二级结论：抛物线的焦点弦长公式（含答案解析）

二级结论1:抛物线的焦点弦长公式

【结论阐述】

不妨设抛物线方程为/=21（？>0）,如图1,准线x=<与x轴相交于点尸，过焦点

尸go］的直线/与抛物线相交于/（5）,3优,力）两点，。为原点，。为相与对称轴正

向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：

|AB\=J1+人［X］七|,|/同=/1+,\y}-y^\,\AB\=xx+x2+p,\AB\=-^―.

【应用场景】运用焦点弦长公式可以很方便的计算抛物线的焦点弦长.

【典例指引1】

（2022年高考全国乙卷理5）

1.设/为抛物线C:必=4x的焦点，点/在C上，点8（3,0）,若卜尸|=|昉则|/理=（）

A.2B.272C.3D.3亚

【反思】

I.客观题中的抛物线一般考查抛物线定义、几何性质及运算能力，特别是求解有关线段长

度时要注意定义、方程思想及根与系数关系的应用.

2.设48是过抛物线V=2/zx（2>0）焦点尸的弦，若N（xi,yd,B（如/），贝！I

①x/X2=］，yiyi——p~■

zl

②叫=%+修明=制+制+0=黑（a为弦的倾斜角）.

【典例指引21

（2022年高考甲卷20）

2.设抛物线C:必=2"（°>0）的焦点为尸，点。（〃0）,过少的直线交C于跖N两点.当

直线垂直于x轴时，加刊=3.

（1）求C的方程；

⑵设直线〃2与C的另一个交点分别为4B,记直线九的倾斜角分别为生尸.当

a-B取得最大值时，求直线AB的方程.

【反思】本题第（1）问也是送分题，难度甚至小于选择题的前3题，难题争取得部分分应

成为每位考生的追求，解析几何解答题一个突出特点是运算量比较大，相等一部分学生会因

试卷第1页，共8页

运算不过关出错，或嫌麻烦，直接放弃，其实解析几何解答题第（1）问一般为求圆锥曲线

方程，难度比较小，不要放弃，第（2）问题的思路还是比较容易想到的，平时多做几道类

似的题，总结运算规律，争取做到题不二错，这部分分通过努力还是能够得到的.

【针对训练】

3.设/为抛物线C:/=6x的焦点，过尸且倾斜角为60。的直线交C于4,8两点，则|/刈=

（）

A.B.8C.12D.7百

3

4.抛物线/=4x的焦点弦被焦点分成长是根和〃的两部分，则比与力的关系是（）

A.m-\~n=mnB.m+n—4C.mn=4D.无法确定

（2022•山西太原•二模）

5.过抛物线f=8y焦点厂的直线交抛物线于N两点，^MF=XFN^\MN\=9,贝!|彳的

值为（）

A.—B.YC.:或3D.；或2

3232

6.已知抛物线C：必=人的焦点为厂，准线/与x轴的交点为/,“是抛物线。上的点.

若MFLx轴，则以4尸为直径的圆截直线所得的弦长为（）

5

A.2B.JiC.1D.—

2

（2022・江苏•高二）

7.已知产为抛物线C:/=6x的焦点，过厂作两条互相垂直的直线4,4,直线4与C交于

/、8两点，直线4与C交于。、£两点，则|/切+|。号的最小值为（）

A.24B.22C.20D.16

（2022全国•高二月考）

8.已知抛物线C:/=2px（0>O）,过抛物线焦点厂的直线与抛物线C交于48两点，交

抛物线的准线于点P,若尸为尸3中点，且|/尸|=乎，则|48|=（）

A.迪B・迪「4A/3

X-/(-----D.哈

333

（2022辽宁•高二月考）

试卷第2页，共8页

9.已知抛物线方程为V=2"（夕>0）,O为坐标原点，过抛物线焦点厂的直线交抛物线于

A,8两点,A,5的纵坐标之积为一8,且|力尸|=3忸司，则△045的面积是（）

A.4五B-C.巫D.也

（2022年新高考I卷11,多选题）

10.已知。为坐标原点，点41,1）在抛物线C:f=2抄5>0）上，过点3（0,-1）的直线交C

于尸，。两点，贝U（）

A.C的准线为了=-1B.直线与C相切

C.|OP|-|（?2|>|（9^|2D.\BP\-\BQ\>\BA^

二级结论2：抛物线中的三类直线与圆相切问题

【结论阐述】

不妨设抛物线方程为V=2px（p>0）,如图1,准线x=-］与x轴相交于点P,过焦点

尸］多0）的直线/与抛物线相交于工（%,%）,BE%）两点，。为原点，。为与对称轴正

向所成的角，的中点为C,又作垂足分别为4,与，G，则有如

下结论（图2）：

试卷第3页，共8页

图1图2图3

①以N2为直径的圆M与准线相切；

②以4F为直径的圆C与了轴相切；

③以B尸为直径的圆。与V轴相切；

④分别以/星/尸,2尸为直径的圆之间的关系：圆C与圆。外切；圆c与圆。既与＞轴相切,

又与圆M相内切.

结合圆的几何性质易得有关直线垂直关系的结论，如图3有，

①以NB为直径的圆的圆心在准线上的射影与4,8两点的连线互相垂直，即

②以/尸为直径的圆的圆心在V轴上的射影G与/，尸两点的连线互相垂直，即QA1CF；

③以即为直径的圆的圆心在V轴上的射影2与2,尸两点的连线互相垂直，即12厂；

④以4月为直径的圆必过原点，即吊尸工吕尸；

⑤)M[F~l~AB.

【应用场景】

运用焦点弦与圆有关的结论可以很方便的解决直线、圆、抛物线有关综合题，解题中要注意

抛物线的定义、几何性质以及圆的几何性质的应用.

【典例指引1】

11.在平面直角坐标系中，已知点尸(1,0),直线=动直线/'垂直于/于点〃，线段族

的垂直平分线交/'于点P,设尸的轨迹为C.

⑴求曲线。的方程；

试卷第4页，共8页

(2)以曲线C上的点。(尤。,%)(%>0)为切点作曲线C的切线4,设4分别与X,歹轴交于A,

B两点，且4恰与以定点M(4,0)为圆心的圆相切.当圆M的面积最小时，求AABF与V

面积的比.

【反思】本题考查了抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，以及直线和圆，直线和抛物线

的位置关系的相关问题，当题设涉及直线，圆，圆锥曲线时，一般是直线与圆锥曲线相交于

两点，需联立方程，得到根与系数的关系，而直线与圆经常利用圆的几何性质，得到一些常

量，这些不变的量和圆锥曲线建立联系，从而进一步求解.

【典例指引21

12.已知抛物线C:/=4y的准线为/,记/与y轴交于点过点M作直线/'与C相切，

切点为N,则以九W为直径的圆的方程为()

A.(x+l)2+「=4或(x-l)2+廿=4

B.(x+l)2+/=16^(x-l)2+y2=16

C.(%+1)2+/=2^(X-1)2+/=2

D.(无+以+_/=8或(XT)?+_/=8

【针对训练】

一、单选题：

13.阿基米德(公元前287年—212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不

仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点48处的切线交于

点尸，称△尸为“阿基米德三角形”，当线段N3经过抛物线焦点尸时，△尸具有以下特

征：(1)9点必在抛物线的准线上；(2)△尸/B为直角三角形，且(3)PFLAB.

若经过抛物线/=4x焦点的一条弦为N5,阿基米德三角形为△P/5,且点P的纵坐标为4,

则直线N2的方程为()

A.x-2y-l=0B.2x+y-2=0

C.x+2y-l=0D.2x-y-2=0

14.抛物线/=20xO>0)的焦点为尸，48是经过抛物线焦点尸的弦，M是线段48的中

点，经过A,B,M作抛物线的准线/的垂线ZC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,

其中交抛物线于点。.下列说法不正确的是

试卷第5页，共8页

A.\MN\=^\AB\B.FN1AB

C.O是线段的一个三等分点D.ZQFM=ZQMF

15.设抛物线C:必=2px（p>0）的焦点为尸，点初在C±,\MF\=5,若以MF为直径

的圆过点（0,2）,则C的方程为

A.=4x或y1=8x

B.r=2尤或y2=8x

C.y2=4x或y1=16x

D.丁=2为或y2=16x

（2022•安徽宣城中学高二月考）

16.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y=2px（P>0）的焦点为尸，直线尸3与抛物线C

交于48两点，INF|=4,圆£为的外接圆，直线（W与圆£切于点点N在圆

E上，则两.丽的取值范围是（）

A.假,9B.[-3,21]C.||,21D.[3,27]

17.抛物线=2/3>0）的焦点为厂，准线为/,A,8是抛物线上的两个动点，且满足

2乃\MN\

ZAFB=^,设线段的中点M在/上的投影为N,则上V的最大值是（）

3\AB\

A.—B.—C.—D.V3

432

（2022陕西西安八十五中高三月考）

18.已知抛物线G：f=20了（。>0）的焦点到准线的距离为!，点。（尤0,%）在抛物线G上，

点48在圆:/一4],+3=0上，直线r>4DS分别与圆G仅有1个交点，且与抛物线G

的另一个交点分别为尸,。，若直线尸。的倾斜角为120。，则x°=（）

A.±—B.一百或3C.-立或为D.±73

333

（2022-内蒙古・赤峰二中高二月考）

19.抛物线必=28（p>0）的焦点为凡准线为/,A,8是抛物线上的两个动点，且满足

试卷第6页，共8页

/.=5兀，设线段■的中点'在,上的投影为N,则\喜MN的\最大值是

A.1B.V/•--------D.2

3

二、多选题

20.抛物线C：/=2内的焦点为凡P为其上一动点，当P运动到(⑷时，忸尸|=2,直线

/与抛物线相交于4,2两点，点下列结论正确的是()

A.抛物线的方程为

B.|四|+|「尸|的最小值为6

C.当直线/过焦点尸时，以/尸为直径的圆与x轴相切

D.若过/,3的抛物线的两条切线交准线于点T,则/,8两点的纵坐标之和最小值为2

【反思】抛物线的切线问题，常常要设出切点坐标，利用导函数的几何意义来求出切线方程,

结合题干中其他条件进行求解.

三、解答题

(2022•浙江•高三开学考试)

21.抛物线C:f=2抄(0>0)的焦点为尸，准线为为C上的一点，已知以尸为圆心，FA

为半径的圆厂交/于5,D两点,

(1)若NBFD=90°,4BD的面积为4形，求P的值及圆尸的方程

(2)若直线>=履+6与抛物线C交于尸，。两点，且OP，O。，准线/与〉轴交于点S,点S

关于直线尸。的对称点为T,求I厂门的取值范围.

试卷第7页，共8页

【反思】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到

两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等,

结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.

(2022•浙江宁波•高三期末)

22.已知点尸(1,0)为抛物线V=2.(p>0)的焦点，设/(再,必)，巩/，%)是抛物线上两个

不同的动点，存在动点尸(%,%,)(/<())使得直线为，尸3分别交抛物线的另一点M,N,且

?>\PM\=\MA\,3|PAf|=|A®|.

(1)求抛物线的方程；

(2)求证：%+%=2%；

⑶当点尸在曲线始=T2x(-2WxW-l)上运动时，求AP/B面积的取值范围.

【反思】抛物线的综合题目，往往会设出抛物线上的点的坐标，利用条件得到方程组，再把

两个点的坐标看成一个方程的两个根，利用韦达定理进行求解，这也是与椭圆和双曲线不同

的地方.

试卷第8页，共8页

《专题12解析几何3》参考答案：

1.B

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点

A坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得，尸（L0）,^\AF\=^F\=2,

即点A到准线x=-l的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，

所以卜^（3-1）2+（0-2）2=272.

故选：B

2.(1)/=4x；

(2)AB:x=^2y+4.

【分析】（1）由抛物线的定义可得|〃科=?+5，即可得解；

（2）法一：设点的坐标及直线MV：x=¥y+l,由韦达定理及斜率公式可得G=2《B，再

由差角的正切公式及基本不等式可得=孝，设直线=+",结合韦达定理可解.

【详解】（1）抛物线的准线为x=当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p,

此时|MF|=p+1-3,所以。=2,

所以抛物线。的方程为/=4x；

（2）［方法一］:【最优解】直线方程横截式

设直线AGV:x=my+1,

x=my+1

由可得J之一4y-4=0,△〉0，%为=-4，

y2=4xm

乂-％=4七8=%一”_4

由斜率公式可得L

必+%，AByt_y±%+乂，

4444

答案第1页，共18页

直线MD:x=五二2•>+2,代入抛物线方程可得/-4（'-2）.>一8=0,

必必

△>0,%力=-8,所以%=2%,同理可得以=2%，

所以如二±;元勺

又因为直线MN、的倾斜角分别为%/7,所以心B=tan£=g^=等,

若要使〃最大，则尸e0,1,设勺W=2幻B=24>0,则

/八\tana-tan6k116

tana-B=-----------=-----=------：

72

1+tan6ztan/?1+2A:197

r乙K

k

当且仅当J=2左即左=①时，等号成立，

k2

所以当a-£最大时，kAB=,设直线48:x=收了+〃，

代入抛物线方程可得/_4血了-4〃=0,

△＞。,%乂=-477=4必%=-16,所以"=4,

所以直线AB:x=42y+4.

［方法二］:直线方程点斜式

由题可知，直线的斜率存在.

设"'（为,弘）川（工2，%）,/（X3，%）,3（%4,了4）,直线“^：了=人（》-1）

由匕=牛—1）得：心2一（2/+4卜+尸=o,中，=1,同理，必力=一4.

［y=4x'7

直线地>：y=』7（x-2）,代入抛物线方程可得：再退=4,同理，X2X4=4.

X］—2

代入抛物线方程可得:%力=-8,所以%=2%,同理可得%=2%，

k=2-%=2（%-%）=%一必=

由斜率公式可得：ABX-X（1n2（X-）2MN-

43［尤2xj2X1

（下同方法一）若要使a-〃最大，则?

答案第2页，共18页

tan(f)=tan"an£=__L_=，_<1_£

设G=2G=2左>0,则snyP)1+tanatan^l+2^21,J^774

7十2J--2/C

k\k

当且仅当：=2后即上=正时，等号成立，

k2

所以当a-〃最大时，kAB=,设直线48:x=0了+〃，

代入抛物线方程可得_/_4逝〉-4〃=0,A>0,y3y4=-4n=4y1y2=-16,所以〃=4,所以

直线AB:x=V2v+4.

［方法三］:三点共线

设尸&0）,若P、M、N三点共线，由两=.7,“，丽=号一,为

所以一卜=1号一,化简得％为=一4,

反之，若,可得AGV过定点«,0）

因此，由朋;N、尸三点共线，得外力=-4,

由D、/三点共线，得乂为=-8,

由MD、3三点共线，得为为=-8,

则%为=4乂%=-16,过定点（4,0）

（下同方法一）若要使a-尸最大，则

tan（0一/?）=tana-tan-=k=1<1=也

设镰,=2%=2上>0,则‘°）1+tanatan^\+2k21+Il4，

k2VI

当且仅当!=2左即左=交时，等号成立，

所以当最大时，心=?，所以直线/8：x=0y+4.

【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线48

的斜率关系，由基本不等式即可求出直线的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该

题的最优解，也是通性通法；

答案第3页，共18页

法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；

法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也

不失为一种简化运算的好方法.

3.B

【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点

的弦长公式可得出答案.

【详解】依题意可知抛物线C：/=6x焦点为1|,o],直线的方程为y=6£|,

代入抛物线方程得4X2-20X+9=0,可得5+4=5,

根据抛物线的定义可知直线AB的长为盯+^+XB+j=5+3=8.

故选：B.

4.A

【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦M尸|=%+1，\BF\=X2+\,联立过焦点的直线方程

和抛物线方程，根据韦达定理即可求解.

【详解】抛物线的焦点厂。，0）,准线x=—1,

设-V=左（尤—1），把它代入y2=4尤得左寸-2化2+2卜+左2=0,

设4（再,必）,B（x2,y2）,则玉工2=1,由抛物线定义可得|，尸|=再+1,忸尸|=沏+1,

m+n=（再+l）+（x2+1）=（再+尤2）+2,mn=（占+l）（x2+1）=x1x2+（x；+x2）+1=（xj+x2）+2,

故选:A

5.D

【分析】直接根据抛物线中切点弦的性质即可得结论.

__1___।___1_—__2_-__1

【详解】在抛物线中，由焦点弦的性质可得刊\NF\~p~2,

\MF\+\NF\=9

MF=6MF=3

解得或，

NF=3]NF=6

答案第4页，共18页

所以2=2或;，

故选：D.

6.B

【分析】求出河坐标及直线的方程，根据圆的弦长公式即可求解.

【详解】由题知,尸（L0）,Z：x=-l,/（TO）,

-MFVx^,.\M（1,±2）,根据抛物线对称性，不妨取M（l,2）,

2-0

则/Af：y-0=--j-（x+1）nx-y+1=0,

原点。到直线的距离为：d二士，

...以/月为直径的圆截直线所得的弦长为：2—场■

故选：B.

7.A

）计算可得.

【分析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式|/2|=2p（l+4

k

【详解】设直线4，4的斜率分别为匕，右，

由抛物线的性质可得|叫=2川+*)=6(1+-^-),\DE\=20(1+1)=6(1+

所以|/3|+|。周=6(1+1)+6(1+3)=12+6(占+3)，

左1K2左1K2

又因为4_L4,所以《泡=T,

2

所以|48|+|。£|=12+6（3+储2应12+6-2Urk1=24,

k、Aik、

故选：A.

8.D

【分析】分别过4,5作准线的垂线，垂足为M,N,由抛物线定义知，BN=BF,又F为

P8.中点,求得ZPBN=APFO=Z.PAM=60°,从而根据\AF\=当求得AP=2AM=2AF,

PF=PA+AF,PB=2PF,进而求得AS=

【详解】如图，分别过/,2作准线的垂线，垂足为M,N,

答案第5页，共18页

由抛物线定义知，BN=BF,又F为PB.中点、,

则cosZPBN=桨=ZPBN=ZPFO=ZPAM=60°,

PB2

则/尸=2/Af=2/尸=,PF=PA+AF=2初,PB=2PF=4^3,

3

贝=—尸4=4百一迪=—

33

故选：D

9.D

【分析】不妨设/在第一象限，2在第四象限，设出的方程与抛物线方程联立由4,B

的纵坐标之积为一8,解出九再结合|/刊=3忸可，可以解出4,8的纵坐标，根据△0/8

的面积为J。耳1-嵋可得答案.

【详解】不妨令/在第一象限，8在第四象限，设48的方程为x=%y+],

y—P

由彳X=m+2得》-2pmy-p=0,

y2=2px

则无%二一/二一8，所以夕=2后.

又因为M同=3忸尸所以丝=3,即|九|=3|%],代入”力=-8

%

可得34=8,由8在第四象限，则力=一：加，所以均=2#

所以S^OAB=j。4|"--

故选：D

10.BCD

【分析】求出抛物线方程可判断A,联立N3与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公

式及弦长公式可判断C、D.

答案第6页，共18页

【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2p,所以抛物线方程为/=y,故准线方程为y=-）,

A错误；

=所以直线的方程为y=2x-l，

、fy=2x—1-

联立｛2，可得/-2x+l=0,解得尤=1,故B正确；

设过B的直线为/,若直线/与＞轴重合，则直线/与抛物线c只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为＞=区-1,2国,乂）,。（%,%）,

[y-kx-\

联"\2，得--foc+l=0,

[x=y

A=*2-4＞0

所以＜X]+x2=k,所以后＞2或后＜-2,%%=（占尤2）2=1，

X1=1

又|OP|=』X；+y；=J%+y；，\OQ|=Jx；+="%+"，

所以|OPH。01=，%%（1+%）（1+%）=J何x"=|后|＞2=|CM『，故c正确；

2

因为|8P|=Jl+V|W|,|BQ|=yll+k|x2|,

所以|AP|-|30|=（1+产）|再々|=1+*＞5,而|A4『=5,故D正确.

故选：BCD

11.（1）/=4x

⑵1:4

【分析】（1）根据垂直平分线的性质可知|尸尸|=|尸印，满足抛物线的定义，点尸。，0）是抛物

线的焦点，》=-1是抛物线的准线，即可得到抛物线方程；

2

（2）首先设切线方程y-先=左（》-/）与抛物线方程联立，△=（）,解得后=?，回代切线

＞0

方程得4x-2%y+%2=o,分别求出点A、5的坐标，并且求出圆心到直线的距离的最小值,

并且根据基本不等式里面等号成立的条件求出切点坐标，回代各点的坐标，计算两个三角形

答案第7页，共18页

的面积.

【详解】⑴解:由题意得I尸"1=1尸尸|,

...点P到直线1-.X=-1的距离等于它到定点厂的距离，

•••点尸的轨迹是以/为准线、尸为焦点的抛物线，

点P的轨迹C的方程为y2=4x.

（2）解：由题意知切线《的斜率必然存在，设为左，贝

y2=4x得=左(；>2-X。］,gp/-yj+7jo-yo=°，

由，

y-y0=k(x-x0)k4)kk

2

由A=0得左=—,

>0

lx-Ax-2y0j+＞；=0,

令x=0则yg,

2

令y=o则x=_+-x。，

点M（4,0）到切线（的距离1=任"==，可"+厅4=汶拒（当且仅当为=2a时取

2收+42JK+4

等号）

当点。的坐标为（2,2行）时，满足题意的圆M的面积最小，

此时Z（-2,0）,5（0,V2）,

所以S.=；（l+2）•&=|也，邑.=g（4+2）-2亚=6后，

S1

=即A48尸与V/QM的面积比为1:4.

^AAQM4

12.C

【解析】求出W（0,T），根据直线与抛物线相切求出直线方程和切点坐标，即可得到线段中

点和线段长度，就是圆的圆心和直径，即可得出方程.

【详解】依题意，M（0,-l）,设切线/'：了=日一1，

/=4y

联立

y=kx—\

答案第8页，共18页

整理得：、2一4b+4=0,A=16左2—16=0,

解得左=±1,故％=±2,

则N(2,l)或N(-2,l),M(O.-l),所以|MV|=20,半径“也，

圆心坐标(1,0)或卜1,0),

故以aW为直径的圆的方程为

(x+iy+j?=2或(尤_1)2+/=2,

故选：C.

【点睛】此题考查求抛物线的准线，直线与曲线位置关系，根据直径求圆的方程.

13.A

【分析】线段经过抛物线产=4x焦点，由“阿基米德三角形”的特征可得尸点坐标，从而

得直线尸尸的斜率，又PFLAB,即得直线N5斜率，由点斜式可求直线的方程.

【详解】抛物线/=4x的焦点厂的坐标为(1,0),准线方程为：x=-l,

线段N3经过抛物线产=4x焦点，由为“阿基米德三角形”，

可得P点必在抛物线的准线上，则点尸(-1,4),

直线尸尸的斜率为：笔=-2,

又・；PFUB,・,・直线的斜率为9

工直线4B的方程为：y-O=-1(x-l),x-2y-1=0,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及抛物线的性质，考查直线方程的求解，考查学生

分析问题的能力，是中档题.

14.C

【分析】利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可.

【详解】由抛物线的定义，得MC|=|/可，啰0=|3可.又

II_i_IRFI11

贝_LJ_\.=_\AB\,A正确.由可知A4NS是直角三角形，MN

是斜边上的中线，所以NMAN=/MNA,而ZMNA=ZCAN,所以NMNN=NC/N.所以

\ANC^AANF,可知N4FN=N/CN=90。，所以冲_1_48,8正确.在必AMVF中，

|0N|=|QF|,可知NQNF=ZQFN,所以N。尸"=,。正确.由N。氏"=N0MF,

答案第9页，共18页

可知I"目。儿"，所以W0|=|2M|,即。是AW的中点，故c不正确.

D——

/'

故选C

【点睛】本题考查抛物线的定义，考查平面几何的性质，考查数形结合的数学思想，属于中

档题.

15.C

【详解】：抛物线C方程为V=2/S>0),.。.焦点厂(金0),

设M(x,y),由抛物线性质加用=式+]=5,可得工=5-勺

因为圆心是上田的中点，所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，

由已知圆半径也为据此可知该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心纵坐标为2,则M点纵坐

标为4,

即V(5-24),代入抛物线方程得_1op+16=0,所以p=2或p=8.

所以抛物线C的方程为必=4x或丁=16尤.

故答案C.

【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识,

属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径狼，以九田为直径的圆交抛物线于点

(0,2),故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出。的值，从

答案第10页，共18页

而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.

16.B

【分析】由已知及抛物线的定义，可求进而得抛物线的方程，可求A,B,厂的坐标,

直线4尸的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N的坐标，求得M的坐标，结合向量数量

积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围.

【详解】解：由题意，设小,师)，所以|/尸|=3+勺4,解得。=2,

所以抛物线的方程为必=4x,/(3,26)，5(3,-273),尸(1,0),

所以直线AF的方程为y=6(x-l),

设圆心坐标为(％,0),所以(%-1＞=(3_%)2+12,解得％=5,即£(5,0),

圆的方程为(x-5＞+)=16,

不妨设场＞。，设直线的方程为＞=丘，则后＞0,

根据课J=4,解得左=(,

'4/、

由片子，解得

；

(X-5)2+/=161

设N(4cos0+5,4sin。),所以OM-ON=£cose+gsinJ+9=£(3cose+4sin0)+9,

因为3cos。+4sin。=5sin(0+°)e卜5,5],

所以西•丽e[-3,21].

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为(X-5)2+/=16,然后利

答案第11页，共18页

用直线。河与圆£切于点求出M点的坐标，引入圆的参数方程表示N点坐标，再根据

向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围..

17.B

【详解】试题分析：设4?在直线/上的投影分别是4心，则司=|必忸同=忸阎，又

/是中点，所以+阿），则蒲=5/晶=2匕，在"BF

中

|/*=|/歼+\BF-^AF^BF^OS^=\AF^+\BF\+\AF\^F\=（\AF\+\BF\）2-\AFII

”+哈一（叱吗2TgM2,所以'Y,即9需者,

所以器wR,故选B.

MM3

考点：抛物线的性质.

【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点

弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进

行问题的转化.象本题弦的中点/到准线的距离首先等于45两点到准线距离之和的一

半，然后转化为48两点到焦点厂的距离，从而与弦长|/同之间可通过余弦定理建立关系.

18.C

【分析】根据题意求得P=g,得到无2=了，设过点。与圆G相切直线的斜率为后，得到切

线方程区-y+x；-纭=0,利用卜。之=2|=],结合韦达定理，求得勺+心=2%（产丁）,

J1+左之/—1

联立方程组和一'十/一丘°一°,取得左=尤+为，^\\xp=kl-x0,xQ=k2-x0,

[x=y

结合心°=-6,列出方程，即可求解.

【详解】由抛物线G：/=2抄（°>0）的焦点到准线的距离为可得〃=:，

所以抛物线的方程为x2=y,

又由。2：/+/一4了+3=0,可得圆心坐标为。2（°，2）,半径r=l,

答案第12页，共18页

设过点。（%,%）与圆。2相切的直线的斜率为左,

可得方程为歹一%=左（%-%）,即下一君=后（工一%）,BpAx-J^+Xo-kx0=0,

Xn—kx._2

则圆心到直线的距离为I1,

Vi+F

0

整理得(XQ—1)4~+(4x0—2x；)k+—4xg+4=0,可得左+左,=°^2—­

x0-1

AX-J；+XQ-AX=O

联立方程组O可得——点—1；+点0=0,

即左（％_工0）=%2_%3所以左=%+%,

所以马=%一%0，%°=鱼—玉），

因为直线尸。的倾斜角为120。，所以七°=-6

,_yQ~yp_XQ~XP_,,1r_2x(Xg-2)_-2x_用

可付kpo=------=------=XQ-\-Xp=k、+k?-2x0=---0--------2XQ=---0=—y/3,

xQ-xpXQ-XPXQ-1x0-1

解得X。=G或X。=-，.

【分析】设MF|=aJBP1=6,由抛物线定义，梯形的中位线定理，^2\MN\=a+b,再根

据余弦定理得|/优=/+加一仍，结合基本不等式求得Ha的范围，从而得到京的最大

值.

【详解】设M用刁=6,连接/尸,5月，过/作准线/的垂线，垂足为Q,过8作准线

/的垂线，垂足为尸，

答案第13页，共18页

则2|肱V|=|ZQ|+|AP|=a+Z?.

则在A48尸中，由余弦定理可得：|48『=|4尸『+1时「一2।⑷/।.।既|cosZAFB=a2+b2-ab,

而|/砰=a1+b2-ab=(a+b)2-3ab>(a+Z>)2_3.(°?)=,

因此|/同'亍=卬|,即曾4I(当且仅当a=6时取等号).

故选：A

【点睛】本题考查了抛物线的基本性质，综合运用了余弦定理，基本不等式知识，属于较难

题.

20.CD

【分析】根据抛物线的定义先求得抛物线方程，利用抛物线定义求折线长度之和的最小值，

利用中位线与抛物线的概念判断直线与圆位置关系，最后利用导数写出切线方程结合二次函

数的性质判断D选项，可得出结果.

【详解】由题设知：|尸盟=1+5=2,解得：。=2,.•.抛物线方程为f=4y,故选项A错

误；

连接FM交抛物线于点尸，止匕时1PM+|尸可的值最小为4,故选项B错误；

如下图所示，

答案第14页，共18页

设G为/尸的中点，过点/作ZC，抛物线的准线广于点C,交x轴于点。,过点G作GO，x

轴于点D,.•』DG|=；（|O可+H0|）=JNC|=司，故以/尸为直径的圆与x轴相切，故选

项C正确；

设点由无？=4y即y=：/得：y'=^x,

则切线/T的方程为＞-必=5占（x-X］）,即y=-xl*x--x^,

同理可得切线87的方程为y=，

112\X+X7

y=^xix-^xix=—

由;:，解得：,

y=IXX1X2y=-1XX

242x2

、/+l-

由题意知T在准线V=T上，,;中2=-1，%％=-4,

+x22

X+%=W（x；+x：）=3（X|2）=—（Xj+x2）+2,

当玉+X2=0时，M+%=2为最小值，.,.选项D正确,

故选：CD.

【点睛】抛物线的切线问题，常常要设出切点坐标，利用导函数的几何意义来求出切线方程,

结合题干中其他条件进行求解.

答案第15页，共18页

21.（1）。=2,圆尸的方程为―+。-