第三章 整式及其加减 知识归纳与题型突破（十七题型清单） 原卷版-2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第三章整式的加减知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

整

式

的

加去括号

减-合并同类项

整式的加减运算

整式加减化简求直

整式加减的应用

整式加减中无关型问题

日历中的规律

数字中的规律

图形中的规律

02知识速记

知识点1：代数式

i.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做

代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

1

注意:

①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；

②代数式中不含有“=、＞、＜、W”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子

一般都是代数式；

③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。

2.代数式的书写格式：

①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；

②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；

③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如2-xa应写作,a；

33

④数字与数字相乘，一般仍用“x”号，即“X”号不省略；

4

⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如44-(a-4)应写作——；注意：分数线具有

a-4

“七”号和括号的双重作用。

⑥在表示和(或)差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，

如(。2一//)平方米。

知识点2：单项式

1.单项式定义

(1)定义：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。

说明：单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.

2.单项式的系数：

单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.

r21

说明：(1)单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如3/的系数是3；丝的系数是已；4.8。

33

的系数是4.8；

(2)单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号

如—4孙2的系数是—4；—(2/y)的系数是—2；

(3)对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或一1,不能认为是0,如-a/的系数是/；的系

数是1；

2

（4）表示圆周率的n,在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部

分，而不能当成字母。如2mxy的系数就是2.

3.单项式的次数：

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

说明：

（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式2/y2z

的次数是字母z,y,X的指数和，即4+3+1=8,而不是7次，应注意字母z的指数是1而不是0；

（2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式-24/y3z4的次数是2+3+4=9

而不是13次；

（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1,如单项式m的指数是1,单项式是单独的一个常数时，一

般不讨论它的次数；

4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“*”或者省略不写。

例如：lOOx/可以写成100・f或100/

5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.

知识点3:多项式

1、定义：几个单项式的和叫多项式.

2、多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项.

3、多项式的次数多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.

4、多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.

5、常数项：多项式里，不含字母的项叫做常数项.

知识点4：整式

（1）单项式和多项式统称为整式。

（2）单项式或多项式都是整式。

（3）整式不一定是单项式。

（4）整式不一定是多项式。

（5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

3

知识点5：同类项

L定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

2.合并同类项：

（1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

（2）合并同类项的法则：

同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

（3）合并同类项步骤：

a.准确的找出同类项。

b.逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

c.写出合并后的结果。

（4）在掌握合并同类项时注意：

a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.

b.不要漏掉不能合并的项。

c,只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。

03题型归纳

题型一用代数式表示式

例题1.如图，阴影部分面积的表达式为（）

12B

A.ab+-7ia-防-|囱2

4

巩固训练

1.用代数式表示x的3倍与y的平方的差为（）

A.3%—y2B.3x—yC.(3x—y)2D.3(%-y)2

2.一个矩形的周长为30,若矩形的一边长用字母x表示，则此矩形的面积为（）

A.x(15—%)B.x(30—%)C.x(30—2x)D.x(15+%)

4

3.甲数是a,比乙数的3倍少b,表示乙数的式子是（）

A.3a-bB.a+3—bC.(a+b)+3D.(a—b)+3

题型二用代数式的概念及意义

例题2.下列代数式符合通常书写规范的是（）.

A.aX4B.1-aC.s+1D.(a+1)元

3

巩固训练

1.下列各式中，书写正确的是（）

211

A.xz7y-B.1-mnC.%+yD.i(a+力)

J32

2.代数式5（y-5）的正确含义是（

A.5乘y减5B.y的5倍减去5

C.y与5的差的5倍D.5与y的积减去5

3.一种商品每件成本a元，原来按成本增加22%定出价格，现在由于库存积压减价，按原价的85%出售,

现售价是元.

题型三求代数式的值

例题3.若/+3乂的值为12,则3/+9x—2的值为（）

A.0B.24C.34D.44

巩固训练

1.已知|优|=5,\n\=4,且?n?i>0,则zn+九的值是（）

A.-9B.-1C.9D.9或一9

2.若代数式x+2y的值是3,则代数式2x+4y-2023的值是

3.若a2-3a+2=5,贝U3a2-9a+2022的值是.

题型四单项式的判断

例题.有下列代数式:1“-2,8久3,一,其中单项式的个数为（）

4m,—3,-a,12,x-

A.2个B.3个c.4个D.5个

巩固训练

1.系数是，的单项式是()

X

A.--B.c.—5miD.-"1

5a5

5

2.下列代数式中，是单项式的是（）

A.-2B.-xy+yC.-xD.—2

3.代数式5%+y,|a2h,?，0.5,其中单项式的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

题型五单项式的项和次数

例题5.单项式-7的系数和次数分别是（）

A.系数是-5,次数是3B.系数是号次数是4

C.系数是号，次数是3D.系数是5,次数是5

巩固训练

1.单项式-?的系数是,次数是.

2.单项式3y2的次数是,系数是.

题型六多项式的判断

例题6.下列式子工ab,—,-+/+*一3中，多项式有（）

32xy

A.1个B.2个C.3个D.4个

巩固训练

1.下列式子：2a2h3孙一2y2,学,4,一TH,史M其中是多项式的有（）

211

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.代数式2a+6,—,-7,--a2bc,维中，多项式的个数是（）

r42

A.2B.3C.4D.5

3.下列式子：①a2b+ab—〃；②0；③—半；④—％+三；⑤手;⑥上多项式的个数是（）

3y2x

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型七多项式的项、项数或次数

6

例题7.对于多项式7x2—3x-5,下列说法错误的是()

A.它是二次三项式B.各项分别是7/,3x,5

C.最高次项的系数是7D.常数项是-5

巩固训练

1.多项式4a3b3一Qab+7a2b-15的二次项系数是,三次项系数是,常数项是

次数最高项的系数是.

2.多项式2a3炉—3a2b+a-4的次数和项数分别为.

3.多项式a，—2a2b+b4的次数是,项数是.

题型八多项式系数、指数中字母求值

例题8.如果多项式5久a—(b—3)x+6是关于X的二次二项式，那么a,b的值可能是()

A.a=l,b=3B.a=l,b=4C.a=2,b=3D.a=2,b=4

巩固训练

1.多项式％2y17nl+(TH+l)%y+2是关于X,＞的三次二项式，则机的值是()

A.±1B.-1C.1D.±3

2.多项式％㈤-(TH-4)%+7是关于次的四次三项式，则机的值是()

A.-2B.4C.-4D.4或一4

题型九去括号和添括号

例题9.先去括号，再合并同类项：

(l)(2m-3)+m—(3m—2)；

(2)4%—2(—5%+3%—6).

巩固训练

7

1.将下列各式去括号，并合并同类项.

(l)(7y—2%)—(7%—4y)(2)(—h+3a)—(a—b)

(3)(2x-5y)—(3%—5y+1)(4)2(2-7%)-3(6%+5)

2

(5)(—8x+6x)—5(公—+0(6)(3Q2+2a—1)—2(Q2—3a—5)

题型十同类项和合并同类项

例题10.已知单项式4久2ym与单项式_3比陟6是同类项，则加一元的值为()

A.-4B.8C.4D.-8

巩固训练

1.下列各题中的两个项，不属于同类项的是()

22222

A.2xy-^—^yxB.1与-3?C.ab-^5x10baD.1n12rl与n27n

2.若5a与一2立3>+1是同类项，则代数式2%+3y的值()

A.4B.3C.2D.1

3.若单项式2久mTy2与单项式1%2yn+l是同类项，则小点的值为()

A.2B.-2C.3D.-3

题型十一整式的加减运算

例题11.化简：

(1)3(2%-7y)-(4x-10y)；(2)3a2-(3b+4a2)-4(b-7a2-76).

巩固训练

8

1.化简：

(1)%—(2%—y)+(3%-2y)；

(2)2(a2b+3ab)—(2ab—a2b—1).

2.已知A—4a2+2a—1,B——2a?+6a—1.求:

(1)271-B；

(2)—34-2B.

3.化简

(1)—xy2+3y2x+x2；

(2)3(—ctb+2a)—(3a—b)+3ab.

题型十二整式的加减中的化简求值

例题12.先化简，再求值：

(l)2a2—[a2—2(aZ?—ab2)+2ab]+3ab2,其中a=-3,b=2

(2)(2——2y2)—3(%y3+%2)+3(%y3+y2),其中久=—1,y=2

巩固训练

9

1.先化简，再求值：4xy+(3x2-2xy)-2(3xy+6),其中久=—l,y=2.

2.先化间，再求值：—2(鼻a?+2a—1)+3(a+—a?),其中a=-5.

3.先化简，再求值：2(a?b+ab?)—2(a2b—1)—a/—2,其中a=1,b=—3.

题型十三整式加减的应用

例题13.小红卧室的窗户上半部分是由4个扇形组成的半圆形，下半部分为4个大小一样的长方形组成

的大长方形，小长方形的长和宽的比为3:2,已知小长方形的长为a.

(1)求这个窗户的面积和窗户外框的总长.

(2)小红想给窗户上方做装饰物，装饰物所占的面积为上半部分半圆面积的求窗户中能射进阳光的部

分的面积(窗框面积忽略不计).

巩固训练

10

1.体育分值在中考总分中的比例逐渐加大，某校为适应新中考要求，决定采购一批某品牌足球和跳绳,

用于学生训练，学校查阅天猫网店后发现足球每个定价129元，跳绳每条定价19元，现有A,2两家网

店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案，A网店：买一个足球送一条跳绳；8网店：足球和跳绳

都按定价的90%付款，已知学校要采购足球100个，跳绳x条(尤＞100).

(1)请用含x的代数式分别表示在这两家网店购买，各需付款多少元？

(2)若x=300时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？

2.如图，长为60cm,宽为x(cm)的大长方形被分割成7小块，除阴影4,B外，其余5块是形状、大小完全

相同的小长方形.其较短一边长为y(cm).

(1)从图中可知，这5块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是cm(用含y的代数

式表示).

(2)分别计算阴影4B的周长(用含x,y的代数式表示).

(3)阴影2与阴影B的周长差会不会随着x的变化而变化？请说明理由.

3.如图，一块长方形铁皮的长为(7a+6)米，宽为(6+2a+2b)米.将这块长方形铁皮的四个角都剪去一

11

个边长为(a+6)米的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体盒子.

(1)求这个盒子底部的长和宽(用含a、6的式子表示，要求化简);

(2)求这块长方形铁皮的周长(用含a、6的式子表示，要求化简);

题型十四整式加减中的无关型问题

例题14一已知4=3x2+2xy+3y-1,B=3x2—3xy.

(1)计算A+2B；

(2)若4+2B的值与y的取值无关，求久的值.

巩固训练

1.已知A=2x2+xy+2y—1,B—x2+xy.

(1)当久=—Ly=2时，求4一2B的值；

(2)若24—4B的值与y无关，求x的值.

2.已知4--3x—4xy+3y,B——2x+xy.

12

⑴当x+y=|,xy=—1时，求4—3B的值.

(2)若4—3B的值与x的取值无关，求y的值.

3.已知代数式4=3x2+2xy+2y,B—xy+x2—2x

(1)求4-3B；

(2)当x=—l,y=2时，求4—3B的值.

(3)若4-3B的值与x的取值无关，求y的值.

题型十五日历中的规律

例题15.如图是某月的日历.

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

282930

(1)通过计算说明，带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？

(2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试(方框内必须有数字)，上述关系

还成立吗？如成立，请说明为什么成立(尽量用数学语言表述)

【活学活用】

小刚是个爱动脑筋的同学，在发现教程中的用方框在日历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2,

4,6,8,排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的

数字的规律，并回答下列问题：

246810

1214161820

2224262830

3234363840

(3)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？

(4)设中间的数为x,用代数式表示十字框中的五个数的和；

13

（5）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于100吗？如能，写出这五位

数，如不能，说明理由.

巩固训练

1.在某月的日历上用长方形圈到b,c,d四个数（如图），如果d=15,那么a+6+c的值为（）

A.22B.25C.29D.30

2.如图，用“十”字形框，任意套中2022年元月份日历中的五个数，则这五个数的和不可能是（）

3.下表是2。。2年12月份的日历,现在用一个长方形在日历中任意框出4个数请你用一个等式表示

a、b、c、d之间的关系.

S—二-四五六

1

2345678

9101112131415

16171819202122

23242526272829

30

题型十六数字中的规律

例题16.观察下列算式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187…归纳

J4

各计算结果中个位数字的规律，可得32。25的个位数字是（）

A.1B.3C.9D.7

巩固训练

1.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵、横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，把

各个数位的数码由高位到低位从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万

位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（）

123456789

IIIinmimuTinrrw纵式

—====xX==横式

中国古代的算筹数码

A.IIIII±¥=TB.IIIIIXWIIIIT

c.HIIITXIIIIXD.Illll±¥llll±

2.等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点4、C对应的数分别为。和-1,若AdBC绕顶点沿顺时针方向在

数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1,则连续翻转若干次后，数2024对应的点为（）

A.点4B.点BC.点CD.不确定

3.请观察下列算式，找出规律并填空

工=1"D"=4=工_驯.

1X22'2X323'3X434,4X545,

（1）第10个算式是