费马点与加权费马点详细总结专题突破-2025年中考数学解析版

费马点与施权费马点评X总年

知识点梳理

【希黑费与点】

【加权费马点】

普通费马点最值问题

加权费马点•单系数型

里三加权费马点•多系数型

满分•技巧/

知识点梳理

【雷加费马点】

【问题提出】如图AABC所有的内角都小于120度，在△力BC内部有一点P,连接P4PB、PC,

当PA+PB+PC的值最小时，求此时/力PB与/APC的度数.

【问题处理】如图1,将A4CP绕着点C顺时针旋转60度得到ATTCP,则A4CP丝A4CP',CP=CP,,AP=A,P,,

又；NPCP，=60°,.♦.△PCP'是等边三角形，:.PP'=PC,：.PA+PB+PC^P,A,+PB+PP,,

如图2,当且仅当点B、P、P\4共线时，P4+PB+PC最小，最小值为力'B,此时/BPC=/4PC=/APB=

【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论：

①对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120。的点，所以三角形的费马点也叫三

角形的等角中心；

@对于有一个角超过120。的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

【如何作费马点】如图3,连接44，，我们发现△4C4为等边三角形，点P在4B上，同理，我们可以得到等边

△及1月，点P也在CB，上，因此，我们可以以A4BC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交

点即为费马点。（最大角小于120°时）

【例1】如图，在△4BC中，ZACB=9Q°，AB=AC=1,尸是△/3C内一点，求刃+P2+PC的最小值.

【答案】遥+班

2

【分析】如图，以NC为边构造等边△/&),连接8。，8。的长即为以+P3+PC的最小值.至于点P的位

置？这不重要！

如何求BD?考虑到4ABC和4ACD都是特殊的三角形，过点D作DH±BA交BA的延长线于H点，根

据勾股定理，8加=即2+。”2即可得出结果.

【练习1】如图，已知矩形ABCD，AB=4,BC=6，点/为矩形内一点，点E为2c边上任意一点,则MA+MD+ME

的最小值为.

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段.

分别以为边构造等边△/DF、等边△4WG,连接尸G,

易证丝△/GF,:.MD=GF

：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

过/作FH±BC交BC于H点、,线段的长即为所求的最小值.

【加权费马点】

如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也

是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。

【知一单系期》

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

一种是旋转特殊角度：、门对应旋转90°,百对应旋转120°

另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比

【例3】在等边三角形ABC中，边长为4,P为三角形ABC内部一点，求4P+8尸+J5尸。的最小值

A

BC

原图

【简析】本题有2种解题策略，旋转特殊角和旋转放缩

【策略一：旋转特殊角】如图1,ZV1PC绕点C逆时针旋转90。，易知PP=&PC,4B即为所求

图1

方法一：如图2,B,P,P\4共线时取最小，此时NBPC=N4PC=135°,易知BP=4P'=2右,

PC=CH-PH=273-2,:.PP'=2底-2叵,PB+PP,+A,P,=276+2^

方法二：作力于易知N4cH=30°,：.AH=2,CH==BH=4+2框,由勾股可得力'B=

2A/6+2A/2

【策略二：旋转放缩】可按如下方法去旋转放缩（方法不唯一）

如图4,将三角形BPC绕点B旋转45°,再扩大为原来的血■倍，得到△BPC'

则AP+BP+拒PC=AP+PP'+P'C>AC'

补充：也可以按图5方式旋转

A

【练习2】在Rt^ABC中，AC=3,BC=2#),P为三角形ABC内部一点，求。的最小值

【策略一：旋转特殊角】如图1,△力PC绕点C逆时针旋转120。，则有PP'=GPC,

AP+BP+PC^AP'+BP+PP'WA'B=2币

图1

【策略二：旋转放缩】如图2,AAPC绕点/逆时针旋转30。，再扩大为原来的倍,

则AP+BP+43PC=PP'+BP+P'C'>BC',计算略

图2

【知二多不峰】

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转

中心呢？我们总结了以下方法：

1.#«小系数发■知

2.中国大小的系奥•定Mr比例；

3.最大章却«定*修中心（例*最大系"PA1T面，就以A为*修中心），於桥系数不为1的■条谓盘南

荏的三隽都.

【例3】如图，在AABC中，4C5=60。，BC=3,ZC=4,在AABC内部有一点P,连接尸4PB,PC,

则（1）!尸/+@尸8+尸。的最小值为;（2）立尸/+工必+尸。的最小值为

2222

A

【简答】（1）将最小系数;提到括号外，得到;（R4+GPB+2PC）

A

中间大小系数为百，故放大倍数为百倍，最大系数在PC前面，故以点c为旋转中心，旋转APBC.

如图1,将APBC绕点C逆时针旋转90°,并放大为石倍，B'P'=y/3BP,PP'=2PC.

；(PA+布PB+2PC)=；(PA+PP'+P'B')N；AB'=^~.

(2)将最小系数;提到括号外，得到;(也24+必+2PC),

图2

如图2,将4APB绕点C逆时针旋转90°,并放大为倍，A'P'=y/3AP,PP'=2PC.

g«PA+PB+2PC)=P」BP+PP'zgA'B=回

【练习3】如图，在△力BC中，/。5=60°，3。=36，/。=6,在448。内部有一点「,连接尸4PB,PC,

则2PA+PB+亚PC的最小值为.

P'A=2PA,PP'=>/5PC

2PA+PB+也PC=AP+P'P+PB>AB,A'C=2AC=12,N/'C3=90°+60°=150°,

:.AH=-AC=6,CH=—AC=6S/3，BH=9也，由勾股定理可得AB=3A/31，

22

2PA+PB+小PC的最小值为3用.

■，/核心•题型/

普通费马点最值问题

1.（2021滨州）如图，在中，/ACB=90。,ZBAC=30°,AB=2,点P是内一点，则

p/+PB+PC的最小值为・

B

CA

【答案】J7

【解析】将4ABP绕点A顺时针旋转60。到△ABP,连接PT,B'C.

则AB,=AB=2,PB=PB,NBAB』60。，PA=P,A,NPAP，=60。,

.♦.△PTA是等边三角形，/.PA=P,P.

•?ZBAC=30°,ZB,AC=90°,

VZACB=90°,:.AC=与AB=6

•"­BC=JAC?+BM=S-

：PA+PB+PC=P'P+P'B'+PC》B'C,

APA+PB+PC的最小值为J7.

2.问题背景：如图1,将△力BC绕点A逆时针旋转60°得到△力DE,DE与BC交于点P,可推出结论：PA

+PC=PE.

问题解决：如图2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4JL点。是△MNG内一点，则点。到4

MNG三个顶点的距离和的最小值是

图2

【解析】过点“作HQJ-NM交NM延长线于Q点，根据NNMG=75。，NGMH=60。,可得NHMQ=45。,

是等腰直角三角形,；.MQ=HQ=4,,丽=行砂=时记=2回

3.如图，在△力BC中，ZCAB=90°,AB=AC=2,P是△ABC内一点，求必+PB+PC的最小值.

【解析】如图1,以4D为边构造等边△4CD,连接BD,BC的长即为R4+PB+PC的最小值.

考虑到AXBC和A4CD都是特殊的三角形，所以构造特殊直角三角形

如图2,过点。作交胡的延长线于H点，根据勾股定理，BD2=BH2+DH2=46+y/2

/%

定一二：死D

//

、

图1图2

4.已知，在△力BC中，ZACB=30°,AC=4,AB=/j(CB>CA)点P是"BC内一动点，则PA+PB+PC

的最小值为________

///।

//।

//'

/二/i

//\

4//

，/

BZ-------------------------------------------^C4H2昭0

原图图1

【解析】如图1,将△力PC逆时针旋转30。,得“PC,BC卿以+PB+PC最小值，考虑到Z

BCA=3Q°,；.NBCC'=90。，作力H_LBC,可得8。=36，：.BC=743

5.如图，已知矩形4BCD,4B=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则M4+MD+

ME的最小值为.

【解析】如图1,依然构造60。旋转，将三条折线段转化为一条直线段.分别以4。、4M为边构造等边△ADR

等边△力MG,连接FG,易证△AMD/ZkAGF,：.MD=GF：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

如图2,过F作FH_LBC交BC于”点，线段FH的长即为所求的最小值.FG=4+优

6.4B、C、。四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之

间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度CAP+BP+PQ+DQ+CQ）最小，则应当如何修建？最小

长度是多少？

【解析】如图1,A4BP绕点B逆时针旋转60。，得到同样，将AOCQ绕点C顺时针旋转60。，得到

△D'CQ’,连结力2、D'D,贝IAABA、ADCD'均为等边三角形，连结PP'、QQ,,则ABPP',

△QCQ'均为等边三角形，AP+BP+PQ+DQ+CQ=A,P,+PP,+PQ+QQ,+DQ,

/~~>D'

//

,///

BC

图1

如图2,当点4,P,P,Q,Q',£>'共线时,整个公路系统的总长取到最小值，为线段4'。'的长，此时点P,

Q在"'上,最小值为R+2百"

尹--二》。

--

BC

图2

2023•随州中考真题

7.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点4B,C,求平

面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明,

该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当的三个内角均小于120。时,

如图1,将△4PC绕，点C顺时针旋转60°得到“'PC,连接PP',

由尸。=尸‘怎"CP'=60°,可知△尸CP为①三角形,板PP'=PC,又P/=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',4在同一条直线上时，以+必+尸。取最小值，如图2,最小值为48,此时

的P点为该三角形的“费马点”，且有NAPC=NBPC=NAPB=③；

已知当“BC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若/A4C2120。，

则该三角形的“费马点”为④点.

(2)如图4,在△48c中，三个内角均小于120。，且2。=璜5。=4食44以=30°,已知点P为。8c的“费

马点”，求尸/+尸3+尸。的值；

(3)如图5,设村庄4B,C的连线构成一个三角形，且已知4。=41«11食3。=2瓜111食乙4。8=60。.现欲

建一中转站P沿直线向4B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄4B,C的铺设成本分别为a

元/km,a元/km,0a元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果

用含a的式子表示)

【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③120。；④A.

(2)5

(3)2V13a

【解题思路】(1)根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；

(2)根据(1)的方法将△/PC绕，点C顺时针旋转60°得到AZ'P'C,即可得出可知当B,P,P,4在

同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值,最小值为A'B,在根据ZACB=30°可证明

ZACA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,由勾股定理求即可，

(3)由总的铺设成本=a(P/+P8+0PC),通过将绕，点C顺时针旋转90。得到AHP'C,得到等

腰直角APPC,得到CPC=PF，即可得出当B,P,P,4在同一条直线上时，尸'/'+尸5+尸尸'取最小值，

即R4+P5+血尸。取最小值为AB,然后根据已知和旋转性质求出H2即可.

【详解】(1)解：PC=P'C^ZPCP'=60°,

△尸CP为等边三角形；

PP'=PC,ZP'PC=ZPP'C=60°,

又尸'4=尸4,^PA+PB+PC=PA'+PB+PP'2A'B,

由两点之间线段最短可知，当B,P,P',4在同一条直线上时，尸/++取最小值，

最小值为/'2,此时的P点为该三角形的“费马点”，

ZBPC+ZP'PC=180°,ZA'P'C+ZPP'C=180°,

ZBPC=120°,ZA'P'C=120°,

又："PC=AA'P'C,

：.ZAPCZAP'C=120°,

：.ZAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,

NAPC=ZBPC=/APB=120°；

NB4czi20°,

：.BC>AC,BC>AB,

：.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

二三个顶点中，顶点4到另外两个顶点的距离和最小.

又：已知当^ABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.

该三角形的“费马点”为点4,

故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120。；④A.

(2)将△4PC绕，点C顺时针旋转60°得至IAA'P'C,连接PP,

由(1)可知当B,P,P',4在同一条直线上时，尸/+尸3+尸。取最小值，最小值为H2,

,/AACP=ZA'CP',

：.ZACP+ZBCP=NA'CP'+NBCP=ZACB=30°,

又：ZPCP'=60°

ZBCA'=ZA'CP'+NBCP+ZPCP'=90°,

由旋转性质可知：AC=A'C=3,

A'B=^BC2+A'C2=4+32=5,

P/+PB+PC最小值为5,

(3):总的铺设成本=PA-a+PB-a+PC•五a=a(PA+PB+也PC)

当R4+P8+五尸。最小时，总的铺设成本最低，

将绕，点C顺时针旋转90。得到A/'PC,连接PP,A'B

由旋转性质可知：P'C=PC,ZPCP'=ZACA'=90°,P'A'=PA,4C=/C=4km,

:•PP=0PC,

PA+PB+42PC=PA+PB+PP',

当B,P,P',力在同一条直线上时，PH+尸8+PP取最小值，即上4+。5+内(取最小值为42,

f

•：ZACB=60°,ZACA=90°f

：.ZACH=30。,

：.A'H^-A'C^2km,

2

•*-HC=ylAC2-AH2=A/42-22=2®km),

?.BH=BC+CH=2y/3+2百=4有(km),

A'B=4AH'+BH2=J(4A/3)2+22=2而(km)

++0PC的最小值为2jilkm

总的铺设成本=PA-a+PB>a+PC•缶=a{PA+PB+gPC)=2岳a(元)

广东省江门市一模

8.如图，在。BC中，ZBAC=90°,AB=5,AC=243＞点尸为“8C内部一点，则点尸到。8C三个顶点

之和的最小值是.

［分析】将4ABp绕着点4顺时针旋转60°,得至1^AEH,连接EP,CH,过点C作CN，，交HA的

延长线于N,由旋转的性质可得484P=Ntt4E,AE=AP,AH=AB=5,/BAH=60°,BP=HE,易得

△/EP是等边三角形，可得AE=AP=EP,进而得到/P+3P+PC=EP+E〃+PC,当点、H、E、P、C共

线时，/尸+8尸+尸（？有最小值〃7,再求出CN和HV的长度，由勾股定理可求解.

【详解】解：将“AP绕着点4顺时针旋转60°,得到△/£〃，连接EPCH,过点C作CN14",交际

的延长线于N,

，NBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,/BAH=60°,BP=HE,

：.ZHAB=ZEAP=60°,

：.△/£尸是等边三角形,

AE=AP=EP,

：.AP+BP+PC=EP+EH+PC,

当点H、E、P、C共线时，/P+5P+尸C有最小值〃C.

•••ZNAC=1800-ZBAH-ZBAC=180°-60°-90°=30°,AC=243,

:.CN=；AC=C,

：.AN=yjAC2-CN2=_（可=3,

：.HN=AH+AN=5+3=S.

在RtACW中，CH=y]HN2+CN2=^82+（名/

即点P到△48c三个顶点之和的最小值是J而

武汉中考

9.问题背景：如图1,将△NBC绕点/逆时针旋转60°得到DE与BC交于点、P,可推出结论:

PA+PC=PE.

问题解决：如图2,在△〃、心中，MN=6,ZM=75°,MG=4^2,点。是△"△灯内一点，则点。到

三个顶点的距离和的最小值是.

图2

【答案】2月

【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题,

直接来解决就好了！

如图，以MG为边作等边aMGH,连接NH,则NH的值即为所求的点O到GIVING三个顶点的距离和的最

小值.（此处不再证明）

过点H作HQ_LNM交NM延长线于Q点，

根据NNMG=75°,ZGMH=60°,可得NHMQ=45°,

Z.AMHQ是等腰直角三角形，

,\MQ=HQ=4,

NH=^NQ2+HQ2=V100+16=2A/29.

2023•四川宜宾•中考真题

10.如图，抛物线y=a?+bx+c经过点/（-3,0）,顶点为刊（-1,加），且抛物线与丁轴的交点B在（0,-2）和

（0，-3）之间（不含端点），则下列结论：

II/

1/

/

f（

1/

'6；

«l

①当一3«尤41时，y<0；

②当的面积为）叵时，a=也;

22

③当为直角三角形时，在“。8内存在唯一点P,使得尸2+尸。+尸8的值最小，最小值的平方为

18+93

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②

【解题思路】根据条件可求抛物线与X轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为

y=a(%-l)(x+3),即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点。为

旋转中心，将“08顺时针旋转60°至^AOA,连接AA，PP，AB，得到PA+PO+PB=PA+PP+PB>AB,

判断③.

【详解】解：：抛物线y=o%2+6x+c经过点/(-3,0),顶点为/(-1,根)，

:.对称轴x=-l,

・,•抛物线与x轴的另一交点坐标为(1,0),

由图象可得：当—时，y<0；

・••①正确，符合题意；

，・,抛物线与x轴的另一交点坐标为(1,0),

.二设抛物线为歹=〃(％—1)(%+3),

当％=-1时，y=-4a,当x=0时，y=-3a,

・・."(—1,-4Q),B(0,-34/),

如图所示，过点M作平行于y轴的直线/,过点力作ZE1/,过点、B作BNJJ,

设直线45的解析式为y=k'x+b,

/\/\1―3左'+//=01左'=―〃

把30,-3〃，/一3,0代入得：,解得：

[b=-3a[匕=-3a

J直线Z5的解析式为y=-QX-3Q,

当x=T是，y=~2a,

・(T—2〃),

MF=2a,

.」233=也

22

解得：a=—,故②正确；

2

点B是抛物线与y轴的交点,

・••当x=0时，y=~3af

8(0,-3a),

,?4ABM为直角三角形，

当N/Affi=90°时，

AM2+BM2=AB2^

,•*AM=,J(-2)2+(-4a)2="+16/,BM=,J(-1)2+(-a)2=J1+/,AB=J(-3,+(-3甫=，9+9八,

；・4+16/+1+/=9+9/,整理得:8a2=4,

解得：a=—^~—(舍)

22

.•.jo,-等］,

I27

当ZABM=90°^,

AB2+BM2=AM2,

A4+16a2=9+9a2+l+a2,整理得：6o2=6

解得：。=1或-1(舍)

.*.5(0-3),

当/跖13=90。时，

**-AB2+AM-=BM\

；・4+16/+1+/=9+9/,无解；

以点。为旋转中心，将“。8顺时针旋转60°至A/O/',连接44',pp,/B，如图所示，

：.OP=PP',AP=AP',

：.PA+PO+PB^P'A'+PP'+PB>A'B,

/为等边三角形，/(TO)

x.-,y,=—xtan60°=,

/2乙22

“I"

当30,--时,

、2>

549&

---+------

42

当5(0,—3)时,

2

“郎=|+爵+3、18+95此时不符合题意故③错误;

故答案为：①②.

一题四问，从特殊到一般

11.背景资料：在已知“BC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是

法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点如图

1,当“3C三个内角均小于120。时，费马点尸在418c内部，当//尸3=/4?。=/。％=120。时，则

尸/+尸3+尸C取得最小值.

(1)如图2,等边03C内有一点尸，若点尸到顶点/、B、C的距离分别为3,4,5,求必的度数，为

了解决本题，我们可以将A/BP绕顶点/旋转到处，此时A/CP'WA/3?这样就可以利用旋转变换，

将三条线段尸/、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与“8C的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问

题.

⑵如图3,A48c三个内角均小于120。，在A48c外侧作等边三角形连接CB',求证：C8'过A48c

的费马点.

(3)如图4,在中，ZC=90°,AC=l,ZABC=30°,点P为“8C的费马点，连接/尸、BP、CP,

求尸/+P3+PC的值.

(4)如图5,在正方形4BCD中，点E为内部任意一点，连接NE、BE、CE,且边长N8=2；^AE+BE+CE

的最小值.

【答案】(1)150。；(2)见详解;(3)疗;(4)76+5/2.

【分析】(1)根据旋转性质得出四△/CP,得出NBAP=NCAP\ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

根据及48。为等边三角形，得出N3/C=60。，可证A/PP为等边三角形，PP'=AP=3,ZAP'P=60°,根据勾股

定理逆定理尸P?+PC2=32+42=25=2。2,得出APPC是直角三角形，NPP，C=90。,可求乙4PC=NNPP+

ZPPC=60°+90°=l50°即可；

(2)将A/PB逆时针旋转60°,得到A48P,连结尸P,根据AAPB/AAB'P',AP=AP',PB=PB',AB=AB',

根据NR4P'=NBAB'=60°,A/PP和及423'均为等边三角形，得出PP'=AP,根据PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

根据两点之间线段最短得出点C,点尸，点P,点皮四点共线时，PA+PB+PCt,.=CB',点尸在C8'上即

可；

(3)将AAPB逆时针旋转60°,得到△NP8',连结BB',PP',得出A4PBq△APB，,可证和A/BB'均

为等边三角形，得出PP'=4P,BB'=AB,ZABB'=60°,<<PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,可得点C,点尸，

点尸'，点夕四点共线时，PA+PB+PCt,.=CB',利用30。直角三角形性质得出48=2/C=2,根据勾股定理

BC=-JAB2-AC2=A/22-12=V3，可求BBIB=2,根据NC8B'=N/3C+NABB'=300+60°=90°,在R3C25'

中，皮c73c2+叱=J阴Q22=a即可;

(4)将ABCE逆时针旋转60。得到ACEB，，连结EE\BB，,过点皮作2户J_4B,交延长线于尸，得出4台方

支CEB,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可证AECE'与△3C3'均为等边三角形，得出EE=EC,BB'=BC,Z

B'BC=60°,AE+BE+CE^AE+EE'+E'B',得出点C,点、E,点E',点2'四点共线时，

AE+BE+CE^AE+EE'+E'B't,.=AB根据四边形/BCD为正方形，得出/B=2C=2,ZABC=9Q°,可求

NF8夕=180。-/48c-NCB夕=180。-90。-60。=30。，根据30。直角三角形性质得出BF=-BB'^-x2=l,勾股定

22

理BF=4BB,2-B'F2=A/22-12=V3，可求AF=AB+BF=2+石，再根据勾股定理AB'=

y/AF2+B'F2=«2+⑷+B="+及即可.

【详解】(1)解：连结PP',

,：AABPg△NCP,

:.NBAP=NCAP',N4PB=NAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

△/8C为等边三角形，

ZBAC=60°

：.NR4P'=NR4C+NCAP'=NR4C+NBAP=6Q°,

：.为等边三角形，

,：.PP'=AP=3,NAP'P=60°,

在APPC中，PC=5,

PP'-+P'C2=32+42=25=PC2,

：.APP'C是直角三角形，NPP'C=9Q°,

ZAP'C=NAPP+ZPPC=60°+90o=150°,

ZAPB=ZAP'C=150°,

故答案为150。；

(2)证明：将A/PB逆时针旋转60。，得到△48P,连结PP,

'：AAPB^^AB'P',

：.AP=AP',PB=PB',AB=AB',

,：ZR4P'=ZBAB'=6Q0,

：./XAPP'^"BB，均为等边三角形，

：.PP'=AP,

,：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

.•.点C,点P,点P,点皮四点共线时，PA+PB+PCtll.=CB',

.,.点P在C9上，

CB'过"BC的费马点、.

(3)解：将及4依逆时针旋转60。，得到及4P夕，连结BB，,PP',

：.AAPBmAAPB,

：.AP'=AP,AB'=AB,

,：ZR4P'=ZBAB'=60°,

/.ZUPP和A4B9均为等边三角形,

：.PP'=AP,BB'=AB,ZABB'=60°,

,/PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC

.,.点C,点P,点尸'，点2'四点共线时，PA+PB+PC^,.=CB',

•：ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,

22

:.AB=2AC=2,根据勾股定理BC=y/AB-AC=五=6

：.BB'=AB=2,

・.,NCWN/BC+NABB，=30o+60o=90。，

在RtzxCBB'中，B'C=ylBC2+BB'2=不⑹+2?=不

:.PA+PB+PC最4、=CB'=ypj;

(4)解：将A8CE逆时针旋转60。得到△CEB，，连结EE。BB',过点皮作8尸_L/8,交延长线于产,

/.△BCEmACEE,

：.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',

,：ZECE'=ZBCB'=60°,

：./XECE'^j4BCB'均为等边三角形，

：.EE'=EC,BB'=BC,N83c=60。，

:AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

.,.点C,点、E,点点8'四点共线时，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^,=AB

•.•四边形/BCD为正方形，

：.AB=BC=2,ZABC=9Q°,

/.NFBB'=18Q°-NABC-Z。3夕=180。-90。-60。=30。，

'：B'FA.AF,

•*-BF=；89=]x2=1,BF=^BB^-B'F2=《2?-I2=73，

：.AF=AB+BF=2+^3,

/.AB'=ylAF2+B'F2=J(2+可+F=a+也,

AE+BE+CEt,.j.=AB'=a+0.

B'

加权费马点•单系数型

2023•武汉・慧泉中学校月考

3

12.如图，RtZi/BC中，/CAB=30。,BC=~,点尸为内一点，连接PA,PB,PC,则尸。+尸8+有川

【答案】-V13

2

【分析】作辅助线如详解图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得。尸=内/尸，于是所求

PC+PB+上PA的最小值转化为求。E+尸。+尸3的最小值，根据两点之间线段最短可得DE+PD+PB的最

小值即为线段匹的长，然后求出防的长即可解决问题.

【详解】解：将△ZC尸绕点/逆时针旋转120。，得到连搂DP,EB,过点E作E尸_L8/交A4的延

长线于点尸，过点/作尸于点Af,如图，

则AD=AP,DE=CP/DAP=120°,ZEAC=120°,

•?AMVDP,

：.DM=PM,ZADM=NAPM=30°,

AM=-AP,

2

：.PM=y]AP2-AM2=—AP,

2

/.DP=2PM=&P,

PC+PB+y/3PA=DE+PD+PB>EB,即PC+P3+的最小值为乐的长（当点E、D、P、2四点

共线时取最小值），

3

,「RtZkZBC中，ZG4S=30°,BC=~,

2

・JZ7-A^-3石

••A.E=AC----f

2

•：ZCAS=30°,ZEAC=120°,

・・・/EAF=30。,

则在直角三角形4E1尸中，EF=LAE=^,AF=6EF=2,

244

921i--------------------------

・•・斯=3+7下：.BE7BF、EF2=」而

2

西安市铁一中二模

13.已知，如图在A/BC中，44c8=30。，BC=5,AC=6,在内部有一点。，连接D/、Z)B、Z)C.则

DA+DB+-J1DC的最小值是

【分析】把ACD8顺时针旋转90。到△（?»夕，过夕作夕E_L/C,交/C延长于E,则CD=C。，BD=B'D',Z

CDD'=ZCD'D=45°,可求。。=亚CD,在R於CEB，中,可求CE=g,AE=y,BE=乎，当点/、D、

D'、9四点在一直线时，/夕最短，可求AB'=BD+&CD+/Z）=JM.

【详解】解：把ACDB顺时针旋转90。到ACD皮，过夕作夕E_L/C,交4c延长于E,

则CD=CD',BD=B'D',NCDD=NCD'D=45。,

：.DD'=CD^cos45°=直CD,

NACB=30°,ZB'CB=90°,

/.ZB'CE=180°-ZACB-NBC8'=180°-30°-90°=60°,

在RMCEB，中,

：.CE=B'Ccos600=5x-=-,

22

517

AE=AC+CE=6+,

22

BE=B'Csm600=5xB=短，

22

当点/、D、D\3,四点在一直线时，最短，

：.AB'^=yjAE2+B'E2==回，

AB^B'D'+D'D+AD=BD+6CD+AD=791.

故答案为：屈.

2023•成都市郸都区中考二模

14.如图，矩形/3CD中，48=2,8c=3,点E是N3的中点，点厂是8C边上一动点.将NBEF沿着斯

翻折，使得点B落在点"处，若点尸是矩形内一动点，连接PC、PD,则P84扬5C+QD的最

小值为.

【答案】V26-1

【分析】将△CD尸绕点C顺时针旋转90。得到ACDP,连接尸P,连接E/T,由等腰三角形CPP得出

PP'=yf2PC,再由折叠得出点夕的轨迹在点E为圆心，班为半径的圆周上，所以EB'+PB'+PP'+P'D'的

最小值为EZT,即PB*gPC+PD的最小值为ED-EB',经计算答出答案即可.

【详解】解：将尸绕点C顺时针旋转90。得到ACDP,

连接尸尸'，连接ED',

则B,C,D'共线，PD=P'D',

:.CD'=CD=AB=2,

:.PP'=42PC,

•・•点、E是4B的中点，

:.EB=-AB=-x2=l,

22

■：BD'^BC+CD'=3+2=5,

.-.ED'^^BE1+D'B-=712+52=国

由ABEF折叠成△YEP,

:.EB=EB'=EA,

.,.点8在以点E为圆心，班为半径的圆上,

:.EB'=i,

•••两点间线段最短，

:.ED'<EB'+PB'+PP'+P'D',

即ED'&EB'+PB'+6PC+PD

:.^26<l+PB'+y/2PC+PD,

PB'+42PC+PD2足-1,

则PB'+6PC+PD的最小值为降-L

故答案为：V26-1.

,型三加权费马点•多系数型

1、/5

15.在边长为4的正△ABC中有一点P,连接P4PB、PC,求(-4P+BP+"-PC)?的最小值

22

原图

【解析】如图1,44PC绕点C逆时针旋转90。，取P'C,4'C的中点M,N

易知PM=^-PC,MN=-P,A,=-PA,

222

A

图1

则^AP+BP+与PC=MN+BP+PM《BN,BN2=20+86即为所求

16.在等边三角形ABC中，边长为4,P为三角形ABC内部一点，求3ap+4BP+5PC的最小值

A

A

BC

原图

△力PC绕点C逆时针旋转90。，在P'C,4c上取M,N,使CM=-CP,CN=

533

易知PM=—PC,MN=—P4=—E4,3AP+4BP+5PC=4(MN+BP+PM)WBN

444

A

B

图1

成都七中育才学校月考

17.在A/3C中，AB=3,AC=4,/3/C的角平分线交8c于E,过C作射线NE的垂线，垂足为D,连

3PC+4PD+5PA

接5。，当S#-5段即取大值时，在A/C。内部取点尸，则的最小值是.

4

【答案】>/29

【分析】延长CD交4g于点尸，过点A作BC边上的高///,得出A4D/丝A/DC,则3尸=1,根据4D是

BF3

/胡。的角平分线，得出设S△皿=3S,则S®c=4S,过点。分别作/尸,4。的垂线，垂足为姐N,

EC4

得出S=2S“BC，S&ACK-S&BKD=2\S,则当鼠瘀最大时，以仆-S△曲取得最大值，进而可得当

3

/C/5=90°时，S/Bc取得最大值，则/。/。=45°,延长氏4至C',使得/。'=彳/。=3,^P'ALPA,

3