为五组：A组，50Vx<60；

B组，60Vx<70；C组，70Vx<80；。组，80Vx<90；E组，90<^<100）进行整理、描述和分析，信息如下:

八年级测试成绩扇形统计图

七年级测试成绩频数分布直方图

5%

b.七年级测试成绩在C组

5060708090100成绩/分

的数据分别是：73,75,75,75,77,78,79,79.

c.七、八年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表:

平均数中位数众数

七年级75m75

八年级777676

根据以「二信息，解答下列问题：

(1)表中m的值为_；

(2)通过以上数据分析，你认为哪个年级学生的测试成绩更好？请说明理由;

(3)若该校七年级学生有400名，八年级学生有600名，估计这两个年级本次测试成绩不低于80分的学生人数.

5.(2025•河南郑州•一模)发生火灾时，逃生时间通常仅有几分钟，采取有效的自救与逃生措施能够显著降低人员伤

亡.某中学针对八年级学生进行了逃生技能掌握情况的调查，随机抽取了1班和2班各10名学生进行问卷调查，分数越

高表明学生掌握的逃生技能越好，根据调查结果绘制了相应的统计图.请根据信息，解答下列问题:

2班学生的得分条形统计图

平均数/中位数/众数/

班级方差

分分分

1班8.1X92.09

2班y991.24

⑴x=_,y=_；

(2)补全条形统计图;

(3)小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，则小颖在一班(填“1”或“2”)；

(4)在逃生技能的掌握方面，你认为哪个班级的学生表现更优异？请说明理由.

6.(2025・甘肃•模拟预测)黄河之滨万物竞茂、豪情满怀.来自世界各地的数万名选手相聚金城，用奔跑释放生命活

力，用激情演绎“兰马”精彩.某单位组织甲乙两个代表队参加半马比赛，成绩(精确到分汝口下:

甲队选手123456

成绩(min)96m118106124110

乙队选手123456

成绩(min)98112102n131119

(1)已知该单位12位选手成绩平均数是109min,其中甲队6名选手成绩平均数是108min,求m,"的值;

(2)求乙队选手成绩的众数及中位数；

(3)从队员发挥的稳定程度考虑哪队选手更加优秀？

题型03概率的计算

01题型综述

概率的计算是初中数学统计与概率部分的核心内容，主要研究随机事件发生可能性的量化，在中考数学中分值占比

约5%-10%o

1.考查重点：重点考查对古典概型(有限等可能事件)、几何概型等不同类型概率模型的理解，以及相应概率计算公

式的运用。

2.高频题型：高频题型包含利用列举法(列表法、树状图法)计算简单事件的概率；结合实际情境判断概率模型并计

算概率；根据概率大小进行决策或设计游戏规则。

3.高频考点：考点集中在简单事件概率的定义与计算，通过列举所有等可能结果求概率，概率与频率的关系，以及利

用概率知识解决实际生活中的各类问题。

4.能力要求：要求学生具备清晰的逻辑思维能力，能准确分析事件的等可能性；具备良好的阅读理解能力，能从实际

问题中抽象出概率模型并求解；还要有一定的创新思维，能依据概率设计合理方案。

5.易错点：易错点在于列举等可能结果时出现遗漏或重复；混淆不同概率模型，错误套用公式；对复杂事件中各事件

间关系把握不准，导致概率计算错误；在实际问题中，对隐含条件挖掘不足，影响概率求解。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.事件:

①确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能

事件，必然事件和不可能事件都是确定事件。

②随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

2.事件的可能性(概率)大小：

一事件的可能性大小用概率来表示。表示为尸（事件）。

必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率为0<°<1。

3.概率的定义与计算公式：

①概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率%会稳定在某个常数p附近，那么这

n

个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p

随机事件出现的次数

②概率公式：随机事件A的概率P（A）=

所有可能出现的结果数

4.几何概率：

在几何中概率的求解皆用部分面积比总面积，或部分长度比总长度，或部分角度比整个大角角度。

5.古典概型：

①定义：若在一次实验中，可能出现的结果有有限多个，且每一个结果出现的可能性大小相同，那么这样的

实验称古典概型。

②概率求法：一般地，在一次实验中，有,种可能出现的结果，并且他们发生的可能性大小相同，事件A包

含了其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）='。

n

6.列表法：

当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能

的结果，再求出概率。

7.树状法：

当试验中存在三个及以上的元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用画树状图的方式，不重不漏地列

举出所有可能的结果，再求出概率。

8.游戏的公平性：

判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平。

9.用频率估算概率:

大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定

性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。

实验的次数越多，则估算结果越精确。

【典例分析】

例1.（2024•山东青岛.中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明

和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为1,2,3的三张纸牌

（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，

小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4,则小明胜；若和小于4,则小红胜；若和等于4,则重复上

述过程.

（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是;

（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

例2.（2024.山东东营.中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举

办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动.为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳

动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间尤分成五档：A档：0Vx<l；B档：lVx<2；C档：2Vx<3；

。档：3Vx<4；E档：4<x）.调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下：

（1）本次调查中，共调查了名学生，补全条形统计图；

（2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2,2.2,2.4,2.5,2.7,2.8,2.9.则调查的全部男生劳动时间的中位数为

小时.

（3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名

学生恰好都是女生的概率.

例3.（2024・四川广元•中考真题）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱

蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识.为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全

校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：

90<x<100；B-.80Vx<90；C：70Vx<80；D：60Vx<70；E：50<x<60）.并绘制了如下尚不完整的统计图.

抽取学生成绩等级人数统计表

抽取学生成绩等级扇形统计图

其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120。.

（D样本容量为，m=；

（2）全校1200名学生中，请估计A等级的人数；

（3）全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己

与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率.

【变式演练】

1.（2025・广东梅州•一模）在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想

坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）.

（1）小张恰好坐在①号座位的概率为;

（2）用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率.

2.（2025•陕西西安•一模）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒2》，《唐探1900》，《熊出没•重启未来》.小

西和小名同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为A,《唐探1900》表示为8.《熊出没•重启

未来》表示为C.假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等.记小西

同学的选择为x,小安同学的选择为y.

⑴请用列表或画树状图法求（x,y）所有可能出现的结果总数；

⑵求小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率.

3.（2025・湖南长沙•一模）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注,相关话题讨论持续火热，海

内外4/模型、机器人都已获得显著的技术突破.目前人工智能市场分为A：决策类人工智能；B-.人工智能机器人;

C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能四大类型.为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的

人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）.请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（D①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为。；

②请将条形统计图补充完整；

（2）将四个类型的图标依次制成A、8、C、。四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面

上.从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张

卡片内容一致的概率.

4.（2025•辽宁沈阳•模拟预测）2024年4月25日20时58分57秒神舟十八号载人飞船成功发射，这不仅是神舟十八

号载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了我们大国崛起的力量.为激发学生弘扬爱国

奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比

赛.九（1）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个.为了公平起见，班委决定通过转动

转盘来决定人选.如图给出4B两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将A盘转出的数字作为被减

数，8盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希胜；若差为正数，则小辰胜.（若指针恰好指在分割线上，则重

转，直到指针指向某一区域为止.）

⑴小希转动一次A盘，指针指向数字5的概率是:

（2）这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由.

5.（2025•河北沧州•模拟预测）为了解中考体育科目训练情况.某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次

中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；。级：不及格），并将测试结

果绘成了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题:

体育测试各等级学生人数扇形图体育测试各等级学生人数条形图

图1图2

（D求本次抽样测试的学生人数;

（2）求图1中/。的度数，并把图2条形统计图补充完整;

（3）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H,其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用

列表或画树状图的方法求出选不中小明的概率.

6.（2025.河北.模拟预测）图1是一款游戏的棋盘，每一个格代表一步游戏，随机投掷一枚如图2所示的质地均匀的

正四面体的骰子（每个面上分别写有1,2,3,4）,记录朝下一面上的数字，并使棋子前进相应的步数，可连续投掷

骰子，棋子可连续前进，直至达到或超过“游戏结束”.

游戏结束游戏起点

图1

（1）投掷一次该骰子，求朝下一面上的数字是偶数的概率;

（2）用列表法或画树状图法，求连续投掷该骰子两次可以达到或超过“游戏结束”的概率.

03中考练场

1.（2025•江西赣州•一模）六张大小、质地均相同的卡片上分别标有以下植物名称：银杏、苏铁、牡丹、云杉、菊花、

玫瑰（其中银杏、苏铁、云杉是裸子植物，牡丹、菊花、玫瑰是被子植物），现将标有银杏4苏铁心牡丹C植物

名称的卡片放在不透明的甲盒子中，将标有云杉。、菊花瓜玫瑰厂植物名称的卡片放在不透明的乙盒子中.

（1）从甲盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的植物名称是裸子植物的概率是多少？（请直接写出结果）

（2）分别从这两个盒子中随机抽取一张卡片，请你用列表法或画树状图法（可用相应字母表示植物名称），求抽取的这

两张卡片上的植物名称一个是裸子植物，另一个是被子植物的概率.

2.（2025•河北•一模）打造文旅融合、全域全季的旅游强省是河北省委、省政府谋划提出的中国式现代化河北场景的

重要内容之一.某学校征集河北美景视频，视频获奖等级按照学生投票数，依次分为一等奖、二等奖、三等奖和参与

奖.将A,B,C,。四个视频的投票数绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图，已知投票数的极差和视频C的投票

数一样.

作品投票数统计表

平均中位极

数数差

575690

视频投票数扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题:

⑴q=；

（2）求投票数的中位数；

（3）若统计票数时，因特殊原因，将视频C的票数少计算了总票数的5%,票数多加在了视频。的投票数上，请通过计

算说明视频C和视频D的获奖等级是否有变化.

3.（2025・湖北恩施•一模）某校初一（6）班部分同学接受一次内容为“最喜欢的电视节目”的调查活动，收集整理数据

后，老师将电视节目分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题.

类别ABCDE

类型新闻体育动画娱乐戏曲

人数510m114

BC

20%

\A//D>

E/〃％/

图2

（1）统计表中根的值为，统计图中力的值为，A类对应扇形的圆心角为度；

（2）该校共有1200名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；

（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，小强是其中一名.从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或

列表求所选2名同学中有小强的概率.

第一次第二

小强ABC

次

小强（A,小强）（B,小强）（C,小强）

A（小强,A）(B,A)(C,A)

B（小强,B）(A,B)(C,B)

C（小强,C）(A,C)(B,C)

4.（2025・广东清远・模拟预测）为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个

班派一名代表参加本次活动.八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生代表八

（1）班参加比赛.下表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）

主题活动项目

选手

在线学习知识竞赛演讲比赛

甲899985

乙849690

（1）如果根据三项测试的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？

（2）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按1:3:4的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？

（3）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按20%,50%,30%的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被

选中？

5.（2025・四川泸州•一模）无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园.在柑橘收获节，

某班同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对

两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考.

收集数据：

同学们从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据.柑

橘直径用x（单位：cm）表示.

将所收集的样本数据进行如下分组：

组别ABCDE

X3.5<%<4.54.5<x<5,55.5<x<6.56.5<x<7.57.5<x<8.5

整理数据：

同学们绘制了甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下:

⑴求图1中。的值；

（2）求甲园样本数据的中位数在哪一组？

（3）结合市场情况，将C,。两组的柑橘认定为二级，若乙园共采摘的柑橘共2400个，请你估计乙园二级柑橘共有多少

个？

6.（2025・贵州・一模）教育部印发《教育部办公厅关于开展第二批全国学校急救教育试点工作的通知》提出要普及急

救知识，提高师生急救技能，提升校园应急救护能力.某校积极响应号召，在全校范围内开展了急救知识普及，并在

普及前和普及后进行急救知识问卷调查（满分：10分，打分成绩均为整数），该校“综合与实践”小组为了解急救知识

普及情况，随机抽取部分学生的成绩，制成了如下调查报告（不完整）.

xx中学急救知识普及情况调查报告

调查主

XX中学急救知识普及情况

题

调查方

抽样调查调查对象XX中学学生

式

数据收

从全校随机抽取若干名学生普及前及普及后的成绩

集

数据整

将抽取的普及前及普及后的成绩分别进行整理

理

数据分

普及前、后抽取的学生成绩折线统计图

析

---•普及刖

一普及后

01234567891011121314151617181920学牛编号

普及前、后抽取的学生成绩条形统计图

数据分

析

调查结

论

根据以上调查报告，解答下列问题：

⑴参与本次调查的学生共有一人,抽取的学生普及后成绩的中位数为分；

（2）为了更好的表示出普及前、后学生成绩对应人数的多少，你认为应选择一（填“条形”或“折线”）统计图更好，该校一（填

写“普及前”或“普及后”）学生的成绩更稳定；

（3）分析普及前、后的相关数据，从一个方面评价学校开展急救知识普及的效果.

7.（2025•河北邯郸•一模）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有为-"2a+b,a-b,除正面的代数式不同外，其余均

相同.

（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当。=1,b=-2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率;

（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的

卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.

第一次和第二次2a—b2a+ba-b

2a—b

2a+b

a-b

8.（2025・陕西西安•一模）湖滨学校组织全体1500名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读1〜4本书，活动

结束后从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据41本：B-.2本；C：3本；D.4本四种

类型的人教绘制了不完整的条形统计图(图1)和扇形统计图(图2).请根据统计图解答下列问题:

(D补全条形统计图，本次调查抽取学生数：；

(2)被调查学生读书数量的众数和中位数；

(3)求被调查学生读书数量的平均数？

9.(2025•河南郑州・一模)偃师二里头遗址、偃师商城遗址、洛阳东周王城遗址、汉魏洛阳故城遗址、隋唐洛阳城遗址

在河南洛阳，洛河沿岸50千米范围内密集分布着五大都城遗址，勾勒出神州大地上早期王朝的起源.某校团委举办“名

城洛阳，文化古都”作文写作大赛，满分100分，学生得分均为整数，成绩达60分及以上为合格，达到90分及以上为

(1)补充完成如下的成绩统计分析表.

平均中位方合格优秀

组别

数数差率率

八年

6827690%20%

级

九年

727519620%

级

(2)小明同学对小刚同学说：“虽然这次大赛我俩都得了70分，但我在我们年级中的排名比你在你们年级的排名靠前！”

观察上表可知，小明是一学生.(填“八年级”或“九年级”)

(3)结合以上信息，你认为哪个年级成绩较好.请你给出两条支持自己观点的理由.

10.(2025・安徽•一模)“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的

交通方式，绘制了两幅统计图：

⑴样本中的总人数为人；扇形统计图中“骑车”所在扇形的圆心角为________度；

(2)补全条形统计图；

(3)该单位共有1000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开小车改为骑车.若步行和坐公交车上下班的

人数都保持不变，问原来开小车的人中有多少人改为骑车，才能使骑车的人数等于开小车的人数？

11.(2025・湖南长沙•一模)为了弘扬科学创新精神，某中学开展了科学知识竞答活动，学校随机抽取了七年级部分同

学的成绩进行整理.数据分成五组，A组：50Vx<60；B组：60Vx<70；C组：70Vx<80；。组：80Vx<90；E组：

90<x<100.已知C组的数据为：70,71,72,72,72,74,75,76,76,77,77,79,根据以上数据，我们绘制了

根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次随机抽查的样本容量为，并补全频数分布直方图；

(2)抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为；

(3)该校要对成绩为E组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为4:6,请

你估计该校七年级1000名学生中获得一等奖的学生人数.

12.(2025•广东茂名•模拟预测)广东省茂名市高州市是一座文化底蕴深厚的城市.高州有三塔，均位于高凉古郡高州

市市区内，据《高州史》记载：“环城有三塔，北曰艮塔，东曰文光，西南曰宝光"；也就是现在我们说的艮塔、文光

塔和宝光塔.

为了了解学生对高州三大古塔的了解程度，某校设计了一个调查问卷，调查问卷分为4个选项：A、都不了解，&T

解其中一、两个，C、都了解，。、非常了解.为此，该校随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四个

答案中只能选择一个和自己相符合的情况，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

（D本次共调查了名学生；

（2）在扇形统计图中，加的值是,。对应的扇形圆心角的度数是；

（3）请补全条形统计图；

（4）为加深学生对高州三塔的了解，高州市举行了“高州三塔知多少”知识竞赛，我校决定从“非常了解”里面的小明，小

红，小彬，小航的4个人选取两个人去参加竞赛，问同时抽到小彬和小航的概率是多少？

小明小红小彬小航

（小明，

小明（小明，小彬）（小明，小航）

小红）

小红（小红，小航）

（小彬，

小彬（小彬，小明）（小彬，小航）

小红）

（小航,

小航（小航，小明）（小航，小彬）

小红）

13.（2025•陕西西安•一模）2024年国家提出推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴后,

甲村经济发展进入了快车道.为了解甲村去年下半年经济发展状况，雷莹从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调

查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图.

部分家庭收入扇形统计

部分家庭收入统计表

图

组别分组X（万元）频数（户）每组平均收入（万元）

6.5<x<7.5

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