第十七章《勾股定理》综合测试卷（解析版）-2024-2025学年八年级数学下册

(人教版)八年级下册数学《第十七章二次根式》

综合测试卷

时间：120分钟试卷满分：120分

一、选择题(每小题3分，共10个小题，共30分)

1.(2024春•广阳区校级月考)若一个直角三角形的两边长分别是1和百，则第三边长为()

A.V2B.我或2C.2D.不确定

【分析】分两种情况讨论：当斜边长为唐时：当两条直角边长分别为1和百时.

【解答】解：当斜边长为旧时，第三边长=q二1=&.

当两条直角边长分别为1和西时，第三边长=VTTT=2.

所以，第三边长为五或2.

故选：B.

【点评】本题主要考查勾股定理，关键是掌握直角三角形斜边平方等于两直角边平方的

和.

2.(2024春•江夏区校级月考)下列结论中不能判定是直角三角形的是()

A.N4：NB：/C=3：4：5B.a：b：c=1：V3-：2

C.02=(b+c)(b-c)D.N4-/B=/C

【分析】根据直角三角形中最大角是直角，勾股定理及其逆定理即可求解.

5

【解答】解：/、180°x=75°<90°,不能判定是直角三角形，故符合题意;

3十4十b

B、设。=%，b=V3x,c=2x,

a2=x2,b2=3x2,c2=(2x)2=4x2,

X2+3X2=4X2,即a2+b2=c2,

...能判定是直角三角形，不符合题意；

C、a2—(b+c)(b-c)—b2-c2,

：.a2+c2=b2,能判定是直角三角形，不符合题意；

D、NA-NB=NC,且N/+N3+NC=180°,

：.ZA+ZB+(ZA-ZB)=180°,即N/=90°,

...能判定是直角三角形，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题主要考查直角三角形的判定和性质，掌握直角三角形中三个角的度数关系,

边的数量关系，勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键.

3.（2024春•赣州期中）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的

一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形,

计为②.依此类推…若正方形①的面积为16,则正方形③的边长是（）

【分析】根据正方形①的面积，得到2c=4,再根据勾股定理，分别求出DE=2近,

EF=2即可求解.

【解答】解：如图标记各点，

正方形①的面积为16,

：.BC=4,

MABC、尸是等腰直角三角形,

：.AB=AC,DE=DF,

:NBAC=NDFE=90°,

：.BC=^AB=4,

:.DE=AB=2五,

：.DE=幅F=2近,

:.EF=2,

即正方形③的边长是2,

故选:A.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的性质，根据题意找

出边长之间的数量关系是解题关键.

4.（2024•新邵县三模）如图所示的网格是正方形网格，点HB,C,尸是网格线交点，且

点P在△NBC的边NC上，则/P48+N尸-1=（）

A.45°B.30°C.60°D.90°

22

【分析】根据勾股公理求出。产=12+22=5,302=12+22=5,8尸2=了+32=10,则CP+BC

=BP2,CP=3C,根据勾股定理逆定理推出△BCP是直角三角形，ZC=90°,根据等

腰直角三角形的性质求出NCP2=/CAP=45°,再根据三角形外角性质求解即可.

【解答】解：根据题意得，CP2=l2+22=5,5C2=l2+22=5,BP2=12+32=10,CP>0,

BP>0,

：.CP2+BC2^BP2,CP=BC,

...△8C尸是直角三角形，ZC=90°,

；.NCPB=NCBP=45°,

•?ZCPB=NPAB+NPBA,

：.ZPAB+ZPBA=45°,

故选：A.

【点评】此题考查了勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理逆定理是解题的关键.

5.（2024春•碑林区校级月考）如图，在中，ZA=90°,8。是△/8C的角平分

线，若4c=10cm,CD=6cm,则点。到BC的距离是（）

A

A.6cmB.5'emC.4cmD.3cm

【分析】先根据4D=NC-CD计算，根据“角平分线上的点到角两边的距相等”，即可

得出答案.

【解答】解：•.ZC=10c%,CD=6cm,

：.AD=AC-CD=10-6=4(cm),

又：//=90°,8。是△Z8C的角平分线，

...点D到BC的距离=4D=4c机，

故选：C.

【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的

性质定理是解题的关键.

6.(2023秋•电白区期末)如图，△48C的顶点N,B,C在边长为1的正方形网格的格点

「1

【分析】先由勾股定理求出4C=返，设NC边长的高为儿再由面积法得出pCX/；=

4,然后求出力即可.

【解答】解：由勾股定理得：/C=V^”=返，

设/C边长的高为〃，

1111

=:

'."SAy4Bc3X4--X2X3--X1X2--X2X4=4,S^ABC-^CXh,

1

^4CX/；=4,

44g

"-h=34C=|xV5=工。

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理、矩形面积和三角形面积的计算，由面积法列出关于/C

边长的高h的方程是解题的关键.

7.（2024春•启东市校级月考）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：/3=3米，BC=4

米，/。=12米，8=13米，且请同学们计算一下这块草坪的面积（）

A.24m2B.36m2C.48m2D.60m2

【分析】如图：连接NC,根据勾股定理可求得NC,再根据勾股定理的逆定理判定

是直角三角形，最后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和即可解答.

【解答】解：连接/C,如图,

'：AB±CB,

：.ZABC=90°,

*8=3米，8c=4米，

：.AC=5米，

米，CD=13米，

：.AC2+AD2=CD2,

...△/CD为直角三角形，

.•.这块草坪的面积12+2=6+30=36（w2）.

故选：B.

【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理.正确作出辅助线、构造直角三

角形是解题的关键.

8.（2024春•武城县校级月考）已知，如图长方形/3CO中，AB=3cm,AD=9cm,将此长

方形折叠，使点2与点。重合，折痕为斯，则△/8E的面积为（）

C.6cm2D.12cm2

【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE,在直角中，利用勾股定理就可以求解.

【解答】解：将此长方形折叠，使点3与点。重合，.•.8E=£D

,:AD=9cm=AE+DE=AE+BE.

；.BE=9-AE,

根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2.

解得4E=4.

的面积为3X4+2=6（cm2）.

故选：C.

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方

和等于斜边的平方.

9.（2023秋•榆阳区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所

示的“垂美"四边形/BCD对角线/C,8。交于点O.若/。=2,BC=1,贝I]

等于（）

【分析】在Rtz\Z03与RtZsCOD中，由勾股定理得，AB2=OA2+OB2,5=

OD2+OC2,再将两式相加根据勾股定理即可求解.

【解答】解：在RtZ\/02与RtACOD中，由勾股定理得，

AB2=OA2+OB2,CD2=OD2+OC2,

:.AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2

=AD2+BC2

=22+72

=53,

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键.

10.(2024春•惠济区校级月考)如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,4D平分NC42,BE

平分乙43C,AD,BE相交于点尸，若4^=4,EF=五,贝"/E=()

A.V10B.2C.V5D.--—

【分析】先求出NEFG=45°,进而利用勾股定理即可得出FG=EG=1,进而求出4E

即可.

【解答】解：如图，过点E作EGL4D于G,

,：AD,BE是分别是N8/C和//8C的平分线,

/.ZCAD=ZBAD,ZCBE=/ABE,

VZACB=90°,

：.21/BAD+NABE)=90°,

：.ZBAD+ZABE^45°,

/.ZEFG=ZBAD+ZABE=45°,

在RtZ\EFG中，EF=五,

：.FG=EG=1,

：4F=4,

：.AG=AF-FG=3,

根据勾股定理得，AE=VXG2+EG2=V10,

故选：A.

【点评】此题考查了角平分线定义，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，解答本

题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题.

二、填空题(每小题3分，共6个小题，共18分)

11.(2024•振兴区校级二模)如图，在△N8C中，48=/C,BC=6,高40=4,则42=.

【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD的长，再利用勾股定理得出AB的长.

【解答】解：在△N2C中，AB=AC,BC=6,高NO=4,

1

：.BD=CD=~BC=3,△NAD是直角三角形，

在RtZxNBD中,AB—VBD2+AD2—V32+42=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查勾股定理以及等腰三角形的性质，正确得出2。的长是解题关键.

12.(2024春•营山县校级期中)平面直角坐标系中有/(3,-4)、B(-2,-4)两点，

那么/、8两点的之间的距离是.

【分析】直接利用两点间的距离公式计算.

【解答】解：(3,-4)、2(-2,-4),

；./、B两点的之间的距离为J(3+2尸+(—4+4尸=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点”(xi，%)，B(右，及)，则这两点间

的距离为AB=7(%1-%2)2+(71-y2)2.

13.(2024•昆都仑区二模)如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图

案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形0/2C.若48=

BC=1,/。=2,则。。2的值为.

【分析】根据勾股定理先求出8。的长，再计算CO?的长即可.

【解答】解：由题意得，在RtZUOB中，

BO-y/AO2+AB2-V22+I2=底

在RtA5OC中，

CO2=OB+BC1=(V5)2+12=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查勾股定理，正确记忆计算公式是解题关键.

14.(2024秋•新泰市期中)某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙

时，梯子底端/到左墙的距离/E为0.7加，梯子顶端。到地面的距离DE为2.4加，若梯

子底端N保持不动，将梯子斜靠在右墙8c上，梯子顶端C到地面的距离C8为2〃?，则

这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为.

【分析】先根据勾股定理求出/D的长，同理可得出的长，进而可得出结论.

【解答】解：在中，•.•/4£。=90°,/E=0.7米，DE=2.4米，

1,UD2=0.72+2.42=6.25.

在RtZ\/8C中，

VZABC=90°,8C=2米，AB2+BC2^AC2,

：.AB2+22=625,

'.AB=\.5（米）.

：.BE=AE+AB=G.l+l.5=2.2（米）.

答：小巷的宽度BE为2.2米，

故答案为：2.2.

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方

程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画

出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

15.（2024秋•南山区期末）己知等腰△/2C的底边3c=5,。是腰上一点，且CD=4,

BD=3,则/D的长为.

【分析】根据勾股定理的逆定理求出N8Z）C=90°,即NNDC=90°,^AB=AC=a,

在RtAWC中，由勾股定理得出*=（〃一3）2+42,求出a即可.

【解答】解：设/5=/C=a,

'：BC=5,CD=4,BD=3,

：.BD2+CD1=BC1,

：.ZSDC=90°,

：.ZADC=90°,

在RtZUDC中，由勾股定理得：AC2^AD2+CD2,

a2=(a-3)2+42,

25

a=—,

o

257

•.AD=——3=~.

66

7

故答案为：T.

o

【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得/

ADC=90°是解答本题的关键.

16.（2024春•重庆期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长4D=80c加，

高/2=5（k™,水深/E=40cm,在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线

EF上,且/G=30CTW,一只蚂蚁想从鱼缸外的N点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包

屑.蚂蚁爬行的最短路线为cm.

【分析】作出/关于2c的对称点,连接G,与2C交于点0,此时ZQ+0G最

短；A'G为直角△/'EG的斜边，根据勾股定理求解即可.

【解答】解：如图所示作点N关于3c的对称点H,连接G交8c与点。，小虫沿

着/一。一G的路线爬行时路程最短.

EG=80-30=50(cm),

：.AQ+QG=A'Q+QG=A'G-^A'E2+EG2=10V61(cm).

，最短路线长为10V61cm.

故答案为：10V^T.

【点评】本题考查平面展开-最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到

路径求出解.

三、解答题(共8个小题，共72分)

17.(共8分)(2024春•鹿邑县月考)如图，已知等腰三角形N5C的底边8c=15c%,。是

腰NC上的一点，且12c加，CD=9cm.

(1)求证：BDLAC；

(2)求△N2C的面积.

A

入

【分析】(1)证明可证明/8OC=90°,即可得出结论；

(2)设AB=AC=xcm,则40=(x-9)cm,根据勾股定理即可求出x,即可求解.

【解答】(1)证明：在△8OC中，BC=15cm,BD=12cm,CD^9cm,

：.BD2+CD2=BC2,

:.NBDC=90°,

：.BD±AC；

(2)解：设N2=/C=xc%,则/D=(x-9)cm,

在RtAADB中，由勾股定理得：AD2+BD2=AB2,

即(x-9)2+122=X2,

,25

解得X=E，

25

即AB=AC=~cm,

1125°

•'•S^ABC='^C,BD=—'X.—X12=75(cm2).

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能灵

活运用定理进行计算是解此题的关键.

18.(8分)(2024春•南县校级期中)如图，在△NBC中，AB=5,AC=4,BC=3,DE是

N8的垂直平分线，OE分别交NC,AB于点、E,D.

(1)求证：△N8C是直角三角形；

(2)求CE的长.

【分析】(1)根据勾股定理的逆定理进行判断即可；

(2)连接8K,根据线段垂直平分线的性质可得设CE=x,则/E=4-x,BE

=4-x,根据勾股定理进行计算即可.

【解答】(1)证明：,:AB=5,AC=4,BC=3,

则^C2+5C2=32+42=9+16=25,

AB2=52=25,

则AC2+BC2^AB2,

故△NBC是直角三角形；

(2)解：连接BE,如图：

,；DE是AB的垂直平分线，

：.AE=BE,

由(1)可得△/BC是直角三角形，

即乙4c8=90°,

设CE=x,贝！IAE=AC-CE=4-x,

即BE=4-x,

在RtZ\3CE中，CE2+CB2=BE2,

即X2+32=(4-x)2,

7

解得：x=~,

o

7

即CE的长为k.

O

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握

以上知识是解题的关键.

19.（8分）（2023秋•双塔区校级期中）如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长/3=

65cm,拉杆最大伸长距离2C=35c加，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm.当拉

杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的/处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平

移55"?到处.请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变）

【分析】过C作CELON于E,延长4r交CE于R根据勾股定理即可得到方程652-

x2=1002-（55+无）2,求得⑷尸的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的

长.

【解答】解：如图所示，过点C作CELZW于点E,延长交CE于F,贝ljN/FC=

90°.

设HF=xcm,则/尸=(55+x)cm,

由题可得，AC=AB+BC=65+35=100(cm),A'C=65cm.

CF中，CF2=652-X2,

中，072=10()2-(55+x)2,

A652-x2=1002-(55+x)2,

解得x=25,

：.A'F=25(cm),

：.CF=yJA'C2-A'F2=60(cw).

又,：EF=AD=3cm,

.,a=60+3=63(cM,

点。离地面的距离为63cm.

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与

方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，

画出准确的示意图.

20.(8分)(2024春•乐陵市校级月考)如图，在△NBC中，ADLBC,AC=2底BC=5,

AD=4.

(1)请判断△NBC的形状，并证明；

(2)过点8作于点£,交/。于点尸，求8E和/b的长.

【分析】(1)用勾股定理先求出的长，再用勾股定理求出A8的长即可证明结论；

(2)用等积法求出8E,作于，，先证明设RtZkB尸"gRtZXBFD(HL),得BH

=BD,设/尸=x,则DB=FH=4-x,用勾股定理即可求出工?

【解答】解：(1)△NBC是等腰三角形.

证明：'：/\ABCdp,ADLBC,

：.ZADB=ZADC=90°,

,：AC=2V5.AD=4,

CD=^AC2—AD2=J(2A/^)—42=2,

,:BC=5,

：.BD=BC-CD=3,

：.在RtMBD中，AB='AD?+BD2=V42+32=5,

：.AB=BC,

：./\ABC是等腰三角形；

1111「

(2)'-S^ABC^-x.BCxAD=~xACxBE,即5x5x4=5x2逐xBE,

:.BE=2后

作FHLAB于H,

；△ABC是等腰三角形，5.BELAC,

:.BE平用/ABC,

：.FH=FD,

■:/BHF=NBDF=9Q°,BF=BF,

：.Rt/\BFH^Rt/\BFD(.HL),

:.BH=BD=3,

:.AH=2,

设/b=x,贝ij。尸二尸"=4-x,

在RtZUAF中，AH2+FH2=AF2,

即22+(4-x)2=/,

5

解得x=2-

5

即47=5.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，熟

知相关定理是正确解决本题的关键.

21.(8分)(2024秋•莲都区期末)如图，点C为线段N8上一点，以NC为边向上作RtZ\NCD,

且N/=90°.以8c为底边向上作等腰三角形8CE,且NNr>C=N8=30°连结。£.

(1)求NQCE的度数；

(2)当BC=2ZD=2百时，求的值.

【分析】(1)根据EC=5E,得出NECF=N5=30°,根据N4=90°,ZADC=30°,

得出NOC4=90°-30°=60°即可；

(2)过点£作E7LL5C,证明△ZCZ)名△在C,得出根据NZ=90°,ADC=

11

30°,得出47=万6,根据勾股定理得出(百)2+(5。。)2=。。2,求出cz)=2,根据勾

股定理求出。E=VCD2+CE2=V22+22=2V2.

【解答】W：(1)U：EC=BE,

:.NECF=/B=30°，

VZA=90°,ZADC=30°,

AZDCA=90°-30°=60°,

AZ£)C£=180°-ZDCA-NECB=9。。；

(2)过点E作如图所示：则NE尸。=N4=90°，

■:EC=EB,

1

CF=­BC,

'：BC=2AD,

：.AD=CFf

由(1)可知，ZADC=ZECF=30°,

:.△ACDQdFEC(ASA),

：.CD=CE,

VZA=90°,N4DC=30°,

1

.\AC=5co,

根据勾股定理得：AD2+AC2=CD2,

1

即（西）2+（尹）2=亦，

解得：CD=2,（负值舍去），

:.CE=CD=2,

■:/DCE=90°,

：.DE=VC£>2+CE2=V22+22=2V2.

【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三

角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判

断，作出辅助线，数形结合.

22.（10分）（2023秋•渝北区期末）如图，A,B,C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C

在岛屿/的东北方向，岛屿8在岛屿/的正东方向，A,C两岛的距离为20底历n,A,B

两岛的距离为68km.

（1）求出B,C两岛的距离；

（2）在岛屿8产生了台风，风力影响半径为25版2（即以台风中心2为圆心，25km为羊

径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20左根/〃的速度由3向/移动，请判断岛

屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台

风影响岛屿C持续时间有多长？

北

【分析】（1）过点C作于点。，在Rta/CD中，利用勾股定理可求出4D,

CD,再在中，利用勾股定理即可求出8C,从而解决问题；

（2）由25>20,可知会受影响.以点C为圆心，25人加长为半径画弧与N8交于点£,

F,利用勾股定理求出。E,进而得到防的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响

岛屿C持续时间.

【解答】解：（1）过点C作CD,48于点。，

北

AZA=ZACD=45°,

：.CD=AD,

在RtZX/CZ)中，

AC=20y[2km,

由勾股定理，得NZ)2+Q)2=4C2,

：.2AD2=(20V2)2,

解得/£>=2(MTM(负值已舍)，

:.CD=20km,

在RtA5CD中，

BD=AB-AD=6S-20=48(km),

由勾股定理，得BC=々CD?+BD2=、2。2+482=52(km),

答：B,C两岛的距离为52而；

(2)会受影响，

以点C为圆心，25加长为半径画弧与交于点E,F,

则EF=2DE,

在Rt^CDE中，

由勾股定理，得DE=VCE2—CD2=4252—202=15(km),

:・EF=3Gkm,

304-20=1.5(〃),

答：台风影响岛屿C持续时间为15fl.

【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作CDL/8构造直角三角形是解题

的关键.

23.（10分）（2024春•郸都区期末）如图，在中，ZACB^90°,4D平分/C4B

交BC于点、D,点E在48上，5.AE^AC,连接DE.

（1）求证：LADE咨AADC；

（2）若E为A8中点，求的度数；

（3）若/C=6,8c=8,求8。的长.

【分析】(1)由题意得出NC4D=NE4。，可证明△/£>£•咨△NOC(SAS)；

(2)由全等三角形的性质得出NC4D=/D/£=/B,则可求出答案；

(3)由勾股定理求出48=10,设8D=x,则DE=CD=8-x,由勾股定理可求出答案.

【解答】(1)证明：平分/C/8,

：.ZCAD=ZEAD,

在△/£)£1和△4DC中，

AE=AC

/.EAD=Z.CAD,

AD=AD

：./\ADE^AADC(&4S)；

(2)解：V/\ADE^AADC,

；./C=N4ED=90°,

,IE为的中点，

：.AE=BE,

・・・OE为ZB的中垂线，

：.AD=BD,

：./B=NDAE,

：.ZCAD=ZDAE=NB,

VZCAD+ZDAE+ZB=90°,

・・・N5=30°；

(3)VZACB=90°,AC=6,BC=8,

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