福建省泉州市部分中学2023-2024学年高二年级下册期末联合检测数学试题（解析版）

福建省泉州市部分中学2023-2024学年高二下学期

期末联合检测数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知随机变量X服从正态分布N(2,"),P(X<3)=0.7,则P(1<X<2)=

()

A.0.2B.0.3C.0.6D.0.7

【答案】A

【解析】因为X~N(2Q2),尸(X<3)=0.7,则〃=2,且手=〃，

所以P(l<X<2)=P(2<X<3)=P(X<3)—P(XW2)=0.7—0.5=0.2.

故选：A.

2.已知函数/(x)=xcosx-sinx,则的值为()

兀71

A.1B.—C.0D.——

22

【答案】D

【解析】因为/'(无)=cosx-xsinx-cosx^-xsinx,

故选：D.

3.在研究线性回归模型时，样本数据—,(20,-7)所对应的

点均在直线y=%+3上，用/表示解释变量与响应变量之间的线性相关程度，则厂=

)

1

A.-1B.——C.1D.3

2

【答案】A

【解析】由样本数据可知解释变量与响应变量之间具有负相关性,

所以石<0,

又因为对应的点均在直线y=%+3上，

故厂=—1,故A正确.

故选：A

4.随机变量X的分布列如下：

X-212

1

Pab

3

若E(X)=1,则。(X)=()

A.0B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】根据各离散型随机变量对应的概率和为1,可得。+工+匕=1,

3

又因为E(X)=—2a+'+2人=1,解得!涉=」，

362

所以0(X)=x><(-2_])2+gx(l_])2+；x(2_l)2=2.

故选：B.

5.某班联欢会原定5个节目，己排成节目单，开演前又增加了2个互动节目，现将这2个

互动节目插入节目单中，要求互动节目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相邻，

那么不同的插法种数为()

A.6B.10C.12D.20

【答案】C

【解析】根据题意：原定5个节目之间有4个空位，从中选择2个安排互动节目即可，

所以不同的插法种数为A；=12.

故选：C.

6.某学校有A,3两家餐厅，王同学第1天选择8餐厅就餐的概率是工，若第1天选择A餐

3

4

厅，则第2天选择A餐厅的概率为]；若第1天选择B餐厅就餐，则第2天选择A餐厅的

3

概率为-；已知王同学第2天是去A餐厅就餐，则第1天去A餐厅就餐的概率为()

5

3811

A.B.——c.—D.

111153

【答案】B

【解析】设A="王同学第，天去A餐厅就餐”，Bj="王同学第i天去B餐厅就餐"，力=L2,

1432

依题意，尸(4)=§，P(4IA)=g，尸(4田)=丁则P(A)=§，

由N4闾=3舒」有：

「(今jJ13

因为4=44月4,所以P(4)=P(4AU44)=P(44)+P(44)

?41311

=P(A)P(AIA)+^1)P(AI5I)=JX-+-X-=-.

8

所以。⑷4)=着¥

15

故选：B.

7.某人在〃次射击中，击中目标的次数为X.X-BOM),其中〃CN*,0<"<1,击中

偶数次为事件A,则()

A.当时，D(X)取得最小值

B.若”=3,；<p<l,则P]X的取值范围是

C.若〃=20,。=0.8,当P(X=Q取最大值时，贝U左=15

D.当0<〃<g时，P(A)随着“的增大而减小

【答案】D

1

【解析】对于A,D(X)=np(l-p)=np——

24

当。=；时，£>(X)取得最大值，故A错误；

对于B,-「尸(X=^=C：X7/x(l—0'T(>=O,L2,、n),

若〃=3,—«p<\,

2

则p[x>|j=P(X=2)+P(X=3)=C；Xp2x(l-^y+/=_2p3+3p2

由于/(P)=—2p3+3p2,则尸(")=—6p2+6p=—6p(/?—l),

由于则/'5）〉o,则/（〃）在g＜p＜i上单调递增.

则g=y（g）＜y（p）＜/（i）=i,2］乂》^］的取值范围是6，1）,故B错误.

对于C,在20次射击中击中目标的次数X〜8（20,0.8）,

当X=k时对应的概率P（X=k）=GoX0.8*X0.22°/（左=0,1,2,20）,

/、P（X=k）＞P（X=k+l）

因为P（x=z）取最大值,所以=

］c：ox0.8*x0.22°4»C祟X0,8A+1X0,219-A,

即［CMXO.8*XO.22°-*2c短x0.8ix0.22i'

入+124（20—R

即〈）、、，/，解得15.8〈左＜16.8,

4（21-k）＞k

因为左eN且0W上W20,所以左=16,即左=16时概率尸(X=16)最大.故C错误;

对于D,P(X=A;)=C>x(l-p^k(k=0,l,2,...,n)

P(A)=C;x/x(1—pp+Cx/x°_+C>/x(l-p)…+,

1-P(A)=C：x"x(l—p)"T+C：x/x(l—07+c“x(i—0”、，

.”A)=[(JP)+P]"+[P)-P。1+(1-2p)”,

。-=

"y>22

111+(1-2p)”

当0<p<5时，0<l—2p<lJ-12;为正项且单调递减的数列,

所以P(A)随着“的增大而减小，故D正确；故选：D.

8.已知函数/(xXe'+axlnx-o^+e。，若/(x)»0,则实数。的最大值为(

A.1B.2e-lC.2eD./

【答案】D

【解析】设g(x)=《,x〉0,则g，(x)=(l)e;

XX

令g'（x）＞0,解得龙〉1；令g'（%）＜0,解得0＜%＜1；

可知g(x)在(0,1)内单调递减，在(1,+8)内单调递增,

则且(九)之且编=6,且当无趋近于。或+8时，g(x)趋近于+℃,

所以g(x)在(0,+8)内的值域为[e,+oo).

因为广⑴的定义域为(0,+"),

XX

若f(x)-&x+cucinx-ax2+e2x>0,整理可得----aIn----i-e2>0,

xx

令/=J2e,设//(Ouf-alnf+e?,则〃«)=1-色=^~,

xtt

可知力⑴N0对任意re[e,+co)恒成立，

若aVe,则〃'⑺20对任意/e[e,+8)恒成立，

可知/?⑺在[e,+8)内单调递增，则Mf)N/z(e)=e—a+e2Ne?>0,符合题意；

若a>e,令〃(x)>0,解得x>a；令〃(x)>0,解得eWx<a；

可知从尤)在卜,a)内单调递减，在(a,转)内单调递增，

则/z(x)2/z(a)=a-alna+e2>0,

设F(a)=a—alna+e?(a>e),则尸(a)=-Ina<0对任意re(e,+力)恒成立，

可知R(a)在(e,+8)内单调递减，且厂份)=0,

则不等式F(a)>0的解集为(e,e2],即e<a<e?；

综上所述：«<e2.所以实数a的最大值为e?.故选：D.

8

9.已知(2—兀)8=/+4%+%为2++a&x,则()

A.%=16B.%+%+%+,+4Zg—1

C.二项式系数和为256D.cix+1a2+3a3++84=8

【答案】BC

【解析】对于A项，%=C；♦2】•(―叶=-16,故A项错误；

对于B项，令JV=1,得%+〃]+%++〃8=(2—1)=1,故B项正确；

对于C项，二项式系数和为：28=256；故C项正确；

对于D项，对二项展开式两边求导得，—8(2—%)=勾+2%%+3%尤2+,+8%17,

令x=l,得q+24+3%++8a=一8(2-I),=-8,故D项错误；

故选：BC

215

10.设AB是一个随机试验中的两个事件，且p(A)=—,p(5)=—,P(A+B)=—,则下

326

列说法正确的是()

1-1

A.P(AB)=-B.P(AB)=-

i__i

C.P(B|A)=-D.P(B\A)=-

【答案】ACD

215

【解析】选项A：P(A)=-P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=

326

2151

所以P(A3)=—+------,P(AB)=—.故选项A正确.

3263

选项B：P(A)=2,P(B)=L,P(AB)=’,所以尸(Afi)=尸(A)•尸(5),所以事件A和事件

323

8相互独立，

_一—(2、11

所以事件可和事件B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=1-jx-=-.

故选项B错误.

1

选项C:P(B\A)=g=g，故选项C正确，

P(A)£2

3

选项D：因为事件A和事件B相互独立，所以事件,和事件与相互独立，

所以尸(剧3)=今警=P(历=1一：='•故选项D正确.

故选：ACD.

11.设函数/(x)=x'-ax+2(aeR),则()

A.当。=0时，直线y=2不是曲线y=/(x)的切线

B.若/'(X)有三个不同的零点七,々,％3，则占+々+%=0

5

C.当4=3时，存在等差数列{4},满足Z/(w)=10

k=T

D.若曲线y=/(尤)上有且仅有四点能构成一个正方形，则。=2夜

【答案】BCD

【解析】对于A,当。=0时，/(X)=X3+2,则/'(X)=3/,

因为/(0)=2,/'(0)=0,所以曲线y=/(x)在点(。,2)处的切线方程为y=2,所以A错

误，

对于B,因为了⑺有三个不同的零点西,马,七,

所以城一依+2=(x-x1\x-x2)(x-x3),

2

所以尤3—改+2=彳2_(X]+x2+x3)x++x2x3+七玉)x-x1x2x3,

所以X1+工2+X3=0，所以B正确，

对于C,当。=3时，/(%)=%3—3x+2,

因为y(-2)=(-2)3_3X(-2)+2=0,/(-I)=(—1)3—3x(—1)+2=4,

/(0)=2,/⑴=1-3+2=0,y(2)-23-3x2+2=4,

所以/(-2)+/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)=10,

因为—2,—1,0,L2是公差为1的等差数列，

5

所以存在等差数列{4},满足£/(4)=10,所以c正确，

k=\

对于D,由/(x)=X3一依+2(aeR),得尸(x)=3%2一。

当aW0时，f'(x)>Q,所以AM在R上单调递增，

所以曲线V=/(x)上不存在4个点能构成正方形，所以a〉0,

因为f(x)+f(—X)=*3—CLX+2+(—+ax+2=4,

所以的图象关于点(0,2)对称，所以此正方形的中心为(0,2),

不妨设正方形的4个顶点分别为A,氏C,。，其中一条对角线AC的方程为

y—kx+2(k>0),则V一依+2=立+2，解得x=+\Ja+k，

31

由3。「=忸°「，得(1+左2)(。+幻化简得(上9一1)。+犬+—=0,

k

根据题意可知方程(42-1)。+公+J_=o只有一个正解,

k

因为％=1上式不成立，所以-

k2-l

因为。＞0,所以左一工＜0,得0＜女＜1,

k

设A=k,贝IJ/vO,

k

22

令&«）=，+：,由题意可知，只需要直线y=-。与函数g«）=，+7的图象只有唯一的公

共点即可，

结合对勾函数图象可知，-a=-2应，得a=2夜，所以D正确，

故选：BCD

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某学校一同学研究温差x°c与本校当天新增感冒人数y人的关系，该同学记录了5天

的数据:

x(C)568912

y（人）1720252835

经过拟合，发现基本符合经验回归方程9=2.6x+d,则当X=9时，残差为

【答案】0.4

5+6+8+9+12-17+20+25+28+35”

【解析】%==8,y=---------------------------=25,

5

将（8,25）代入9=2.6工+©中得，2.6x8+4=25,解得4=25—20.8=4.2,

故》=2.6x+4.2,当％=9时，j=2.6x9+42=27.6,故残差28—27.6=0.4.

故答案为：0.4

13.在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在

“杨辉三角”中，第行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.

用。行I

第I行II

第2行I2I

第3行1331

第4行14641

第5行1510K）5I

【答案】34

【解析】由题意可知第〃eN行第加e｛0,•6｝个数为C：,

根据题意，设所求的行数为“cN*,则存在正整数左，使得连续三项CL，C）,C俨，

有m4且MV化简得Tri左+13

C“3C“4n-k+13n-k4

联立解得％=14,〃=34.

故第34行会出现满足条件的三个相邻的数.

故答案为：34.

14.英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天

,

中应用非常广泛.其定义是:对于函数了⑺，若满足（怎+1—%）/（x„）+/（x„）=0,则称数

3

列｛xn｝为牛顿数列.已知f（x）=x+2x-l（x>0）,在横坐标为X]=；的点处作的切

线，切线与无轴交点的横坐标为演，继续牛顿法的操作得到数列｛九“｝・设

an=eN*）,数列｛4｝的前几项积为T”.若对任意的“eN*,（<X恒成立,

2X"+1

则整数力的最小值为.

【答案】2

【解析】由/（力=三+2%—1,则r（x）=3f+2,/'（%“）=3年+2,

所以，曲线>=/（无）在点（%,/（七）乂"6川）处的切线方程为

y-（尤：+2%-l）=（3x：+2）（x—X"）,即y=（3X；+2）X--1,

由题意可知点（当+i，0）在直线y=（3d+2）x—2£—1上，所以，

——3/+2

1⑴5

5,则、

因为函数/(力=三+2x—l(xN0)的零点近似值为r,且函数f(x)在［0,+8)上为增函

数，

31八

因为了——<0,=—>0,

648

由零点存在定理可知re

11

由题意可知，-------＞丁«1,2),故整数力的最小值为2.

故答案为:2

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理

念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为

ycm,测得一些数据图如下表所示:

第X天12345

高度y/cm1.31.72.22.835

(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以证明;

(2)求y关于X的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度.

55

参考数据:Ex/=40,Z(X-=3.06,V3O6工5.53.

i=li=l

参考公式:相关系数厂=IJ“，

Vi=li=l

回归方程y^bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

b=-..--------------范=y-bx.

i=l

解：(1)由x=《(1+2+3+4+5)=3,

15

4=—(l.3+L7+2・2+2.8+3.5)=2・3,2(乙一元)=此

5i=i

Zzy-55

40-5x3x2.35.55.5

所以一心45«0.995,

V10x3.06A/306?53

可寸

Vi=li=l

因为「与i非常接近，故可用线性回归模型拟合y与x的关系.

,Xw-5取5.5,_二

(2)由题意可得：b=气------------=——=0.55,^=y-bx=2.3-0.55x3=0.65,

Z(x,-x)210

Z=1

所以y关于X的回归直线方程为$=0.55%+0.65.

当％=7时，9=0.55x7+0.65=4.5,

由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5cm.

16.定义:若函数/(x)与g(x)的图象在区间。上有且仅有一个公共点，则称函数Ax)与g(x)

在区间。上单交，此交点被称为“单交点”.己知函数/(x)=%lnA:,g(x)=-x2+ax-2.

(1)当。=3,判断函数y=/(尤)在点x=l处的切线与函数y=g(x)是否在R上单交,

若是，并求出“单交点”的坐标;若不是，说明理由？

(2)若函数Ax)与g(尤)在(0,+oo)上存在“单交点”，求。的值.

解：⑴"1)=0,/(X)=l+lnx,/'⑴=1,

故＞=/(尤)在点x=l处的切线方程为y=x-i,

a=3时，g(x)=-x?+3x-2,

联立g(x)=-炉+3x-2与y=x-l得，—x2+3x—2—x—l^解得x=l,

故函数y=/(x)在点x=l处的切线与函数y=g(x)在R上单交，

当x=l时，g(l)=—F+3—2=0,

故单交点坐标为(LO)；

(2)令々(xjn/CAO-gQOujdnx+xN-a¥+z,定义域为(0,+“),

令=即xinx+x?一分+2=0，

2/、

故a=lnx+%+—,xe(O,+coj,

x

令q(x)=lnx+x+—,

x

,x1,2x2+x-2(x+2)(x-l)/\

则q(z%)=—F1---=----------=-------------,xe(0,+8),

XX"X"X"

令q'(x)>0得尤〉1,令q'(%)<0得0<x<l,

故q(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+。)上单调递增，

且x—0,q(x)f+oo,xf+8,q(x)f+oo,故q(x)在％=1处取得极小值，也是最小

值，且q⑴=1+2=3,若函数『⑺与g(x)(0,+<»)上存在“单交点”，故4=3.

17.ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数

学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该

程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下2x2列联表：

对该程序的态度

年龄因素合计

不喜欢该程序喜欢该程序

青少年7

中老年1630

合计21

注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”.

(1)请完成上面2x2列联表，并依据小概率值£=0.1的独立性检验，能否认为年龄因素

与是否喜欢该程序有关系；

(2)在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市

范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为X,求X的数学期望E(X)和

方差。(X);

(3)在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们

的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男

生人数为y,求y的分布列和数学期望.

2

2n(ad-be),,

附：Z'=---------:----------------,n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

%2.7063.8416.635

解：(1)根据题意可得2x2列联表如下;

不喜欢该程

性别喜欢该程序合计

序

青少年72330

中老年141630

合计213960

零假设为“0：年龄因素与是否喜欢该程序无关；

140

根据列联表数据计算可得72=60(7X16-23"=60X(7X30)2=—«3.590>2,706=

人21X39X30X3021X39X30X3039

x0.1f

根据小概率值£=0.1的独立性检验，推断“0不成立，

即年龄因素与喜欢该程序有关系，此推断犯错误的概率不超过01.

(2)由题意可知：随机抽取一人为“经常使用该程序辅助工作”的概率P=』=」•,

6012

可知X~,

所以E(X)=20XL=3,D(X)=20x—x—=—.

V'123V'121236

(3)易知10名高中生有7名男生，3名女生，

则y的所有可能取值为0,1,2,3,且y服从超几何分布：

p(y=o)=^=—,p^Y=l)=^&=—=—,

'7C：o120\)C：o12040

P『2)=牛L任上，P『3)=汽L亘，

''Co120401)Co12024

故所求分布列为

Y0123

17217

P

120404024

可得E(y)=0x-^-+lx'+2xK+3x'=^=2.1

'712040402410

18.已知，/(x)=x3+x2+^lnx

(1)当左二—5时，求函数〃尤)的极值;

(2)讨论函数g(x)=f(%)—d+x的单调性；

,21-f(n)h(rn)+h(n)

(3)设/z(x)=f+—%+一,0<n<m,当％=1时，证明:——--------<-----------.

33%3(m-n)2

解：(1)由题意可知：/(X)的定义域为(0,+“)，

若左=一5，贝|]/(幻=/+——5111%，则/(%)=3%2+2%_9=(3/+5%+5)(x1),

XX

令r(x)>0,解得X>1；令/'(x)<0,解得O<X<1；

可知/(%)在(0,1)内单调递减，在(1,+“)内单调递增，

所以/a)的极小值为/(I)=2,无极大值.

(2)因为g(x)=/(工)一天3+%=+》+上山》，

可知g(x)的定义域为(0,+8),且g,(x)=2x+l+-=2.+X+%,

XX

若左20,贝|g'(x)>0,可知g(x)在(0,+“)内单调递增；

若左<0,则A=l—8%〉1>0,可知2/+工+0=0有2个实根石=-1一[1—8」，

—1+J1—8左

x=----------，

9-4

且X]<0<%2，

令g'(x)>0,解得x>%；令g'(x)<0,解得0<x<%2；

可知g(无)在(0,%)内单调递减，在(％,+8)内单调递增；

综上所述：若左20,g(x)在(0,+8)内单调递增；

若左＜0,g(x)在0,内单调递减，在,+”内单调递增.

4[4J

\/

221

(3)当上=1时，则/(%)=丁+/+1口%,h(x)=x+—x+—

33x

可得5(根—〃)[/z(zn)+/z(〃)]—[/—

3/J222211W33221加)

=—\m—n}\m+n+-m+—n-\----1---—m—n+m—n+ln一

2V\333m3nJ{nJ

mn

131333AM

=—m——n+—mn2——m2n-\----------In一

22222n2mn

1/x/八1(mnm\

-?+44mn+n)+-----------21n一

2、八)mn)

对任意的Ov〃〈帆，则加一zz>0,则称(租一九)(血2+4mn+n2)>0,

人m,n7m1cl

令，=一>1,贝!J-----------21n-=t------2lnt,

nnmnt

设尸⑴=t-i-21nt,t>1,则尸，(t)=1+*_|=>o,

可知方(。在(1,+")内单调递增，则F(t)〉尸(1)=0,即K—21n'>0