2025上海中考数学一模汇编：解直角三角形的应用（学生版+解析版）

专题07解直角三角形的应用（解答题22题）

1.（2025•上海松江•一模）图1是一款高清视频设备.图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，54垂直

于水平桌面/,垂足为点A,点C处有一个摄像头.经测量，AB=42厘米，8C=30厘米，ZABC=121°.

（1）求摄像头C到桌面/的距离；

（2）如果摄像头可拍摄的视角NDCE=37。，且CD=CE,求桌面上可拍摄区域的宽度（OE的长）.

（参考数据：sin370=0.6，cos37°=0.8,tan37°=0.75.）

2.（2025・上海静安•一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被

广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）.在舞狮表演中，梅花桩

AB.CD、EF垂直于地面，且3、D、尸在一直线上（如图②所示）.如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的

仰角分别为35。和47。，且桩与所桩的高度差为1米，两桩的距离所为2米.

E

图-①图-②

（1）舞狮人从A跳跃到C,随后再跳跃至E,所成的角NACE=_。；

⑵求桩A3与桩CD的距离BD的长.（结果精确到0.01米）

3.（2025•浦东新区一模）上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地.某校实践小组利用所学知

识测量双子山主峰的高度,,并利用课外时间完成了实地测量.下面是两个方

案的示意图及测量数据.

方案二：测量高鹭D,仰角a,仰角0.

测量项目CDaP

方案一10m12°11.5°

方案二1.3m12°11.7°

任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰48的高度（结果保留1位小数）.参考数据见下表:

三角比角度sincostancot

12°0.2080.9780.2134.705

11.5°0.1990.9800.2044.915

11.7°0.2030.9790.2074.829

任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米.请你用一句话简单说明你求出的高

度与48米不一致的原因：

4.（2025・上海奉贤•一模）桔椁（gao）是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原

理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶.当

人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处.这种工具可以省

力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度.

如图所示，线段0M代表固定支架，点。、点C分别代表重物和水桶，线段3"AC是无弹力、固定长度

的麻绳，绳长AC=3米，木质杠杆AB=6米.

图1图2

⑴当水桶C的位置低于地面0.5米（如图1所示），支架与绳子9之间的距离是1.6米，且cotB=0.75,

求这个桔棒支架的高度；

（2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图2所示），求此时重物。相对于（1）中的位置下降的高度.

5.(2025・上海青浦•一模)图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入

口”的道闸.特殊情况，两个道闸也可以同时升起.图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行(如

图中升起的道闸EPQ由)，升起的最高点不超过顶部CD.矩形门的高AD=3.6米，宽4?=6.6米.矩形闸机

的宽AH=3W=0.3米，矩形道闸的宽FG=EP=1米，道闸底部距地面AB的高度FH=EW=0.2米.顶点

G、M、P在同一条直线上，边MG=PQ,边MN与QR之间的缝隙可以忽略不计.

出口入口

图1

(1)求道闸升起的最大角的正切值;

(2)一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由.

6.(2025・上海徐汇•一模)小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为30。,45。,60。的三角比不必死记硬背,

只需利用一副三角板就可推导出30。,45。,60。的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上,

他利用一副特制的三角板，研究推导出了15。，75。的三角比.

cot30°-cot45°

(1)计算:

tan600+2sin30°

(2)小杰的一副特制的三角板，如图1,在RtAABC和RtADEF中,ZB=ZE=90°,

A^30°,XD=45°,DE=AC=2：小杰的想法是：将Rt^ABC和RtZXDE尸的边DE和AC重合，拼接成如

图2所示的四边形A5CP.请利用图2,求sinl5。和tan75。的值.

7.（2025•上海黄浦•一模）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活

动.

甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪.取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直,其中木条长40cm,

木条C£＞长60cm,£）5长20cm（接头处忽略不计）.为了便于校正竖直位置，在点＜8处悬挂一个铅垂，如

图1所示，这样就制作出一个简易测高仪.

DBC

图1图2

任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）.

工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）.

要求：测量得到的长度用字母。，b,c…表示.

第一次实践

甲手持测高仪，c端朝上。端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端调整人到树的距离，

实践

使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图

操作

3所示.

获取数乙负责测量，得到点8到地面的垂直距离5E=acm,还需要测量得

到的相关数据有：—.

示意据

图

3解决问利用得到的数据表示树的高度：

题MN=__________cm.

反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下.于是三位同学讨

论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下：

第二次实践

实甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的。端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端

践M,向后走调整人到树的距离，使得点〃恰好与点。、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好

操接触地面的点F的位置.丙提醒甲注意：两次测量时点8到地面的垂直距离保持不变；点E、E和树

作根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示.

获取数点到地面的垂直距离乙还需要测量得到的相关

示23E=acm,

据数据有：_________.

图

解决问

TEF利用得到的数据表示树的高度.（写出求解过程）

4题

8.（2025・上海金山・一模）如图，VABC和都是直角三角形纸片，/^=/0=90。且丫川。和"）上万不

相似.其中=AC=b,DE=m,DF=n（n>b>a>m）.是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把

VABC和ADEF分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为S）与

没有分割的三角形相似.

（1）如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性;

（2）按照你写出的分割方案，求出S的值（可以用。或6或加或”的代数式表示）.

9.（2025・上海嘉定•一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车

的运行安全.我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光

三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨

道是否有损伤或缺陷.某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究:

建立模型

10.（2025・上海闵行•一模）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨0A和03、支伞骨G0和DM以及伞柄OH组

成，伞柄垂直于地面且平分/AO3,04=03=/厘米，OC=Or＞=（Q4,Oa=/z厘米.使

用遮阳伞时，可以通过调节点M在伞柄上的位置来确定NAO3的大小.当点C、M,。三点在同一直

线上时，遮阳伞完全打开，此时NAO3达到最大为150。.（参考数据：sin75°=#+一，cos75。=逸二2,

44

tan75o=2+g,计算结果保留根号）

⑴当。4=03=120厘米，

i）在遮阳伞完全打开时，求A、B之间的距离.

ii）在伞打开的过程中（/403从0。变到150。），点M上升了_____厘米.

（2）设的度数为2打（0＜夕＜75。），在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面所长为（用式

子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面取的长，你的建议是

11.(2025•上海普陀•一模)如图，已知小河两岸各有一栋大楼A3与C。，由于小河阻碍无法直接测得大楼C。

的高度.小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点尸处，发射的两束光线都

经过大楼顶端A,并分别投射到大楼CD最高一层CG的顶端C和其底部G处，并测得EF=6m,

ZAEB=26.6°,ZAFB=22.6°.(点。、B、E、尸在同一水平线上)

(1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼A3的高度；

(2)为了能测得大楼C。的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼A3共有五层.据

此信息能否测得大楼CD的高度？如果可以，试求出大楼CD的高度；如果不可以，说明理由.

(参考数据：sin22.6°,cos22.6°«—,tan22.6°«—,sin26.6°«—,cos26.6°tan26.6°»)

131312552

12.（2025・上海崇明•一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面的中

点C处竖直上升20米到达。处，测得实验楼顶部E的俯角为55。，综合楼顶部厂的俯角为37。，已知实验楼

BE高度为8米，且图中点AB、C、D、E、尸在同一平面内，求综合楼AF的高度.

（参考数据：sin37°x0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75；sin55°~0.82,cos55°«0.57,cot55°«0.70,精确至U0.1

米.）

D

13.（2025•上海杨浦・一模）定义：如图1,已知点Q、R是/MON的边ON上的两个定点，点P是边上

的一个动点，当。尸2=。。。尺时，称点尸是线段QR的最佳视野点.如图2,某商业广场上安装了一块巨型

显示屏A3,点A到水平地面的距离AC为5米，在水平地面CO的E处有一个自动扶梯EP,点A、B、C

在同一直线上.已知自动扶梯跖的坡度是1:2,点E到点C的距离是10米.

图1图2

（1）当行人行走在水平地面CE时，发现点//恰好是屏幕A3的最佳视野点，且从点〃测得点B的仰角为

60°.求A3的长；（忽略行人的高度）

（2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯EP上找到屏幕AB的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕A3

的垂直平分线与阱的交点”.你同意这个说法吗？请通过计算说明理由.（忽略行人的高度）

14.（2025•上海虹口•一模）根据以下素材，完成任务.

素

材参考数据：sin37°»0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,6m1.73.

4

（1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点A到地

任务一

面的距离AE.

问

（2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即AE不变），

题

把淋浴喷头的“调整角”0调整至60。，然后小明进淋浴房洗

解澡.①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过

任务二

决计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为

点A）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求

此时固定器下降的距离A4'（精确到cm）.

15.（2025・上海宝山•一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造.原坡

面是矩形ABC。（如图1）,AB=4米，AD=2米，斜坡A3的坡角为30。.计划将斜坡A3改造成坡比为1:2.5

的斜坡AE（如图2所示）,坡面的宽度AD不变.

图1

（1）求改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度;

（2）改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？

16.(2025・上海长宁•一模)如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让

无人机飞到点。处，与底板欹平行，测得AD=1L6米，此时在点。处又测得坡道45上的点C的俯角

为26.6。.接着让无人机飞到点E处，DEJ.AD,CE与底板旗平行，测得。E=L8米.

P._________________________

(1)求坡道A3的坡度;

(2)已知地面QA、地下车库的顶板FG都与底板BR平行且它们到底板BR的距离相等，无人机从点A飞到点P

处，APA.AD,测得AP=16.4米，此时在点P处测得点P的俯角为45。，在不考虑其他因素的前提下，有

一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由.

(参考数据：sin26.6°~0.45,cos26.6°«0.89,tan26.6°®0.5)

专题07解直角三角形的应用(解答题22题)

1.(2025・上海松江•一模)图1是一款高清视频设备.图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，取垂

直于水平桌面/,垂足为点A,点C处有一个摄像头.经测量，AB=42厘米，3C=30厘米，ZABC=127°.

图1图2

(1)求摄像头C到桌面/的距离；

(2)如果摄像头可拍摄的视角=37。，且C£>=CE,求桌面上可拍摄区域的宽度(DE的长).

(参考数据：sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75.)

【答案】(1)摄像头C到桌面/的距离是60cm

(2)桌面上可拍摄区域的宽度为40cm

【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，构造直角三角形，正

确运用锐角三角函数的计算及相似三角形的判定的方法及性质是解题的关键.

CF

(1)过点C作过点B作斯，CH,垂足分别为点H、尸，可得NCB尸=37。，由sin/CBB=力；

BC

可算出CF=18cm,由CH=B+〃R=60cm即可求解；

(2)过点。作r>M_LCE,垂足为M,则有tan/DCM=2^=3,设DW=3笈，CM=43贝!ICD=CE=53

CM4

EM=k,DE=Mk,再证△CHES^ME,由相似三角形的性质可得左=4而，由

DE=Mk=710x4^/10=40cm即可求解.

【详解】(1)解：过点。作CH，/,过点3作5尸，CH,垂足分别为点“、F,

­.­ZABC=1270fZABF=90°,

CF

,/sin^CBF=----,BC=30cm,

BC

CF—BCsinACBF=30xsin37°=30x0.6=18cm,

,/AB=HF=42cm,

:.CH=CF-^HF=60cm.

答：摄像头。到桌面/的距离是60cm.

(2)解：过点。作。垂足为

vZDCW=37°,tanZDCM=^=-,

CM4

设,DM=3k,CM=4k,则CD=CE=5左，EM=k,DE=y/10k,

/CHE=/DME=90°,NCEH=NDEM,

ACHESmME,

.DMCH3k_60

DECE左5k

解得：k=4M,

DE=yfwk=710x4A/10=40cm,

答：桌面上可拍摄区域的宽度为40cm.

2.（2025・上海静安•一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，

也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）.在舞狮表演中，梅

花桩AB、CD、垂直于地面，且3、D、尸在一直线上（如图②所示）.如果在桩顶C处测得桩顶A和

桩顶E的仰角分别为35。和47。，且A3桩与跖桩的高度差为1米，两桩的距离段'为2米.

⑴舞狮人从A跳跃到C,随后再跳跃至E,所成的角ZACE=_。；

（2）求桩AB与桩CD的距离的长.（结果精确到0.01米）

【答案】⑴98

⑵0.65米

【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键.

（1）根据仰俯角，平角为180。即可求解；

（2）过点C作肱V〃班分别交AB、EF于点、M、N,则四边形BDCN、BFNM、DFNC都是矩形,

设==x米，则CN=（2—x）米，在Rt^AMC中，由函数函数的计算tan/ACM=d"，得到

CM

EN

AM=CMtanZACM=xtan35°,在RtZkCEN中，tm/ECN=——,得至！J

CN

£^=C7V-tanZEC7V=（2-x）-tan47°,由EF—=/1M=1,即可求解.

【详解】（1）解：在桩顶。处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为35。和47。，

・•.NACE=180°-35°-47°=98°,

故答案为：98；

（2）解：过点C作跖V〃/,分别交AB、EF于点M、N,

・,AB1BF,CD工BF,EFLBF,

.-.AB//CD//EF,

・•・四边形5DCM、BFNM、D7WC都是矩形,

BD=CM,MN=BF,DF=CN,BM=NF,

设==x米，贝（JQV=（2-x）米，

在RtZXAMC中，tanZACM=^~,

CM

:.AM=CM-tanZACM=x-tan35°,

EN

在RtZXCEN中，tanZECN=——,

CN

,・.EN=CNtmZECN=（2-x）・tan47。，

-EF-AB=EN-AM=1,

（2-x）•tan470-x-tan35°=1,

左号口2tan470-1八”,、1八

解得，尤=,4…2°65（米），

tan47+tan35

答：桩A3与桩C。的距离5。的长约为0.65米.

3.（2025•浦东新区一模）上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地.某校实践小组利用所

学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量.下面是两

个方案的示意图及测量数据.

方案一：测量距离7D,仰角a,仰角仇方案二：测量高鹭口仰角a.仰角民

测量项目CDap

方案一10m12°11.5°

方案二1.3m12°11.7°

任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰AB的高度(结果保留1位小数).参考数据见下表:

三角比角度sincostancot

12°0.2080.9780.2134.705

11.5°0.1990.9800.2044.915

11.7°0.2030.9790.2074.829

任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米.请你用一句话简单说明你求出的

高度与48米不一致的原因：.

【分析】(1)选择方案一，设长尤米，根据a的正切值表示出的长，进而根据P的正切值为相

等关系列出方程求解即可；选择方案二，设BC为x米，根据B的正切值表示出AE的长，进而根据a

的正切值为相等关系列出方程求解即可；

(2)可从测量的角度出发回答问题.

【解答】解：(1)选择方案一：

由题意得：AB_LBDf

.,.ZB=90°,

设8C长工米，则5。长(x+10)米，

VZa=12°,

「・A8=x・tana仁0.213元米，

VZP=11.5°,

：.(x+10)-tanll.5°=0.213%,

即0.204(x+10)=0.213x,

角军得：了心226.67,

二•A”48.3米；

选择方案二：

由题意得：ZAED=ZABC=90°.

设5C为％米，则QE为x米.

VP=11.7°,

A£=x・tanp心0.207%米，

Va=12°,

.*.AB=x*tana^0.213x米，

由题意得：8E=CZ）=1.3米,

.,.0.207x+1.3=0.213x,

解得:x-216.67,

.\AB^46.2米.

（2）测量有误差（答案不唯一）.

【点评】本题考查解直角三角形的应用.应用所给角的正切值表示出相应线段的长度或得到能解决问题

的相等关系是解决本题的关键.

4.（2025・上海奉贤•一模）桔棒（ga。）是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作

原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水

桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处.这种工

具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度.

如图所示，线段代表固定支架，点。、点C分别代表重物和水桶，线段8。、AC是无弹力、固定长

度的麻绳，绳长AC=3米，木质杠杆=6米.

图1图2

（1）当水桶C的位置低于地面0.5米（如图1所示），支架。M与绳子之间的距离是1.6米，且

cotB=0.75,求这个桔椁支架的高度；

（2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度.

【答案】（1）4.9米

⑵0.55米

【分析】（1）过点A作ANLW于点N,利用余切函数的定义，平行线的性质，矩形的判定和性质，

勾股定理，余弦函数，解直角三角形的即可.

（2）如图2,过点A作于点Q,过点C作CPLOM于点P,过点。作OK,3D于点K,则PM=0.6

米，四边形ACPQ是矩形，解直角三角形解答即可.

【详解】（1）解：如图1，过点A作⑷于点N,

图1

BH3

cotB==0.75=—,OH=1.6,

OH4

3

.-.BH=1.6x-=1.2（米），

4

••BO=^BH2-^OH2=2（米），

nBH3

cosB=-----=—,

OB5

：OM//BD,AB=6米，

.-.ZB=ZAON,OA=AB-OB=4^:,

3

ON=OAcosZAON=4x-=2.4米，

设AC与地面的交点为G,

贝|GC=0.5米，四边形AG肱V是矩形,

：.MN=AG,

•••AC=3米，

.•.AG=2.5米，

：.OM=ON+MN=ON+AG=2.5+2A=4.9^.

(2)解：如图2,过点A作AQ，。”于点。，过点C作CPJ_OM于点P,

过点。作OKLBD于点K,

图2

则9=0.6米，四边形ACPQ是矩形,

尸。=AC=3米，

OM=4.9米，

OQ=OM-PQ-MP=13^z,

OQ1.313

cosZAOQ=

OA-T-40

•・•OM//BD,

ZB=ZAOQ,

nBK13

cosB==——,

OB40

13

・・.5K=O5cos5=2x——=0.65米，

40

3

根据（l）得3H=1.6x—=1.2（米），

4

・•.此时重物。相对于（1）中的位置下降的高度为1.2-0.65=0.55米.

【点睛】本题考查了余切函数，余弦函数，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三

角函数的应用是解题的关键.

5.（2025・上海青浦・一模）图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”

或“入口”的道闸.特殊情况，两个道闸也可以同时升起.图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保

持平行（如图中升起的道闸“Q禺），升起的最高点不超过顶部矩形门的高AD=3.6米，宽AB=6.6

米.矩形闸机的宽AH=3W=0.3米，矩形道闸的宽/G=EP=1米，道闸底部距地面A3的高度

FH=£W=0.2米.顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边MG=PQ,边MN与。R之间的缝隙可以忽

略不计.

出口

（1）求道闸升起的最大角的正切值;

（2）一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理

由.

4

【答案】⑴]

（2）需要同时升起两个道闸，理由见解析

【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：

(1)设道闸/GMN升起的最高点为点当点在线段CD上时，道闸升起的角最大.延长

FG交CD于点、在RtAMCR中，勾股定理求出“白一正切的定义求出tanNGM。]=黑，平行线

的性质，MgljZMGM,=ZNFNt=AGM{D{,即可得出结果；

(2)设只升起一个道闸/GMN,当最高点在线段C。上时，在线段6V上取车宽印=1.9(米)，过

点¥作XZ_LAB,交,FN\于x,垂足为Z,交NF于点丫，在Rt^XYF中，求出XV的值，进而求出XZ

的值，与车高进行比较即可得出结论.

【详解】(1)解：设道闸FGMN升起的最高点为点加1,当点在线段C。上时，道闸升起的角NMGM]

最大.延长尸G交C。于点。.根据题意，可知:

GMX=GM=1（AB-2AH）=1（6.6-2x0.3）=3（米）.

GDi=DN-GH=36-12=24（米）.

在RtaMiGA中,

MR='GM；-GD；=A/32-2.42=1.8（米）,

GD、2.44

/.tanZGMD=

11雨1.83,

・.・MG//FN//CD,

/MGM、=/NFN]=/GMQi.

4

tanAMGMX=tanZNFN,=tan/GMR=-.

4

即道闸升起的最大角的正切值为1.

(2)设只升起一个道闸/GMN,当最高点Mi在线段C。上时,

在线段方N上取车宽}W=1.9(米)，过点丫作交FN、于X,垂足为Z,交Nb于点Y.则

YZ=FH=0.2（米），YF=FN-YN=3-1.9=1A（米）.

GMX//FN],GM//FN,

.../'FN=ZM.GM,

在RMXEF中，

22

-：XY=tanZNFN,•KF=tanZM1GMYF=—（米）,

2225

:.XZ=XY+YZ=0.2+—=—（米）.

1515

•.・车高1.8米=奈27米〉/?5米，

•・・只起一个道闸，小轿车不能通过.

二需要同时升起两个道闸.

6.（2025・上海徐汇•一模）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为30。,45。,60。的三角比不必死记硬

背，只需利用一副三角板就可推导出30。,45。,60。的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的

基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了15。，75。的三角比.

wcot30°-cot45°

"：tan600+2sin30°

⑵小杰的一副特制的三角板，如图1,在和RtADE尸中，NB=NE=90°,

，4=30。，/£>=45。,。£=4。=2：小杰的想法是：将Rt^ABC和RtADEF的边。E和AC重合，拼接成

如图2所示的四边形ABCF.请利用图2,求sinl5°和tan75°的值.

【答案】⑴2-6

⑵正正，2+石

4

【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解直角三角形:

(1)将特殊角的三角函数值代入进行计算即可；

(2)过点B分别作FG_L3c于点G、FHLAB于点、H,解直角三角形，求出的长，证

明ACG尸三AABC,求出PG,3G的长，在RMM中，利用三角函数进行求解即可.

_A/3-1_\/3-1/T

【详解】(1)原式一二二一百1一2W；

2

(2)过点尸分别作FG,3c于点G、FHLAB于点H,

砥D)

：Klj：

BC(£)6

图2

在R^ABC中，ZB=90°,ABAC=30°,AC=2,

AB=AC-cos30°=2x^=V3,BC=AC-sin30°=2x1=1,

22

在Rt^DEF中，NDEF=90°,NEDF=45°,DE=2,

EF=£>£.tan45°=2x1=2,DF=DE=272,

cos45°

•/ZGCA=90°+ZGCF=90°+ZCAB

:"GCF=/CAB

又:ACGFAABC

X^B=ZG=90\CF=AC

/.△CGF=^ABC

：.CG=AB=6,FG=BC=\

BG=BC+CG=y[3+X

ZG=ZB=ZBHF=90°

••・四边形3GFH是矩形，

BH=GF=1,HF=BG=^+1,

:.AH=AB-BH=y13-l

在中，ZAHF=90°,NHAF=NBAC+NCAF=75°

ZAFH=15°

sinl50"=&k%^,tan75°=坦=^^1=2+6

AF~2A/24AH73-1

7.（2025・上海黄浦•一模）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实

践活动.

甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪.取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长

40cm,木条CD长60cm,长20cm（接头处忽略不计）.为了便于校正竖直位置，在点3处悬挂一

个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪.

A

DBC

图1图2

任务：测量校园内某棵大树MN的高度（树顶端M与树根部N的距离）.

工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）.

要求：测量得到的长度用字母a,b,c...表示.

第一次实践

实

甲手持测高仪，C端朝上。端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端调整人到树的

践

距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E

操

的位置，如图3所示.

作

获取数乙负责测量，得到点8到地面的垂直距离BE=acm,还

示

据需要测量得到的相关数据有：—.

解决问利用得到的数据表示树的高度：

图3:LJr

题MN=_________cm.

反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下.于是三位同学

讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下:

第二次实践

实甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的。端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点。望向

践树顶端向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点。、A在一条直线上，然后标记铅垂

操线的下端刚好接触地面的点尸的位置.丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持

作不变；点E、尸和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示.

获取数点到地面的垂直距离乙还需要测量

示BBE=acm,

斗.据得到的相关数据有：__________.

图牛£*

1解决问利用得到的数据表示树MN的高度.(写出求解过

4题程)

【答案】第一次实践需要测量得到的相关数据有：NE=bcm,MN的高度：MN=(a+b+40)cm.第二

次实践需要测量得到的相关数据有：EF=ccm,MN=(c+a)cm,过程见解析.

【分析】第一次实践，由3C=AB=40cm,50=20cm,ABVCD,AHLMN,得至()物/=4/,

进而得到MV=NE+40+q,即可求解，

第二次实践，设MW=AH=x,由tan/RAg=g,得到片打=2无，由4"一A"=A4=4台=跖，得

至|Jx=c,即可求解，

本题考查了三角函数的应用，解题的关键是：根据题意正确列式.

【详解】解：由题意可知8C=AB=40cm,50=20cm,ABVCD,

tanZCAB=1,

♦:AH1MN,

•.MH=AH,

BE=a,

：.MN=MH+HN=AH+BE=HB+AB+BE=NE+4Q+a,

第一次实践需要测量得到的相关数据有：NE=bcm,

利用得到的数据表达树脑V的高度：MN=(a+b+40)cm.

第二次实践需要测量得到的相关数据有：EF=ccm,

解决问题：设MH-AH=x,

由题意可知5C=AB=40cm,BD=20cm,ABLCD,

/.tanNCAB=1,tanZDlAiBl=g,

•；AH1MN,

A

；.AH=MH=x,tanZD^Bj=-

A

:.A^H=2x,

­.\H-AH=AA=B,B=EF,

■•■2x—x=c,

.-.x=c

：.MN=(^c+a)cm.

8.（2025・上海金山•一模）如图，VABC和砂都是直角三角形纸片，/4=/。=90。且丫45<7和4£尸

不相似.其中AB="，AC=b,DE=m,DF=nCn>b>a>m）.是否存在经过锐角顶点的一条直线，

能把VABC和△诋分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积

为S）与没有分割的三角形相似.

（1）如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性;

（2）按照你写出的分割方案，求出S的值（可以用。或匕或机或九的代数式表示）.

【答案】（1）存在，见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形：

（1）根据锐角的正切值可以得到tan/£）£F>tan3>tanC>tanP,故过点E的直线交边于点G,使

得/DEG=NB,即可；

（2）根据相似的性质，求出DG的长，利用三角形的面积公式进行计算即可.

【详解】（1）解：存在，分割方案：（答案不唯一）如图：

过点E的直线交边。尸于点G,使得ND£G=N3,

证明：ZA=ZD=90°,AB=a,AC=b,DE=m,DF=n,

hanin

tanB=—,tanC=—,tanZDEF=—,tanF=—,

abmn

n>b>a>m,

11bdm

/.—>—>—>一即tan/DEF>tanB>tanC>tanF,

mabn

:.ZE>ZB>ZC>ZF,

・・・NA=ND=90。，NDEG=/B,

「△ABCs/\DEG；

(2)SABCSADEG

.AB_AC

'~DE~~DGy

AB=a,AC=b,DE=m,

OG=也

a

bmbm2

:.S=-DEDG=-m----=-----.

22a2a

9.（2025・上海嘉定•一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响

列车的运行安全.我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包

括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），

从而判断轨道是否有损伤或缺陷.某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探

究：

激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的

阅读概光，并在光接收元件上成像.一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射

述光的角度也会改变，成像的位置也随之改变.可以通过成像的位移来计

算物体实际的移动距离.

③①

被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标

测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离.假设激光通过

如图，直线W〃直线4〃直线，2，直线MN垂直于/］和4，垂足分别

探究（1）设MN=m,请用含加和a的式子表示点N到直线跖VT的距离.

探究（2）已知MM=5,OM'=23,OM=132,求MN的长度.（结果精确到个

位,sinax0.8,cosa«0.6,cota«0.75)

【答案】(1)“COS"(2)60

【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，

是解题的关键：

(1)过点N作射于点8,对顶角结合同角的余角相等，得到田=g，解直角三角形MBN,

求出的长即可；

(2)作N'D〃MZV,交W于点。，解直角三角形证明△DON's.ON,列出比例式进行求

解即可.

【详解】解：过点、N作NBLM'M于点、B,则：NNBM=90°,ZCMB=a,

MNLl