2026高考数学复习之平面向量基本定理

2026高考数学教材一一平面向量基本定理

目录

i.平面向量基本定理定义.......................................................1

2.平面向量基本定理...........................................................1

3.推导过程和应用.............................................................2

4.历史背景和数学家贡献.......................................................2

5.平面向量基本定理证明.......................................................2

6.作业........................................................................3

6.1.基础通关.................................................................3

6.2.能力进阶.................................................................7

6.3.创新迁移................................................................14

1.平面向量基本定理定义

首先我们先来了解一下平面向量基本定理的概念：

如果e1，e2是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向

量a,有且只有一对实数入1，入2，使a=LeI+入2e2；

我们学习了e是单位向量，那么同一平面内的两个不共线的单位向量e1和

e2组合在一起就称为表示其所在平面内的所有向量的一个基底，用｛e］，e2｝表

Zj\O

2.平面向量基本定理

平面向量基本定理是指在同一平面内的任意向量都可以表示为两个不共线

向量的线性组合。具体来说，如果e】和e2是同一平面内的两个不共线向量，那

么对于该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数入1和入2，使得a=Mei+

A2e2o这个定理的核心要点包括以下几个方面：

定理条件：两个基底向量e1和e2必须不共线（即线性无关）。

存在性：平面内任意向量a均可用这对基底线性表示。

唯一性：这种线性表示中的系数入1和入2是唯一确定的。

几何实质：定理说明了平面向量空间的二维性，即所有向量可由两个独立

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方向的向量构造。

代数实质：建立了向量与有序实数对（入1,入2）的一一对应，这是坐标系建立

的基础。

3.推导过程和应用

平面向量基本定理的推导过程包括以下几个步骤：

基底条件：选取两个不共线向量e1和e2作为基底，确保线性组合的独立

性。

存在性证明：通过向量分解平行四边形法则，证明任何向量都能表示为

入通1+入202°

唯一性证明：假设存在两种表示方法会导致矛盾，从而证得系数的唯一

性。

几何意义：建立了向量与坐标的一一对应关系。

4.历史背景和数学家贡献

平面向量基本定理是数学中关于向量空间理论的基础之一。它为向量的坐

标表示提供了理论依据，并且通过选择不同的基底，可以灵活地建立坐标系以

简化问题。该定理的推导源于向量加法的平行四边形法则和数乘向量的封闭

性，体现了"基底”在向量运算中的核心地位。

5.平面向量基本定理证明

在了解了平面向量基本定理之后，我们需要对其进行证明。

首先，在学习平面向量的加法运算的时候，我们学习了向量加法的三角形

法则和向量加法的平行四边形法则，根据法则，我们知道一个向量可以表示为

同一平面内两个向量的和，如：

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B

又通过上周学习的向量数乘运算，我们可以得到位于同一直线上的向量可

以由位于这条直线上的一个非零向量表示；

那么，针对上图，我们取与向量a共线的单位向量e1和实数入1，则

2=入通1，我们取与向量b共线的单位向量e2和实数入2，则b=%e2，因此向量

a+b=2liei+入202，我们便得到了部分平面向量基本定理；

接下来我们证明定义中的“唯一性”：

假设存在p.1和p.2也可以表示向量a+b为y.lei+|j.2e2，则

Aiei+A2e2=|ilei+|i2e2,即（入（入2叩2/2=0,再假设入广皿和A2-|i2不全

为零，则可以得到e1=K入2皿）/&-囱）k2或e2=[（入广口）/（入2叩2）B，也就是说

存在非零实数可以使单位向量e1和e2相互表示，也就是说单位向量e1和e2是

共线的，这与已知的“ei，e2是同一平面的两个不共线向量”相矛盾；

因此，我们可以得到人尸皿，入2注2，也就是说有且只有一对实数入1和入2

1两足向量a+b=Lei+入262。

6.作业

6.1.基础通关

（15分钟30分）

1.设任1e｝是平面内一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（）

A.ei-e2与

B.2ei+3e2"^-4e]-6e2

Cei+2e2与2ei-e2

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111

D,-2ei+8e2与ei-4e2

【解析】选C因为只有不共线的两个向量才能作为基底，选项A、B、D中

的两个向量都是共线的，不可以作为基底,选项C中的两个向量不共线，可作为基

底.

2.（2020・湖州高一检测）在AOAB中,P为线段AB上的一点3=x3+y而，且

B?=2PA^lJ(]

2112

A.x=3,y=3B.x=3,y=3

1331

C.x=4,y=4D.x=4,y=4

【解析】选A.因为丽=2而，

所以诙芮+2函

21

即3加=23+函所以布=3瓦+3函

21

即x=3,y=3.

3.（2020・长沙高一检测）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满

足赤二2而,那么证=（]

1111

A.2AB-3ADB.3AB+2AD

1211

C.2AB-3ADD.4AB+2AD

1212

【解析】选C记=萩+市=2丘+33=2与-3/.

【补偿训练】

如图所示，在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点，则下=

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)

c

3113

A.4A5+4ADB.4AB+4AD

131

C.2AB+ADD.4AB+2AD

1

【解析】选D.根据题意得:标=2（菽+蠢）,

1

又菽二标+X5,标=2福

1

所以至二2AB+ADH-AB

31

=4AB+2AD.

4.如图所示，在6x4的方格中，每个小正方形的边长为1,点O,A,B,C均为格点

（格点是指每个小正方形的顶点），则诙•方=

【解析】设水平向右和竖直向上的单位向量为e】和e2,则

|ei|=|e2|=l,ei-e2=0,

由题图可知，诙=3e1+2e2,标=6ei-3e2,

夜•IS=（3ei+2e2H6e1-3e2）

=18eJ+3q-e„—6e/=12.

答案：12

:

5.已知ei,e2不共线，且a=ke1-e2,b=e2-e1,^a,b不能作为基底，则实数k等

于

【解析】因为a,b不能作为基底，所以a,b共线，可设aCb,入CR,则k61-e2=A

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k=-A,

(0—p)、一1=4

-!，即kei-ezCez-入e],因为e1,e2不共线，所以

所以k=l.

答案：1

补偿训练

已知eie不共线,a=ei+2e2,b=2ei+入e2,要使｛a,b｝能作为平面内的一个基底,

则实数人的取值范围为

【解析】若能作为平面内的一个基底，

则a与b不共线.

a=ei+2e2,b=2ei+入e2,由a±kb即得入黄4.

答案：(-8,4)U(4,+8)

6.(2020•台州高一检测)如图，在4ABC中,AB=2,AC=3/BAC=60。,还二2五，

CE

=2EB.

(1)求CD的长；

(2)求标•送的值.

B

1

【解析】⑴因为无=2命,所以命与赢，

1

所以而=XB-M=3戢

1—-—•

所以|而|=5AB—AC

./4AB2——TAB-AC+AC2

HX4--x2x3x-+9V67

32--

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V67

即CD的长为丁；

12

(2]DE=BE-BD=-3CB+3AB

1211

=-3(AB-AC)+3AB=3AB+3AC,

所以熊・选=戢.]A■9A,

11

--*2—.......*------0-

=3AB+3AB・AC

4117

=3+3x2x3x2=3.

6.2.能力进阶

（30分钟60分）

一、单选题（每小题5分，共20分）

l.A,B,0是平面内不共线的三个定点，且瓦=a,55=b，点P关于点A的对称点

为Q,点Q关于点B的对称点为R,则同等于（）

A.a-bB.2(b-a)

C.2(a-b]D上-a

1

【解析】选B.如图,a4(5?+说)，

11

b=2（由+屈）,相减得b-a=2（«-OP）,

所以讼=2（b-a）.

11

2.如图，在平行四边形ABCD中,AE=3AB,CF=3CD,G为EF的中点，则而=

()

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1111

A.2AB-2ADB.2AD-2AB

1111

C.3AB-3ADD.3AB-3AB

【解析】选A.在平行四边形ABCD中,

11

AE=3AB,CF=3CD,G为EF的中点,

一一]

212121r

DG=DF+FG=3DC+2FE=3AB+2（FD+DE）=3AB+2[3八“丁八口”J

2lr.11

=3AB+2卜目人电一A耳=2AB.2AD.

3.已知非零向量近，崩不共线，且2i?=x无+y9，若砺=入标（入CR）,则x,y满

足的关系式是（）

A.x+y-2=0B.2x+y-l=0

C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0

【解析】选A.由谈二人族，

得将一而二入◎一两，

即方二（1+入）5X-入画

又2O?=xOA+yOB,

%=2+2A,

所以①=一2尢消去入得x+y=2.

1

4.如图QA二AM,0B=30N,下列以。为起点的向量中，终点落在阴影区域内的

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11

A.0A+20BB.20A+30B

3131

C.40A+30BD.40A+50B

【解析】选C.设点C在线段AB上，

则存在实数入40,1]使得菽=入百，

所以友=(1闪出+人瓦，若友=x^+y而，

X+y=1,

xe[o,1],

([0,1],

同理可证若点C在线段MN±,OC=xlOM+ylON,

pi+7i=1，

ki£[0,1],

则点C在线段MN上Q1°，1]，

因为而二2丽加=3函

12

对于A,OA+2OB=2OM+3ON,

12

因为2+3>1,

所以向量无+255的终点不在阴影内.

1111

对于B,2QA+3OB,H^J2+3<1,

所以终点落在AOAB内；

11

所以向量23+3瓦的终点不在阴影内;

3131

对于C,40A+30B=80M+90N,

3131

因为4+3>1,而8+9<1;

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31

所以向量43+3瓦的终点在阴影内;

3131

对于D,4OA+5OB,S^J4+5<1,

31

所以向量43+53的终点不在阴影内.

二、多选题（每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有

选错的得0分）

5.设0是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组,其中可作为这

个平行四边形所在平面的基底的是（）

A.AD与XSB.正与工

C.市与BSD.55与5s

【解析】选AC对于A,xs与而不共线;对于B,5X=-工，则5X与前共线;对

于c,五与无不共线;对于D,5B=-55,则无与55共线屈平面向量基底的概念知

A、C中的向量组可以作为平面的基底.

6.（2020•德州高一检测）若点D,E,F分别为4ABC的边BC,CA,AB的中点，且

AB=a,BC=b,则下列结论正确的是（）

111

A.DA=a-2bB.BE=-2a+2b

111

C.CF=-2a-bD.DF=2a+2b

【解析】选BC.因为点D为边BC的中点,

11

所以XB=X5+而+2BC=a+2b,

1

所以市=-a-2b;

因为点E为边CA的中点，

111

所以玩=2（BA+BC）=-2a+2b;

因为点F为边AB的中点，

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1

所以CF=CB+BF=-BC-2AB

1

=-2a-b;

因为前二菽+前二a+b,

111

所以5?=2X6=-2a-2b.

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.如图，在平面内有三个向量质,无,反,|加|=|班|=1,示与面的夹角为

120°,

V3

灰与加的夹角为30。,|无|二5，设OC=mOA+nOB(m,nGR),

则m+n=

【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ,

贝I]NCOQ=ZOCP=90°,

在RtAQOC中,20Q=QC,|反|二5",

则|西|=5,|近|=10,所以|次|=10,

X|OA|=|dB|=l,

所以5?=10质,的=535,

所以OC=OP+OQ=10OA+5OB,

所以m+n=10+5=15.

答案：15

8.方格纸中向量a,b,c如图所示，若©=入2+址）,则入+|i=

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【解析】设水平向右,竖直向上的单位向量分别为.任，

贝！Ja=ei+3e2,b=3ei-e2,c=5e1+5e2/

0+3〃=5,

又c=M+此，所以（3於〃二5,

'X=2,

所以W=1,即入+产3.

答案：3

四、解答题（每小题10分，共20分）

9.如图，已知在梯形ABCD中,AD||BC,E,F分别是AD,BC边上的中点，且

BC=3AD,

通=为无力试以｛，1）｝为基底表示前,5?.

【解析】连接FA,DF.

1

因为ADIIBC,且AD=3BC,

1111

所以X5=3玩=3b,所l)!AE=2AD=6b.

11

因为说=2前,所以说=2b,

第12页共16页

1

所以同=丽屈=a-2b.

所以EF=EA+AF=-AE-FA

11a

6b—Ia—匕）=上〃—'

DF=DA+AF=-（AD+FA]

=1

b~\~（a—^-bb-a.

6

10.(2020•锦州高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的

中点,G为BE与DF的交点.若AB=a,AD=b

DC

A

(1)试以｛a,b｝为基底表示BE,DF；

(2)求证:A,G,C三点共线.

1

【解析】（l）BE=AE-AB=2b-a,

1

DF=AF-AD=2a-b；

(2)因为D,G,F三点共线，所以DG与DF共线,

所以存在实数入使得DG=入DF,

所以AG=AD+入DF

11

=b+入2=2入+a(1一现

因为B,G,E三点共线，所以BG与BE共线,

所以存在实数|1,使得BGjBE,

1

所以AG=AB+p,BE=a+|la+2|ib,因为a,b不共线,

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伊=1-〃，

所以I2/解得入土=3,

111

所以XS=3(a+b)=3(前+XB)=3AC,

所以A,G,C三点共线.

6.3.创新迁移

1.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末

比”问题:将一线段AB分为两线段AC,CB,使得其中较长的一段AC是全长与另一

ACBC'"-I

段CB的比例中项，即满足茄=瓦=2，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称

为线段AB的黄金分割点，在4ABC中，若点P.Q为线段BC的两个黄金分割点，设

.yi

X?=xlX5+yl^S,X5=x2XS+y2^/M2+y2=()

ACB

A

BPQC

后■!

A.2B.2

c.北DAI

【解析】选c.由题意知,第=谶+而

(「包)3-V5

=AB+XZBC=AB+/(AC-AB)

vS-l3\三

2—*,2—*

：-AB+乙AC,

第14页共16页

i/5-l

---►---A--A--A2.

同理,AQ=AB+BQ=AB+〜BC

y/5-1

---A2---A---*

=AB+♦[AC-AB]

3-VSy/5-1

2—*2—*

="AB+」AC.

V5-13-V5

所以xl=y2=