二次函数中平移、翻折、旋转综合问题（三大题型）-2025年中考数学押题（含答案）

二次函数中平移、翻折、旋转综合问题（三大

题型）-2025年中考数学押题

二次期数中平移■翻折、施转综合问题

目录

解密中考.................................................................................1

题型特训提分.............................................................................2

【题型一】二次函数中的平移综合问题...................................................2

【题型二】二次函数中的翻折综合问题...................................................7

【题型三】二次函数中的旋转综合问题..................................................12

解密中考

考情分析:二次函数中平移、翻折、旋转综合题是全国中考的热点内容,更是全国中考的必考内容。每年都有

一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，平移为高频考点，常考解析式变化；翻折为中频,涉及对称轴变换;旋转低频，多与坐标系

结合。各地差异小，平移占比约30%,翻折20%,旋转10%左右。

2.从题型角度看，平移、翻折多现选择填空（直接求解析式）或解答题第一问（基础变换）;旋转常融综合题

（如与几何图形结合求坐标）,压轴题占比约15%,侧重逻辑推导。

备考策略:在中考数学备考中，熟记变换规律（如平移“左加右减”、翻折符号变化、旋转坐标公式）;分类练基

础题与综合题,注意变换后图形性质；压轴题需结合函数与几何，用方程思想联立求解,强化画图分析能力。

题型特训提分

【题型一】二次函数中的平移综合问题

1.（2025•浙江•模拟预测）已知二次函数y="+kc—3的图象经过点（1,-4）.

（1）求二次函数解析式及其对称轴；

（2）将函数图象向上平移巾个单位长度，图象与c轴相交于点A,B（A在原点左侧），当AO-.BO=1:4时,

求7n的值；

（3）当n―1W/43时,二次函数的最小值为2%,求九的值.

1.用顶点式分析:设原函数为y=a（x-hy+%,平移后顶点为（忆匕）,则新解析式为y=a（x—h'f+k'.

2.记平移规律:左右平移变从左加右减），上下平移变%（上加下减）。如向右移馆个单位，得"=a（c-无

—m）2+ko

3.分步平移:先左右再上下,或反之，结果一致。

4.一般式转换:若为一般式，先配方成顶点式再平移，避免符号错误。

0

2.(2025•安徽合肥•一模)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点71(-1,-5),5(1,-9).

⑴求b,c的值.

(2)求当一3时，二次函数V=炉+般+°的最大值.

(3)现将该二次函数y=x2+bx+c的图象沿着比轴的正方向平移R(k>0)个单位长度得到新的二次函

数图象，当2W宓W4时，新的二次函数有最小值，最小值为7,求平移后新的二次函数的表达式.

3.（2025・重庆•模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线夕=a/3+五一4与宓轴交于点A、B,与％轴交于点

C,点。是抛物线的顶点，08=00=204,连接BC.

备用图

⑴求抛物线的解析式.

（2）如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于夕轴对称，线段BE沿着射线平移.平移

后的线段记为MN,当ABCP面积最大时,求PM+MN+ND的最小值.

2

（3）在（2）的基础上将抛物线y=ax+bx-4：沿射线AC方向平移2V5个单位长度得新抛物线如，在新

抛物线y'上是否存在点Q,使ZQFB=NACO+45°?若存在,请直接出点Q的横坐标，若不存在,请说

明理由.

4.(2025•海南•模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a00)与宏轴交于71(—4,0),

8(1,0)两点，与0轴交于点。(0,—2),连接

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点P是抛物线上位于直线AC下方一动点,过点P作夕轴的平行线交直线AC于点。，点E

是y轴上的一个动点，连接BE,PE.当线段PD长度取得最大值时，求PE—BE的最大值，及此时点E

的坐标；

(3)如图2,将抛物线y=arc?+就+eg#0),先向右平移1个单位长度,再像上平移2个单位长度，得到

新抛物线yi,点N是新抛物线上一点，连接CN,当4ACN=ACBA-ACAB时,请求出点N的坐标.

5.(2025•湖南衡阳•一模)抛物线L」.y=~x2+bx+c^x轴交于A(—4,0),5(1,0)两点，与y轴交于点

C,点P是抛物线Li上的一动点,设点P的横坐标为m(-4<m<0).

⑴求抛物线二的表达式.

⑵如图1,连接AP,并延长4P交y轴于点。，连接BP,交y轴于点E.点P在运动过程中，OD+

4OE的值是否为定值，若是,请求出定值;若不是，请说明理由.

(3)将该抛物线加向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线L2刚好经过点P,

点河为抛物线L对称轴上一点.在平面内确定一点N,使以点A,P,河，N为顶点的四边形是菱形.

【题型二】二次函数中的翻折综合问题

6.（2025・湖南•二模）已知抛物线y=ax2—2ax—4（a>0）.

（1）如图1,将抛物线y=aX^-2ax-4在直线y=-4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变,得

到一个新的函数图象“W”.翻折后，抛物线顶点A的对应点4恰好在立轴上，求抛物线y=a〃—2a①

—4的对称轴及a的值；

（2）如图2,抛物线y=ax2-2ax-4（a>0）的图象记为“G”,与y轴交于点过点B的直线与（1）中的

图象"W"（2>1）交于P,。两点，与图象“G”交于点D

①当a=六时，求煞的值；

②当a¥4时,请用合适的式子表示等（用含a的式子表示）.

1.明确对称轴：

力轴翻折:顶点仇,k）变仇,一k）,开口反向（a变一a）,解析式为沙=—a（力一九尸一鼠

y轴翻折:顶点变（一九,k）,开口不变，解析式为y=a（C+h）2+鼠

2.一般式处理:先配方成顶点式再翻折，避免符号错误。

3.利用对称点:任一点（力,妨关于轴翻折后坐标代入原函数，直接推导新解析式（如关于力轴翻折,

用nt—y替换）。

7.(2025•山东济南•一模)如图1,抛物线G经过点4(—3,0)、0(0,3),对称轴为直线c=—1,直线BE与宏轴

所夹锐角为45°,与U轴交于点E.

⑴求抛物线G和直线BE的表达式；

(2)将抛物线G沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线班;恰好只有一个交点，求抛

物线平移的距离；

⑶如图2,将抛物线G沿直线BE翻折,得到新曲线G,G与0轴交于M、N两点,请直接写出7点坐

标.

__________________________

8.(2025•广西南宁•一模)在平面直角坐标系中，抛物线4=12+法+。经过点(0,-3),(-1,0).

⑴求出该抛物线的解析式；

⑵当一1＜小时，求"的最小值；

(3)把抛物线夕=〃+就+。的图象在立轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位

于力轴下方的部分组合的图象记作图象Q,若直线工="与图象Q的上下部分分别交于4B两点，当线

段48=4时，求"的值.

2

9.（2025•上海静安•一模）已知抛物线y=ax'+bx+°（01#0）上,其9与2：部分对应值如下表:

X-3-1032

y-80202

⑴求此抛物线的表达式；

（2）设此抛物线的顶点为P,将此抛物线沿着平行于立轴的直线Z翻折,翻折后得新抛物线.

①设此抛物线与比轴的交点为4、B（点力在点B的左侧），且AABP的重心G恰好落在直线I上,求此时

新抛物线的表达式；

②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线I上所截得的线段长.

_____________________________

10.(2025•吉林•一模)如图，已知抛物线y=x'2+bx+c经过A(3,4)和8(—2,4)两点，将该抛物线位于c轴

下方的部分沿T轴翻折，其余部分不变,得到的新图象记为“W”，图象W交4轴于点C.

⑴①求抛物线y=x2+bx+c的解析式；

②求二次函数y=a;2+brr+c的最小值.

(2)①直接写出图象W的解析式；

②求当图象W所对应的函数"随力增大而增大时工的取值范围.

⑶若直线沙=—/+b与图象W有3个交点时，请结合图象，直接写出b的值.

【题型三】二次函数中的旋转综合问题

11.（2025・湖南永州.一模）如图，已知抛物线G；y=—d+4,将抛物线G绕点河（1,0）旋转180°,得到抛物线

C2：U="+?7KC,抛物线G,G相交于入，B两点.

⑴求?71的值;

（2）求直线对应的一次函数表达式；

（3）抛物线G,G位于4口两点之间的部分图形记作W,过点M的直线/与W相交于E,尸两点，连接

BE,BF,求△BEF面积的最大值及此时对应的E点坐标.

1,确定旋转中心与角度:初中常考绕原点或顶点旋转180°。

绕原点转180°：顶点仇㈤变（―h,f）,a变—a,解析式为y=-a（x+h）2-ko

绕顶点转180°：顶点不变，开口反向，解析式为y=-a（x-h/+乳

2.坐标变换法:任一点0y）旋转后坐标代入原函数，整理得新解析式（如绕原点转180°，用立一-,，v一

一夕替换）。

3.验对称性:旋转后图像应关于中心对称，检查顶点与开口方向是否符合。

_________®

12.(2025•四川成都，二模)如图，平面直角坐标系疣>沙中,抛物线。皿=法+就+。经过原点O、C(2,0),将

该抛物线绕点旋转180°得到抛物线G，两抛物线交于8、C两点,抛物线5与V轴交于点D.

⑴求抛物线G的表达式；

⑵当m时,求△08。的面积；

(3)若直线y=kx+2m(m>0)与抛物线G交于E、尸两点，点E在点F的左侧,记直线DE的斜率为

瓦，直线DF的斜率为无,当自+自为定值时，求山的值.

13.（2024•河南焦作,二模）已知抛物线y=ax'2-2ax+a+2的顶点为D.

（1）若抛物线经过原点,求a的值及顶点D的坐标；

（2）在⑴的条件下，把c>0时函数g=ar/—2加+a+2的图象记为Mi,将图象监绕原点旋转180°,

得到新图象M，设图象M与图象M组合成的图象为河.

①图象此的解析式（写出自变量的取值范围）；

②若直线沙=力+成与图象及■有3个交点，请直接写出m的取值范围.

________0

二次期数中平移■翻折■痛转综合问题

目录

解窘中考.................................................................................1

题型带词提分.............................................................................2

【题型一】二次由数中的平移嫁合问题...................................................2

【题型二】二次函敷中的制折综合问题..................................................13

【题型三】二次函数中的建桥绿合问题..................................................22

解密中考

考情分析:二次函数中平移、翻折、旋转综合题是全国中考的热点内容,更是全国中考的必考内容。每年都有

一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，平移为高频考点，常考解析式变化；翻折为中频,涉及对称轴变换;旋转低频，多与坐标系

结合。各地差异小，平移占比约30%,翻折20%,旋转10%左右。

2.从题型角度看，平移、翻折多现选择填空（直接求解析式）或解答题第一问（基础变换）;旋转常融综合题

（如与几何图形结合求坐标）,压轴题占比约15%,侧重逻辑推导。

备考策略:在中考数学备考中，熟记变换规律（如平移“左加右减”、翻折符号变化、旋转坐标公式）;分类练基

础题与综合题,注意变换后图形性质；压轴题需结合函数与几何，用方程思想联立求解,强化画图分析能力。

题型特训提分

【题型一】二次函数中的平移综合问题

1.（2025•浙江•模拟预测）已知二次函数y="+kc—3的图象经过点（1,-4）.

（1）求二次函数解析式及其对称轴；

（2）将函数图象向上平移巾个单位长度，图象与c轴相交于点A,B（A在原点左侧），当AO-.BO=1:4时，

求7n的值；

（3）当n―1W/43时,二次函数的最小值为2%,求九的值.

【答案】（1）夕—x2—2x—3,对称轴为直线①=1

（2）m=^

（3）n——2

【知识点】g=ax1+brr+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、y—ax2+bx+c的最值、二次函数

图象的平移

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值,二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象

和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键.

（1）代入点B坐标计算，求出b,再根据土=一三求出对称轴即可；

2a

（2）设点4f0）、B（4t,0）,则平移后抛物线的对称轴仍然为直线/=1=4（41）,通过对称轴不变来解出

力，从而得出上移距离m,

（3）先求出抛物线的顶点为（1,—4）,再分/二九一和3＞力=九一两种情况来讨论函数的最小值即

可，注意求出的口值和z=?i—1V1和3＞力=九一得到的几范围一•致才是有解.

【详解】解）解:将（1,—4）代入函数表达式得：-4=1+6—3,则b=—2,

即抛物线的表达式为：g="—2劣—3,

则抛物线的对称轴为直线/=1；

（2）解：当40:60=1:4时，

设点A（—1,0）、B（4t,0）,

则平移后抛物线的对称轴仍然为直线®=1=J⑷一力），则方=2，

则点48的坐标分别为：（一年，。）、（|-,0）,

则新抛物线的表达式为：+力一套）=62—2/一3+2,

即?72=号；

（3）解：由⑴知,抛物线的顶点为（1,-4）,

当力二九一1V1,即打V2时，

抛物线在顶点处取得最小值，即一4=2n，则n=—2;

当3＞力=打一1＞1时，即24几44时，

则抛物线在力二九一1时取得最小值，即（九一iy—2（n—1）—3=2n,

解得：n=0（舍去）或6（舍去）,

综上，TI=-2.

________P

Co。国巧

1.用顶点式分析:设原函数为y=a{x-h)2+%,平移后顶点为(忆我),则新解析式为y=a(x-h')2+k'.

2.记平移规律:左右平移变从左加右减)，上下平移变％(上加下减)。如向右移馆个单位，得g=a(c-九

—m)2+fco

3.分步平移:先左右再上下,或反之，结果一致。

4.一般式转换:若为一般式，先配方成顶点式再平移，避免符号错误。

2.(2025•安徽合肥•一模)已知二次函数0=x2+bx+c的图象经过点4(—1,—5),B(l,-9).

⑴求b,c的值.

(2)求当一5W24—3时，二次函数0=〃+be+c的最大值.

(3)现将该二次函数夕=x2+bx+c的图象沿着比轴的正方向平移卜(k>0)个单位长度得到新的二次函

数图象，当2&尤&4时，新的二次函数有最小值，最小值为7,求平移后新的二次函数的表达式.

【答案】⑴—2,—8

(2)27

⑶y=x2-16x+55

【知识点】y=a/+be+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移

【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值,二次函数图象与几何

变换，正确的理解题意是解题的关键.

⑴把点A(—1,—5),B(l,—9)代入9=d+be+c,即可求得6、c的值；

(2)根据二次函数的性质即可求得；

(3)平移后新的二次函数的表达式为沙=O—l—ky—9,分三种情况讨论:①当1+%<2,即0<k<1时，2

在对称轴的右侧，②当2<l+kV4,即1<k<3时，③当1+k>4,即k>3时，2<c<4在对称轴

的左侧，然后根据二次函数的性质求解即可.

【详解】⑴解:将点4—1,—5),3(1,-9)代入,

得(―5=1—b+c,解得(6=-2，

寸I—9=l+b+c,[c=-8,

.'.b,c的值分别是一2,—8.

(2)解：：二次函数的表达式为y=x2—2x—8=(a;—I)2—9,

/.二次函数图象的对称轴为直线c=l.

,/1>0,

/.二次函数图象的开口向上，当立<1时，夕随c的增大而减小.

*.*—5&x4-3,

：.当x=-5时，二次函数g=/+b/+。有最大值，最大值为y—(―5—I)2—9=36—9=27.

(3)解:平移后新的二次函数的表达式为y=(力一1—k)2—9,该二次函数图象的对称轴为直线/=1+k.

分三种情况讨论：

①当l+k&2,即0Vk<l时，2W力44在对称轴的右侧，

/.二次函数在力=2取得最小值，

/.(2—1—fc)2—9=7,解得k=5或k=—3,不符合题意.

②当2VI+kV4,即IV%V3时，二次函数在N二l+k取得最小值,此时最小值为一9,不符合题意.

③当l+k>4,即k>3时，2&力&4在对称轴的左侧，

/.二次函数在1=4时取得最小值，

（4—1—A;）2—9=7,解得k=7或k=—1（舍去），

此时二次函数的表达式为y=（力一1—7）2—9=（rr—8）2—9,即9=婷-16a:+55.

综上所述，平移后新的二次函数的表达式为y=x2—16x+55.

3.（2025・重庆•模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx~4：^x轴交于点A、B,与£轴交于点

。，点。是抛物线的顶点，OB=OC=2OA,连接BC.

⑴求抛物线的解析式.

（2）如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于沙轴对称，线段跳;沿着射线平移.平移

后的线段记为MN,当△BCP面积最大时，求PM+MN+ND的最小值.

（3）在（2）的基础上将抛物线夕=如?+辰—4沿射线AC方向平移2V5个单位长度得新抛物线y',在新

抛物线式上是否存在点Q,使AQPB=乙4co+45°?若存在,请直接出点Q的横坐标，若不存在,请说

明理由.

【答案】（1）夕=—4

（2）最小值为+2

（3）存在，点Q的横坐标为2-或20+yror.

【知识点】线段周长问题（二次函数综合）、角度问题（二次函数综合）、待定系数法求二次函数解析式、面积问

题（二次函数综合）

【分析】（1）对于一^二次方程Q力2+反—4=0,根据二次函数和一元二次方程的关系，的=-2,/2=4.由根

与系数关系可得：力1+电=—~=2,力避2=—―=—8,得到a=4,b=—1,即可得到答案；

aa2

⑵设点P坐标为（馆,4山2一小一4）,从点p向2轴作垂线，及为垂足，PH交于点G.过点E作EF//

222

BC交y轴于点F.求出=——?7i+2?n—8=—~（?n—2）+10.得到SARCP=—（jn—2）+2020.当m

2时，点M坐标为（2,—2）,△BCP面积最大.得到PN+7W+ND的最小值为+2;

（3）点Q有两个位置Qi和,分别在第三象限和第四象限，分情况进行解答即可.

【详解】（1）解：对于沙=。/+64—4,令力=0,g=—4.

/.OC=I-4|=4,05=0（7=4,OA=^-OB=2.

/.根据图象可知：点A坐标为（一2,0）,点口坐标为（4,0）,点。坐标为（0,-4）.

对于一^元二次方程a/+b/-4=0,根据二次函数和一^元二次方程的关系，为=—2,力2=4.

由根与系数关系可得：/1+冗2=——=2,XyX^———=—8

aa

：.a--^-,b=-1.

抛物线的解析式为y--^-x2—x—4：.

（2）设点P坐标为,从点P向2轴作垂线，H为垂足，PH交于点G.

过点E作EF〃B。交y轴于点F.

根据题意OB=4,03=。。，AOBC为等腰直角三角形.

故直线相当于直线夕=c向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线BC的解析式为：沙=2—4.

・••点G坐标为（?71,m—4）.

,**S^QCP=S&GCP+S.GBP=fGP.OH+fGP.BH=%GP.OB,OB=4,

GP—VG-VP~g-4）—?n-4）=―-1-m2+2m—8

/.S^BCP=—（77i—2）2+20<20.

当m=2时，点M坐标为（2,—2）,ABCP面积最大.

2

此时点H与点E重合，点河与点G重合，HP=EP=\yP\=，x2-2-4|=4=OC

当点M坐标为（2,—2）时，HF为和为ABOC的中位线，点F坐标为（0,—2）,点N的轨迹在与射线BC平

行的射线EF上.

作点。关于直线EF对称点C,根据△CFC为等腰直角三角形，可得点C坐标为（-2,-2）.

/.CN=C'N.

-,-NM=CP=2,NM//CP,

：.四边形CPAW在MW■平移时始终为平行四边形，PTWuCN.

/.PM+MN+ND=C'N+MN+ND>CD+MN=CD+2.

对于夕=]d一2_4,,。=一+=1,如=9-1-4=--1-.

CD=J（—2—lJ+（—2+=雪.

.•.PAl+TW+ND的最小值为4|L+2.

故△BCF面积最大时，PAl+MN+ND的最小值为当L+2.

（3）根据题意。4=2,OC=4,则AC=-x/AO~+OC2=2滤，故抛物线"=—"一/一4沿射线人。方向平移

2V5个单位长度得新抛物线y'.相当于抛物线g先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到y'.

如图，

KT22

根据平移性质可得式=(a;-2)—(窜一2)—4—4=-^-x—3x—4.

由(2)知BE=AO=2,PE=CO=4,AC=PB=V22+42=275.

AE=OB=4,OC=EP=4,则AF=BC=V42+42=472.

在4ACB和ABPA中，AC=BP,AB=BA,BC=AP,

：.AACB空/\BPA(SSS).

NAPB=/BCA=NACO+NBCO=AACO+45°.

/B4P=45°,49=2,

直线AP相当于直线y=-x向左平移了2个长度单位，

直线AP的解析式为y=—(a?+2)=—x—2.

如图，点。有两个位置Q和Q2,分别在第三象限和第四象限：

①点Q是AP和新抛物线”的交点，满足NQFB=AAPB=NACO+45°.

结合直线4P和新抛物线式的解析式：,re?—3c—4——X—2.

解得c=2—2V2或2+2V2,

由于Q在第三象限，所以Qi的横坐标为2-22.

②作出点A关于BP的对称点，然后作，工轴，T为垂足，再连接PA'交抛物线右侧于点Q2.

这样根据轴对称的性质,ZQ2PB=AQ.PB=AAPB=AACO+45°.

设A4交BP于点R.

•/SAABF=±AB-EP=^-BP-AR,

.•.AR=6x4+(2—)=^^.BR=AB2-BB?=,

oo

•••cos/HAT=cos/BAR,即=芈，

AA'AB

把AT—AO+a;.,=2+x.,,AA'—2AR=,AB=6,AR=代入比例式解得:

55

_38

以,一5-

在Rt/\ATA'中，4T=〃/=VAfA2-AT2=誉.

O

.•.点4的坐标为(学，一卷).

设直线AP，的解析式为：V=ka;+b,代入点P和点A'的坐标得：

f—4=2fc+b[fc=­v

{-等=和+“解得“=v

直线AP的解析式为：9:一]7一平.

结合抛物线K可得：一台一争，解得-2°+严或2。一严.

由于点Q在第四象限，所以Q2的横坐标为：2。+^^.

综合①②可得，点Q的横坐标为2—或20+yi^.

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、全等三角形的判定和性质、解直

角三角形、勾股定理、函数的平移和对称等知识，分情况讨论是解题的关键.

4.(2025•海南•模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a¥0)与①轴交于A(—4,0),

8(1,0)两点，与0轴交于点C(0,—2),连接AC,BC.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点P是抛物线上位于直线4。下方一动点，过点P作9轴的平行线交直线AC于点D,点E

是y轴上的一个动点，连接BE,PE.当线段PD长度取得最大值时，求PE—BE的最大值,及此时点E

的坐标；

(3)如图2,将抛物线y=a/+近+c(a¥0),先向右平移1个单位长度，再像上平移2个单位长度,得到

新抛物线伏,点N是新抛物线上一点，连接CN,当ZACN=ACBA-ACAB时,请求出点N的坐标.

【答案】⑴y"+年①―2

(2)PE—BE的最大值为32，此时点E的坐标为(0,—1)

(3)点N的坐标为(二巫,3—47)或(一5/所,3+47).

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次

函数图象的平移

【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线

并利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

(1)抛物线y—ax2+bx+c(a7t0)与/轴交于A(—4,0),B(l,0)两点，与夕轴交于点。(0,—2)，待定系数法求

解析式，即可求解；

⑵先求得直线AC的解析式为y———2.设P(?TZ，0?7Z2+等Tn—2)，则。(viz,―2),得出PD的关

系式，进而得出当点P,B,E三点在一条直线上时，PE—BE取得最大值为PB,延长PO,交①轴于点F,得

出△PBF,△QBE为等腰直角三角形，进而得出点E的坐标为(0,-1);

(3)根据平移得出新抛物线纳的解析式，设直线C7V与2轴交于点Q,证明△AOC〜△COB,/XQOC-

/\COA,根据相似三角形的性质得出Q的坐标，进而求得直线CN的解析式为y=-2x-2,联立抛物线解析

式%=紧一1,即可求解.

【详解】(1)解：:抛物线y=ax2+bx+C(QWO)与/轴交于A(—4,0),B(l,0)两点，与0轴交于点C(0,—2),

(16a—4b+c=0Q=2

<a+b+c=Ofe=-1-,

[c=-2

c=-2

该抛物线的函数表达式为g=+9力一2;

(2)设直线4。的解析式为y=kx+n,

.J—4fc+n=0.1-

2"1=—2'

・・・直线4。的解析式为•力一2.

+2^,贝ID^m,--2),

・・,点P是抛物线上位于直线AC下方一动点，

PD—(―-2)—+2^)=--ym2—2m=--^-(m+2)2+2,

V-y<0,

当m=-2时，PD取得最大值为2,此时点P(-2,-3).

，,点、E是y轴上的一个动点,

:.PE-BE&PB,

・・・当点P,B,石三点在一条直线上时，PE一跳?取得最大值为PB,

延长P。，交力轴于点F,如图，

则PF_L力轴，

：.PF=3,OF=2,

：.BF=OF+OB=3,

：.PB=YPF2+OF2=3V2,

•；PF_LBF,BF=PF=3,

・・・AFBF为等腰直角三角形，

・・."BP=45°,

・•・跳;为等腰直角三角形，

：.OE=OB=\,

,•-E(0,-1).

・,・当线段PO长度取得最大值时，PE—BE的最大值为3V2,此时点E的坐标为(0,-1);

2

/oV.-12.391/,3\25

//ZvZ7O

・・・将抛物线沙二32+坂；+°(0彳0),先向右平移1个单位长度,再像上平移2个单位长度,得到新抛物线％的;

解析式为纵=4(力+得■—1)—等"+2=4/+4力-1.!

设直线CN与2轴交于点Q,如图，:

……____—_4

vA(-4,0),B(l,0),C(0,-2),

:.OA=4,OC=2,OB=1,

.OAOC

,,京=市=2o,

・・・AAOC=ZCOB=9Q°,

：.AAOC-ACOB,

・•・4ACO=4CBO,

・・・4ACN=ACBA-ACAB,

：.AACN=/ACO-ACAB,

・・・4ACN=AACO-"CO,

：.4QCO=/CAB.

・・・ZQOC=ZCOA=90°,

・•・AQOC-ACOA,

.OQ=OC

,,OC-OA'

.OQ=2

••24，

OQ=1,

Q(—1,0).

设直线CN的解析式为g=d/+e,

.J—d+e=0.Jd=-2

/，le=-2，0―，

・・・直线CN的解析式为g=—2力一2.

.(y=-2x-2.CXi=-5+Vi7L2=-5-Vi7

2,

"\y=^x+j：x-l"1^=3-717，［纺=3+717.

.•.点N的坐标为(T^N,3—47)或(十巫,3+JF).

5.(2025•湖南衡阳•一模)抛物线Lry=-yrr2+bx+c^x轴交于A(—4,0),B(l,0)两点，与y轴交于点

。，点P是抛物线心上的一动点，设点P的横坐标为m(—4＜小＜0).

⑴求抛物线〃的表达式.

（2）如图1,连接AP,并延长4P交y轴于点。，连接BP,交y轴于点E.点P在运动过程中，OO+

4OE的值是否为定值，若是,请求出定值；若不是，请说明理由.

⑶将该抛物线的向左平移4个单位,再向上平移2个单位,得到如图2所示的抛物线L2刚好经过点P,

点及为抛物线L2对称轴上一点.在平面内确定一点N,使以点A,P,河，N为顶点的四边形是菱形.

【答案】（1%+2

（2）00+4OE的值为定值10,理由见详解

（3）N点坐标为（一■1,2+呼）,（一■1,2—

【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形（二次函数综合）、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，抛物线和菱形的综合等

知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和菱形的判定和性质.

⑴利用待定系数法进行求解即可；

（2）过点P作PF_Lc轴于点F,得出△4PF〜△ADO,ABOE〜ABFP，利用相似三角形的对应边成比例，列

出关于小的代数式，化简代数式即可得出结论；

⑶根据菱形的判定和性质分类讨论，根据题意画出图形，假设出点的坐标，根据对边平行且相等列出方程,解

方程即可得出坐标.

【详解】（1）解:将A（—4,0）,B（l,0）两点代入y=—++c得，

0=—8—4b+c

0=—j+6+c

b=

解得~l

c=2

抛物线J的表达式为y—―—+2；

⑵解：OD+4OE的值为定值10,理由如下，

_____________________________

图1

如图，过点P作PF_L/轴于点F,则AAPF〜△ADO,i\BOE〜ABFP,

.ODOAOE=PF

"PF-AF5OB-BF5

即OD=咒芦，OE=^-

Dr

假设点P坐标为m,―——m+2),则点F坐标为(m,0),

1Q

/.FF=-ym2-ym+2,AF=m+4,OA=4,BF=l-m,OB=1,

—1-m2--|-m+2)—ym2--|-m+2

：.OD=,OE=

m+41—m

—1-m2--1-m

OO+4OE=

m+41—m

整理得，OD+4OE=-：。(馆+4)(--1)=w

(m+4)(1—m)

・・・OD+4OE的值为定值10;

⑶解:平移后抛物线，的表达式为9=一寺3+4)2—曰0+4)+2+2,

整理得g=--^-x2—^x—10,

y=—^x2—^x—10

联立＜

y=--^2?—|■力+2

(力二一3

解得

〔沙=2'

・••点P坐标为(-3,2),

根据勾股定理得，AP=V(-3+4)2+(2-0)2=V5

11

211

抛物线L2的对称轴为直线2

①当以点p为圆心AP长为半径画圆时，此圆与直线劣=一］无交点，因为点P到直线2=—今的距离为

-3-

②当以点4为圆心4P长为半径画圆时,如下图所示,

图2

假设交点“坐标为（一号,可，

AM2=（-3+^-）2+（0-y）2=（V5）2

解得y=或y=-^y-,

即闻一？,吟），此（一墨—吟），

假设乂（电,仇）,乂（02也），

・.・NiMi//PAN%=PA,N2M2//PA,N2M2=PA

Qi+*=-3+4,br—=2;a2+号=-3+4,b2+=2;

解得Qi=1-1-,4=2+;a2=1-,62—2—；

所以此时NK一■1,2+呼）,M（—Q—吟）；

③当AP为菱形的对角线时，作R4的垂直平分线,交对称轴于点略，如下图所示,

图2

假■设峪（一?，。3）,

.•.AT3P2=峪4

即（一3+?）+（2—%y=（―乎+4）+嵋，

解得加=2

・？，2）：

假设“5（&3力3）,根据PM〃峪4,皿=峪4得，:

___________________________________.

劭+3=-4+—,2—劣=2,

解得口3=-1,&=0,

所以此时M（一日,0）

综上可得N点坐标为（—告,2+平2—乎）或（-y,0）.

【题型二】二次函数中的翻折综合问题

6.（2025・湖南•二模）已知抛物线y=ax2-2ax-4（a>0）.

（1）如图1,将抛物线y=ax2-2ax-4在直线y=-4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变,得

到一个新的函数图象“W”.翻折后，抛物线顶点入的对应点A恰好在2轴上，求抛物线夕=a〃—2ac

—4的对称轴及a的值；

（2）如图2,抛物线y=a/—2arc—4（a>0）的图象记为“G"，与"轴交于点过点8的直线与⑴中的

图象“W”（x>l）交于P,。两点，与图象“G”交于点D

①当a=”时，求有的值；

②当Q04时,请用合适的式子表示篇■（用含a的式子表示）.

【答案】（1）抛物线的对称轴为直线力=1;a=4

⑵①1;②

4+a

【知识点】相似三角形问题（二次函数综合）、y=ax2+fcc+c的图象与性质、全等三角形综合问题、其他问题

（二次函数综合）

【分析】本题考查二次函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和

性质是解题的关键；

（1）根据题意，分别求出抛物线的对称轴和点A的纵坐标，即可求解；

（2）①证明△CFW空/\DCN，即可求解；

②当a>0且aW4和a>4时，证明△CFQ〜ADPT,进而根据相似三角形的性质，即可求解；

【详解】（1）解:抛物线的对称轴为直线：,=—，即为①=1.

2a

当/=1时

根据翻折可知点/的纵坐标为一8,即点4的坐标为（1,一8）.

将点A的坐标代入抛物线表达式得：a—2a—4=—8,

解得：a=4,

即抛物线的对称轴为直线力=1；a=4

⑵解：:a=4,

4x2-8x-4（力40或%>2）