查漏知识03 2025年中考数学解题技巧策略-2025年中考数学冲刺复习（武汉专用）

查漏知识03初中数学中考解题技巧策略

知识点概览

目录

知识一特殊三角形多解问题解决技巧策略..............................2

模型1.等腰三角形的角和边不确定............................................................2

模型2.直角三角形的直角顶点不确定..........................................................2

知识二遇至仲点如何添加辅助线问题解决技巧策略......................2

模型1.构造中位线模型......................................................................2

模型2.构造中线模型........................................................................3

模型3.构造倍长中线（或类中线）模型...........................................................3

知识三遇到角平分线如何添加辅助线问题解决技巧策略..................4

模型1.运用角平分线定理模型................................................................4

模型2.构造等腰三角形模型..................................................................4

模型3.构造轴对称图形模型..................................................................4

知识四辅助圆问题解决技巧策略......................................5

模型1.定点定长构造辅助圆..................................................................5

模型2.定弦定角构造辅助圆..................................................................6

模型3.对角互补造辅助圆（四点共圆）........................................................6

模型4.定角定高构造辅助圆..................................................................6

模型5.点圆最值构造辅助圆..................................................................7

知识五线段最值问题解决技巧策略.....................................7

模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值.............................................7

模型2.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型...............................................8

模型3.最值模型之将军遛马模型..............................................................9

模型4.最值模型之将军造桥（过桥）模型.....................................................10

模型5.最值模型之胡不归模型...............................................................10

模型6.最值模型之阿氏圆模型...............................................................11

模型7.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型.....................................................12

模型8.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型.....................................................13

CGC

必记核心知识点

知识一特殊三角形多解问题解决技巧策略

模型1.等腰三角形的角和边不确定

方法解读：当题干中出现类似“若△NBC为等腰三角形”这样的表述时，未明确哪两条边为腰，需考虑分

类讨论：®AB=AC(CltC4);®AB=BC(C2,C5);®AC=BC(C3)

厂

2帖儿

"Cy

解题方法：①求角度：根据等腰三角形等边对等角的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段

长：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解，若出现30°、45°的角时，可考虑用锐

角三角函数或含30°、45°角的直角三角形的性质求解.

模型2.直角三角形的直角顶点不确定

方法解读：当题干中出现类似“若△N8C为直角三角形”这样的表述时，未明确哪个角为直角，需考虑分

类讨论：①N[=90°(CD;②乙8=90°(。4)；③/C=90°(。2,。3)；

解题方法：①求角度：根据直角三角形的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段长：可用勾

股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解；若出现30°、45°的角时，可考虑用锐角三角函数

或含30°、45。角的直角三角形的性质求解；若出现中点，可考虑用直角三角形斜边中线的性质或者中位

线的性质求解。

知识二遇到中点如何添加辅助线问题解决技巧策略

模型1.构造中位线模型

情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线.

条件:如图,在△NBC中，点D,E分别为NC的中点.

辅助线作法：连接DE

结论：DE=^BC,DE||BC.

A

BC

情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线.

①条件:如图1,在△NBC中是边的中点，且已知底边3c的长.

辅助线作法：过点D作BC的平行线，交NC于点E（或取/C的中点瓦连接。£）.

结论：DE=^BC.

②条件:如图2,在△48C中,。是边的中点.辅助线作法:过点/作N尸〃CD,交BC的延长线于点F.

结论：DC=^AF;/\BDC^/\BAF.

图1图2

模型2.构造中线模型

情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线.

条件:如图，在Rt^ABC中，/A8C=90°,£＞为斜边NC的中点.

辅助线作法：连接3D

结论：BD=CD=AD=-AC

A

BC

情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题.

条件:如图,在等腰△48C中,。为底边8c的中点.

辅助线作法：连接/D

结论:4DLBC,乙BAD=乙C4D.

A

BDC

模型3.构造倍长中线（或类中线）模型

情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形.

条件:如图1,在△48C中,40是BC边的中线.

辅助线作法1:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.

辅助线作法2:过点8作BE〃/C,交的延长线于点E.

结论;AACDm&EBD/D二DE,BE=AC等.

A

A

B

图1图2

情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形.

条件:如图2,在△48C中,。是BC边的中点，点E是48上一点，连接DE.

辅助线作法1:延长ED至点£使DF=DE,连接CF.

辅助线作法2:过点C作CF//AB交ED的延长线于点F.

结论:"DE三BE=CF等

知识三遇到角平分线如何添加辅助线问题解决技巧策略

模型1.运用角平分线定理模型

条件：如图，P是的平分线上一点，己知尸垂足为4

辅助线作法:过点P作PBLON于点B.

结论：P4=PB.

0BN

模型2.构造等腰三角形模型

1.条件:如图1,点P是/40B平分线OC上一点.

辅助线作法:过点尸作交CM于点。.结论：△P。。是等腰三角形.

2.条件:如图2,0C是的平分线，点D是。4上一点.

辅助线作法：过点D作DE"0C,交2。的延长线于点E.

结论：是等腰三角形.

3.条件：如图3,尸是NMCW平分线上一点，已知4P_L0P.

辅助线作法：延长4P,交ON于点B.

结论:△NO8是等腰三角形，。尸垂直平分

模型3.构造轴对称图形模型

1.截长法

条件:如图1,在△4BC中，点。在3C上，且/。平分NA4c

辅助线作法:在AB上截取AF=AC,连接DF.结论:△/CD丝△4TO.

A

A

2.补短法

条件:如图2,在△NBC中，点。在BC上,ZACB=2ZB,S.AD平分/BAC.

辅助线作法:延长NC至点E,使/召=48,连接。及

结论：△/£1£>丝△48。

知识四辅助圆问题解决技巧策略

模型1.定点定长构造辅助圆

利用定点定长构造辅助圆的几种常见类型

类一点作圆三点定圆旋转作圆折叠作圆

型

图八（定长）,上AD

81下力长）

示。*-----*4（动点）4

（定点）E

（定点）1

B-*C

C

特平面内，点0为定点，点/OA=OB=OC△绕点A旋转得到^将ABEF沿EF折叠,

点为动点，且0A的长度ARC点£是定点，点B的对

固定应点为点G

作隼长）

,—、、D

/X/A

法/（定长）、

。一（动点）E4\_

'、（定点）/

\\/1BC

'、、一:8F

、、一/\'、///

\、一/

、、—,

结点4在以点0为圆心，点A,B,C均在点8,C的运动轨迹分别是以点点G的运动轨迹是以

论长为半径的圆上运动。。上/为圆心，以N3HC的长为半径点

的圆£为圆心,8£长为半径

的一段圆弧

模型2.定弦定角构造辅助圆

定弦定角构造辅助圆的几种常见类型

类型定角为直角定角为锐角定角为钝角

图示CCC

A4^---------------------

AB

特点在△48C中，已知的长，在△NBC中，已知N8的长，点C在△NBC中，已知AB的长，点C

点C为动点，且保持/为动点，且保持为锐为动点，且保持N/CB=a（a为钝

ACB=90°角）角）

动点欠—先…、、

4、

运动（区）

\/丁

轨迹1H

结论点C在以点0为圆心，AB点C在以点0为圆心，圆心角为点C在以点0为圆心，圆心角为

长为直径的圆上运动2a的优弧AB上运动（点0,C（360°-2a）的劣弧AB上运动（点

在4B同侧）0,C在AB异侧）

模型3.对角互补造辅助圆（四点共圆）

模型如图①和②，比△ABC和必ZUAD共斜边，取N3的中点。，连接OC,OD,根据直角三角形斜边

描述上的中线等于斜边的一半，可得OC=OD=O/=O3；

如图③，在四边形/BCD中，N/+NC=180°（或N2+/。=180°）

模型

呈

现

模型（i）aB,c,。四点共圆；

结论（2）在判断四点共圆后，可以根据圆周角定理等得到角度相等，完成角度之间等量关系的转换，此

模型是证明角相等的重要途径之一

模型4.定角定高构造辅助圆

定角定高构造辅助圆的图形特征及解题思路:

已知平面内一定点。和OO,E是0。上一动点，设点。与点。之间的距离为"，。。的半

模型

径为广,

描述

当。，O,E三点共线时，线段DE有最大（小）值

点。在0。内点。在。。上点。在。。外

模型

9D

呈现g(T)'^O^T

@②③④⑤⑥

模型如图①，0E的最大值为〃+

如图③，的最大值为2r；如图⑤，OE的最大值为"+r；

r；如图②，OE的最小值为r

如图④，0E的最小值为0如图⑥，0E的最小值为"一r

结论d

知识五线段最值问题解决技巧策略

模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值

条件：A,B为定点,刚为定直线，尸为直线加上的一个动点，求NP+5P的最小值。

模型（1）点4、5在直线，"两侧:模型（2）点4、5在直线同侧:

A

A

Bm

模型（1）点/、5在直线，〃两侧:模型（2）点4、3在直线同侧:

A

图⑴图(2)

模型（1）：如图（1）,连结/氏根据两点之间线段最短，AP+2P的最小值即为：线段的长度。

模型（2）：如图（2）,作点/关于定直线%的对称点，，连结/'反根据两点之间线段最短，么尸+8尸的最小

值即为：线段/‘3的长度。

模型2.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型

模型（1）：两定点+两动点

条件：A,5为定点，在直线股、〃上分别找两点尸、Q,使P4+PQ+Q5最小。

两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）

模型（2）：一定点+两动点

条件：如图2,A为定点,在直线股、〃上分别找两点P、Q,使三角形的周长（4P+PQ+Q4）最小。

B夕夕力”

图1-1图1-1图1-1图2

模型（1-1）（两点都在直线外侧型）

如图（1-1）,连结/民根据两点之间线段最短，P4+P0+”的最小值即为：线段48的长度。

模型（1-2）（直线内外侧各一点型）

如图（1-2）,作点2关于定直线〃的对称点夕,连结/夕，根据对称得到：QB=QB',故

PA+PQ+QB=PA+PQ+QB

根据两点之间线段最短，P/+P0+03的最小值即为：线段48,的长度。

模型（1-3）（两点都在直线内侧型）

如图（1-3）,作点2关于定直线〃的对称点2',作点/关于定直线"的对称点连结/'力，

根据对称得至U：QB=QB,,PA=PA',PA+PQ+QB=PA'+PQ+QB

根据两点之间线段最短，P/+P0+03的最小值即为：线段/3'的长度。

模型（2）：如图（2）,作点/分别关于定直线〃八〃的对称点/'、连结/’民

根据对称得到：QA=QAPA=PA’',PA+PQ+QA=PA''+PQ+QA;

再利用“两点之间线段最短“，得到P/+P0+。/的最小值即为：线段的长度。

模型3.最值模型之将军遛马模型

将军遛马模型：已知/、8是两个定点，P、。是直线加上的两个动点，尸在0的左侧，且P0间长度恒定,

在直线m上要求尸、。两点，使得P/+P0+Q3的值最小。

点N、8在直线加异侧（图1-1）；点/、8在直线〃?同侧（图1-2）；

"・4

pQ

图1-1图1-2

将军遛马模型（异侧型）：如图1-1,过/点作/。|加,且NC=PQ,连接2C,交直线加于。，。向左平移尸。

长，即为P点，此时尸、0即为所求的点。

■:PQ为定值，/•求PA+PQ+QB的最小值，即求PN+03的最小值+P0。

'：AC\\m,AC=PQ,得至I］四边形4PQC为平行四边形，^AP=QCo：.PA+QB=QC+QB,

再利用“两点之间线段最短“，可得尸的最小值为C2,故尸/+P0+Q2的最小值=P0+CA

图1-1图1-2

将军遛马模型（同侧型）：如图1-2,过/点作/£||加,且/£=尸。，作8关于"?的对称点"，连接夕E,交直

线机于。，。向左平移尸。长，即为P点，此时尸、0即为所求的点。

,:PQ为定值，二求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+尸。。

,：AE\\m,AE=PQ,得至U四边形/P0E为平彳亍四边形，故：.PA+QB=QE+QB,

根据对称，可得QB'=QB,即。£+。8=。£+0夕，

再利用“两点之间线段最短”，可得QK+02'的最小值为班'，故P/+PQ+02的最小值=2。+匹'。

模型4.最值模型之将军造桥（过桥）模型

将军造桥（过桥）模型:己知，如图2,将军在图中点/处，现要过河去往5点的军营，桥必须垂直于河岸建

造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：NA/+MV+N8的值最小）。

图2-1图2-2

将军造桥（过桥）模型：如图2-2,过/点作4TIIMN,KAA'=MN,连接48,

,JAA^MN,且4T=AW二四边形4P0c为平行四边形，故

为定值，，求/M+MV+NS的最小值，即求NV+NS的最小值+MN。

再利用“两点之间线段最短”，可得/祐WB的最小值为/'2,故4W+MWVB的最小值=42+MN。

模型5.最值模型之胡不归模型

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽

然从他此刻位置/到家8之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙

子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

模型6.最值模型之阿氏圆模型

动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点/、B,动点尸满足PA/PB=k（左为常数，且厚1））,

那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯

圆，简称为阿氏圆。

如图1所示，。。的半径为心点/、5都在。。外，P为。。上一动点，已知尸左（即”=无），

0B

连接尸/、PB,则当“PN+公尸3”的值最小时，尸点的位置如何确定？最小值是多少呢？

OPOBOB0P

,/ZPOC=ZBOP,:.△POCs^BOP,:.£=k，BPk-PB=PCo

PB

故本题求“尸/+公尸8”的最小值可以转化为“尸/+尸。’的最小值。

其中与/与C为定点，尸为动点，故当/、P、C三点共线时，“尸/+尸。'值最小，如图3所示。

阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在

于如何构造母子相似。

阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内

一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“左尸/+尸8”最值问题，其中P点

轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.

模型7.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨

迹相同。

只要满足:

!则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹

1、两“动”,一“定”

长度的比和它们到定点的距离比相同。

2、两动点与定点的连线夹角是定角

3、两动点到定点的距离比值是定值

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直

线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型1）如图，尸是直线3C上一动点，/是直线8c外一定点，连接/尸，取NP中点0,当点尸在直线上

运动时，则。点轨迹也是一条直线。

证明：分别过/、。向作垂线，垂足分别为N、N,在运动过程中，

因为所以QV始终为的一半，即。点到3c的距离是定值，故0点轨迹是一条直线.

模型2）如图，在A4P。中4P三4。，/尸/。=7为定值，当点尸在直线8C上运动时，则。点轨迹也是一条

直线。

证明：在上任取一点尸1，作三角形八4尸1。1，且满足=AQ^APi，连结勒。交8c于点N,